精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选

1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1

处的切线方程为（）

x 2

（A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y

2x2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

【规范解答】选A.因为y 2

2，所以，在点

1,1

处的切线斜率

2)

(x

2

22

，所以，切线方程为

y1

2(x

1)

，即

y2x1

，故选A.

ky x1

(12)

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y

（单位：万元）

与年产量x

（单位：万件）的函数关系式为y 1x3

81x 234，则使该生产厂

3

家获得最大年利润的年产量为（）

(A)13万件(B)11 万件

(C)9万件(D)7万件

【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析

问题解决问题能力和运算求解能力.

【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9

时y' 0；

当x9时y'0，故当x

9时函数有极大值，也是最大值，故选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x

2,y=

x

3围成的封闭图形面积为（）

（A）1

(B)

1

(C)

1

(D)

7

12 4 3 12

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故

所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx=

1

1 1

0 1- 1= 故选A.

3 4 12

4

4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=

x

上，为曲线在点

e 1

P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）

(A)[0, )(B)[ , )( ,3

](D)[

3

,)

4 4 2 2 4 4

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。

【规范解答】选 D.

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）

4

1

dx等于（）2x

A、2ln2

B、2ln2

C、ln2

D、ln2

【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

【思路点拨】记住1

的原函数.

x

1

4

【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.

2

x

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,a k2)处的切线与x

轴的交点的横坐标为a k+1,其中k N

，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)

处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y0，即可求得切线与x轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x2(x>0)得，

y 2x，

所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2) 处的切线方程为：

ya

k

2

2a k(xa k),

当y0

时，解得x

a k ，

a

k,a

1

a3

2

所以a k1 a

5

164121.

2

【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边

的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S (梯形的周长）2

,则S的最小值是梯形的面积

________。

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x

，然后用

x

分别表示梯形的周

长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.

【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ，

(3 x)2 4 (3 x)2

则：S 1(x1) 3(1x)

3 1 x2 (0x1)

2 2

方法一：利用导数的方法求最小值。