《三角函数模型的简单应用》教学设计
三角函数模型的简单应用教案北师大版
作业反馈：
1. 及时批改意见和评分。
2. 指出存在的问题：在批改作业时，教师应指出学生在作业中存在的问题，如计算错误、概念不清、逻辑推理不严密等，并给出具体的改进建议。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
教学资源拓展
1. 拓展资源
- 数学杂志和期刊：推荐学生阅读一些与三角函数模型相关的数学杂志和期刊，如《数学通报》、《数学进展》等，以了解最新的研究进展和应用实例。
- 在线数学论坛和社区：鼓励学生参与在线数学论坛和社区，如数学吧、知乎数学板块等，与其他学习者和专业人士交流问题和经验。
（2）实际问题与三角函数模型的联系。
学生可能难以将实际问题与三角函数模型建立联系，无法从实际问题中抽象出三角函数模型。
（3）三角函数模型在实际问题中的应用方法。
学生可能对如何运用三角函数模型解决实际问题感到困惑，无法正确选择和使用三角函数模型。
（4）三角函数模型的推理和论证。
学生可能对如何运用三角函数模型进行推理和论证感到困难，无法逻辑清晰地阐述推理过程。
- 学习三角函数的历史和发展：介绍三角函数的历史背景和发展过程，让学生了解三角函数的重要性和影响，培养他们对数学的兴趣和好奇心。
- 探索三角函数的性质和图像：引导学生深入研究三角函数的性质和图像，如周期性、奇偶性、单调性等，通过实践活动和数学软件工具进行探索和验证。
- 参与数学研究和交流：鼓励学生积极参与数学研究和交流活动，如参加数学研究小组、参与数学研讨会等，与他人分享自己的研究成果和思考。
〖2021年整理〗《三角函数模型的简单应用》优秀教案
三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型 （2）=|in |是以 π 为周期的波浪形曲线 2．预习自测 （1）函数=in （2-3π）的最小正周期为 π (二)（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数=10in （8π-45π）2021∈4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 2021课堂设计 1知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响（2）函数=A in （ωφ）的图象（3）=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义 2问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=in ωφb1求这一天6—14时的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合的数学思想 【解题过程】解:1由图可知,这段时间的最大温差是20212从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=A in ωφb 的半个周期的图象,∴A =2130-10=10,b =213010=202121·ωπ2=14-6,∴ω=8π将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in8π43π2021∈6,14]【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象1根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; 2为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】解:1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26tan h 0≈ 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为 h =15tan ［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈, 由于每层楼高为3米,根据以上数据, 所以他应选3层以上【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻 0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米1选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值精确到2一条货船的吃水深度船底与水面的距离为4米,安全条例规定至少要有米的安全间隙船底与洋底的距离,该船何时能进入港口在港口能呆多久3若某船的吃水深度为4米,安全间隙为米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解根据题意,一天中有两个时间段可以进港问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？ 问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合 【解题过程】解:1以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图根据图象,可以考虑用函数=Ainωφh 刻画水深与时间之间的对应关系从数据和图象可以得出: A ＝,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π所以这个港口的水深与时间的关系可用＝6π5近似描述 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 时刻 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20210 21:00 22:00 23:00 水深2货船需要的安全水深为4＝米,所以当≥时就可以进港 令6π5=,in6π=MODE MODE由计算器可得 2SHIFT in -1=357 92≈ 4如图,在区间[0,12]内,函数＝6π5的图象与直线＝有两个交点A 、B ,因此6π≈ 4,或π－6π≈ 4 解得A x ≈ 8,B x ≈ 2由函数的周期性易得:C x ≈12 8＝ 8,D x ≈12 2＝ 2因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港每次可以在港口停留5小时左右(3)设在时刻货船的安全水深为,那么=在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点通过计算也可以得到这个结果在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为米;时的水深约为米,此时货船的安全水深约为米;7时的水深约为米,而货船的安全水深约为4米因此为了安全,货船最好在时之前停止卸货,将船驶向较深的水域【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t 时的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深的关系t 0 3 6 9 12 15 18 21 2412经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期 【答案】A3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据； ⑤还原：将所得结论转译回实际问题 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破,B ,C 是△ABC 的三个内角,且in A >in B >in C ,则 >B >C2πC >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小 【数学思想】三角函数图象的应用【解题过程】∵in A >in B >in C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数＝in ,），（π0∈图象可得A >B >C 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为＝in ,），（π0∈ 【答案】A2．2021年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则in θco θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴=53，∴in θ=53,co θ=54∴in θco θ=57【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值． 【答案】57能力型 师生共研的函数关系，I =A in ωφω>0,|φ|<2π在一个周期内的图象1根据图象写出I =A in ωφ的解析式； 2为了使I =A in ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建【解题过程】1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π∴I =300in100πt 3π2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω 【答案】1I =300in100πt 3π；2629 探究型 多维突破（米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米）根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数=A in ωtb 的图象． （1）试根据数据表和曲线，求出=A in ωtb 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式 【解题过程】解：（1）根据数据可得，Ah =13，-Ah =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴=3in （6πφ）10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为=3in6πt 10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24）， ∴3in 6πt ≥，∴6πt ∈[2π6π，2π65π]，=0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，Ah =13，-Ah =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）=3in 6πt 10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时自助餐1甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, 表示甲、乙两人的直线距离，则=f θ的图象大致是【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】C安培随时间t 秒变化的函数I =Ain ωt φ的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】函数=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10in （10π6π）故当t =1207时，I =0 【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】A3一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h 米与时间t 分钟之间的函数关系式【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型【解题过程】以最低点的切线为轴，最低点为原点，t , t 则ht = t 2,又设P 的初始位置在最低点，即0=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,co θ=8()8y t -,∴t = -8co θ8, 而212π=t θ，∴θ=6t π，∴t = -8co 6t π8, ∴h t = -8co 6t π10【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果【答案】h t =-8co 6t π10。
《三角函数模型的简单应用(第2课时)》教学教案2
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1．能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系．重点难点学习重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．学习难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题．学习过程导入新课思路1．通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等．思路2．(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的．教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业．教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中．应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐．在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米5．0 7．5 5．0 2．5 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0深的近似数值(精确到0．001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1．5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0．3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6．教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画．其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深．图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型．求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6)．根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出:A ＝2．5,h ＝5,T ＝12,φ＝0,由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π． 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2．5sin6πx+5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin 6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2． 由计算器可得2 SHIFT sin -10．2=0.201 357 92≈0．201 4．如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx≈0.201 4,或π－6πx≈0.201 4． 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2．由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2．因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8)． 通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米．因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域．点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解．同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释．变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Is inωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________．答案:0例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长．活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例．点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点．通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系．图9解:结合函数模型和图象:(1)单摆振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL ,可得L=224πgT =0.16 m ． 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理．同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义．变式训练1．已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值． 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ)．∴φ＝2π． ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cosωx ． 相邻两点P(0x ,1),Q(0x +ωπ,－1)． 由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4．解得ω＝1． ∴f(x)＝cosx ．(2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32． 两边平方,得sinxcosx ＝185-． 2．小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x ∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表21个单位长度了．由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x ∈R ．同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π．故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x,x ∈R ．3．求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解:由方程式模型构建图象模型． 在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10．可知原方程的解的个数为3．图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法．课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题．。
人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课稿
人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课稿三角函数模型的简单应用(一)说课稿今天我说课的题目是《三角函数模型的简单应用(一)》，内容选自《人民教育出版社数学必修4》第一章第六节。
下面我从五个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教材分析（一）设计思想引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力。
（二）教材的地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。
并且课标对这节的要求是让学生了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
（三）教学重点和难点1．教学重点。
精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。
2．教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解的确定。
决问题；b、由图象求解析式时二、教学目标分析根据三角数函数模型应用及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：（一）基础知识目标。
a、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b、根据解析式作出图象并研究性质；c、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（二）能力训练目标。
让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（三）个性情感目标。
三角函数模型的简单应用教学设计
三角函数模型的简单应用教学设计一、教学内容解析本节课是普通高中新课程标准试验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”第一课时。
属于高一第二学期所学内容。
本节课教科书共设置了4个例题，我们选取的是第一和第四道例题，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题时的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系增强学生的应用意识。
例1是给出了三角函数模型和部分图像，让学生求解函数解析式。
通过例1让学生用已知三角函数模型解决实际问题，根据问题情境确立准确的三角函数模型解决问题。
例4是给出了潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并得到函数模型的解决。
这一内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子。
通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法。
二、教学目标设置1、知识目标：通过例1的学习，使学生初步学会根据图像求解析式的方法；通过例4体会由实际问题抽象出三角函数模型的过程；体会三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型。
2、能力目标：让学生体验一些具有周期变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的建模、分析问题、解决问题、数形结合、抽象概括等能力。
3、情感态度价值观：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
三、学生学情分析我校是甘肃省酒泉市玉门油田一中，本校高一分火箭班一个，重点班两个，平行班三个。
本节课要教学的班级属于第二梯队的班级之一。
学生已经学习了三角函数的图像和性质，并了解基本的三角函数模型，学生已经有了基本的数学建模思想和方法，也有了用基本的三角函数知识来解决实际问题的能力，所以对本节课的学习可以让学生更多的参与，组建小组合作探究，锻炼学生参与讲解，组间质疑讨论，形成学术探讨的课堂氛围，让学生在本节课的学习中学到更多的知识，体会数学的建模过程，并见证从建模到解决问题的全过程。
1.6《三角函数模型的简单应用》教学设计
第 1 页 必修④§1.6三角函数模型的简单应用(一) 教学设计教学内容解析本节课是人教A 版数学必修四的第一章第六节的第一个课时。
在三角函数的图像和性质学习之后，专门设置了“三角函数模型的简单应用”一节，目的是突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生进一步感受到三角函数模型刻画周期变化现象的特点。
教学目标设置1、知识与技能（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；（2）根据解析式作出图象并研究性质；（3）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、过程与方法通过结合具体生活实际问题，让学生体会到周期性变化规律无处不在，启发学生应用数学知识探索实际问题。
3、情感、态度与价值观体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，增强应用意识，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。
学生学情分析本节课是在学习了函数的应用以及三角函数的图像和性质的基础上来学习三角函数的简单应用，学生已经了解了数学建模的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生。
教学策略分析本节课的特点是三角函数的应用，在教学中，要充分呈现获取知识和方法的思维过程。
课堂上要让学生多参与，采用自主探究的方式学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神以及分析问题、解决问题的能力。
教学过程一、情景引入在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象（图片展示）。
二、逐步探究引例12sin 2sin 3y x y x ==+（）函数的图像如何变换得到的图像?探究一：根据函数图象求解析式例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω． 问题一： 这一天6～14时的最大温差是多少？第 2 页 问题二：如何确定这段曲线的函数解析式?思考1：如何确定函数式中A 、b 的值?思考2：如何确定函数式中ω的值?思考3：如何确定函数式中ϕ的值?感受高考()()Asin 1A>0,03620122f x x πωωπ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，求函数的【年解析式。
三角函数模型的简单应用（水车问题）
三⾓函数模型的简单应⽤（⽔车问题）§9 三⾓函数模型的简单应⽤第⼀课时⼀、教学⽬的1、对⼀些简单的周期现象，能够选择适当的三⾓函数模型，刻画和解决实际问题。
2、通过本节学习，培养学⽣的数学应⽤意识。
⼆、教学重点：体会三⾓函数模型在实际问题中的应⽤。
三、教学难点：⽤三⾓函数描述周期现象的实际问题。
四、教学过程：例：⽔车问题如图,⽔车的直径为3m,其中⼼(即圆⼼O)距⽔⾯1.2m,如果⽔车每4min 逆时针旋转3圈.在⽔车轮边缘上取⼀点P,点P 距⽔⾯的⾼度h(m)与时间(t)有怎样的关系?分析：设⽔车的半径为R ，R=1.5m ；⽔车中⼼到⽔⾯的距离为b ，b=1.2m ；∠QOP=α⽔车旋转⼀圈所需的时间为T ；单位时间(s)旋转的⾓度(rad)为ω过P 点向⽔⾯作垂线，交⽔⾯于M 点，PM 的长度为P 点的⾼度h ；∠QOP=φ；则：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b根据问题的条件确定这个模型中的变量和参数: α,φ,R 和b.⽤ω表⽰单位时间(s)内⽔车转动的⾓度(rad)，这样，在时刻t ⽔车转动的⾓度为α= ωt ⽔车旋转⼀圈所需的时间T=ωπ2 ⼜由于⽔车每4min 转3圈，旋转⼀圈所需的时间T=80s所以ω=40πrad/sSin φ=5.12.1⾬季河⽔上涨时,函数解析式中的b 减⼩,旱季河⽔流量减少时,参数b 增⼤. 如果⽔车转速加快,将使周期T 减⼩,如果⽔车转速减慢,将使周期T 增⼤.五、课堂⼩结六、课后作业rad ， 295.01.53≈?≈φ所以)(2.1)295.040sin(5.1m t ，h +-=ππ所以。
1..6三角函数模型的简单应用(教、教案)
1. 6三角函数模型的简单应用一、教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力LwtUpWh8vG二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解读式的方法；2、根据解读式作出图象并研究性质；3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
LwtUpWh8vG三、教学重点难点重点：精确模型的应用——由图象求解读式，由解读式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解读式时的确定。
四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
LwtUpWh8vG在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
LwtUpWh8vG五、教法分析数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：三角函数模型的简单应用一、教学目标：1.了解三角函数的概念和基本性质；2.掌握三角函数的图像和性质；3.掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
二、教学重点：1.三角函数的概念、基本性质及图像；2.如何应用三角函数模型解决实际问题。
三、教学内容：1.三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.三角函数的图像和性质：了解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质；3.三角函数模型的简单应用：掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
四、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过引入一个简单的实际问题，如一个船在河中流动的问题，引导学生发现问题中涉及到角度和距离的关系，从而引出三角函数模型的应用。
2.讲解三角函数的概念和性质（15分钟）教师讲解三角函数的定义及性质，引导学生了解正弦、余弦和正切函数的定义和特点。
3.讲解三角函数的图像和性质（20分钟）教师讲解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质，帮助学生了解三角函数的变化规律。
4.解决实际问题（30分钟）教师通过几个实际问题的讲解，引导学生掌握如何利用三角函数模型解决实际问题，如计算建筑物的高度、船在河中的速度等。
5.练习与讨论（20分钟）让学生进行相关练习，并进行讨论和解答。
通过互动讨论，加深对三角函数模型的理解。
6.总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展示一些拓展的问题，激发学生对三角函数的兴趣和好奇心。
五、教学手段：1.多媒体课件：用于展示三角函数的图像和性质；2.实物模型：如玩具船、建筑物模型等，用于辅助学生理解实际问题；3.白板和彩色笔：用于讲解和解题。
六、教学反馈：通过课堂练习和讨论，以及课后作业的批改和讲解，及时检查学生对三角函数模型的掌握情况。
同时鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对知识的理解和运用能力。
七、教学评价：通过对学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多方面进行评价，全面了解学生对三角函数模型的掌握情况，并根据评价结果进行针对性的改进和提升。
三角函数模型的简单应用优秀教学设计
【例 2】（1）已知 cot x 5 ，且 x ， ，求 x ． 2 2
（2）已知 cot x 5 ，且 x 0，2 ，求 x 的取值集合．
解：（1）因为 cot x 5 ，所以 tan x 5 ．由正切函数在开区间 ， 上
三角函数模型的简单应用
（第二课时）
一．教学目标
1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．
2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．
二．教学具准备
投影仪
三．教学过程
1．设置情境
师：请同学们看投影，回答问题
（1）若 cos x 1 ， x 0，2 ，则 x ______ ．
2
（2）若 sin x 1 ， x 0，2 则 x ______ ．
3
生：（1） x
5
7
或
．
66
（2） x arcsin 1 或 x arcsin 1 ．
3
3
师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角
的一般步骤：
生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：
第一步，决定角 x 可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 x1 ；如果函数值为负数，则先求了
2 2
arctan
1 ， 3
arctan
1
3
．
arctan x 表示的意义： arctan x 表示一个角，角的特点是①角的正切值为 x，因此角
的大小受
x
的限制；②并不是所有满足
tan
x 的角都可以，只能是
1.6《三角函数模型的简单应用》教学案4
1.6《三角函数模型的简单应用》教学案教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)能根据图象建立解析式．(2)能根据解析式作出图象．(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(4)能利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．2．过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．3．情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力；培养他们的探索精神和应用意识．●重点、难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．教学方案设计●教学建议1．本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，教学中注意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．2．从实际问题中抽象出三角函数模型的过程中，由于陌生的背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难．教学中应当注意帮助学生分析问题中的数量关系，通过作散点图等，引导学生从图的特点来发现各个量之间的关系或它们的变化规律．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此条件允许的话要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图、根据散点图进行函数拟合等．课前自主导学课标解读1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型.知识三角函数的实际应用1.2．y ＝|sin x |是以π为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．课堂互动探究类型1三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin (ωt ＋φ)．图1－6－1(1)如图所示的是I ＝A sin (ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin (ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin (ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【思路探究】 (1)根据图中提供的数据求T ，进而得到ω，根据图象过(1180，0)得出φ，从而得出函数解析式．(2)由题意得出周期T 不超过1150是关键．【自主解答】(1)由题图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin (150π·1180＋φ)＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin (150πt ＋π6)． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)． ∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法1．题中的函数模型类型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中求ω是利用半周期为[1180－(－1900)]．2．此类问题解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径．变式训练弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm )随时间t (s )的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的图象．图1－6－2(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【解】 (1)由题图可知，周期T ＝2(7π12－π12)＝π. 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14s . (2)由图可设该曲线的函数解析式为： s ＝A sin (ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)． 从图中可以看出A ＝4，又2πω＝π， ∴ω＝2.从而s ＝4sin (2t ＋φ)． 将t ＝π12，s ＝4代入上式，得 sin (π6＋φ)＝1，∴φ＝π3. 故所求函数的解析式为s ＝4sin (2t ＋π3)，t ∈[0，＋∞)． (3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm )．故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm .类型2 三角函数模型简单的实际应用例2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中O A与地面垂直，以O A为始边，逆时针转动θ角到O B，设B点与地面距离为h.图1－6－3(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从O A开始转动，经过t秒后到达O B，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？【思路探究】分析题目→列出函数解析式→应用求解【自主解答】(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，O B 为终边的角为θ－π2. 故B 点坐标为(4.8cos (θ－π2)，4.8sin (θ－π2))． ∴h ＝5.6＋4.8sin (θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ， ∴h ＝5.6＋4.8sin (π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m .由sin (π30t －π2)＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．规律方法1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”这个过程就是数学建模过程．2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．变式训练如图游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12 min ，其中心O 距离地面40.5 m ，半径为40 m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：图1－6－4(1)求出你与地面的距离y (m )与时间t (min )的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5 m 时，用了多长时间？【解】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12 min 可知当t ＝6时摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0 min 时距地面60.5 m ，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(min )时，第2次距地面60.5 m ，故第4次距离地面60.5 m 时，用了12＋8＝20(m in )．类型3数据拟合问题例3 的数据：t (h ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m )10.013.09.9 7.0 10.013.0 10.17.0 10.0 sinωt ＋b 的图象．(1)试根据以上数据，求出y ＝A sin ωt ＋b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？图1－6－5【思路探究】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 的周期；由t ＝0时的函数值，t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω、A 、b 的值．(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m )的时段．【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h )，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13. ∴b ＝10，A ＝13－10＝3.∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m )．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12.∴2kπ＋π6≤π6t ≤2kπ＋5π6(k ∈Z )， ∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17； 而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h .规律方法1．本题中没有明显函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线．2．此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断．由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系．变式训练某风景美丽的海滩的浪高y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日浪高的数据：(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，浪高在1.25 m ～2 m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8：00至晚上20：00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？【解】 (1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝3.5，得A ＋b ＝3.5. 由t ＝3，y ＝2.0，得b ＝2.0. ∴A ＝1.5.∴y ＝1.5cos π6t ＋2(0≤t ≤24)．(2)由题知，当1.25≤y ≤2.0时才可对冲浪者开放，∴1.25≤1.5cos π6t ＋2≤2 ∴－12≤cos π6t ≤0∴2kπ＋π2≤π6t ≤2kπ＋2π3或2kπ＋4π3≤π6t ≤2kπ＋3π2(k ∈Z )． 即12k ＋3≤t ≤12k ＋4或12k ＋8≤t ≤12k ＋9(k ∈Z )． ∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0，1，得3≤t ≤4或8≤t ≤9， 或15≤t ≤16或20≤t ≤21.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，故有2个小时的时间可供冲浪者运动：分别是上午8：00至9：00与下午15：00至16：00.思想方法技巧转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用典例(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①y A ＝cos (πx 6)； ②y －46A ＝cos (πx 6)； ③y －46－A ＝cos (πx 6)； ④y －26A ＝sin (πx 6)．【思路点拨】(1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小值，作差，求出2A ；(5)将表中数据代入检验．【规范解答】(1)(2)如图所示．....................4分(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12....................6分 (4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A ＝25.8............................................................8分 (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①差距明显； 代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②差距明显； 代入④，得y －26A ＝0≠sin π6；∵④差距明显，不适合；代入③，得y －46－A ＝26－46－25.8≈0.78，与cos π6较接近，拟合性更好，∴③相对最适合这些数据.........................12分思维启迪三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点： (1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．当堂双基达标1．电流强度I (A )随时间t (s )变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 【解析】 当t ＝1200时， I ＝5sin (π2＋π3)＝5cos π3＝2.5. 【答案】 B2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【解析】 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80. 【答案】 C3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：s ＝6sin (2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图1－6－6A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 T ＝2πω＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s . 【答案】 D4. (2013·延安高一检测)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数图象．图1－6－7(1)求这一段时间的最大温差． (2)写出这段曲线的解析式．【解】 (1)由图易知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)设所求解析式为：y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .则分析图形易知从6时到14时的图象是所求函数半个周期的图象．所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102，b ＝30＋102，6ω＋φ＝－π2＋2k πk ∈Z ，10ω＋φ＝0＋2k πk ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20，ω＝π8，φ＝－54π＋2k πk ∈Z .∴y ＝10sin (π8x －54π)＋20.即y ＝10sin (π8x －54π)＋20(x ∈[6，14])即为所求的函数解析式．课后知能检测一、选择题1．(2013·南阳高一检测)一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋7，则( )A ．ω＝2π15，A ＝10B ．ω＝152π，A ＝10 C ．ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝152π，A ＝17【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10. 【答案】 A2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm )与时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos (g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A .g πB .g2π C .gπ2D .g 4π2 【解析】 ∵T ＝2πg l，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g4π2. 【答案】 D图1－6－83．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期． 【答案】 C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin (π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin (π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin (π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)【解析】 由题意知x ＝3时，f (x )max ＝9，排除C 、D ，x ＝7时f (x )min ＝5，排除B ，故选A .【答案】 A 5.图1－6－9(2013·石河子高一检测)如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上逆时针旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦A P 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )【解析】 由于d ＝f (l )＝2sin l2，l ∈[0，2π]，故选C . 【答案】 C 二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x－6)](x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意可知A ＝28－182＝5， a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos [π6(x －6)]＋23，故10月份的平均气温值为y ＝5cos (π6×4)＋23＝20.5. 【答案】 20.57．某时钟的秒针端点A 到中心的距离为5 cm ，秒针均匀地绕O 点旋转到B 点，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点重合，将A 、B 两点间的距离d (cm )表示成t (s )的函数，则d ＝________，其中，t ∈[0，60]．【解析】 由题意易知d ＝2r ·sin ω2t ，r ＝5，ω＝π30. ∴d ＝10sin π60t . 【答案】 10sin π60t8．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin (π6t －π2)＋50(单位：m )，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟．【解析】 依题意，知40sin (π6t －π2)＋50≥70， 即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8， 即持续时间为4分钟． 【答案】 4 三、解答题9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 【解】 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值． 10．如图所示，图1－6－10某地一天从0～10时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b ，其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】 (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期， 则周期T ＝2(9－1)＝16， 所以2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin (π8x ＋φ)＋10， 又点(1，0)在曲线上，即满足函数的解析式， 则0＝10sin (π8＋φ)＋10，所以sin (π8＋φ)＝－1. 又－π＜φ＜0，则φ＝－58π，综上，所求解析式为y ＝10sin (π8x －58π)＋10，x ∈[0，10]．11．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sinωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．图1－6－11【解】 依题意，有A ＝23，T4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6， ∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]． ∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝8－42＋0－32＝42＋32＝5(km )．即M 、P 两点间的距离为5 km . 【教师备课资源】1．三角函数与几何知识的综合应用典例如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f (θ)．求：(1)θ的取值范围； (2)f (θ)的解析式； (3)f (θ)的值域．【思路探究】连接BD ，过D 作D E 垂直于地面于E ，在△BD E 中，先求f (θ)的表达式，再求值域．【规范解答】(1)BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，显然角θ的范围为[0，π2]．(2)如图，连接BD ，则∠DBC ＝π6，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt △B E D 中，∠D B E ＝θ＋π6，DB ＝2，∴f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)．(3)f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)，π6≤θ＋π6≤2π3， ∴12≤sin (θ＋π6)≤1，即f (θ)的值域为[1，2]．规律方法1．解决本题的关键是准确的作出辅助线BD 、D E ，在△BD E 中求出f (θ)的解析式． 2．解决三角函数与几何知识的综合问题，首先应弄清问题的实际背景，然后结合平面几何知识求解，应注意实际问题中对角的范围的限制．变式训练如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m【解】 在Rt △ADC 中，CD ＝3 m ，sin β＝CDAC ，∴AC ＝CDsin β.① ∵β很小，∴sin β≈β.又∵1°＝π180 rad ，∴sin β≈β＝π180 rad .②在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝sin 30°＝BCAC ，③∴由①②③得BC ≈86 m . 【答案】 B2．知识拓展利用基本三角函数的图象研究两类含有绝对值函数的函数的图象与性质 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝f (|x |)的图象，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．例如，作出函数y ＝|sin x |的图象，根据图象判断其周期并写出单调区间．【解】 函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图象不动，位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图象，如下图所示：根据图象可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间[kπ，kπ＋π2]，k ∈Z 上递增；在区间[kπ－π2，kπ]，k ∈Z 上递减.章末归纳提升 第一章 三角函数知识网络构建专题归纳提升专题1 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1 (2013·珠海高一检测)函数y ＝lg (2sinx －1)＋1－2cos x 的定义域为________．【思路点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解．【规范解答】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2kπ≤x <5π6＋2kπ(k ∈Z )．故所求函数的定义域为[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )． 【答案】 [π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )变式训练求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域． 【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1.如图所示，结合三角函数线知 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z .∴2kπ＋5π4≤x <2kπ＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为[2kπ＋5π4，2kπ＋3π2)(k ∈Z ).专题2同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．例2 已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－474π，求f (α)的值．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝sin 2 α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2 α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f (－474π)＝cos (－474π)·sin (－474π) ＝cos (－6×2π＋π4)·sin (－6×2π＋π4) ＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.变式训练若cos θ＝74，求f (θ)＝sin θ－5π·cos －π2－θ·cos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π的值． 【解】 f (θ)＝sin θ－π·cos π2＋θ·cos －θsin θ＋π2·sin －θ ＝－sin π－θ·－sin θ·cos θcos θ·－sin θ＝－sin θ. ∵cos θ＝74，且sin 2θ＝1－cos 2θ＝916.当θ为第一象限角时，f (θ)＝－34， 当θ为第四象限角时，f (θ)＝34.专题3三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例3 如图1－1是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【思路点拨】(1)先确定A 、k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12， k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin (2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin (x ＋π6)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin (2x ＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin (2x ＋π6)，最后把函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin (2x ＋π6)－1的图象．变式训练f (x )＝sin (2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【解】 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin (2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由y ＝sin (2x －3π4)知专题4 三角函数的性质奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视．例4 已知函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值． (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【思路点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈[0，π2]时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋kπ≤x ≤2π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin (2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2kπ， ∴2x ＝π3＋2kπ，∴x ＝π6＋kπ，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋kπ，k ∈Z }．变式训练已知函数f (x )＝2sin (2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值． 【解】 (1)∵f (x )＝2sin (2x －π4)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.故函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵f (x )＝2sin (2x －π4)在区间[π8，3π8]上是增函数． 在区间[3π8，3π4]上是减函数．∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin (3π2－π4)＝－2cos π4＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin (ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．例5 已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2si n 2(α－π) 的值．【思路点拨】先求tan x 的值，再将待求的关系式化简，变为切函数求解．【规范解答】 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22， ∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.变式训练函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1，1]B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1，1]，画出函数图象如图所示．从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y mi n ＝－54，y max ＝1.综合检测(一) 第一章 三角函数(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°， ∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角． 【答案】 C2．点P 从(1，0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．(12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 【解析】 设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A .15 B .75 C ．－15 D ．－75 【解析】 r ＝3a2＋－4a2＝－5a .∴sin α＝－4a －5a ＝45，cos α＝3a －5a ＝－35， ∴sin α＋cos α＝45－35＝15.4．(2013·郑州高一检测)对于函数y ＝sin (132π－x )，下列说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】 y ＝sin (132π－x )＝sin (π2－x )＝cos x ，故D 项正确． 【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos (x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A 6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin (2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin (23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．(2012·衡水高一检测)函数y ＝2cos (2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1，3] D ．[－1，1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos (2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos (2x －π3)＋1≤3，故选B . 【答案】 B8．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D .24【解析】 由sin (α＋π2)＝13， 得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－223.故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A .13 B ．1 C .53 D ．2【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·上海春季高考)函数f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为________． 【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π12．sin (－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－co s θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f (x )＝2sin ωx ，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2. ∴f (x )＝2sin ωx 在[0，π3]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝ 2. ∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34. 【答案】 34三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin (π－x )－sin (π2＋x )的值； (2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0，2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2kπ＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值． 【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－－452＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin (2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，知kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xh 错误!y ＝sin [2(x ＋错误!)]错误!y ＝sin (2x ＋错误!)＋错误!.18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得2sin (2×2π3＋φ)＝－2， 即sin (4π3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2kπ－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )． 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin (2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1，2]．。
3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.[修改版]
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第一篇：3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.直线和圆的位置关系教学设计课题: 三角函数模型简单应用设计者:学院: 数学学院时间: 2015-9-24 三角函数模型的简单应用一、教学目标1、知识与技能:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想, 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.三、教学过程1. 情景展示,新课导入【师】经过前面的学习, 大家知道, 在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象, 而要定量地去刻画这些现象, 我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。
这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
【师】老师想问大家一个问题:若干年后, 如果在座的各位有机会当上船长的话, 当你的船只要到某个港口去,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况? 【生】水深情况。
【师】是的, 我们要到一个陌生的港口时, 是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。
那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。
问题探究1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息? 【生】(思考中发现水深的最大值是7.5米,最小值是2.5米。
三角函数模型的简单应用优秀教学设计
三角函数模型的简单应用优秀教学设计教学目标：1.了解三角函数的概念和性质；2.理解三角函数在几何图形中的应用；3.掌握三角函数的计算方法；4.能够应用三角函数解决简单实际问题。
教学内容：1.三角函数的概念和性质：引导学生学习正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质，包括定义域、值域、图像特点等。
2.三角函数在几何图形中的应用：通过几何图形的展示，引导学生理解三角函数与角度之间的关系，以及三角函数在几何图形中的具体应用。
3.三角函数的计算方法：通过例题演示，教授学生如何计算给定角度的正弦、余弦、正切等数值。
4.应用三角函数解决简单实际问题：通过实际问题的引入，让学生学会如何应用三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的角度等。
教学步骤：第一步：导入通过引用一个有趣的生活场景，如打渔的故事，激发学生的学习兴趣，引出三角函数的概念和应用。
第二步：概念讲解介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、图像特点等。
通过示意图和实例进行讲解，让学生更加直观地理解三角函数的含义。
第三步：几何图形展示展示一系列几何图形，如正弦曲线、余弦曲线、切线、圆等，引导学生分析图形中的角度和三角函数之间的关系。
让学生通过观察图像，能够发现和总结规律。
第四步：计算方法演示通过例题演示，教授学生如何计算给定角度的正弦、余弦、正切等数值。
通过实际计算过程，帮助学生理解计算方法，并加深记忆。
第五步：应用解决实际问题引入一些简单实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的角度等，让学生通过应用三角函数解决问题。
通过解决实际问题，帮助学生巩固所学的知识，并培养应用能力。
第六步：练习和巩固组织学生进行练习和巩固，包括选择题、填空题和解答题等形式。
通过练习，加深学生对三角函数的理解和掌握程度。
第七步：总结和拓展通过总结所学的知识和方法，概括三角函数的应用特点和解题技巧。
引导学生思考更多实际问题的解决思路，拓展思维和应用能力。
三角函数模型的简单应用教案(详细的)
三角函数模型的简单应用一、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b、由图象求解析式时 的确定。
五、教学设计分析《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。
通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。
在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。
增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
三角函数模型的简单应用 说课稿 教案 教学设计
第 1 页 共 1 页 三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）lg f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若.。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。
【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。
【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。
例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。
正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。
（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。
（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。
三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。
（1）分析题意，选用何种三角函数模型。
设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。
三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。
2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。
步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。
2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。
步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。
2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。
步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。
2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。
六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。
七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。
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【师】大家发现,水深变化并不市杂乱无章,而是呈现一种周期性变化规律,为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律,我们需要做什么工作呢?
【】需要画图。
【师】非常好,下面大家拿出一张白纸,以时间为横坐标,以水深为纵坐标建立平面直角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去。
(学生活动,求解解析式
【生】从数据和图像可以得出:7.52.522.5, 5, 12, 02A h T πϕω
-======
【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型,为了保证所选函数的精确性,通常还需要一个检验过程(因为时间关系,老师事先已经帮大家检验过了,这里就不检验,同学们可以下去检验下有了这个模型,我们要制定一张一天24内整时刻的水深表,就是件非常容易的事情了.
(学生活动:作图
【师】(电脑呈现作图结果大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来,得到的图象形状,可以用哪个函数来刻画呢?
【生】跟三角函数模型sin( y A wx h ϕ=++很象。(师板书2.5sin 55.50.3(2 6x
x π+≥--
【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗?
问题探究1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息?
【生】(思考中发现水深的最大值是7.5米,最小值是2.5米。
【师】水的深度变化有什么特点吗?
【师】令sin 0.26x
π=(学生活动:操作计算器计算0.2014, 0.38486x
x π≈=,
【师】我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个,那么在[0, 24]范围内,其他一些解该怎么求呢?我们来看图象情况。(电脑呈现图象
发现:在[0, 24]范围内,方程
0.26x π=的解共有4个,从小到大依次记为:
【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么? (师生一起分析
【师】只有当“实际水深吃水深度+安全间隙”时,船只才可以进去或离开港口。怎样用数学语言将这一条件给转述出来呢?
【生】2.5sin 41.56x
π≥+,即sin 0.26x
π≥,(师生齐分析解三角不等式,通常我
们是算去边界值,然后再确定解的范围。
直线和圆的位置关系
教
学
设
计
课题:三角函数模型简单应用
设计者:
学院:数学学院
时间: 2015-9-24
三角函数模型的简单应用
一、教学目标
1、知识与技能:a通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b根据解析式作出图象并研究性质; c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点
教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.
三、教学过程
1.情景展示,新课导入
【师】经过前面的学习,大家知道,在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象,而要定量地去刻画这些现象,我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
【师】有了水深关于时间的函数模型以后,作为船长考虑的问题还没有结束,因为船只在进出港时,每艘船只的吃水深度是不一样,下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题:
问题探究2:一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离,试问:该船何时能够进入港口?在港口能呆多久?
【师】老师想问大家一个问题:若干年后,如果在座的各位有机会当上船长的话,当你的船只要到某个港口去,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况?
【生】水深情况。
【师】是的,我们要到一个陌生的港口时,是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。
那么其他三个值如何求得呢?(学生思考
【师】得到了4个交点的横坐标值后,大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港?什么时间出港呢?(学生讨论,交流
【生】货船可以在0时30分钟左右进港,早晨5时30分钟左右出港;或者是中午12时30分钟左右进港,在傍晚17时30分钟左右出港。
【生】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全。（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题：问题探究3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？（学生讨论）【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深安全水深即：2.5sinx 655.50.3( x2，【师】这样的不等式大家会解吗？【生】不会【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题。（电脑作图并呈现）