空间向量典型例题
空间向量的应用与新定义(五种题型)(试题版)
空间向量的应用与新定义题型一:空间向量的位置关系的证明1如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是BB1,DD1的中点，则下列结论正确的是()A.A1O⎳EFB.A1O⊥EFC.A1O⎳平面EFB1D.A1O⊥平面EFB12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF⎳平面A1ACD.平面B1EF⎳平面A1C1D3如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是()A.若D1Q⎳平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π4（多选）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AD,AB,B1C1的中点，以下说法正确的是()博观而约取 厚积而薄发A.三棱锥A -EFG 的体积为13B.A 1C ⊥平面EFGC.过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是33D.异面直线EG 与AC 1所成的角的余弦值为335（多选）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =1，点P 满足CP =λCD +μCC1，其中λ∈0,1 ,μ∈0,1 ，则下列结论正确的是()A.当B 1P ⎳平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B.若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C.当λ=μ时，DP + A 1P 的最小值为2+52D.当λ=1时，正方体经过点A 1､P ､C 的截面面积的取值范围为62，26（多选）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB =DE =2，CF =1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B -GHF 的体积为定值；④三棱锥E -BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为．(填写所有正确结论的序号)7（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；②直线B1D1到平面CMN的距离是2 2；③存在点P，使得∠B1PD1=90°；④△PDD1面积的最小值是55 6．其中所有正确结论的序号是．8在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是.9如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M为BC的中点．(1)求证：PB⊥AM；(2)求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．博观而约取 厚积而薄发10如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，M为线段A1C1上一点.(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离.11如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F⎳平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．12直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．(1)求证：EF⎳平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D所成二面角的余弦值．13如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA,BD中点，PA=PD=AD=2．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)求二面角E -DF -A 的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．题型二:空间角的向量求法1（多选）已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则()A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π32（多选）已知梯形ABCD ，AB =AD =12BC =1，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，P 是线段BC 上的动点；将△ABD 沿着BD 所在的直线翻折成四面体A BCD ，翻折的过程中下列选项中正确的是()A.不论何时，BD 与A C 都不可能垂直B.存在某个位置，使得A D ⊥平面A BCC.直线A P 与平面BCD 所成角存在最大值D.四面体A BCD 的外接球的表面积的最小值为4π方法归纳【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.3如图，PO 是三棱锥P -ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．博观而约取 厚积而薄发(1)证明：OE⎳平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．4在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．5如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB ⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值．【整体点评】(1)方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.(2)方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.6在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．7如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值．8如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC =2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．博观而约取 厚积而薄发条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9如图，ABCD为圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.10如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD=3，AB=BC=2，PA ⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)证明：若DM=2MP，直线MN⎳平面PAB；(2)求二面角C-PD-N的正弦值；(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由.11如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.12如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB =1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S -ABCD 的体积为233．(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE ⎳平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为235若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.13如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =π3，∠B 1BD =π6，∠B 1BA =∠B 1BC ,AB =2A 1B 1=2,B 1B =3(1)求证：直线AC ⊥平面BDB 1；(2)求直线A 1B 1与平面ACC 1所成角的正弦值.题型三:空间向量的距离求法1已知直线l 过定点A 2,3,1 ，且方向向量为s=0,1,1 ，则点P 4,3,2 到l 的距离为()A.322B.22C.102D.22在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为棱DC 的中点，E 为线段AO 上的点，且AE =2EO ，若点F ,P 分别是线段DC 1，BC 1上的动点，则△PEF 周长的最小值为()博观而约取 厚积而薄发A.32B.922C.41D.423（多选）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,SA=AB，O，P分别是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是()A.OM⊥PAB.存在点M，使OM⎳平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值4（多选）已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为2，E是A1B1的中点，则()A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为5223B.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为104πC.AE∥平面BC1DD.A1到平面BC1D的距离为41055（多选）如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为π3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B=∠B1D1B，点M的轨迹为线段6（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π7如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE 上的动点，则MN的最小值为．8如图，某正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧.若顶点B，C，D到平面α的距离分别为2，3，2，则该正方体外接球的表面积为.博观而约取 厚积而薄发9如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD=1.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90° .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离.10如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA⎳BF，AB =AE=2BF=2(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离.11如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=233，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E -BF -D 的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.题型四:空间线段点的存在性问题1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为23方法归纳【点睛】求空间几何体体积的方法如下：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．2（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()博观而约取 厚积而薄发A.满足MP⎳平面BDA1的点P的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥AD ，AD =12BC =3，PC =5，AD ⎳BC ，AB =AC ，∠BAD =150°，∠PDA =30°．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.博观而约取 厚积而薄发(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.题型五:立体几何的新定义1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为232（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AD=12BC=3，PC=5，AD⎳BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；博观而约取 厚积而薄发(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.。
高二数学空间向量必刷的练习题
高二数学空间向量必刷的练习题在高二数学中，空间向量是一个重要而又复杂的概念，它在解决空间几何问题时起到了重要的作用。
为了帮助同学们更好地掌握和应用空间向量的知识，下面将介绍几道必刷的空间向量练习题。
练习题一：已知向量A=10A+6A+5A，向量A=A−A+3A，向量A=4A−2A+A，求向量A=(2A+5A−A)的模长。
解析：首先，计算向量A=(2A+5A−A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=2(10A+6A+5A)+5(A−A+3A)−(4A−2A+A)=20A+12A+10A+5A−5A+15A−4A+2A−A=21A+9A+24A然后，计算向量A的模长：|A|=sqrt((21A)^2+(9A)^2+(24A)^2)=sqrt(441A^2+81A^2+576A^2)练习题二：已知向量A=A−2A+2A，向量A=−A+4A−4A，向量A=A−6A+6A，求向量A=(A+2A−3A)的方向向量。
解析：首先，计算向量A=(A+2A−3A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=(A−2A+2A)+2(−A+4A−4A)−3(A−6A+6A)=A−2A+2A−2A+8A−8A−3A+18A−18A=−4A+24A−24A然后，根据向量的性质，可以知道向量A的方向与其具体数值无关，方向向量为：(−4, 24, −24)练习题三：已知三点A(1,2,3)、A(4,5,6)和A(7,8,9)，求向量AA和向量AA的数量积。
解析：首先，根据已知点的坐标，可以计算出向量AA和向量AA的具体数值：向量AA=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)向量AA=(7−1,8−2,9−3)=(6,6,6)然后，计算向量AA和向量AA的数量积：AA·AA=3×6+3×6+3×6=54练习题四：已知三点A(-1,1,2)、A(2,3,4)和A(3,2,0)，求向量AA和向量AA的向量积。
23个立体几何与空间向量专题 (1)
P ECOAD O23 个立体几何与空间向量专题(修正版)—tobeenough例 1 、如图 1 所示，AF 、DE 分别是 O 、 P 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD =8 .BC =AF ，AB =AC =6 ，OE // AD .⑴求二面角B -AD -F 的大小ϕ；⑵求直线BD 与EF 所成的角θ的余弦值cosθ.DA FB CB 图 1图 2 E例 2 、如图 2，四面体ABCD 中，O, E 分别是BD, BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 ，AB =AD =⑴ 求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值cosθ；⑵ 求点E 到平面ACD 的距离d .例 3 、如图 3 所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ADB =60o ，∠BDC =45o ，PD 垂直于底面ABCD ，PD =2 2R ，E, F 分别是PB,CD 上的点，且PE =DF ，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．EB FC⑴求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值sinθ；P⑵当PE =1 时，求∆EFG 的面积S ．EEB 2 GA DFBC图 32EDBG1B1B1D如图 4，已知正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为2 ，点E 是正方形BCC1B1 的中心，点F、G 分别是棱C1 D1、AA1 的中点．设点E1、G1 分别是点E、G 在平面DCC1 D1 内的正投影(即垂足)．⑴求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积V ；⑵求异面直线E1G1 与EA 所成角ϕ的正弦值sinϕ.D1 F C1A1B1 A1E1GCA图 4如图 5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AA1C1C 是边长为4 的正方形.平面ABC ⊥平面AA1C1C ，AB =3 ，BC =5 .⑴求二面角A1-BC1-B1的余弦值cosθ；⑵证明：在线段BC 存在点D ，使得AD ⊥A B ，并求BD 的值.1 1 BC如图 6，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD , AB / /CD ，AA1=1 ，AB =3k ，AD =4k ，BC =5k ，DC =6k , (k >0)若直线AA 与平面AB C 所成角的正弦值为6 ，1 1求k 的值.7 D1 C1A1CA B 图 6C1ABC图 513 EGFADQ CP 例 7 、 如图 7,在等腰直角三角形 ABC 中, ∠A = 90o , BC = 6 , D , E 分别是 AC , AB 上的点, CD = BE = 2 , O 为 BC 的中点.将∆ADE 沿 DE 折起,得到一个如图 7-1 所示的四棱锥 A '- BCDE ,其中 A 'O = ，求二面角 A '- CD - B 的余弦值cos θ .CO .BA 'DECO BA DE图 7图 7-1例 8 如图 8，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 A , B 的点，直线 PC ⊥ 平面 ABC ，E , F分别是 PA , PC 的中点.⑴记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明；⑵设⑴中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D ，且点Q 满足 = 1. 记直线 PQ 与平面2 ABC 所成的角为θ ，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为α ，二面角 E - l - C 的大小为 β ， 求证： sin θ = sin α sin β .S图 8B图 9例 9 、如图 9，在三棱锥 S - ABC 中，平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， AB ⊥ BC ， AS = AB ，过 A 作AF ⊥ SB ，垂足为F ，点 E ,G 分别是棱 SA , SC 的中点. 求证：⑴平面 EFG // 平面 ABC ；⑵ BC ⊥ SA .MADA•PD1如图 10，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的菱形，∠ABC =π, OA ⊥4底面ABCD ，OA =2 ，M 为OA 的中点.⑴求异面直线AB 与MD 所成角θ的大小；⑵求点B 到平面OCD 的距离d .POFEHGDBB C图 10 C A D 图 11 Q 如图 11 所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA =BP =BQ ，D,C, E, F 分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点，AQ =2BD ，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH⑴求证：AB / /GH ；⑵求二面角D -GH -E 的余弦值cosθ.如图 12，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC ，AB =AC =2 AA1，∠BAC =120o ，D, D 分别是线段BC, B C 的中点，P 是线段AD 的中点．1 1 1⑴在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD1A1；C⑵设⑴中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A -A1M -N 的余弦值cosθ．C1BA1B1图 123 FDCF例 13 、如图 13 ， 四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， BC = CD = 2 ， AC = 4 ，∠ACB = ∠ACD = π， F 为 PC 的中点， AF ⊥ PB ．3⑴求 PA 的长；⑵求二面角 B - AF - D 的余弦值cos θ ．PDAAC 图 13BBE图 14如 图 14, 矩 形 ABCD 和 梯 形 BEFC 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， BE / /CF ，∠BCF = ∠CEF = 90o ， AD = ， EF = 2 . ⑴求证： AE // 平面 DCF ；例 15 、如图 15，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，点 M 在线段 AB 1 上，求点 M 到直线 DA 1 的最小距离d .D 1C 1PA 1ABA图 15C图 16例 16 如图 16， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所长在的平面， C 是圆上的点B 1NDCM例 14 BB 1 ED图 19B 1⑴求证：平面 PAC ⊥ 平面 PBC⑵若 AB = 2 ， AC = 1 ， PA = 1，求二面角C - PB - A 的余弦值cos θ .例 17 、如图 17, 四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥ 平面 ABCD , AB = AA 1 = 2 . ⑴证明: A 1C ⊥ 平面 BB 1 D 1 D ；⑵求平面OCB 1 与平面 BB 1 D 1 D 的夹角θ 的大小.D 1C C C 1B1AB图 17A图 18A 1例 18 、如图 18，三棱柱 ABC - A B C中， CA = CB ， AB = AA ， ∠BAA = 60o .⑴证明 AB ⊥ A 1C ；1 1 1 1 1⑵若平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B ， AB = CB ，求直线 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值sin θ .如 图 19 ， 直 三 棱 柱 ABC - A 1 B 1C 1中 ， D 、E 分 别 是 AB 、BB 1 的 中 点 .AA = AC = CB =2 AB ，求二面角 D - A C - E 的正弦值sin θ .121A 1C 1A 1C 1ACABC 图 20BA 1B 1D O C例 19AD例 20 如图 20，在直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中，平面 A 1 BC ⊥ 侧面 AA 1 B 1 B⑴求证： AB ⊥ BC ；⑵若 AA 1 = AC = a ，直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为θ ，二面角 A 1 - BC - A 的大小为ϕ ，求证：θ + ϕ = π.2例 21 如图 21 所示，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形， ∠BCD = 60o ， E是CD 的中点， PA ⊥ 底面 ABCD ， PA = 3 . ⑴证明：平面 PBE ⊥ 平面 PAB ； ⑵求二面角 A - BE - P 的θ 大小.F PED CEA图 21B例 22 如图 22，平面 ABEF ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90o ， BC // AD 且 BC = 1 AD ， BE // AF 且 BE = 1AF ， G 、H 分2 2 别是FA 、FD 的中点.⑴证明：四边形 BCHG 是平行四边形；⑶设 AB = BE ，证明：平面 ADE ⊥ 平面CDE .例 23 、如图 23，四棱锥 S - ABCD 的底面是正方形，SD ⊥ 平面 ABCD ，SD = 2a ，AD =2a ，点 E 是 SD 上的点，且 DE = λa （ 0 < λ < 2 ）. ⑴求证：对任意的λ ∈ (0, 2] ，都有 AC ⊥ BE ；BGH⑵设二面角C - AE - D 的大小为θ ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为ϕ ，若tan θ tan ϕ = 1 ，求λ 的值.CA图 23⑴ 首尾接龙：如 AB= AC + CD + DE + EF + FG + GB . ⑵ 垂直向量点乘为0 ：如，若 AB ⊥ CD ，则 AB ⋅ CD = 0 . ⑶ 向量点乘公式：两个向量的点乘等于其各分量成积之和.如： a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ， b = (b 1 , b 2 , b 3 ) ，则a ⋅ b = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3⑷ 对直角三角形，斜边与直角边向量的点乘等于直角边的平方.如：如图，直角三角形 ABC 中， AB 为斜边. 则： AB ⋅ AC = AC 2 ， AB ⋅ BC = -BC 2⑸ 平面的法向量垂直于平面内的任何直线.⑹ 共面向量定理及推论，如：向量OA 、OB 、OC ，若点 P 在平面 ABC 上，则OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + y + z = 1⑺ 由平面外一点O 到平面内一点 P 的向量OP 与平面法向量ON 的点乘积绝对值等于点O2到平面的距离的平方，即： OP ⋅ ON = ON .⑻ 二面角可以转化为这两个平面法向量的夹角或补角. 上述技巧应用于立体几何，可以简洁明了的得到结果.23 个立体几何与空间向量专题(修正版)解析—tobeenoughC BASDB82 +62 82 + 1 ⨯ 622PEC O B例 1 、如图 1 所示，AF 、DE 分别是 O 、 P 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD = 8 .BC = AF ， AB = AC = 6 ， OE // AD . ⑴求二面角 B - AD - F 的大小ϕ ；D⑵求直线 BD 与 EF 所成的角θ 的余弦值cos θ . ；A因为直线 AD ⊥ O ，所以直线 AD 与平面 O 内的任何直线都垂直， 故： AD ⊥ AB ， AD ⊥ AF . 于是 ∠BAF 就是二面角 B - AD - F ，即： ∠BAF = ϕFB图 1在∆ABC 中， BC = AF 为 O 的直径，直径上的圆周角是直角，故∠BAC 为直角. 又 AB = AC = 6 ，故∆ABC 为等腰直角三角形，即∠OBA = 45o . 又OA = OB ，则∠OAB = ∠OBA = 45o . 故ϕ = ∠OAB = 45o . . 因为OE // AD ， AD ⊥ AO ， AD ⊥ DE D所以四边形 AOED 的四个角都是直角则： DE = OA 且 DE / /OAAF即： DE = OF 且 DE / /OF 故：四边形ODEF 为平行四边形则： DO / / EF 且 DO = EF ，故：θ = ∠BDODO = DA + AO =ϕ 2DB = DA + AB ， ， AO AB cos = AB 2则： DB ⋅ DO = (DA + AB )⋅ (DA + AO ) = 2 DA+ DA ⋅ AO + AB ⋅ DA + AB ⋅ AO2 = 2 2 21 2 2 1 2 DA + AB ⋅ AO = DA + AO = 8 + AB = 8 + ⨯ 6 = 82DB =DO = 2 2= = 10= = 我们采用向量方法：2 DA + AB 2DA + AO 282PECO ⑵求直线 BD 与 EF 所成的角θ 的余弦值cos θ ⑴求二面角 B - AD - F 的大小ϕ 解析21 2 2 DO 故： cos θ = BD ⋅ DO = - DB ⋅ DO = -DB DO DB DO本题答案：⑴ϕ = 45o ； ⑵ cos θ = -1082 . 10例 2 、如图 2，四面体 ABCD 中， O , E 分别是 BD , BC 的中点， CA = CB = CD = BD = 2 ，AB = AD = A⑴ 求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值cos θ ； ⑵ 求点 E 到平面 ACD 的距离d .；BC因为 AB 2+ AD 2= BD 2满足勾股定理图 2E所以∆ABD 为直角三角形，故 AB ⊥ AD 且OA = OB = OD = 1 . O 是 BD 的中点， ∆ABD 、∆CBD 为等腰三角形所以OA ⊥ BD ， OC ⊥ BD .又因为OA = 1 ， OC 2 = BC 2 - OB 2 = 3 ，则OA 2 + OC 2 = AC 2 满足勾股定理所以OA ⊥ OC .故： OA ,OD ,OC 互相垂直.AB = AO + OB ， CD = CO + OD 则： AB ⋅ CD = ( AO + OB )⋅ (CO + OD )= AO ⋅ CO + AO ⋅ OD + OB ⋅ CO + OB ⋅ OD2= - OD = -1AB = 2 ， CD = 2故： cos θ = AB ⋅ CDAB CD= - = 4空间两条直线所成的锐角或直角，称为空间两条直线所称的角. 因为不是钝角，所以上面求解公式直接加上了绝对值.我们采用向量方法：822 ⑴ 求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值cos θ解析3 3 ( 1 )2 + 12 + 12 3 3 3 ADO 图 2E CE = ( , - , 0) - ( 3,0,0) = (- , - . 由于OA ,OD ,OC 互相垂直，故建系方便.以O 为原点， OC ,OD ,OA 分别为 x , y , z 轴建立直角坐标系.则： O (0,0,0) ， C (故： B (0, -1,0) ， E (3,0,0) ， D (0, 1,0) ， A (0,0, 1)BC3 , - 1, 0) 2 2平面 ACD 的方程采用截距式方程为： x+ y + z = 1 ①1 1设平面 ACD 上的任意一点 P ( x , y , z ) ，则OP = ( x , y , z ) 1 点O 到平面 ACD 的垂直方向的向量OM = (, 1, 1)1 则： OP ⋅ OM = ( x , y , z )( , 1, 1) = x+ y + z ②由①②式可知： OP ⋅ OM = 1 是为常量 故： OM 为平面 ACD 的法向量.平面 ACD 的单位法向量为：= OM = 1 ( 1 , 1, 1) = 3 ( 1 , 1, 1) ③n而OM 7 3 1 3 1 2 2 2 2CE 在n 方向上投影的绝对值就是点 E 到平面 ACD 的距离d . 故： d = CE ⋅ n即： d =CE ⋅ n = 3 ( 1 , 1, 1) ⋅ (- 3 , - 1 , 0) = 3 ( 1 + 1 + 0) = 217 2 2 7 2 2 7 本题答案：⑴ cos θ =2 ； ⑵ d =421 .733 3 ⑵ 求点 E 到平面 ACD 的距离d , 0)2(- 3R )2 + (R )2 + 02 2 2zEGAD F yBC 例 3 、如图 3 所示，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径，∠ADB = 60o ，∠BDC = 45o ，PD 垂直于底面 ABCD ，PD = 2 2R ，E , F 分别是 PB ,CD 上的点，且PE = DF，过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于G ． EB FC⑴求 BD 与平面 ABP 所成角θ 的正弦值sin θ ； P⑵当PE = 1时，求∆EFG 的面积 S ． EB 2E已知 BD 是圆的直径，则∠BAD = 90o ， ∠BCD = 90oG 已知 PD 垂直于底面 ABCD ，则 PD ⊥ AB ， PD ⊥ AD A D AB = BD sin ∠ADB =BC = BD sin ∠BDC = 3R ， A D = BD cos ∠ADB = RBFC2R ， DC = B D cos ∠BDC = 2R 图 3；以 A 为原点、 AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、过 A 作 AZ / / DP 为 z 轴建立直角坐标系. 则： A (0,0,0) ， B ( 3R ,0,0) ， D (0, R ,0) ， P (0, R , 2 2R ) 平面 ABP 的方程采用斜率式得： z = 2 2 y P平面 ABP 上的某向量为OM = (0, 1, 2 2 ) ，其法向量为： = - 1ON (0, 1, )2 单位法向量为： = 1- 1 = 1 -n (0, 1, )ON 2 2 (0, 2 2 , 1) 3 x 向量 BD = (0, R ,0) - ( 3R ,0,0) = (- 3R , R ,0)图 3BD = = 2RBD 与平面 ABP 所成角θ 的正弦值sin θ ，等于 BD 与法向量n 所成角的余弦值绝对值. 1于是： BD ⋅ n = 3 (0, 2 2 , -1) ⋅ (-2 3R , R , 0) = 3 R2 2 R则： cos < BD , n >= BD ⋅ n= 3 = BD2R 3 2⑴求 BD 与平面 ABP 所成角θ 的正弦值sin θ 解析EDBG 1B 1BD , n 故 ： sin θ = cos < > = 2.3.已知 E , F 分别是 PB ,CD 上的点，且 PE = DF，过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于G ， EB FC即 EG / / BC .P由 EG / / BC 得 ： PG = PE ， 而 PE = DFGC EB故 ： PG = DF = PE =1GC FC EB 2EB FCEG由∆PEG ∽ ∆PBC 得： EG = PE = PE =1A DBC PB PE + EB 3 FBC则 ： EG = 1 BC ， G F = 2PD图 33 3由于 EG / / BC ， GF / / PD ， PD ⊥ BC ，所以GF ⊥ EG 于是， S = 1 EG ⋅ GF = 1 ⋅ ( 1 BC ) ⋅ ( 2 PD ) = 1BC ⋅ PD2 23 3 9将 BC = 2R ， PD = 2 2R 代入上式得： S = 1 BC ⋅ PD = 1 ⋅ ( 2R ) ⋅ (2 2R ) = 4 R 29 9 9本题答案：⑴ sin θ =2；⑵ S = 4R 2 . 3 9例 4 、如图 4，已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，点 E 是正方形 BCC 1B 1 的中心，点 F 、G 分别是棱D 1FC 1C 1D 1、AA 1 的中点．设点E 1、G 1 分别是点 E 、G 在 A 11平面 DCC 1 D 1 内的正投影(即垂足)．G⑴求以 E 为顶点，以四边形 FGAE 在平面 DCC 1 D 1 C内的正投影为底面边界的棱锥的体积V ； A ⑵求异面直线 E 1G 1 与 EA 所成角ϕ 的正弦值sin ϕ . ；EB 2⑵当PE = 1时，求∆EFG 的面积 S ⑴求棱锥的体积V 解析 E 图 42 AB 2 + BE 2 22 + 2 2 6 C 1AB图 52 四边形 FGAE 在平面 DCC 1 D 1 内的正投影为 FG 1 DE 1 ，由于G 1 , E 1 分别是 DD 1 ,CC 1 的中点，故棱锥 E - DG 1FE 1 的底面积为： SFG 1 DE 1= 1 S 2 DCC 1 D 1= 1⨯ 2 ⨯ 2 = 22棱锥 E - DG 1FE 1 的高为： EE 1 = 1 BC = 1⨯ 2 = 12 2则棱锥 E - DG 1FE 1 的体积为：V = 1S 3DCC 1 D 1⋅ EE 1 = 3 . 由于 E 1G 1 / / BA ，所以ϕ = ∠BAE而 BE = BC cos 45o =2 BC = ， AE = = = 2故： sin ϕ = sin ∠BAE =BE= = 3AE 3本题答案：⑴V = 2；⑵ sin ϕ = 3 . 3 3例 5 、如图 5，在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， AA 1C 1C 是边长为4 的正方形.平面 ABC ⊥平面AA 1C 1C ， AB = 3 ， BC = 5 .A 1B 1⑴求二面角 A 1 - BC 1 - B 1 的余弦值cos θ ；⑵证明：在线段 BC 1 存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ，并求 BD的值. BC 1；C 由于 AC = 4 ， AB = 3 ， BC = 5所以 AC 2 + AB 2 = BC 2 满足勾股定理，则 AC ⊥ AB 由 AA 1C 1C 是正方形，则 AA 1 ⊥ AC又平面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，则 AA 1 ⊥ 平面 AA 1C 1C ，故： AA 1 ⊥ AB 于是 AA 1 , AB , AC 互相垂直.以 A 为原点，以 AC , AB , AA 1 分别为 x , y , z 轴建立直角坐标系则 A (0,0,0) ， C (4,0,0) ， B (0, 3,0) ， A 1 (0,0, 4)6⑴求二面角 A 1 - BC 1 - B 1 的余弦值cos θ 解析 ⑵求异面直线 E 1G 1 与 EA 所成角ϕ 的正弦值sin ϕn , m n mn , m n (0, , ) (0, ,)m ( , , 0) ( , , 0)平面 A BC 的方程采用截距式得： y + z= 11 13 41 1 则平面 A BC 的法向量为： = 1 1AN (0, , ) 3 4其单位法向量为： = 1 1 1 = 12 1 1 = 1 (0, 4, 3) ①AN3 4 5 3 4 5平面 B BC 的方程采用截距式得： x + y= 11 14 31 1则平面 B BC 的法向量为： = 1 1AM ( , , 0) 4 3其单位法向量为： = 1 1 1 = 12 1 1 = 1 (3, 4, 0) ② AM 4 3 5 4 3 5 于是由①②得： cos < >= ⋅ = 1 (0, 4, 3) ⋅ 1 (3, 4,0) = 165 5 25 由于二面角 A 1 - BC 1 - B 1 是锐角， cos θ > 0故 ： cos θ = cos < >= 16.25.如图 5-1 所示，要使 AD ⋅ A 1 B = 0 ③A 1B 1采用空间向量法：设：BD = λ BC 1C 1则： AD = AB + BD = AB + λ BC 1A 1B = A 1 A + A B 2由于 AB ⋅ A 1 A = 0 ， AB= 32CBC 1 ⋅ A 1 A = (BB 1 + B 1C 1 )⋅ A 1 A 2= BB ⋅ A A + B C ⋅ A A = - A A = -42111 111BC 1 ⋅ AB = (BA + AC 1 )⋅ AB2= BA ⋅ AB + AC 1 ⋅ AB = - AB = -321 BC 11 ⑵证明：在线段 BC 存在点 D ，使得 AD ⊥ A B ，并求 BD的值 D AB图 5-1B 1D D 1B 1E 1DBE故： AD ⋅ A 1 B = ( AB + λ BC 1 )⋅ ( A 1 A + AB )2 = AB ⋅ A A + AB + λ BC ⋅ A A + λ BC ⋅ AB = 32 - 42λ - 32 λ1111代入③式得 32 - 42 λ - 32 λ = 0 ，即λ = 925由于 λ ∈ (0, 1) ，所以 D 点在 BC 之间，且 BD = 9= λ .BC 1 25 故：在线段 BC 存在点 D ，使得 AD ⊥ A B ，这时， λ = BD = 9证毕.1本题答案：⑴ cos θ = 16；⑵25BD BC 1 1= 9 . 25 BC 1 25 如图 6，在四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABCD , AB / /CD ， AA 1 = 1 ，AB = 3k ， AD = 4k ， BC = 5k ， DC = 6k , (k > 0) D 1 C 1若直线 AA 与平面 AB C 所成角的正弦值为 6，求1 1k 的值.7 A 1C先作 AE = DC ， CE = DA ， EE 1 / / B B 1 ，见图 6-1 由于 BE = AE - AB = DC - AB = 3k ， EC = AD = 4k ， BC = 5k故 BE 2 + EC 2 = BC 2 满足勾股定理，则 BE ⊥ CE 又侧棱 AA ⊥ 底面 ABCD ，则 EE ⊥ 底面 ABCDAB图 6C 1A 111故： EA , EC , EE 1 互相垂直.C以 E 为原点，分别以 EC , EA , EE 1 为 x , y , z 轴建立直角坐标系，则：E (0,0,0) ， C (4k ,0,0) ， A (0,6k ,0) ， E 1 (0,0, 1)A图 6-1平面 AB 1C 与三个轴的交点坐标分别是： C (4k ,0,0) ， A (0,6k ,0) ， F (0,0, 2)平面 AB C 的方程采用截距式得： x + y + z= 114k 6k 2平面 AB C 的法向量为： = ( 1 , 1 11EN , ) 4k 6k 2136 + 13 k 2 3 n , m而 EN = = 1 ① 12故平面 AB C 的单位法向量为： = 1 ( 1 , 1 11n EN , ) 4k 6k 2直线 AA 1 的单位法向量为： m = (0,0, 1)故 ： cos < >= 1 ( 1 , 1 1 ⋅ (0, 0, 1) = 1②n , m EN , ) 4k 6k 22 EN由直线 AA 与平面 AB C 所成角的正弦值为 6，即直线 AA 与平面 AB C 的法线所成角1 1 71 1的余弦值为 6，即： cos < >= 67 7则由②式得： 1 = 6 ， 即 = 7EN2 EN7 12= 7 ，即： 36 + 13 = 7 2 12 k 2 即： 13= 49 - 36 = 13 ，即： k 2 = 1 ，则k = ±1③k 2由于已知k > 0 ，故③式中取k = 1 . 本题答案： k = 1 .例 7 、如图 7, 在等腰直角三角形 ABC 中, ∠A = 90o , BC = 6 , D , E 分别是 AC , AB 上的点, CD = BE = 2 , O 为 BC 的中点.将∆ADE 沿 DE 折起,得到一个如图 7-1 所示的四棱锥 A '- BCDE ,其中 A 'O = ，求二面角 A '- CD - B 的余弦值cos θ .CO .BA 'DECO BA DE图 7图 7-1( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 4k 6k 2 112 36 + 13 k 23 33 5 >= ⋅ = m ( , ,m , n m n ( , , 先在图 7 中连结 AO ，交 DE 于F ，如图 7-2.由于 ABC 是等腰直角三角形， O 为 BC 的中点，故 AO ⊥ BC ， ∠C = ∠B = 45o 由于CD = BE = 2 ，故 DE / / B C ，即： AO ⊥ DE则： OF = CD sin 45o = 折纸后如图图 7-3.2 sin 45o= 1 ， AO = 1 BC = 3 ， AF = 2 .2 因为 A 'O = ， OF = 1 ， A ' F = 2 由于 A 'O 2 + OF 2 = A ' F 2 满足勾股定律 所以 A 'OF 为直角三角形，故： A 'O ⊥ OF 由于对称性， ∆A 'OC ≅ ∆A 'OB 即： A 'O ⊥ BC由于 A 'O 与平面 BCDE 内的两条相交直线垂直所以 A 'O ⊥ 平面 BCDE以O 为原点，分别以OC ,OF ,OA ' 为 x , y , z 轴建立直角坐标系.则： O (0,0,0) ， C (3,0,0) ， F (0, 1,0)A '(0,0, 3 ) ， A (0, 3,0)其中OA ' 为平面 BCDE 的法向量，其单位法向量为： n = (0,0, 1) ①平面 ADC 与三个轴的交点分别是C , A , A ' ， 由截距式可得平面 ADC 的方程： x + y + z= 13 3平面 ADC 的法向量为： OM = 1 1 1 ( , , 3 3 ) ， OM = = 53其单位法向量为： = 1 1 1 1) ②OM 3 3由①②得： cos < 1 1 1 1 ) ⋅ (0, 0, 1) = 1 = 3 = 15OM 3 3 OM 5故：二面角 A '- CD - B 的余弦值cos θ =155 3( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 3 3 3 3 3 3 图 7-2AEFDBO C图 7-3EFDBOCA’解析PEF QCDQ CP 本题答案： cos θ =15 . 5例 8 、如图 8，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 A , B 的点，直线 PC ⊥ 平面 ABC ，E , F分别是 PA , PC 的中点.⑴记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明；⑵设⑴中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ，且点 Q 满足 = 1. 记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ ，异面直 2 线 PQ 与 EF 所成的角为α ，二面角 E - l - C 的大小为β ， 求证： sin θ = sin α sin β .图 8l 与平面 PAC 平行，证明如下 EF 为∆PAC 的中位线，故 EF // AC ；根据直线与平面平行的判定定理：平面外一直线只要与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 故： EF // 平面 ABC .根据直线与平面平行的性质定理：若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 故： EF / /l .根据平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 故： l // AC . 根据直线与平面平行的判定定理得： l // 平面 ABC . 证毕.由于θ 为直线 PQ 与平面 ABC 所成的角， 而直线 PC ⊥ 平面 ABC ，故： sin θ =PF=PC①由 PQ 与 EF 所成的角为α ， PQ 2PQ1 1 AB因 为 PF = 2 PC ， QD = 2PC ，所以 PF = QD ，则 PQDF 为平行四边形.D图 9-1⑵求证： sin θ = sin α sin β ⑴试判断直线l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明；解析故： PQ = FD ，α = ∠EFD由⑴得 EF / / DB ，故: ∠BDF = ∠EFD = α ② 由 DB / / E F / / AC ，及 AC ⊥ BC 得： DB ⊥ BC 由 PC ⊥ 平面 ABC 得： PC ⊥ DB故 DB ⊥ 平面 PCB ，则： DB ⊥ FB ， ∆DBF 为直角三角形 ③ 由②③得： sin α =FB =FB ④FDPQ由于 DB ⊥ 平面 PCB ，所以β = ∠FBC 则 ： sin β = FC =PC⑤FB 2FB 由④⑤得： sin α sin β =FB ⋅ PC =PC⑥PQ 2FB 2PQ由①⑥得： sin θ = sin α sin β . 如图 9，在三棱锥 S - ABC 中，平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， AB ⊥ BC ， AS = AB ，过 A 作AF ⊥ SB ，垂足为F ，点 E ,G 分别是棱 SA , SC 的中点. 求证：⑴平面 EFG // 平面 ABC ；⑵ BC ⊥ SA .；已知 AS = AB ，AF ⊥ SBCAF 为∆SAB 底边 SB 的 中线，即F 为 SB 的中点.由于点 E ,G 分别是棱 SA , SC 的中点， 故FG , EG 分别为∆SBC , ∆SAC 的中位线， 则： FG / / BC ， EG // AC根据直线与平面平行的判定定理：平面外一直线只要与此平面内的一条直线平行，则故： FG // 平面 ABC ， EG // 平面 ABC .根据平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，故：平面 EFG // 平面 ABC . ⑴求证平面 EFG // 平面 ABC 图 9AM 2 + AD 2 2 2 AM 2 + AC 2 1 + 2 - 2 3 - 2 2 + 1 - (3 - 2 ) 2 ⋅ 2 ⋅ 1θ因为已知平面 SAB ⊥ 平面 SBC ，且 AB ⊥ BC 而 AB 为平面 SAB 与平面 SBC 的交线.根据平面与平面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 故 BC ⊥ 平面 SAB根据直线与平面垂直的定义： BC ⊥ SA . 证毕.例 10 、如图 10，在四棱锥O - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为1 的菱形， ∠ABC = π, OA ⊥ 4底面 ABCD ， OA = 2 ， M 为OA 的中点. ⑴求异面直线 AB 与 MD 所成角θ 的大小； ⑵求点 B 到平面OCD 的距离d .因为底面 ABCD 是边长为1 的菱形，故： DC // AB 1则 ：θ = ∠MDC ， AM = OA = 12在∆MAD 中，由于OA ⊥ 底面 ABCD ，故： AM ⊥ AD则： MD = = ① 连结 AC ，在∆ABC 中，由余弦定理得：AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB ⋅ BC ⋅ cos ∠ABCD B图 10C= 1 + 1 - 2 cos π 4= 2 - ②在∆MAC 中，由于OA ⊥ 底面 ABCD ，故： AM ⊥ AC则： MC = = = ③在∆MCD 中，由余弦定理得：MD 2 + CD 2 - MC 21cos == =故：θ = π32MD ⋅ CD2.⑵求证 BC ⊥ SA 解析 ⑴求异面直线 AB 与 MD 所成角θ 的大小；O M A ⑵求点 B 到平面OCD 的距离d12 +12 + ( 1 )2 2B(sin , cos , 0)n BC n (1, 1, )在平面ABCD 内过A 作AE ⊥AD以A 为原点，分别以AE, AD, AO 为x, y, z 轴建立直角坐标系.则：A(0,0,0) ，π-π即B(2 , -2 , 0) ，4 4 2 2D(0, 1,0) ，O(0,0, 2)那么，DC 延长线与x 轴的交点坐标为：F(1,0,0)平面OCD 的方程由截距式得到：x +y +z =1 ④1 1 2平面OCD 的法向量为：AN =1 (1, 1, )23 AN ==2其单位法向量为：=1 1=1(2, 2, 1) ⑤AN 2 3向量BC =AD = (0, 1,0)故：d =⋅=1(2, 2, 1) ⋅(0, 1,0) =23 3本题答案：⑴θ=π3；⑵ d =2 .3例 11 如图 11 所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA =BP =BQ ，D,C, E, F 分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点，AQ =2BD ，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH⑴求证：AB / /GH ；⑵求二面角D -GH -E 的余弦值cosθ.⑴求证：AB / /GH因为D,C 分别是AQ, BQ 的中点，所以DC 是∆QAB 的中位线，则：DC // AB 因为E, F 分别是AP, BP 的中点，所以EF 是∆PAB 的中位线，则：EF // ABPFEHBGCA D图 11Q根据平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.C图 10EBD AMO解析( 2 )2 + ( 1 )2 k k5 F E HB GC k则： AB / / EF / / DC .根据直线与平面平行的判定定理：平面外一直线只要与此平面内的一条直线平行，则 . 则： DC // 平面QEF .根据直线与平面平行的性质定理：若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 则： DC / /GH .根据平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 则： AB / /GH . 证毕..因为 D 是 AQ 的中点，所以 AD = DQ = 1AQ = BD2 则 B 点在以 AQ 为直径的圆周上，故 AB ⊥ BQ 又已知 PB ⊥ 平面 ABQ ，则 AB ⊥ BP ， BQ ⊥ BP P故： BA , BQ , BP 互相垂直.设 BA = BP = BQ = k ，以 B 为原点， 分别以 BA , BQ , BP 为 x , y , z 轴建立直角坐标系. 则： B (0,0,0) ， A (k ,0,0) ， Q (0, k ,0) ， P (0,0, k ) 中点C (0, , 0) ， 2k F (0, 0, )2 AD 图 11Q平面 PCD 的方程采用截距式得： y + z= 1 ，k k 2即 ：2 y + z = 1 k k平面 PCD 的法向量为： BM =2 1(0, , ) k k 则： BM = = k⑵求二面角 D - GH - E 的余弦值cos θ 平面与此平面的交线与该直线平行 该直线与此平面平行 ①D A•PD 1 θ ⋅ = - 平面QEF 的方程采用截距式得： y + z= 1k k2即 ： y + 2z = 1k k平面QEF 的法向量为： BN =1 2(0, , ) k k 则 ： BN == 5k于是，二面角 D - GH - E 的余弦值cos θ 为： BM ⋅ BNk 2cos = - = -2 1 1 2 4 (0, , ) (0, , ) BM BN5 k k k k 5本题答案：⑴证毕； ⑵ cos θ = - 4.5例 12 、如图 12，在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中，侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABC ， AB = AC = 2 AA 1 ，∠BAC = 120o ， D , D 分别是线段 BC , B C 的中点， P 是线段 AD 的中点．11 1⑴在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A 1 BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥ 平面 ADD 1 A 1 ；⑵设⑴中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求 C 二面角 A - A 1 M - N 的余弦值cos θ ．C 1 因为已知 AA 1 ⊥ 底面 ABC ，故 AA 1 ⊥ l ； 又已知 AB = AC ，故∆ABC 为等腰三角形； 而已知D 是线段 BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，得 AD ⊥ BC ；又因为直线l / / BC ，故 AD ⊥ l .BA 1B 1图 12根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直. 故直线l ⊥ 平面 ADD 1 A 1 . 证毕.( 1 )2 + ( 2 )2 k k ⑴证明直线l ⊥ 平面 ADD 1 A 1 ；解析 ①5 3FDNA D •P x MBD 1 A 1B 11cos < 11 ． C 已知∠BAC = 120o ，故∠CAD = ∠DAB = 60o以 A 为原点，以 AD 为 x 轴、以过 A 且与CB 平行方 向为 y 轴、以 AA 1 方向为 z 轴建立直角坐标系. C 1如图 12-1 所示，设 AA 1 = 1 ，则 AB = AC = 2 AM = AN = 1AB = 12yz 图 12-1于是， A (0,0,0) ， A (0,0, 1) ， M (cos 60o ,sin 60o ,0) 即 1M ( , , 0) ， N ( , - , 0)平面 AA M 方程采用斜率式得： y = x tan 60o= 2 2 2 23x ，即： 3x - y = 0平面 AA 1 M 的法向量为： AU = ( 3, -1,0)其单位法向量为： = 1 ( 3, -1, 0) = 1 ( 3, -1, 0) ① uAU2 平面 NA 1 M 的方程采用截距式得：x cos 60o + z = 1 ，即： 2 x + z = 11 平面 NA 1 M 的法向量为： AV = (2,0, 1)其单位法向量为： = 1 (2, 0, 1) = 1(2, 0, 1) ②vAV 这两个平面的法向量的夹角余弦值为：u , v >= u ⋅ v = ( 3, -1, 0) ⋅ 1 (2, 0, 1) = ⋅ 2 =2 故：二面角 A - A 1 M - N 的余弦值cos θ = 15 . 510 5 P本题答案：⑴证毕； ⑵ cos θ =15 .5例 13 、如图 13，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ，BC = CD = 2 ， AC = 4 ，∠ACB = ∠ACD = π， F 为3 AC PC 的中点， AF ⊥ PB ．图 13B3 3 5 5 15 ⑵求二面角 A - A 1 M - N 的余弦值cos θ 13AF AC AB = AB 1 ⑴求 PA 的长；⑵求二面角 B - AF - D 的余弦值cos θ ．因为 BC = CD ， ∠ACB = ∠ACD ， PA ⊥ 底面 ABCD ，所以 PAC 为对称平面.由于 BC = 2 ， AC = 4 ， ∠ACB = π ，所以∠ABC = π ，同理∠ADC = π3 2 2采用向量法： = 12( AC + AP ) ， PB = PA + AB ， AF ⊥ PB 则： AF ⋅ PB = ( AC + AP ) ⋅ (PA + AB )2= ( A C ⋅ PA + AC ⋅ AB + A P ⋅ PA + AP ⋅ AB ) = 0 ① 2因为 PA ⊥ 底面 ABCD ，所以 AC ⋅ PA =0 ， AP ⋅ AB =0 ； 因为∠ABC = π，所以 ⋅ 2 ；2 2 而 AP ⋅ PA = - PA . 2 代入①式得：2 πAB故 ： PA = 2 3 .- PA = 0 ，即： PA = AB = AC sin = 23.由于对称， PAC 为对称平面，我们先求一半角，即求二面角ϕ = B - AF - C . 过F 作FE / / PA ，交 AC 于 EP 以 E 为原点，以 EC 为 x 轴，以在底面 ABCD 中垂直 于 EC 的方向为 y 轴，以 EF 为 z 轴建立直角坐标系. 如图 13-1 所示，则： E (0,0,0) ， A (-2,0,0) ，G (0, - AE tan π , 0) 即G (0, - 2 3, 0) ， F (0,0, 3 )6 3A平面 BAF 与三轴的截距分别是： -2, -2 3 , 图 33 ⑴求 PA 的长；zFyD G •EC x13-1B⑵求二面角 B - AF - D 的余弦值cos θ 解析 13 3 EN>= ⋅ =采用截距式得平面 BAF 的方程为： x+-2y+ z = 1 - 2 3 3则平面 BAF 的法向量为： = (- 1 , - 3 , 1)2 2 EN =平面 BAF 的单位法向量为： = 1 (- 1 , - 3 , 1 ) = (- 3 , - 3 1nEN 2 2 , ) 4 4 2平面CAF 的单位法向量为： m = (0, -1,0)故： cos ϕ = cos < (- 3 , - 3 1⋅ (0, -1, 0) = 3n , m n m , ) 4 4 2 4于是： cos θ = cos 2ϕ = 2 cos 2 ϕ - 1 = 2 ⋅ ( 3 )2 - 1 = 14 8 本题答案：⑴ PA = 2 3 ； ⑵ cos θ = 1.8例 14 、如图 14,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE / /CF ，∠BCF = ∠CEF = 90o ，AD = ，EF = 2 . ⑴求证： AE // 平面 DCF ；A ⑵ 当 AB 的长为何值时, 二面角 A - EF -C 的大小为⑴求证： AE // 平面 DCF ；过 E 作 EG / / BC 交CF 于G ，如图 14-1 所示又已知 BE / /CF ，即： BE / /CG根据平行四边形判定法则三对一组平分线三对：两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组 A对角分别相等； 一组：一组对边平行且相等； B平分线：对角线互相平分.DCFE图 143 3 3 3 DCGFE 图 14-1解析 (- 1 )2 + (- 3 )2 + ( 1 )2 = 1 + 3 + 1 = 22 23 34 4 3 3满足上述条件之一的四边形，就是平行四边形. 这里满足两组对边分别平行，故 BEGF 为平行四边形又已知∠BCF = 90o ，故 BEGF 为矩形，则： EG = BC 因为 ABCD 为矩形，所以 AD / / BC ， AD = BC 根据平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行. 故： AD / / EG又因为 EG = BC ， AD = BC ，所以 AD = EG在四边形 AEGD 中，根据平行四边形判定法则三对一组平分线这里是一组对边平行且相等，所以 AEGD 为平行四边形 故： AE / / DG根据直线与平面平行的判定定理：平面外一直线只要与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 而 DG 在平面 DCF 内， 所以 AE // 平面 DCF . 证毕.延长 FE 与 CB 的延长线相交于 K ，如图 14-2 所 示 . 已 知 ∠BCF = ∠CEF = 90o ， DAD = 3 ， EF = 2A C则： BC = 3 ， E G = 3 ， FG = 1 BG由cos ∠EFG = FG = EF得：EF CFFEF 2 22KE 图 14-2CF = = = 4FG 1BE = CG = CF - GF = 4 - 1 = 3 由tan ∠BKE =BE= CF 得 ： KB + BC = CF = BE + GF KB KB + BC KB BE BE即：BC = GF ，则： KB = BC BE = 3 ⨯ 3 = 3 KB BE FG 1以 B 点为原点，分别以 BK , BE , BA 为 x , y , z 轴建立直角坐标系.⑵当 AB 的长为何值时,二面角 A - EF - C 的大小为60o ？ 33 3 34 + 1 27 a 2 3 BN , m⋅ = ⋅ = ⋅ = (则： B (0,0,0) ， K (3 3,0,0) ， E (0, 3,0) ， A (0,0, a ) 其中， AB = a由截距式得平面 KAE 的方程为： x+ y + z = 13 a平面 KAE 的法向量为： = ( 1 1 1BN = BN , , )3 3 a=①平面CEF 的单位法向量为： m = (0,0, 1)当< BN , m >= 60o时， cos < >= 12 即 ： BN 1，即： 1 ②m BN2 BN m BN 2 而： 1 1 1 = 1③ BN m , , )(0, 0, 1) 3 3 aa 由①②③得： 1 = 1 ⋅ 即 ： 4 = 4 + 1 ， 即 ： 3 = 4a 2 即： a 2 =81 ，则： a = 9a 2 27 a 2 a 2 27 4 2本题答案：⑴证毕； ⑵ AB = 9.2例 15 、如图 15，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，点 M 在D 1C 1线段 AB 1 上，求点 M 到直线 DA 1 的最小距离 A 1d ..就是同时垂直于 AB 1 和 DA 1 并与之相交的线 段. 设立方体边长为1 ，以 A 为原点，分别以 AAB , AD , AA 1 为 x , y , z 轴建立直角坐标系.图 15B则： A (0,0,0) ， A 1 (0,0, 1) ， B (1,0,0) ， B 1 (1,0, 1) ， D (0, 1,0) ， D 1 (0, 1, 1) 向量 AB 1 = (1,0, 1) ， DA 1 = (0, -1, 1)( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )23 3 3 a 274 + 1 a 2 B 1NDCM 求点 M 到直线 DA 1 的最小距离d 解析m 2 + (n - 1)2 + (m - n )23 ⑴求证：平面 PAC ⊥ 平面 PBC 设 AM = m AB 1 ， m ∈[0, 1] ，则线段 AB 1 上的 M 点的坐标为 M (m ,0, m ) 设 DN = nDA 1 ， n ∈[0, 1]，则线段 DA 1 上的 N 点的坐标为 N (0, 1 - n , n )故向量 NM = (m , n - 1, m - n ) ，则： MN = ①当 NM ⊥ AB 1 ， NM ⊥ DA 1 时 ， MN 故 由 NM ⊥ AB 1 得 ： NM ⋅ AB 1 = 0= d 为最短距离. 即： (m , n - 1, m - n )⋅ (1,0, 1) = 0 ，即： m + m - n = 0 ，即： n = 2m ② 由 NM ⊥ DA 1 得： NM ⋅ DA 1 = 0即： (m , n - 1, m - n )⋅ (0, -1, 1) = 0 ，即： 1 - n + m - n = 0 ，即： 2n - m = 1 ③ 将②代入③得： 3m = 1 ，即： m =1 ④3将④代入②得： n = 2m = 2 ⑤3将④⑤代入①得： = d = MN == 3.则如果正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的边长为a ，则d =3 a .3本题答案： d =3 a .3例 16 如图 16， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所长在的平面， C 是圆上的点.⑴求证：平面 PAC ⊥ 平面 PBC ； ⑵若 AB = 2 ， AC = 1 ， PA = 1，求二面角 PC - PB - A 的余弦值cos θ .；因为已知 PA 垂直圆所长在的平面所以 PA ⊥ BC又因为 AB 是圆的直径， C 是圆上的点. 根据直径上的圆周角是直角得： AC ⊥ BCABC图 16m 2 + (n - 1)2 + (m - n )2 ( 1 )2 + ( 2 - 1)2+ ( 1 - 2 )2 3 3 3 3 解析32 23 2 2A 故： PA ⊥ BC ， AC ⊥ BC根据平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 而平面 PBC 过 BC ，故平面 PAC ⊥ 平面 PBC . 证毕. ⑵求二面角C - PB - A 的余弦值cos θ . 以 A 为原点，以过 A 点的切向为 x 轴，以 zPAB 向为 y 轴，以 AP 向为 z 轴建立直角坐 标系，如图 16-1 所示.已知： AB = 2 ， AC = 1 ， PA = 1yB则： BC = AB 2 - AC 2= 3AC ADDC图 16-1tan ∠ABC = =BC AB故 ： AD = ACAB = BC则： A (0,0,0) ， D (22, 0, 0) ， B (0, 2,0) ， P (0,0, 1)由截距式得平面CPB 的方程为：x+ y + z= 1 ，即： 3 x + y + z = 1 2 2 1 2 2 3则平面CPB 的法向量为： = ( 3 1AN =AN , , 1)2 2 =于是平面CPB 的单位法向量为： = 1 ( 3 1= 1 ( 3, 1, 2)nAN , , 1) 2 2 2平面 APB 的单位法向量为： m = (1,0,0) 所以二面角C - PB - A 的余弦值cos θ 为：cos θ = n ⋅ m =1( 3, 1, 2) ⋅ (1, 0, 0) = = 4本题答案：⑴证毕； ⑵ cos θ =6 .43 4 43 + 1+ 1 2 2 6 x例 17 、如图 17, 四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥ 平面 ABCD , AB = AA 1 = 2 .D 1C⑴证明: A 1C ⊥ 平面 BB 1 D 1 D ；⑵求平面OCB 1 与平面 BB 1 D 1 D 的夹角θ 的大小.因为 ABCD 是正方形，其对角线互相垂直. AB又 A 1O ⊥ 平面 ABCD ，故OB ,OC ,OA ' 互相垂 直.图 17以O 为原点，分别以OB ,OC ,OA ' 为 x , y , z 轴建立直角坐标系. 由 于 AB = AA 1 = 2 ， OB ,OC ,OA ' 互相垂直， 所以OA = OB = OC = OA 1 = 1则： O (0,0,0) ， B (1,0,0) ， C (0, 1,0) ， A 1 (0,0, 1) ， A (0, -1,0) 于是： AB = (1,0,0) - (0, -1,0) = (1, 1,0) ， OA 1 = (0,0, 1) 则： OB 1 = OA 1 + A 1 B 1 = OA 1 + AB = (0,0, 1) + (1, 1,0) = (1, 1, 1) 故向量： OB = (1,0,0) ， OB 1 = (1, 1, 1) 而向量： A 1C = (0, 1,0) - (0,0, 1) = (0, 1, -1)则： A 1C ⋅ O B = (0, 1, -1) ⋅ (1,0,0) = 0 ，即： A 1C ⊥ OB ； 且： A 1C ⋅ O B 1 = (0, 1, -1)⋅ (1, 1, 1) = 0 ，即： A 1C ⊥ OB 1 .根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则 故： A 1C ⊥ 平面 BB 1 D 1 D . 证毕.. 由⑴知， A 1C 为平面 BB 1 D 1 D 的法向量.而 A 1C = (0, 1, -1) ， A 1C = AA 1 = ⑴证明: A 1C ⊥ 平面 BB 1 D 1 D ； 解析 2A 1B 1D O C⑵求平面OCB 1 与平面 BB 1 D 1 D 的夹角θ 的大小 该直线与此平面垂直。
空间向量复习精选例题(含答案解析)
∴二面角 B1-BE-F 的大小为 arccos(
2 )。 3
（4）∵ GD1 =(-1，0，2)，而 GD1 n1 =-2+0+2=0，
z D1 A1 F E B1 C1
∴直线 GD1∥平面 BEFD。 （5） DD1 =(0，0，2)， | n1 | 4 4 1 3 ， ∴ n1 的单位向量为(
空间向量
2 2 2 0， 0 0 0， 0 设 AB a ，则 A 2 a， ，B 0，2 a， ，C 2 a， ． 设 OP h ，则 P(0， 0，h) ． 2 1 a ， 0 ， h ． ∵ D 为 PC 的中点，∴ OD 4 2 2 1 PA 0， h 2 a， ，∴ OD 2 PA ．
∵ PA n1 2 2 0, PA n1，又PA 平面BDE, PA // 平面BDE. （2）由（Ⅰ）知 n1 (1, 1,1) 是平面 BDE 的一个法向量， 又 n 2 DA (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量. 设二面角 B—DE—C 的平面角为 ，由图可知 n1 , n 2
（2） DA =（2，0，0） ，设 DA 与面 EFG 所成的角为θ， 则 sin
∴直线 C1D 与平面 A1C1B 的所成角为 arcsin
| DA n | 4 21 4 21 = ，∴ arcsin 21 21 | DA || n |
（2）平面 A1C1B 的法向量 n =(2，1，2)，平面 AA1C1C 的法向量 n ' =(2，1，0)， 设二者夹角为θ ，∴ cos
∴ cos PA ，n PA ·n PA n 210 ． 30
空间向量练习及答案解析
空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。
(完整版)空间向量小题(答案)
第3章（考试时间90分钟，满分120分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 .设 a = （x, 2y, 3） , b = （1,1,6），且 a // b ,则 x + y 等于（ ）1A. 2C.23解析： T a // b ,「. x = 2y = 6,3•••x +y= 4.答案： B2 .若 a = （0,1，- 1）, b = （1,1,0） ，且（a +入b ）丄a ,则实数入的值是（A . - 1 D.— 2解析： a + 入 b = （0,1 , — 1） + （入，入，0）=（入，1 + 入，一 1）, 因为（a + 入b ） • a =（入，1+ 入，一1） • （0,1，— 1） =1 + 入 + 1 = 2 + 入=0, 所以X = — 2. 答案： D23 .若向量（1,0 , z ）与向量（2,1,0）的夹角的余弦值为——，则z 等于（ ）A . 0B . 12 ______ 1 + z 2 •1 = . 1 + z 2,「. z = 0. 答案： A4.若 a =e 1 + e 2+ e 3, b = e 1 — e 2— e 3, c = e 1 — e 2, d = 3e 1 + 2e 2 + e 3（｛e 1, e 2, e 3｝为空间的一■解析：由题知——2,寸1+ Z 2.^5yJ 5C.— 1D. 2 B .4 D. 2B . 0C. 1x= 21个基底），且d = xa + yb + zc ,贝U x , y , z 分别为（)5 B. J ，A C = X B+B CT CC=AB+ B C- c T C,所以 x = 1,2 y = 1,3 z =— 1, 1 1所以 x = 1, y = 2 z = — 3,C -2,i 2, 1D .5，解析:d =xa + yb + zc = x (e i + e ?+ e 3)+ y (e i — e 2— e 3)+ z (e i — e 2).f5 3••• {x + y + z = 3, x — y — z = 2, x — y = 1,/• x =㊁, y = 2， z =— 1答案： A5.若直线l 的方向向量为a = （1 , — 1,2），平面a 的法向量为U = （ — 2,2 , — 4），则（ ） A . l //a C. l ?aB . l 丄 a D. I 与a 斜交解析： ■/ u =— 2a ,「. u // a ,• l 丄 a ，故选B. 答案：BABC — A B' C' D 中，若 AC = x XB+ 2y B C > 3zC ^ C,贝U x + y + z 等A . 17 B.7C.6解析:如图,6 .在平行六面休答案：B成的角的余弦值为(A』10C迈.10答案：C8.已知空间四个点A(1,1,1),耳一4,0,2) , q —3, - 1,0),D( —1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A. 60°C. 30°解析：设门=(x, y, 1)是平面ABC的一个法向量.1 3一4x - 2y—2= 0, • x = 2，y=- 2,72 1 ,贝U sin 0 == 7 = 2, - 0= 30° .故选 C.I AD I n| 7 2答案：C9•在正方体ABC—ABCD中，平面ABD与平面CBD所成二面角的余弦值为1A.—2解析:2 3• n= 2，一2, 1 .••• AB= ( - 5, - 1,1) ,AC= (—4,—2，一1),又AD= ( —2, —1,3) ，设AD与平面ABC所成的角为0 ,7 .已知正四棱柱ABC B ABCD中，AA= 2AB E为AA的中点，则异面直线BE与CD所1B.53D.—5解析：以DA DC DD所在直线为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0),曰1,0,1) ，C(0,1,0)，D(0,0,2).•- Bfe= (0，- 1,1) ,CD= (0，- 1,2).• cos〈BE CD〉BL CDI B E i CD| .2x )5B. 45°D. 90°••• { —5x—y + 1 = 0,I AD •叫1B.-3—— 14,/：/A以点D 为原点，DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 则 AC= ( — 1,1 , - 1) , AC = ( — 1,1,1).又可以证明 AC 丄平面BCD, AG 丄平面ABD,又cos 〈AC , AC 〉=亍 结合图形可知平面31ABD 与平面CBD 所成二面角的余弦值为故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为 1的正方体ABC — ABCD 中，E 、F 分别 为棱AA 、BB 的中点，G 为棱AB 上的一点，且 A G= X (0 w 入w 1 )，则 点G 到平面DEF 的距离为()A. .''3B 冷解析： 因为 A 1B 1// EF, G 在 AB 上，所以G 到平面DEF 的距离即为 A 到平面DEF 的距离, 即是A 到DE 的距离，DE^V ：5,答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•请把正确答案填在题中横线上 )11•若 a = (2 , - 3,5) , b = ( — 3,1 , - 4)，则 | a - 2b | = ___________ . 解析： 因为 a — 2b = (8 , — 5,13), 所以 | a — 2b | = ；82 + — 5 2 + 132= ,-'258. 答案：.'25812.设 a = (2 , — 3,1) , b = ( — 1 , — 2,5) , d = (1,2 , — 7) , c 丄 a , c 丄 b ,且 c • d =10 ,则c =解析： 设 c = (x , y , z ),D. '5 ~5由三角形面积可得所求距离为f.故选D.11X22根据题意得｛2x — 3y + z = 0, x — 2y + 5z = 0, x + 2y — 7z = 10.-5 -13•直角△ ABC 勺两条直角边 BC= 3, AC= 4, P®平面ABC PC=舟，则点P 到斜边AB 的5距离是 ________解析：则 A (4,0,0) ，B (0,3,0) ，P 0，0，5 ,所以 AB= ( — 4,3,0),T 9 AP= — 4, 0, 5 ,1 1 7因此 x + y + z = 1 + ^ — 3 = 6*所以AP 在AB 上的投影长为I Ak AB I AB16~5，所以P 到AB 的距离为答案： 325625=3. 65 解得x =祛答案:65 12,15 5 15以C 为坐标原点,。
(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。
空间向量练习及答案解析
空间向量练习及答案解析1.已知平面α的一个法向量为(2,-1,1)，且α∥β，则平面β的一个可能的法向量是哪个？A。
(4,2,-2) B。
(2,0,4) C。
(2,-1,-5) D。
(4,-2,2)2.在如图所示的正方形ABCD中，过点A作线段EA垂直于平面AC，若EA=1，则平面ADE和平面BCE所成的二面角大小是多少？A。
120° B。
45° C。
150° D。
60°3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,2)，向量c=(1,1,2)，点Q在直线OP上移动，当a·Q+b·Q取得最小值时，点Q的坐标是多少？A。
B。
C。
D.4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直角二面角A-BD-C，以下哪个结论是错误的？A。
AC⊥BDB。
△ACD是等边三角形C。
∠ABC与平面BCD所成的角为60°D。
∠ABD与CD所成的角为60°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E和F分别是棱AB和BB1的中点，直线EF和BC1的夹角是多少？A。
45° B。
60° C。
90° D。
120°6.在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设∠AOM=a，∠BOM=b，∠CON=c，则a+b-c等于多少？A。
a+b-c B。
-a+b+c C。
a-b+c D。
a+b-c7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB1和D1E所成角的余弦值是多少？A。
B。
C。
- D。
-8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱CC1、BC和A1B1上的点，若∠B1MN=90°，则∠PMN的大小是多少？A。
等于90° B。
小于90° C。
(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。
空间向量基本定理(经典练习及答案详解)
1.2 空间向量基本定理课后篇巩固提升1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +cC 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23cB.23a -12b +23cC.-13a +12b -23cD.13a +12b -13cMA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16cOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a 12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ). 13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k ,GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k , ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k .∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。
空间向量立体几何(绝对经典)
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。
n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
空间向量例题及解答
C空间向量及其坐标运算例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+- B ．++2121C ．1122a b c -- D ．+--2121练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b求y x ,的值.练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =练习2：下面命题正确的个数是 （ ）①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，那么点M 一定在 平面内例3：已知4,135,λ===⊥a b m =a +b,n =a +b,a,b m n ，则λ=练习1：若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则|OA -OB +2OC |＝C1练习2：若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b的夹角为____________。
空间向量经典例题
题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +- ，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（ ）。
()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。
②③正确。
题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则下列向量中与相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()D c b a +-2121 解析：显然=+-=+=111)(21AA B BB BM 1122a b c -++ ；答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值.解： a ∥b ,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++ 又p n m ,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x y x 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1AA ===则C1CC DC AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB DC =+=+,∴11,,DC AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.。
高考数学空间向量例题
1(2019辽宁理19））已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N（12,0,0），S （1,12,0）因为110022CM SN •=-++=， 所以CM ⊥SN .【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2019天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛⎫=--⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=所以AF ⊥平面1A ED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例 3 （2019年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)，∴EG =(-1,0,12),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG •m =12x z -+=0且GF •m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）,易证面PDC 的法向量为DA=(2,0,0), ∵DA •m =200100⨯+⨯+⨯=0,∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2019 湖南理18）在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。
空间几何与向量练习题及解析
空间几何与向量练习题及解析一、选择题1. 已知向量A = 3A + 2A− A，向量A= −2A + A + 3A，求A与A的数量积A·A的值为：A. 1B. -1C. -10D. 10解析：数量积公式为：A·A = AAAA + AAAA + AAAA，其中AA、AA、AA分别表示向量A和A的A、A、A分量的乘积。
带入已知的A和A的分量进行计算：A·A = (3)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -6 + 2 - 3 = -7答案：选项A. 12. 在空间直角坐标系中，已知点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)，向量A的末端与向量A的起点重合，A·A的值为：A. 3B. 17C. 11D. -9解析：点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)可以确定唯一的向量A和A。
根据数量积A·A的定义，可以先求出A和A的分量，然后进行运算：A·A = (2)(-1) + (1)(4) + (3)(2) = -2 + 4 + 6 = 8答案：选项B. 17二、填空题1. 设向量A = 2A + 3A− A，向量A = 4A + A，若A = A + AAA，则A和A分别为______、______。
解析：根据已知条件，A的A分量为-1，而A的A分量为1。
因此A = 4，A = -1。
答案：4、-12. 已知点A(1, 2, 3)和点A(4, -1, -2)，则向量AA的大小为________。
解析：向量AA可以由终点坐标减去起点坐标得到，即AA = (4-1)A + (-1-2)A + (-2-3)A = 3A - 3A - 5A。
根据向量的模的定义，可以得到：|AA| = √((3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 9 + 25) = √43答案：√43三、计算题1. 已知向量A = 3A - 2A + 4A，向量A = A + A，求向量A与向量A 的夹角A的余弦值cos A。
空间向量典型例题
空间向量典型例题空间向量与立体几何一、非坐标系向量法1.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）。
答案：（B）2/3.2.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为1/3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于。
答案：3/4.3.已知正四面体ABCD中，E、F分别在AB，CD上，且CF=CD，AE=AB/4，则直线DE和BF所成角的余弦值为（）。
答案：（C）-13/13.4.如图，已知四棱柱ABCD-A1，CB=CD，∠C1CB=∠C1CD，证明：C1C垂直于BD；当∠C1CB的值为多少时，能使A1CB1D是菱形且A1C垂直于平面C1BD？请给出证明。
二、坐标系向量法1.如图，在直三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是AC的中点，点N是BD的中点，求异面直线AN和B1M所成角的余弦值，以及平面A1B1C1和平面ABC所成二面角的正弦值。
2.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AC=BD=√2，点M是AC的中点，点N是BD的中点。
证明：（1）MN⊥平面A1B1C1D1；（2）直线MN和平面A1B1C1D1所成二面角的正弦值为1/√10.3.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。
求证：PC⊥AB；求二面角B-AP-C的大小。
4.如图，已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
求（1）DP与CC1所成角的大小；（2）DP与平面A1AD1所成角的大小。
5.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=90°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点。
求（1）异面直线AB与MD所成角的大小；（2）点B到平面OCD的距离。
空间向量典型习题含详解
1.如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．2.如图，在正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC=90°．（1）证明：AC⊥CA1；（2）若△A1B1C是正三角形，AB=2AC=2，求二面角A1-AB-C的大小．5.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC⊥BC，AB=2，CD=DP=1，PA=PB=BC=3，侧棱PC上点E满足PE=2EC．（1）求证PA∥平面BED；（2）求二面角A-PB-C的余弦值．6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心．求证：(1)EF∥A1B；(2)EF∥平面A1BD；(3)平面B1EF∥平面A1BD．7.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.答案和解析1.【答案】解：（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF，在图1中，利用勾股定理，得EF==，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF，又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P-ABE的高．设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A-PBE=V P-ABE，即∴h=，即点A到平面PBE的距离为．【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．（2）由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A 到平面PBE的距离．2.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O-xyz，∵AB=AA1=2，A（0，-1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，-1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，，，∴，，，，，．|cos＜，＞|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（，，）∴，，，，，，，，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，-1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【解析】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O-xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC 1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．3.【答案】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（-2，0，0），M（-1，0，2）．=（-2，0，4），=（01，-1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．（2）=（-2，1，0），=（-1，-1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜，＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与BM所成角的余弦值．（2）求出平面ABM的一个法向量和平面PAC的一个法向量，利用向量法能求出平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】证明：（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C=A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC⊂平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC=90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1=B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1⊂平面A1B1C，得AC⊥CA1．（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．由已知可得A（1，0，0），A1（0，2，0），B1（0，1，）．所以=（1，0，0），=（-1，2，0），==（0，-1，）．设n=（x，y，z）是平面A1AB的法向量，则，即可取=（2，，1）．设=（x，y，z）是平面ABC的法向量，则，即，可取=（0，，1）．则cos⟨ ，＞==．又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，所以二面角A1-AB-C的大小为．【解析】（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，推导出B1O⊥平面AA1C1C，从而B1O⊥AC．由∠BAC=90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．从而AC⊥平面A1B1C．由此能证明AC⊥CA1．（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．利用向量法能求出二面角A1-AB-C的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5.【答案】（12分）（1）证明：连接AC，交BD于F，连接EF，因为AB∥DC，所以，即AF=2FC，又PE=2EC，所以AP∥FE，又FE⊆平面BDE，AP⊄平面BDE，所以PA∥平面BED．（4分）（2）解：取AB中点M，连接PM，DM，过点P作PN⊥MD，垂足为N．因为PA=PB，所以PM⊥AB，又MB=DC且MB=DC，则四边形BCDM是平行四边形，所以MD∥BC，所以MD⊥AB，又PM∩MD=M，所以AB⊥平面PMD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PMD⊥平面ABCD，又平面PMD∩平面ABCD=MD及PN⊥MD，所以PN⊥平面ABCD．由MB=1，PB=3得，则有PM2+PD2=DM2，即PM⊥PD，所以，所以，（8分）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则D（1，0，0），，，，B（0，3，0），A （2，3，0），，，，，，，，，设平面PAB法向量，，，由得，取，可得，，．设平面PBC法向量，，，由得，取，可得，，．．所以＜，＞=．二面角A-PB-C的余弦值为：．（12分）【解析】（1）连接AC，交BD于F，连接EF，通过AB∥DC，证明AP∥FE，即可证明PA∥平面BED．（2）取AB中点M，连接PM，DM，过点P作PN⊥MD，垂足为N．建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面PAB法向量，平面PBC法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-PB-C的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象力以及计算能力．6.【答案】证明：以点D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,0),E(1,1,2),F(1,2,1)，（1）,因为，所以,所以EF//A1B；（2）设平面A1BD的一个法向量为，则，即2y-2z=0，2x+2y=0，令x=1，则,因为，所以EF∥平面A1BD；（3）由（2），同理求出平面EFB1的一个法向量，所以平面B1EF∥平面A1BD．【解析】本题主要考查利用空间向量判断线线、线面、面面之间的平行. 建立空间直角坐标系，求出线面的方向向量与法向量，(1)由两条直线的方向向量共线，即可判断出结论；(2)由直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可得出结论；(3)由两个平面的法向量共线，即可得出结论.。
空间向量练习题(二)
空间向量练习题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．B ．2⎢⎣C ．4⎡⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦2．如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在体对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点，则当P 最小时，点P 的坐标为（）.A ．112,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,0C ．()0,0,1D ．111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭3．将边长为1的正方形11AAO O 及其内部绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则直线1B C 与平面11OAAO 所成的角的正弦值为（）A B C ．2D 4．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且13,24MN ON AP AN ==，设向量OP xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．1112B ．1C ．34D ．565．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若OD kOA = ，OE mOB =，OF nOC = ，则111k m n++=（）A ．133B ．23C ．32D ．926．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 二、多选题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P ，Q 分别为AB ，1CC 的中点，R 在直线11A D 上，且111A R A D λ=，PQR 的重心为G ，则（）A ．若G 在平面11CDD C 内，则3λ=B ．若1B ，G ，D 三点共线，则1λ=C ．若DG ⊥平面PQR，则12λ=D ．点G 到直线11A D8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A ．11BD AA AD AB=+- B ．1BD =C ．1AC BD⊥D ．直线1A C ⊥平面11BDD B 9．下列选项正确的是（）A ．空间向量()1,1,2a =-与向量()2,2,4b =-- 共线B ．已知向量()2,,4a x = ，()0,1,2b = ，()1,0,0c = ，若a ，b ，c共面，则2x =C ．已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a 在b 方向上的投影向量为12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是（）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，14AB AC AA ===，点,,G E F 分别是11A B 、1CC 、AB 的中点，点D 是AC 上的动点.若GD EF ⊥，则线段DF 长度为.13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于．14．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足λ=BN BA ()1BC λ+- ，则点M 与平面BCD 的位置关系是；当AM最小且BN uuu r 最小时，AM MN ⋅=．16．已知点P 为棱长等于4的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且4PA = ，则11PC PD ⋅ 的值达到最小时，1PC 与1PD夹角的余弦值．17．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为是2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，点P 在线段11A C 上，且平面1B CP ⊥平面11ACC A ，则111AC PC =．四、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB所成的角的余弦值为5，求点P 到平面AEF 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．20．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点.1AB SM ==，2BC =.(1)求证；AM SD ⊥；(2)求直线SA 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)在线段SD 上是否存在点P ，使得面AMP ⊥面SCD ，若存在，求:SP SD 的值；若不存在，说明理由.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11AAC C ，AB AC ⊥，12AA AB AC ===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若3BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．在斜三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又已知11BA AC ⊥.(1)证明：⊥BC 平面11ACC A ．(2)求平面1AA B 和平面1A BC 的夹角的余弦值23．如图所示，四棱锥S -ABCDP 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。
高二数学空间向量数学题
高二数学空间向量数学题
以下是一些高二数学空间向量的数学题例子：
1.已知向量a=2i+3j-k，向量b=-i+2j+4k，求向量a+b的结果。
2.已知向量a=3i+4j-2k，向量b=2i-j+5k，求向量a-b的结果。
3.已知向量a=i+2j+3k，向量b=2i-j+4k，求向量a·b的结果。
4.已知向量a=3i+2j-k，向量b=4i-3j+2k，求向量a×b的结果。
5.已知平面上有三个点A(1,2,-1)，B(3,-1,2)，C(-2,0,3)，求向量AB和向量AC的夹角。
6.已知平面上有四个点A(1,2,-1)，B(3,-1,2)，C(-2,0,3)，D(4,1,-2)，求四边形ABCD的面积。
7.已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2,-1)，B(3,-1,2)，C(-2,0,3)，D(4,1,-2)，判断四边形ABCD是否是平行四边形。
这些题目涉及到向量的加减、数量积、叉乘等运算，以及向量在平面上的应用。
通过解答这些题目，学生可以巩固和应用空间向量的基本概念和运算规则，培养空间直观思维和问题解决能力。
具体题目的难易程度和形式可能会根据教材安排和教师要求进行调整。
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空间向量典型例题
空间向量与立体几何
一、非坐标系向量法
1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．13
B ．
23
C ．
3 D ．
23
2．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 3.已知正四面体ABCD 中，E 、F 分别在AB ，CD 上，且 ， ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
4.如图，已知四棱柱ABCD-A 1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD 是菱形且
∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ， （1）证明：C 1C ⊥ BD ； （2）当
1
CD
CC 的值为多少时，能使 A 1C ⊥ 平面C 1BD ？请给出证明。
13413313
4
-133-AB AE 4
1=CD CF 41=A
D
C
B A
D
C
B
1
1
1
1
二、坐标系向量法
1．如图,在直三棱柱
中,,
, ,点是
的中点
(1)求异面直线与
所成角的余弦值
(2)求平面与
所成二面角的正弦值.
2、如图,直棱柱
中,分别是
的中
点,.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
3、如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .
（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小.
4．如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。
（1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。
B 1
C 1
D 1
A 1
C
D
P
M
A D
C
O
5．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
6．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，
PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
A
C B
D
P
7． 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。
（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
N
M A B
D
O。