解直角三角形应用模型(1)
《28.2解直角三角形及其应用》教案
一、教学内容
本节课选自八年级下册《28.2解直角三角形及其应用》章节。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦和正切的定义及运用。
2.了解解直角三角形在实际问题中的应用，例如测量物体的高度、距离等。
具体内容包括：
（1）回顾锐角三角函数的定义，学习正弦、余弦、正切的概念。
2.加强对难点内容的讲解和练习，帮助学生克服理解上的困难。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
4.提高学生的实践操作能力，让他们在动手实践中加深对知识的理解。
在接下来的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生们的学习效果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能不知道如何选择合适的三角函数进行计算。教师应通过典型例题，教授学生分析问题、选择合适三角函数的方法，并强调在实际应用中灵活运用三角函数的重要性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《28.2解直角三角形及其应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型
专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
解直角三角形的应用模型初中数学模型
地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶
部C的仰角为30°,测得AE=3 m,EF=8 m(点A,E,F在同一条直线上).根据
以上数据,解答下列问题:
(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长;(结果保留根号)
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3m,在Rt△AHE中,tanα= ,∴AH=
,
当∠α=65°时,AH=
≈ ≈1.40(m).
° .
当∠α=45°时,AH=
=3,
°
答:遮阳宽度CD约为3.6m.
模型4
6
7
微专题8 解直角三角形的应用模型
返回类型清单
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果
精确到0.1 m).
(参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, ≈1.41)
解：如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°.
返回类型清单
对应练习
5.(2022·铜仁一模)如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高AB=2 m.根据商
场规定广告牌最高点不得高于地面20 m.经测量,测角仪支架高GH=CE=DF=1 m,在F处测得
广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得广告牌顶部点A的仰角为45°,EF=12 m.请计算说
如下结论:①AB≈18.8m;②CD≈8.4m;③若直
(中考精题)解直角三角形-备战中考数学一遍过
考点24 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一 求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k （有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k ．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 的值为 ABCD ．1【答案】C 【解析】把代入原式得：原式．故选C ． 2sin 451．如图，在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =2，则sin A 的值为A ．BCD考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A 为锐角，且sin A，那么∠A等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．已知α是锐角，sin α=cos60°，则α等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．不能确定考向三 解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.23典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF，∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =B ．sin A =C ．cos A =D ．cos A =2的值为 A．B ．C．D ．3．在中，，，若，则的长为 A ．B ．C ．D ．4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，，则cos A 等于 a c b c abba1sin45cos602︒-︒(112+(1121434Rt ABC △90C ∠=︒53B ∠=︒BC m =AB cos53m︒cos53m ⋅︒sin 53m ⋅︒tan 53m ⋅︒13AC AB =AB ．C ．D5．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan为 A ．B ．C D6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A B CD7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =，则斜边上的高等于 A ．5B．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为A ．B ．C D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的是A ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是132B 5354353534AB 40m 80m B ．C 40m ．D ．A ．2海里B ．海里C ．海里D ．海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB 的坡度为1∶2.4，AB 长为3.9米，钓竿AC 与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°，则浮漂D 与河堤下端B≈1.732）A．1.732米B ．1.754米C ．1.766米D ．1.823米12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，则sinB =___________．13．在△ABC 中，AB ，AC ，tan ∠B =，则BC 的长度为__________． 14．已知相邻的两根电线杆与高度相同，且相距．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为、，已知测角仪高，则电线杆的高度约为________．（精确到，参考数据：，，）2sin55︒2cos55︒2tan55︒12512AB CD 50m BC =E 45︒23︒EF 1.5m m 0.1m sin230.39︒≈cos230.92︒≈tan230.43︒≈15．已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD =8，tan ∠CBD =．（1）求边AB 的长；（2）求cos ∠BAE 的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高AD =80cm ，宽AB =48cm ，小强的身高为166cm ，其中下半身FG =100cm ，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK =80°)，身体前倾成125°角(∠EFG =125°)，脚与洗漱台的距离GC =15cm(点D ，C ，G ，K 在同一直线上)． （1）此时小强的头部点E 与地面DK 的距离是多少？（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17≈1.41，结果精确到0.1cm)121．（2019•天津）的值等于 A ．1 B． C ．D ．22．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sin α=，则∠α= A ．30° B ．45° C．60°D ．90°3．（2019·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．B ．C ．D ．A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是60sin 2231243343545AB CD 1.5m A 30oA ．B ．C ．D．6．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．（2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x55.5m 54m 19.5m 18m计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD =600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．45354314．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 长为6米，∠OAB =41.3°，若点C 为运行轨道的最高点（C ，O 的连线垂直于AB ），求点C 到弦AB 所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB =OP =100cm ，OA 为检修时阀门开启的位置，且OA =OB ．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角∠CAB =67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位） =1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．2．【答案】D【解析】原式=1–=，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=， ∴AB =，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵，∴cos A =．故选B ．5．【答案】A1122⨯1434BC AB cos53m︒13AC AB =1133ABAC AB AB ==【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =AC =5cm ，BO =BD =3cm ， 则tan=tan ∠OBA .故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD ，AB则sin ∠BAC =D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =， ∴sin A ==，即BC =6， 12122B 53AO BO ==EB AB ==3510BC BC AB =35根据勾股定理得：AC=8，∵S △ABC =AC •BC =CD •AB ， ∴CD ==4．8， 故选B ．8．【答案】B【解析】∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =． 故选B ．9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1 ∵BC =40m ，∴AC m ，∴AB ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠PAB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠PAB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠PAB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，12126810AC BC AB ⋅⨯=34BC AC =则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4，∴，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x2．解得x =．∴AF =5x =，BF =12x =，∴EF =， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE则BD =DE ﹣EF ﹣BF≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，得，即， ∴AC =5．由勾股定理，得AB ．所以sin B =，故答案为：．13．【答案】5152.412AF BF ==31032185tan 60sin 60AF AFAE =====︒︒185513125125BC AC =12125AC =513AC AB =513【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB，∴在△ABD 中，由勾股定理得（2=x2+（2x）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去），∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵，∴tan23°=，解得x ≈15.0，∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =BD =4， 1tan 2AD B BD ∠==1DC ===16.5tan45tan23AG AG BC +=︒︒50xx-12∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD ==，∴OC =2， ∴AB =BC（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =BD·AC ， ∵AC =2OC =4，∴=×8×4，∴AE ，∴BE∴cos ∠ABE =．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．OC OB 121212BE AB 351．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC ．∴sin ∠BAC ==．故选D ．5．【答案】C【解析】过作交于，中，， ，，故选C ．6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，︒60sin 223312CD AC 45D DE AB ⊥AB E DE BC ==Rt ADE △tan 30AEDE=o18(m)AE ∴==18 1.519.5(m)AB ∴=+=C7．【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cos x+b•sin x，故选D．答：炎帝塑像DE的高度约为51m．13．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90°≤∠POB ≤0°；（2）如图，∵∠CAB =67.5°，∴∠BAO =22.5°， ∵OA =OB ，∴∠BAO =∠ABO =22.5°，∴∠BOP =45°， ∵OB =100，∴OE OB ， ∴PE =OP –OE ≈29.5cm ， 答：此时下水道内水的深度约为29.5cm ．。
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
专题：解直角三角形的应用拥抱型
专题7：解直角三角形的应用拥抱型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例1（2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜i=（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，坡AB的坡度3:4︒≈︒≈）C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =，3sin 5BE BAE AB ∴∠==75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒tan 58 1.6x AN∴︒=≈58AN x ∴≈5608NE AN AE x ∴=+=+在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒45tan 220.4x BF -∴︒=≈5(45)2BF x ∴≈-5560(45)82x x ∴+=-解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．专题过关1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM ＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD ；（2）此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）【答案】（1）（2）()90+米【解析】【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH=DG=30米，DH=BG ，证明AB=BC ，设AB=BC=x米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到30903x x -=+据此求解即可．【小问1详解】解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，∴13DG CG =，∴90CG =米，∴CD ==米；【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG ，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，设AB=BC=x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH 中，tan 3AH ADH DH ∠==，∴30903x x -=+，解得90x =+，∴()90AB =米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．3.（2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD 的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测“大玉米”顶端C 处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测“大玉米”底部D 处的俯角是30°．已知楼房AB 高约是162m ，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果≈1.41≈1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt △ABD 中由边角关系求出AD 的长，在Rt △ACD 中，求出CD 即可．【详解】解：如图，由题意可知，∠CAD ＝45°，∠EBD ＝30°＝∠ADB ，AB ＝DE ＝162米，在Rt △ABD 中，∵tan30°AB AD=，∴AD 33==3，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝3≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE ＝2.5m ，在平地上的B 处测得石碑的底部E 的仰角为10°，向前走1m 到达点D 处，测得石碑的顶端A 的仰角为60°，求石碑AE 的高度.（精确到0.1m ；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183）【答案】石碑AE 的高度为19.8m【解析】【分析】在Rt BCE 中利用正切可求出BC 的长，从而得出CD 的长，再在Rt ACD △中利用正切即可求出AC 的长，进而可求出AE 的长．【详解】解：根据题意可知10EBC ∠=︒，60ADC ∠=︒，1m BD =．∵在Rt BCE 中，tan EC EBC BC∠=，∴ 2.5tan10BC ︒=，∴ 2.513.9m 0.18BC ≈≈，∴12.9m CD BC BD =-=．∵在Rt ACD △中，tan AC ADC CD ∠=，∴tan 6012.9AC ︒=，∴13.9tan 6012.912.9 1.22.37m 3AC =⨯︒=⨯≈⨯≈，∴22.3 2.519.8m AE AC EC =-=-=．答：石碑AE 的高度为19.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．5.（2022河南二模）洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE 的高度为21m ，他们在测量点A （与C 在同一水平线上）测得底座最高点E 的仰角为20°，沿AC 方向前进24m 到达测量点B ，测得老子铜像顶部D 的仰角为60°．求老子铜像DE 的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈，1.73≈）【答案】老子铜像DE 的高约38.3米．【解析】【分析】在t R ACE △，由根据正切定义解得AC 的长，继而得到BC 的长，在t R BCD 中，由正切定义解得CD 的长，最后根据线段的和差解答．【详解】解：在t R ACE △tan 20,21CE CE AC ︒==2158.33tan 20AC ∴=≈︒24AB =58.32434.3BC ∴=-=在t tan 60CDR BCD BC︒=，tan 6034.359.34CD BC ∴=⋅︒=⨯59.342138.3DE CD CE ∴=-=-≈（米）答：老子铜像DE的高约38.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．6.（2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.41，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM 的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1＝BMAM＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN 为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME ，在Rt △ABM 中，∠BAM ＝30°，∴AM ＝cos302AB AB °==（米），∴ME ＝AM+AE ＝（）米=BN ，∵∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN ＝（）米，∴CE ＝CN+NE ＝（）米，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE•tan53°≈21×43＝28（米），∴CD ＝CE ﹣DE ＝﹣28＝2≈6.7（米），即广告牌CD 的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．7.（2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G 信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD ）恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得信号柱顶端A 的仰角为30°，在C 处测得信号柱顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB 的长度．（结果保留根号）【答案】信号柱AB 的长度为12)+米【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，由锐角三角函数定义定义求出CH 、DH 、HG ，设BC x =米，再由锐角三角函数定义求出BG ，然后列出方程，解方程即可．【详解】（方法一）解：过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH AB ⊥交AB 于点H ，又AB BC ⊥，则四边形BEDH 为矩形，在Rt DCE V 中，1260CD DCE =∠=︒，，6CE DE ∴==，，=BH DE ∴=在Rt ABC △中，45ACB =︒∠，∴设==AB BC x ，(6)DH BE BC CE x ∴==++，(AH AB BH x ∴=-=+，在Rt ADH 中，30ADH ∠=︒，3tan 303AH DH ∴︒==，63x x -∴=+，解得：12)x =+．答：信号柱AB的长度为12)+米．（方法二）解：延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，在Rt DHC △中，60,12DCH CD ∠=︒=米，则cos 12cos 606CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），sin 12sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），,30DH BG G ⊥∠=︒，18tan 33DH HG G ∴===（米），24CG CH HG ∴=+=（米），设AB x =米，,30,45AB BG G BCA ⊥∠=︒∠=︒，,3tan 33AB BC x BG G ∴====（米），BG BC CG -=，324x -=，解得：312x =+，答：信号柱AB 的长度为312)+米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，因为tan ∠BDA＝，可求出AD ，又由tan30°＝，可求出CD ，即得到答案．【解答】解：由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，∴tan ∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan ∠CAD ＝tan30°＝＝＝，∴CD ＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．9.（2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【答案】路灯的高度为13.4m ．【解析】【分析】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2；在Rt △AFM 中求得 1.2tan10x FA -=︒，即可得 1.22tan10x AE -=︒；在Rt △CEP 中，可得1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，由此即可求得路灯的高度为13.4m ．【详解】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2，在Rt △AFM 中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，tan MF MAF FA ∠=，∴ 1.2tan10x FA -︒=，∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE=AE-AC= 1.22tan10x -︒-10，在Rt △CEP 中，∠PCE=27°，CE= 1.22tan10x -︒-10，tan PE PCE CE∠=，∴1.2tan27 1.22tan11xx-︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD ＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（8+4）m．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即这棵古树的高AB为（8+4）m．12.（2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到12≈1.414，3≈=1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【解析】【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程353x x -=+，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+x ＝7+≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A 处起飞，沿直线飞行120米至点B ，在此处测得楼基A 的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C ，在此处测得楼顶D 的俯角为30°，请计算万楼主楼AD 的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．【答案】万楼主楼AD 的高度约为52米．【分析】由题意可得在Rt △ABE 中和Rt △CDE 中，AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ，根据解直角三角形在在Rt △ABE 中，可计算出BE 和AE 的长度，在Rt △CDE 中，可计算出AD 的长度，由AD ＝AE ﹣AD 计算即可得出答案．【解答】解：由题意可得，在Rt △ABE 中，∵AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∴BE ＝＝＝60（米），AE ＝sin60°•AB ＝（米），在Rt △CDE 中，∵∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ＝60+30＝90（米），∴DE ＝tan30°•CE ＝＝30（米），∴AD ＝AE ﹣AD ＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD 的高度约为52米．14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m ，AB=10m ，∠C=90°，则BC=AC -AB=30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=o 故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．。
解直角三角形之实际应用模型(学生版)
解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边(高)CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
1(2023年西藏自治区中考数学真题)如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．(结果保留根号)2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3(2023年湖北中考数学真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C =18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)4(2023年四川省达州市中考数学真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)
28章 锐角三角函数专题 解直角三角形实际应用的基本模型初中数学模型
(2)“母子”型 模型 已知三角形中的两角(∠1 和∠2)及其中一边， 模型分 在三角形外边作高 BC，构造两个直角三角形求 析 解，以高 BC 为桥梁是解题的关键
3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极 落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面 的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的 仰角∠MBC＝33°，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 ∠MEC＝45°(点 A，D 与 N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度 MN 的长．(结 果精确到 1 米，参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)
ME x＋25 5 公楼 AB 的高度约为 20 米
(2)一般梯形模型 模型
模型 过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF，构造一个长方 分析 形和两个直角三角形，分别解两个直角三角形再加减求解
7.某轮滑特色学校准备建立一个如图①的轮滑技巧设施，从侧面看如图②，横 截面为梯形，高 1 米，AD 长为 2 米，坡道 AB 的坡度为 1∶1.5，DC 的坡度为 1∶2.
＋40 3 .∴小山 BC 的高度为(10＋40 3 )米
模型二：四边形模型 (1)直角梯形模型
模型
模型 过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE，构造一个矩形和一
分析
个直角三角形，先解直角三角形再加减求解
6.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时， 办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45°时，办公 楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B，F，C 在一条直线上).求办 公楼 AB 的高度．(参考数据：sin 22°≈25 ，cos 22°≈1156 ，tan 22°≈25 )
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型(学生版)
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan∠BAC=．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC中，AC=42，BC=6，∠C为锐角且tan C=1．(1)求△ABC的面积；(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC的值．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D 为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE．已知DE=2.(1)若tan C=12，求AB的长度；(2)若∠C=30°，求sin∠BEA．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，问题解决：(1)求出图1中cos∠CPN的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求tan∠CPN的值．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α(用含sinα，cosα的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin2α=CDOC =sinα⋅AC12=sinα⋅cosα12=2sinα⋅cosα．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sinα，cosα的式子表示)．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5m ，风筝飞到C 处时的线长BC 为30m ，这时测得∠CBD =53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m ，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为km ．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【类型六“斜截”型】1(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图，在南北方向的海岸线上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号，已知A ，B 两船相距海里，船C 在船A 的北偏东方向上，船C 在船B 的东南方向上，上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东方向上．(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：，)【变式训练】1(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度(结果精确到1米，参考数据：)．2(2023春·江苏苏州·九年级统考期中)如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离(计算结果保留根号)；(2)若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A 时，测得港口B在A 的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离(计算结果保留根号)．。
初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 专训1 构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型
专训1构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造直角三角形解决实际问题1．【中考·山西】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．(第1题)2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题3．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？(第3题)4．【中考·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．【导学号：83182074】(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题6．【中考·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)．【导学号：83182076】(第6题)7．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大【导树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，求大树的高度(结果保留根号)．学号：83182075】(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6 m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21 m，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．【导学号：83182077】(第8题)答案1．解：如图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，则∠CAG ＝30°.(第1题)在Rt △ACG 中，CG ＝AC·sin 30°＝50×12＝25(cm )，∵GD ＝50－30＝20(cm )，∴CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45(cm )．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，则∠H ＝30°， 在Rt △CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90 cm ，∴EH ＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290(cm )， 在Rt △EFH 中，EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033(cm )． 答：支撑角钢CD 和EF 的长度各是45 cm ，29033cm .2．解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ，(第2题)则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在Rt △ADF 中，∵AF ＝80－10＝70(m )， ∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m .在Rt △CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°， ∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )．∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )． 答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m . 3．解：由题易得，∠AMN ＝30°， ∠ABN ＝45°.如图，过点A 作AC ⊥MN 于点C.(第3题)在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝ACBC，∴BC ＝AC.在Rt △AMC 中，tan ∠AMC ＝ACMC ，∴MC ＝3AC.由MB ＝MC －BC ，得3AC －AC ＝400， ∴AC ＝200(3＋1)≈546(m )>500 m .∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．4．解：延长AD 交BC 的延长线于点G ，作DH ⊥BG 于点H ，如图．(第4题)在Rt △DHC 中，∠DCH ＝60°，CD ＝4 m ，则CH ＝CD·cos ∠DCH ＝4×cos 60°＝2(m )，DH ＝CD·sin ∠DCH ＝4×sin 60°＝23(m )， ∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°， ∴HG ＝DH tan G ＝23tan 30°＝6(m )，∴CG ＝CH ＋HG ＝2＋6＝8(m )， 设AB ＝x m ，∵AB ⊥BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°， ∴BC ＝x m ，BG ＝AB tan G ＝xtan 30°＝3x(m )．∵BG －BC ＝CG ， ∴3x －x ＝8， 解得x ≈11.答：电线杆的高(AB)约为11 m .5．解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝α＝60°，∴AF ＝AB·sin 60°＝20×32＝103(m )． 在Rt △AEF 中，β＝45°，∴AF ＝EF.∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．即改造后的坡长AE为10 6 m.(第5题)6．解：如图，作AD⊥BC于点D，BH垂直水平线于点H，(第6题)由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝32 m，∴AD＝CD＝AB·sin 30°＝16(m)，BD＝AB·cos 30°＝163(m)．∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.即这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.7．解：如图，作CE⊥AB于点E.(第7题)则CD＝BE＝5 m，CE＝BEtan 30°＝53(m)，AE＝CE·tan 45°＝53(m)，∴AB＝AE＋BE＝(5＋53)m.即大树的高度为(5＋53) m.8．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.∴CE＝21 m.在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(m)，∴DE＝AE·tan 30°＝27×33＝93(m)．∴CD＝CE－DE＝(21－93) m.即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(21－93) m.。
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
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水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
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2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
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续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
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例2
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解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
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计算结果必须根据 题目要求进行保留.
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方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用
专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。
解直角三角形的常见模型及思路
解直角三角形的常见模型及思路
1、直角三角形常见模型
直角三角形是最常见的几何图形，用于在特定的情况下进行计算，并且能够求出三角形内部和外部特征，如长度、面积等。
一、正弦定理
正弦定理是解决直角三角形的一种常见模型，用于求解三角形的面积，即有：
S=1/2×a×b×sinC
其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，而C表示其直角角度。
二、勾股定理
勾股定理是一种经典的角三角形解模型，可以根据三条边的长度求出其它两边的长度，即：
a2+b2=c2
其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，而c表示其斜边的长度。
三、余弦定理
余弦定理是解直角三角形的一种常用方法，可以根据三角形已知的两边长度，求出其它一边的长度，即：
c2=a2+b2-2ab×cosC
其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，而C表示其直角角度，c表示其斜边的长度。
2、解直角三角形的思路
解决直角三角形的一般思路为：
(1) 根据题目给出的信息，判断已知的三条边的长度；
(2) 根据已知的信息，选择合适的解法，运用正弦定理、勾股定理或余弦定理等，求出未知边及其他相关参数；
(3) 根据求出的参数，进一步判断直角三角形的形状及其它参数；
(4) 如果题目要求，调用各种函数，求出需要的参数，如面积、周长、外接圆半径等。
模型构建专题解直角三角形应用中的模型(1)
模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)() A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A 地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方23米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C2.32 解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD ＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD ＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝AD CD ，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BDCD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)．答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．专项训练二 概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
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解法1 在△
∴
解法2 在△ADC中，设CD=x，
则
.
由BC-CD=BD，
得
，
此类问题的特征是：具 有公共直角的两个直角
∴
，
三角形，并且它们均位
∴
于直角边的同侧.
推广1 如图2，小山上有一电视塔CD，由 地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°，由 A向小山前进100米到B点，又测得塔顶C的仰 角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.
∵SD＞12， ∴船不会有危险.
此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小 时，船自A行驶15分钟后到达B点.
如图5，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°， AC=2，求AB和BC.
解 作AD⊥BC于D， 则
(或AD=ACsin45°). ∴
(或
)，
BD=ADcot30°= . ∴
此类问题的特点是：通 过作三角形一条边上的 高，可将原来的斜三角 形化成两个直角三角形 来求解.
分析
本题可利用模型1，
先求得
米，
再求得
想一想：①如果在A、B二处均使用了测 量仪，且测量仪高为1.2米时，该怎样求山 高？②将此问题改为测河宽CD时，在河一 侧岸边设观测点A、B、E，并使CE⊥AE， 则求解过程是否完全雷同？
推广2 如图3，有长为100m的大坝斜坡AB， 坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸 长的坡度DB的长。
解：在Rt△ACD中， ∠A=30°， ，
∴
推广3 如图8，在山坡上种树，要求株距(相 邻两树间的水平距离)是7米，测得斜坡坡度为 1:3.5，求斜坡上相邻两树间的坡面距离.
解：此问题即在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=7， tan∠BAC=1:3.5= ，求AB.
由于AC=7，故BC=2，由勾 股定理便可求得
推广1 如图6，在平地上有二幢楼AB及CD相距 60米，在A处测得CD底部的俯角为30°，又测得 CD顶部的仰角为45°，求CD的高.
解：在Rt△ADE中， 求得 在Rt△ACE中， 求得CE=AE=60. ∴
推广2 如图7，厂房屋架为等腰三角形，倾 角为30°，跨度AB为15米，求中柱CD和屋面 AC的长.
解：在Rt△ABC中求得
在Rt△ADC中，
∴
推广3 如图4，船自西向东航行，在A处测得 小岛S在船北偏东60°，船航行10海里到B处， 又测得小岛S在船北偏东45°，在小岛S的周围 有半径为12海里的暗礁区，如果船不改变航向， 继续前进时有无危险，为什么？
分析 由题设可知 ∠SAB=30°，∠SBD=45°， 则可归结为模型1的问题， 求得 .