七年级下册数学之与角的相关计算和证明(含答案)
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明习题(含答案) (29)
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明复习试题（含答案)把命题“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为________________________.题设是：________________________.结论是：________________________.【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等两个角相等这两个角的补角相等【解析】【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论，进而得出答案即可.【详解】命题“等角的补角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的补角相等”．故命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；两个角相等；这两个角的补角相等．【点睛】本题考查了命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．命题的一般叙述形式为“如果…..，那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论.82．将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写成“如果…那么…”的形式:______,这是一个______命题．(填“真”或“假”)【答案】如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条真【解析】【分析】根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．【详解】改写为：如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条，是真命题．故答案为如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条；真．【点睛】本题考查了命题的构成，找出命题的题设和结论是正确改写的关键．83．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是______；这是______命题（真或假）．【答案】两直线平行，同位角相等真【解析】【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行线的性质判断逆命题的真假．【详解】“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”；这是真命题．故答案为两直线平行，同位角相等，真．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．84．命题“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是_______________________，结论是____________________．【答案】一个角是某个锐角的补角它大于这个锐角的余角【解析】【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.【详解】解：命题“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是一个角是某个锐角的补角，结论是它大于这个锐角的余角．【点睛】本题考查了命题的概念,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.85．给出下列命题：①一个锐角的余角小于这个锐角；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果|a|=|b|，那么a=b；④若a2+b2=0，则a，b都为0．其中是假命题的是_____．(填序号）【答案】①③【解析】【分析】利用余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以及平方的非负性分别判断后即可得到结论．【详解】①一个锐角的余角小于这个锐角，错误，是假命题；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，正确，是真命题；③如果a=b，那么a=±b，故错误，是假命题；④若a2+b2=0，则a，b都为0，正确，是真命题．故答案为：①③．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以及平方的非负性等知识，难度不大．86．阅读下列语句：①邻补角的平分线互相垂直;②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③延长线段AO到C，使OC=OA;④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是_______.(填序号）【答案】①【解析】【分析】根据邻补角的定义和垂直的定义对①进行判断；利用特例对②进行判断；③和④都不是命题．【详解】①邻补角的平分线互相垂直，故①是真命题；②两个直角也互补，故②是假命题；③延长线段AO到C，使OC=OA，不是命题，故③错误；④这个角等于30°吗？不是命题，故④错误．故答案为：①．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．87．如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD（______）.又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD（_________），∴∠A=∠BFD（_______）.∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D（_______），AB∥CD（______）.【答案】对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行.【解析】【分析】求出∠CGD和∠2互为补角，根据平行线的判定得出AE∥DF，根据平行线的性质得出∠AEC=∥D，求出∠AEC=∥A，根据平行线的判定即可得出结论．【详解】∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD（对顶角相等）．又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．88．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设_____________________．【答案】∠A≤90°【解析】【分析】反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为∠A＞90°，它的反面有两种情况：∠A＝90°，∠A＜90°；需一一否定．【详解】用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设∠A≤90°．【点睛】本题结合角的比较考查了反证法，解题关键是要懂得反证法的意义及步骤.89．命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设_________________________．【答案】三个内角都大于60度【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】反证法证明命题“三角形中至多有两个角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．90．“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题是_______________________________________【答案】如果ab<0,那么a>0,b<0.【解析】【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．【详解】解：“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题为“如果ab<0,那么a>0,b<0”．故答案为:如果ab<0,那么a>0,b<0．【点睛】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．。
七年级下册角的知识点总结
七年级下册角的知识点总结角是初中数学中一个重要的概念，也是很多难题的解答基础。
在七年级数学下册里，角的相关知识点有很多，下面我们来做一次全面的总结。
一、角的定义、分类与记法1. 角的定义角是由两条射线共同起始于同一点而形成的图形，我们把共同的起点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
在角的顶点处，可以用“∠”表示，比如∠ABC。
2. 角的分类按照角的大小可以分为锐角、直角、钝角三种。
锐角：小于90°的角。
直角：等于90°的角。
钝角：大于90°、小于180°的角。
3. 角的记法使用字母表示角的顶点，如∠ABC表示以点B为顶点的角。
若两个角相等，则可以用符号“≌”表示，比如∠ABC≌∠DEF。
二、角的度量1. 角度和以角度为单位的度量角的度量是用“度”为单位的，1°等于360分之一圆周角，即1圆周角等于360°。
2. 角的度量转换在角度的转换中，我们需要掌握以下几个角度的换算关系：1度=60分，1分=60秒，1圆周角=360度。
三、角的特殊角度1. 30°、45°、60°角30°角、45°角、60°角是常见的特殊角度。
在解决一些特殊难题时，常常使用这些角度。
30°角的正弦值、余弦值、正切值分别是1/2、√3/2、1/√3；45°角的正弦值、余弦值相等，都等于1/√2，正切值等于1；60°角的正弦值、余弦值分别是√3/2、1/2，正切值等于√3。
2. 补角、余角如果两个角的度数加起来等于90°，我们把它们叫做互为补角；如果加起来等于180°，则它们就叫做互为余角。
四、夹角、异面角1. 夹角夹角是由两条射线在同一平面内围成的角。
夹角的大小强调的是一个角的大小相对于另一个角的大小。
2. 异面角异面角是在不同平面内的两个角，它们之间没有公共部分。
七年级数学角度的计算(专题)(含答案)
角度的计算（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：∵∠AOB=150°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC＝150°-90°=60°．∵∠BOD=90°，∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：余角2.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC=110°，则∠AOC的度数为( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，已知∠COD为平角，OA⊥OE，且，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵∠COD为平角∴∠COD=180°，即∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°．∵OA⊥OE∴∠AOE=90°．∴∠AOC+∠DOE=180°-∠AOE=180°-90°=90°．∴∠AOC=2∠DOE，∴2∠DOE+∠DOE=3∠DOE=90°，∴∠DOE=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：平角的定义4.如图，直线AB与EO相交于点O，∠EOB=90°，∠FOD=90°，如果∠AOD=140°，那么∠EOF 的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°答案：C解题思路：∵∠AOD=140°∴∠BOD=40°∵∠EOB=90°∴∠EOD+∠BOD=90°∵∠FOD=90°∴∠FOE+∠EOD=90°∴∠FOE=∠BOD=40°故选C．试题难度：三颗星知识点：平角5.已知∠AOB=70°，以O端点作射线OC，使∠AOC=28°，则∠BOC的度数为( )A.42°B.98°C.42或98°D.82°答案：C解题思路：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-28°=42°当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+28°=98°故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算6.已知从点O出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=50°，∠AOC=30°，则∠BOC的度数为( )A.80°或20°B.40°或10°C.40°或20°D.80°或10°答案：A解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOC∠AOB，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的右边，如图1，求∠BOC，设计方案：∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+30°=80°②射线OC在射线OA的左边，如图2，求∠BOC的度数，设计方案：∠BOC=∠AOB-∠AOC=50°-30°=20°综上，∠BOC的度数为80°或20°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算7.已知∠AOB为直角，∠AOC=40°，若OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.65°或25°B.65°或85°C.5°或65°D.5°或85°答案：D解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOB∠AOC，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的左边，如图1，求∠MOC的度数，设计方案：②射线OC在射线OA的右边，如图2，求∠MOC的度数，设计方案：综上，∠MOC的度数为5°或85°．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.已知∠AOB=60°，∠AOC=4∠BOC，则∠AOC的度数为( )A.12°或20°B.12°或48°C.48°或80°D.20°或80°答案：C解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，需要分类讨论．因为∠AOC=4∠BOC，所以∠AOC∠BOC，则射线OC只能在射线OA的右边，分以下两种情况．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得x+4x=60°，解得x=12°，所以∠AOC=4×12°=48°．①当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得4x-x=60°，解得x=20°，所以∠AOC=4×20°=80°．综上所述，∠AOC的度数为48°或80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算9.已知∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.9°或81°B.72°或54°C.9°或18°D.81°或18°答案：A解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，因此需要分类讨论．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=18°，所以．②当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠MOC的度数，设计方案：由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=54°，所以．综上所述，∠MOC的度数为9°或81°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，且∠BOC∠AOC，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数为( )A.30°或50°B.20°或60°C.30°D.50°答案：C解题思路：分析知射线OC的位置不确定，需要分类讨论，又因为∠BOC∠AOC，所以符合题意的只有一种情况．如下图所示，由∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，得∠AOC=80°，所以．综上所述，∠MOD的度数为30°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算。
北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案
最新北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案最新七年级下册三角形全等的证明1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEA B DCE 122、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。
求证：AF=CE。
F EA CDB3、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。
求证：BE ＝CD 。
AEDCB4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
E6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。
（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。
你添加的条件是：________ ___（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。
求证：EB=ED。
DA E CB8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。
求证：∠ACE=∠BDF。
AB CDEFO9、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
求证：BF⊥AC。
AE FDB C10、. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。
七年级数学专题训练23 与角相关的问题(附答案)
七年级数学专题训练23 与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）B'A'O BA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）；（3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由ABODCEECDOBA图 ① 图 ②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .EC DOBA（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .AB ODC4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.ECDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的117是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）2ABO1A.1212∠-∠B.132122∠-∠C. 1(21)2∠-∠D.1(21)3∠+∠ （甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）αABODCEA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.ECDO BA11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.EC DOB A12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数. （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.EC DOBAB 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .（浙江省杭州市竞赛试题）2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .（江苏省竞赛试题）3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.F ABOD C E（五城市联赛试题）4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .F EC DOBA（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）987654321A. 270°B. 315°C. 360°D. 405°（广西省竞赛试题）7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）OCB APMNA.AOP MON ∠>∠B.AOP MON ∠=∠C.AOP MON ∠<∠D.以上情况都有可能 8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）ABODCEA. 111.5°B. 138°C. 134.5°D. 178°（五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.FABODC E10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，322143325443A OA A OA A OA A OA A OA A OA ∠-∠=∠-∠=∠-∠==11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数....A 5A 4A 3A 2A 10A 11A 1O（山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例1 45°提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；③11(1809090 22αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；④111()18090222αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合.故①②④能表示β∠的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=12AOC∠，∠CON=∠BON=12BOC∠（1）如图①，若OC在∠AOB内，设∠BOC=x，则图①图② 图③ 例6 （1）20m n，2(6)0n ，且2m n 与2(6)n 互为相反数。
人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)
人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练1.计算：13°58′+28°37′×2．解答】13°58′+28°37′×2=13°58′+57°14′=71°12′．2.计算（结果用度、分、秒表示）：22°18′20″×5﹣28°52′46″．解答】22°18'20''×5﹣28°52'46''=110°90'100''﹣28°52'46''=82°38'54''．3.计算：1）90°﹣36°12'15″2）32°17'53“+42°42'7″3）25°12'35“×5；4）53°÷6．解答】（1）90°﹣36°12'15″=53°′45″；2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°；3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；4）53°÷6=8°50′．5.计算：1）27°26′+53°48′2）90°﹣79°18′6″．解答】（1）27°26′+53°48′=81°14′；2）90°﹣79°18′6″=10°41′54″．6.计算1）25°34′48″﹣15°26′37″2）105°18′48″+35.285°．解答】（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；2）105°18′48″+35.285°=140°28′48″．7.计算：1）40°26′+30°30′30″÷6；2）13°53′×3﹣32°5′31″．解答】（1）40°26′+30°30′30″÷6=45°31′；2）13°53′×3﹣32°5′31″=41°32′59″．8.计算：180°﹣48°39′40″．解答】180°﹣48°39′40″=131°20′20″．9.计算：26°21′30″+42°38′30″．解答】26°21′30″+42°38′30″=69°60′=70°．10.（1）180°﹣（34°55′+21°33′）；2）（180°﹣91°31′24″）÷2．解答】（1）180°﹣（34°55′+21°33′）=123°12′；2）（180°﹣91°31′24″）÷2=44°14′18″．11.计算：72°35′÷2+18°33′×4．解答】72°35′÷2+18°33′×4=36°17′30″+74°12′=110°29′30″．12.计算：48°39′+67°41′．解答】48°39′+67°41′=116°20′．13.计算：18°20′32″+30°15′22″．解答】18°20′32″+30°15′22″=48°35′54″．14.计算：180°﹣22°18′×5．解答】180°﹣22°18′×5=67°30′．15.计算：56°31′+29°43′×6．解答】56°31′+29°43′×6=245°19′．16.计算：49°28′52″÷4．解答】49°28′52″÷4=12°22′13″．4.计算：(1) 27°26′+53°48′。
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明习题(含答案) (89)
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明复习试题（含答案)用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设___________________________________________【答案】三角形三个内角都大于60°【解析】【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．【详解】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不大于60︒，∴第一步应假设结论不成立，即三角形三个内角都大于60︒．故答案为：三角形三个内角都大于60︒．【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．82．将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________．【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．【解析】【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．【详解】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．83．把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果______，那么____．【答案】一个三角形的两个角互余这个三角形是直角三角形【解析】【分析】分清题目的已知和结论，即可解答．【详解】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．故答案为：一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是解题关键．84．命题“平行于同一条直线的两直线平行”的题设是__________________________，结论是_______，它是一个______命题（填“真”或“假”）．【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线也互相平行真【解析】【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论．然后根据平行线的判定方法可判断命题为真命题．【详解】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线也互相平行．它是一个真命题故答案为：两条直线平行于同一条直线；这两条直线也互相平行；真．【点睛】本题考查了命题与定理：命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．85．有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数．其中正确的有___个．【答案】2【解析】【分析】根据无理数、平方根和立方根的概念、两直线的位置关系、邻补角的概念分别判断后即可得到答案．【详解】解：：①无理数是无限不循环小数，本说法正确；②平方根与立方根相等的数是0，本说法错误；a，本说法错误；③若a⊥b，b⊥c，则∥c④邻补角是互补的角，本说法正确；⑤无理数包括正无理数、负无理数，本说法错误；故答案为：2．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．86．写出“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题，并判断真假：__________________________________________________________．【答案】如果四边形的两组对边分别相等，那么它是平行四边形，是真命题【解析】【分析】写出命题的逆命题，判断逆命题的真假即可.【详解】解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是如果四边形的两组对边分别相等，那么它是平行四边形，是真命题；故答案为：如果两个四边形两组对边分别相等，那么它是平行四边形；真命题【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键．87．“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是________．【答案】全等直角三角形的两条直角边对应相等【解析】【分析】根据逆命题的定义即可解答.【详解】“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是: 全等直角三角形的两条直角边对应相等.故答案为：全等直角三角形的两条直角边对应相等【点睛】本题考查了逆命题的定义，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键.88．下列4个命题中：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；①平行于同一条直线的两条直线平行；①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；①对顶角相等．其中真命题有_____个．【答案】3．【解析】【分析】直接利用平行线的性质分别判断得出答案．【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；②平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，只有平行线具备此性质，故此选项错误；④对顶角相等，是真命题．故答案为：3．【点睛】此题考查命题与定理，正确正确平行线的性质是解题关键．89．对于命题“一个三角形中至多有一个钝角”，如果用反证法，应先假设____________．【答案】一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．【详解】解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）【点睛】本题考查反证法．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．90．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为_____．【答案】a+b=0【解析】【分析】根据命题的题设和结论解答即可．【详解】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为a+b=0；故答案为：a+b=0．【点睛】本题考查命题，一般，“如果…”是题设，“那么…”是结论．。
专题4.8三角形有关角的计算与证明问题-七年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.8三角形有关角的计算与证明问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共25题，解答25道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共25小题）1．（2019春•雁江区期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD=12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DAC，再求出∠BAD，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解析】∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝100°﹣80°＝20°，∵∠BAD=12∠DAC，∴∠BAD=12×20°＝10°，在△ABD中，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=12×70°＝35°，∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝10°+35°＝45°．2．（2020秋•绥棱县期末）问题引入：（1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90°+12α（用α表示）：不用说明理由，直接填空．如图②所示，∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，若∠A＝α，则∠BOC＝120°+13α（用α表示），不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，若∠A＝α，则∠BOC＝120°−13α（用α表示），填空并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，如图①，由角平分线的定义可得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，在△OBC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数；如图②，由∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，在△OBC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数；（2）由∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，∠A＝α，利用三角形内角和定理及三角形外角的性质可用含α的代数式表示出∠BOC的度数．【解析】（1）在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．如图①所示，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣α）＝180°﹣90°+12α＝90°+12α；如图②所示，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−13（∠ABC+∠ACB）＝180°−13（180°﹣α）＝180°﹣60°+13α＝120°+13α．故答案为：90°+12α；120°+13α．（2）∠BOC＝120°−13α，理由如下：∵∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），＝180°−13（∠DBC+∠ECB），＝180°−13（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），＝180°−13（180°+∠A），＝180°﹣60°−13α，＝120°−13α．故答案为：120°−13α．3．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，在△ABM中，利用三角形内角和定理可求出∠BAM，由AN平分∠BAC可求出∠BAN的度数，再结合∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM即可求出∠MAN的度数．【解析】在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．在△ABM中，∠B＝50°，AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，∴∠BAM＝90°﹣∠B＝40°．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=12∠BAC＝50°，∴∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM＝50°﹣40°＝10°．4．（2020秋•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理可得到结论．【解析】∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．5．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD 于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．6．（2020秋•淮南期末）如图，在△ABC中，∠B＝31°，∠C＝55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得∠AED，再根据等角的余角相等，即∠ADF的度数等于∠AED 的度数．【解析】∵∠B＝31°，∠C＝55°，∴∠BAC＝94°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝47°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°，∵AD⊥BC，DF⊥AE，∴∠EFD＝∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF，∴∠ADF＝∠AED＝78°．7．（2020秋•马鞍山期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．【分析】求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，∵∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．8．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解析】（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．9．（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°−12∠A．【解析】（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°−12∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°−12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°−12（∠A+180°），＝90°−12∠A；10．（2020秋•朝阳区期末）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．（1）比较a，b，c的大小；（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可求解；（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解．【解析】（1）∵a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0，∴m2+n2＞m2＞mn，∴a＞b＞c；（2）∵m＞n＞0，∴mn＞n2，∴m2+mn＞m2+n2，∴a，b，c为边长的三角形一定存在．11．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．【分析】（1）如图1中，根据三角形的外角的性质即可证明．（2）如图2中，首先证明∠PCE＝90°，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．（3）如图3中，延长PE交BC于H，设P A交AC于K．只要证明∠EKC＝∠EHC，即可解决问题．【解析】（1）证明：如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠F AC+∠ACE，又∵∠B＝∠F AC，∠ECB＝∠ACE，∴∠AEF＝∠AFE．（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：如图2中，∵∠ACE=12∠ACB，∠ACP=12∠ACQ，∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP=12（∠ACB+∠ACQ）＝90°，∴∠P+∠AEC＝90°，∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，∴∠P+∠CFD＝90°．（3）证明：如图3中，延长PE交BC于H，设P A交AC于K．∵∠EKC＝∠KPF+∠PF A，∠EHC＝∠B+∠BPK，又∵∠B＝∠CFD＝∠PF A，∠KPF＝∠BPH，∴∠EKC＝∠EHC，∵CE⊥KH，∴∠CEK＝∠CEH＝90°，∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，∴∠ECK＝∠ECH，∴CE平分∠ACB．12．（2019春•大名县期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．13．（2019春•南昌期末）如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．【分析】（1）由垂直于同一条直线的两直线平行，可证EF∥BC．（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠1与∠2的度数．【解析】（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴BC∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）．（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，又∵∠APE＝∠OPF，∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．14．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝60°；（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝90°−12∠A．【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠BPC＝90°+12∠A，然后根据此结论解决各小题．【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12∠ABC−12∠ACB＝180°−12（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BPC＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案为60．（2）∵∠A＝80°，∴∠BPC＝90°+12×80°＝130°；（3）∵∠BPC＝90°+12∠A，∴∠DPC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A．故答案为：90°−12∠A．15．（2020秋•薛城区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A 作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为30°，△AOB是．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC是（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【解析】（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3：①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．16．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．【分析】（1）首先说明PC平分∠ACB，推出∠CDE＝45°，利用三角形内角和定理求解即可．（2）证明∠APB＝135°，∠ADP＝135°即可．【解析】（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE=12∠ACB=12×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA=12∠ABC＝25°，∠P AB=12∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，P A分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA=12∠ABC，∠P AB=12∠BAC，∴∠APB＝180°−12（∠ABC+∠BAC）＝180°−12（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．17．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．①∠BAC＝80°，∠DAE＝20°；②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出∠BAC，再求出∠CAD，∠CAE即可解决问题．②想办法求出∠ADC即可解决问题．（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可．【解析】（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，∵AD平分∠ABC，∴∠CAD=12∠BAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．故答案为80，20．②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠FDE＝∠ADC＝70°，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．（3）∵AD平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AE平分∠BEC，∴∠AEB＝∠AEC，∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，∴∠DAE＝20°．18．（2020秋•嘉鱼县期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；（2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解．【解析】（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝60°，∴∠A+∠C＝120°，设最小的角为x，①当60°＝3x时，x＝20°，②当x+3x＝120°时，x＝30°，答：△ABC中最小内角为20°或30°．19．（2020秋•肇州县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．【分析】设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可得∠CAP＝∠P AD ＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解析】（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：∠CAP＝∠P AD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（2）∠P=12（∠C+∠D），理由如下：由（1）同理可知：2∠P＝∠C+∠D，解得∠P=12（∠C+∠D）．20．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝114°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝66°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于84度时，CE∥AB？【分析】（1）想办法求出∠IBC+∠ICB即可解决问题．（2）根据四边形内角和等于360°解决问题即可．（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题．（4）利用平行线的性质即可解决问题．【解析】（1）∵∠A＝48°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）＝66°，∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．故答案为114．（2）由题意：∠IBD＝∠ICD＝90°，∴∠BDC+∠BIC＝180°，∴∠BDC＝66°．故答案为66．（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，∴2x＝2y+∠A①，x＝y+∠E②，①÷2﹣②可得∠E=12∠A．（4）∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠A＝48°，∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°故答案为84．21．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①图中有6个“8字形”；②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论．（2）①根据“8字形”的定义判断即可．②根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）①图中，有6个“8字形”．故答案为6．②∵AP平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵PC平分∠BCD，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，∴∠P＝25°．（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP平分∠BCE，∴∠3＝∠4，∵AG平分∠DAF，∴∠1＝∠2，∵∠P AB＝∠1，∴∠2＝∠P AB，∵∠P+∠P AB＝∠B+∠4，∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，∵∠P+∠P AD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，③+④得，2∠P＝∠B+∠D．22．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝120°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即可．（2）同（1）方法即可．（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【解析】（1）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，故答案为：120．（2）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，∴∠CDF＝180°﹣∠1，∵∠CFD＝∠2+α，根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，∴∠PGD＝∠2﹣90°，∵∠PDG＝180°﹣∠1，根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，∴∠2﹣∠1+∠α＝90°．故答案为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．23．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D 之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【解析】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，∴∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，∵∠P AB＝∠F AG，∴∠GAD＝∠P AB，∵∠P+∠P AB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∵∠P+∠P AD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），∴2∠P＝∠B+∠D．24．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；（3）由∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．【解析】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴∠A+∠C＝2∠E，∵∠A＝28°，∠C＝32°，∴∠E＝30°；（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．理由：∵∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，即∠A+2∠C＝3∠E．25．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q ＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）=12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF ＝2∠ECF ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABC ＝2∠EBC ， ∵∠ECF ＝∠EBC +∠E ， ∴2∠ECF ＝2∠EBC +2∠E ， 即∠ACF ＝∠ABC +2∠E ， 又∵∠ACF ＝∠ABC +∠A ， ∴∠A ＝2∠E ，即∠E =12∠A ； ∵∠EBQ ＝∠EBC +∠CBQ =12∠ABC +12∠MBC=12（∠ABC +∠A +∠ACB ）＝90°．如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ ＝2∠E ＝90°，则∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°；②∠EBQ ＝2∠Q ＝90°，则∠Q ＝45°，∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°； ③∠Q ＝2∠E ，则90°−12∠A ＝∠A ，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12∠A ＝2（90°−12∠A ），解得∠A ＝120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．。
初一下册数学角度几何解析题以及练习题附答案)
四、拓广探索！（本大题共22分）
1．（10分）如图18，在△ABC 中，点D在AB上，BD=BE，
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，
∴∠DCE＝ ∠ACB＝35°.
∵∠DEB＝∠DCE＋∠EDC，
∴∠EDC＝70°－35°＝35°.
13．已知，如图，∠1＝∠2，CF⊥AB于F，DE⊥AB于E，求证：FG∥BC.(请将证明补充完整)
证明∵CF⊥AB，DE⊥AB(已知)，
∴ED∥FC()．
∴∠1＝∠BCF()．
又∵∠1＝∠2(已知)，
7、如图，AB∥CD，直 线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=________ ___.
8、如图，DE∥BC，∠DBE=40°，∠EBC=25° ，则∠BED=___________度，∠BDE=___________度.
9、已知，如图，∠1=∠2，AB∥CD，∠A=105°，∠ABD=35°，则∠BDE=___________度，∠ABC=___________度.
（图22）
23，如图，已知l∥m，求∠x，∠y的度数.
24，如图，直线l1，l2，分别和直线l3，l4，相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4＝115°.求∠3的度数.
25，如图，已知∠C＝∠D，DB∥EC.AC与DF平行吗？试说明你的理由.
（图25）
26，如图，AB、AE是两条射线，∠2+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠5＝180°，求∠1+∠2+∠3的度数.
七下数学华师大版求证角度问题含解答共10题
七下数学华师大版求证角度问题含解答共10题
1. 证明两条平行线被一条截线所截得的对应角相等。
解答：根据平行线性质，可得到相应角互补，再根据证明对应角相等的定理，可以得到结论。
2. 证明垂直线与平面上任意一条切线所成的角为直角。
解答：利用垂直线与平面上切线的性质，通过证明切线与平面的法线垂直，从而得出所成角为直角的结论。
3. 证明两条相交直线的内错角互补。
解答：根据两条相交直线形成的内错角定义，可以利用垂直线性质和线性对应角的性质来证明其互补。
4. 证明等腰三角形的底角相等。
解答：利用等腰三角形定义和等角三角形的性质，可以证明等腰三角形的底角相等。
5. 证明垂直平分线与边的垂直相交。
解答：利用垂直平分线的定义和垂直线性质，可以证明垂直平分线与边的垂直相交。
6. 证明相邻角的补角相等。
解答：根据相邻角的定义和补角的定义，可以通过等角的性质来证明相邻角的补角相等。
7. 证明同位角互补。
解答：根据同位角的定义和补角的定义，可以通过等角的性质来证明同位角互补。
8. 证明平行四边形的对角线互相平分。
解答：根据平行四边形的性质，可以利用对角线形成的三角形和线性对应角的性质来证明对角线互相平分。
9. 证明垂直平分线与平面上任意一条切线所成的角为直角。
解答：利用垂直平分线的性质和垂直线性质，可以证明垂直平分线与切线所成的角为直角。
10. 证明两个互补角的补角也互补。
解答：根据互补角的定义和补角的定义，可以通过等角的性质来证明两个互补角的补角也互补。
(完整版)初一下册数学角度几何解析题以及练习题(附答案).doc
七年级下册数学几何解析题以及练习题（附答案）9．(2011 ·扬州 ) 如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西 45°方向，则从C岛看 A、 B 两岛的视角∠ ACB＝________.答案105°解析如图，∵ (60 °＋∠CAB)＋(45 °＋∠ABC)＝180°，∴∠CAB＋∠ABC＝75°，在△ ABC中，得∠ C＝105°.12．如图所示，在△ABC中，∠ A＝80°，∠ B＝30°， CD平分∠ ACB， DE∥AC.(1)求∠ DEB的度数；(2)求∠ EDC的度数．解(1) 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，∴∠ ACB＝180°－∠ A－∠ B＝70°.∵ DE∥AC，∴∠ DEB＝∠ ACB＝70°.(2)∵ CD平分∠ ACB，1∴∠ DCE＝2∠ ACB＝35°.∵∠ DEB＝∠ DCE＋∠ EDC，∴∠ EDC＝70°－35°＝35°.13．已知，如图，∠1＝∠ 2，CF⊥AB于F，DE⊥AB于E，求证：FG∥BC.( 请将证明补充完整 )证明∵ CF⊥ AB， DE⊥ AB(已知)，∴ ED∥FC() ．∴∠ 1＝∠BCF() ．又∵∠ 1＝∠ 2( 已知 ) ，1∴ FG ∥BC () ．解 在同一平面内， 垂直于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行， 同位角相等；内错角相等，两直线平行．14．如图，已知三角形ABC ，求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.分析：通过画平行线，将∠A 、∠B 、∠C 作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法，如下：证法 1：如图甲，延长 BC 到 D ，过 C 画 CE ∥ BA .∵BA ∥ CE ( 作图所知 ) ，∴∠ B ＝∠ 1，∠ A ＝∠ 2( 两直线平行，同位角、内错角相等) ．又∵∠ BCD ＝∠ BCA ＋∠ 2＋∠ 1＝180°( 平角的定义 ) ，∴∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°( 等量代换 ) ．如图乙，过 BC 上任一点 F ，画 FH ∥AC ， FG ∥ AB ，这种添加辅助线的方法能证明∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°吗？请你试一试．解 ∵ FH ∥AC ，∴∠ BHF ＝∠ A ，∠ 1＝∠ C .∵ FG ∥AB ，∴∠ BHF ＝∠ 2，∠ 3＝∠ B ，∴∠ 2＝∠ A .∵∠ BFC ＝180°，∴∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝180°，即∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.15．(2010 ·玉溪 ) 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1) 如图 a ，若 AB ∥ CD ，点 P 在 AB 、 CD 外部，则有∠ B ＝∠ BOD .又因∠ BOD 是△ POD的外角，故∠ BOD ＝∠ BPD ＋∠ D ，得∠ BPD ＝∠ B －∠ D . 将点 P 移到 AB 、CD 内部，如图 b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠、∠ 、∠ D 之BPD B间有何数量关系？请证明你的结论；(2) 在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点 Q，如图 c，则∠ BPD、∠ B、∠ D、∠ BQD之间有何数量关系？( 不需证明 )(3)根据 (2) 的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解(1) 不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.延长 BP交 CD于点 E，∵ AB∥CD，∴∠ B＝∠ BED.又∠ BPD＝∠ BED＋∠ D，∴∠ BPD＝∠ B＋∠ D.(2)结论：∠ BPD＝∠ BQD＋∠ B＋∠ D.(3)设 AC与 BF交于点 G.由 (2) 的结论得：∠AGB＝∠ A＋∠ B＋∠ E.又∵∠ AGB＝∠ CGF，∠ CGF＋∠ C＋∠ D＋∠ F＝360°，∴∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠D＋∠ E＋∠ F＝360°.A 14．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是度． DEBC第 14 题2．如图，在△ ABC和△ ABD中，现给出如下三个论断：①AD＝BC；②∠C＝∠D；③∠1＝∠2。
七年级数学角度计算专项练习题及答案
七年级数学角度计算专项练习题及答案1. 角度的定义和计算角度是指由两条射线或线段所围成的部分，可以用度进行表示。
角度的计算主要有以下几个方面：(1) 同界角：同界角是指角的顶点和两边分别相等的角。
如果两个角是同界角，那么它们的度数也相等。
(2) 互补角：互补角是指两个角的度数加起来等于90度。
例如，30度的互补角是60度。
(3) 补角：补角是指两个角的度数加起来等于180度。
例如，80度的补角是100度。
(4) 相邻补角：相邻补角是指两个角的度数加起来等于180度，并且这两个角共享一条边。
例如，120度和60度是相邻补角。
2. 角度计算的基本步骤计算角度时，我们需要根据给定的信息进行分析，然后采取适当的计算方法。
下面是角度计算的基本步骤：(1) 首先，仔细观察题目中给出的图形和信息，理解题目所求的具体内容。
(2) 其次，在图形上标出已知的角度和线段长度。
(3) 根据已知信息，应用与角度计算相关的定理和公式进行计算。
(4) 最后，检查计算结果是否符合题目要求，并进行合理的解释。
3. 角度计算专项练习题及答案：现在我们来进行一些角度计算的练习，解答如下：题目一：在直线AB上，两点C和D分别位于B的两侧，且∠ACD = 40度，∠CBD = 70度，求∠ABC的度数。
解答：根据角度相加定理，可以得知∠ABC = ∠ACD + ∠CBD = 40度 + 70度 = 110度。
题目二：在平行线AB和CD之间，直线AC和BD相交于点O，如果∠AOC = 50度，求∠DOB的度数。
解答：由于直线AC和BD是平行线AB和CD的交线，所以根据同位角定理可知∠AOC = ∠DOB。
因此，∠DOB的度数也是50度。
题目三：在平行四边形ABCD中，∠C = 110度，求∠A和∠B的度数。
解答：根据平行四边形的性质可知，对角线是互补角。
所以，∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠C = 180度。
由此可得，∠A = 180度 - ∠C = 180度 - 110度 = 70度，∠B = 180度 - ∠C = 180度 - 110度 = 70度。
(完整版)七年级数学中的角度计算题
(完整版)七年级数学中的角度计算题角的问题1、如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且BOD BOC ∠=∠21 求∠BOD 、∠AOC 的度数2、一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数。
3、已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。
（1） 若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。
（4）（5）从前三问的结果你发现了什么规律？AOB CN M5、点O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。
（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示） （3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。
✍探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；✍在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(212AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。
DOCBA6、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝130度，那么∠A ＝（ ）度。
7、如图5，点0为直线AB 上的一点，∠BOC 是直角，∠BOD ：∠COD=4：1。
则∠AOD 是（ ）度。
8、如图，∠AOB 的顶点0在直线l 上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB ＝________度。
9、三个正方形叠放在一起，如图所示。
求：∠1的度数。
10、一个角的补角比它的余角的二倍还多18度，这个角有多少度？11、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，求∠BOE 的度数。
人教版七年级下册数学期末专项复习题：与角相关的问题【含答案】
人教版七年级下册数学期末专项复习题：与角相关的问题【含答案】阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念；3. 互余、互补等数量关系角；4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）B'A'O BA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）； （3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由ABODCEECDOBA图 ① 图 ②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可. 能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .EC DOBA（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .AB ODC4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.ECDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的117是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）2ABO1A.1212∠-∠B.132122∠-∠C. 1(21)2∠-∠ D.1(21)3∠+∠ （甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）αABODCEA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.ECDO BA11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.EC DOB A12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数. （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.EC DOBAB 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .（浙江省杭州市竞赛试题）2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .（江苏省竞赛试题）3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.F ABOD C E（五城市联赛试题）4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .F EC DOBA（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）987654321A. 270°B. 315°C. 360°D. 405°（广西省竞赛试题）7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）OCB APMNA.AOP MON ∠>∠B.AOP MON ∠=∠C.AOP MON ∠<∠D.以上情况都有可能8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）ABODCEA. 111.5°B. 138°C. 134.5°D. 178°（五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.FA BO DC E10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，322143325443A OA A OA A OA A OA A OA A OA ∠-∠=∠-∠=∠-∠==11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数....A 5A 4A 3A 2A 10A 11A 1O（山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例1 45° 提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；③11(1809090 22αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；④111()18090222αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合.故①②④能表示β∠的余角. 13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=12AOC∠，∠CON=∠BON=12BOC∠（1）如图①，若OC 在∠AOB 内，设∠BOC =x ，则图图 图 例6 （1）20m n ，2(6)0n ，且2m n 与2(6)n 互为相反数。
七年级下几何证明题（精选）
七年级下几何证明题（精选）第一篇：七年级下几何证明题（精选）七年级下几何证明题学了三角形的外角吗?(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角) 角ACD>角BAC>角AFE角ACD+角ACB=180度角BAC+角ABC+角ACB=180度所以角ACD=角BAC+角ABC所以角角ACD>角BAC同理：角BAC>角AFE所以角ACD>角BAC>角AFE解∶﹙1﹚连接AC∴五边形ACDEB的内角和为540°又∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∴∠A+∠C=180°∴AB∥CD﹙2﹚过点D作AB的垂线DE∵∠CAD=∠BAD,∠C=∠AEDAD为公共边∴Rt△ACD≌Rt△AED∴AC=AE,CD=DE∵∠B=45°∠DEB=90°∴∠EDB=45°∴DE=BEAB=AE+BE=AC+CD﹙3﹚∵腰相等，顶角为120°∴两个底角为30°根据直角三角形中30°的角所对的边为斜边的一半∴腰长=2高=16﹙4﹚根据一条线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等∴该交点到三角形三个顶点的距离相等解∶﹙1﹚先连接AC∴五边形ACDEB的内角和为540°∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∴∠A+∠C=180°∴就证明AB∥CD♂等鴏♀栐薳2010-05-3017:33(1)解：过E作FG∥AB∵FG∥AB∴∠ABE+∠FEB=180°又∵∠ABE+∠CDE+∠BED=360°∴∠FED+∠CDE=180°∴FG∥CD∴AB∥CD(2)解：作DE⊥AB于E∵AD平分∠CAB,CD垂直AC,DE垂直AB∴CD=DE,AC=AE又∵AC=CB,DE=EB,AC⊥CB,DE⊥EB∴∠ABC=∠EDB=45°∴DE=EB∴AB=AE+EB=AC+CD(3)16CM(4)3个顶点如图已知在四边形ABCD中，∠BAD为直角，AB=AD，G为AD 上一点，DE⊥BG交BG的延长线于E，DE的延长线与BA的延长线相交于点F。
七年级数学角的相关计算和证明(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到三角形的外角想什么？问题4：看到三角形的内角想什么？角的相关计算和证明（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( )A.80°B.107°C.73°D.100°答案：B解题思路：如图，结合已知条件，∠ADC可以看作△ACD的内角，也可以看作△ABD的一个外角，因此有两种思路．第一种思路：将∠ADC看作△ACD的内角：在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°；由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．在△ACD中，∠2=40°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠ADC=107°．第二种思路：将∠ADC看作△ABD的一个外角：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°；由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．∠ADC是△ABD的一个外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠B+∠1=67°+40°=107°．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：D解题思路：如图，由BD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，得∠E=∠ACD，这样就把∠E转化为∠ACD．而∠ACD可以看作△ABC的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠B=105°．所以∠E=105°．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )A.85°B.105°C.100°D.90°答案：D解题思路：如图，结合已知条件，∠BEC可以看作△BCE的内角，接下来的目标是求∠1和∠C．在△ABC中，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，根据三角形的内角和等于180°，得∠C=60°；因为AD⊥BC，根据垂直的定义，得∠ADB=90°；在Rt△BDF中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠1=90°-∠BFD=90°-60°=30°；在△BCE中，∠C=60°，∠1=30°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BEC=90°．故选D．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：C解题思路：如图，在△ACE中，要求∠E的度数，根据三角形的内角和等于180°，只需求出∠1+∠2的度数即可．由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠CAB+∠ACD=180°；又因为AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，得∠1=∠ACD，∠2=∠CAB，所以∠1+∠2=(∠ACD+∠CAB)=90°．在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠E=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC的度数为( )A.22°B.32°C.44°D.58°答案：A解题思路：如图，从已知出发，因为∠ADE=158°，由平角的定义得∠1=180°-∠ADE=22°．由DE⊥BC，EF⊥AC，根据垂直的定义，∠DEB=∠EFC=90°，所以∠B+∠1=90°，∠C+∠FEC=90°，又因为∠B=∠C，根据等角的余角相等，得∠FEC=∠1，所以∠FEC=∠1=22°．故选A．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为( )A.110°B.140°C.125°D.135°答案：C解题思路：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β，因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ABC=2∠DBC=2α，∠ACB=2∠DCB=2β．在△ABC中，∠A=70°，根据三角形的内角和等于180°，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，即2α+2β=110°，则α+β=55°．在△DBC中，α+β=55°，根据三角形的内角和等于180°，得∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-α-β=180°-55°=125°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为( )A.20°B.15°C.35°D.25°答案：B解题思路：如图，∠M可以放在Rt△DPM中，利用直角三角形两锐角互余计算，那么需要求∠2的度数；∠2可以看作△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2=∠B+∠1，因此问题转化为求∠1的度数．在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°；又因为AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠BAC=35°，从而可以求出∠2=75°，所以∠M=90°-∠2=15°．故选B．试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余。
冀教版2018-2019年七年级数学下册10.微专题：三角形内、外角有关的综合计算(含答案)
10．微专题：三角形内、外角有关的综合计算◆类型一在三角板或直尺中求角度1．(2017·盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1的度数是()A．150°B．135°C．120°D．105°第1题图第2题图2．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是________．◆类型二与平行线结合3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB.若∠ACD＝75°，则∠ACB为()A．55°B．65°C．75°D．85°第3题图第4题图4．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A ＝40°，则∠EGB等于()A．80°B．100°C．110°D．120°5．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE 交BC于H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．◆类型三与截取或折叠相关6．如图，已知△ABC为直角三角形，∠B＝90°.若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2＝________ °.7．D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，将三角形纸片ABC沿DE折叠．(1)如图①，若点A落在四边形BCED内部，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A落在BD或CE上时，分别写出∠DAE与∠2；∠DAE与∠1之间的关系(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠DAE与∠1、∠2之间的关系(不必证明)．参考答案与解析1．C 2.105° 3.B 4.C5．解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°，∴∠BEG＝35°.又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG ＝35°.(2)∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.6．2707．解：延长BD，CE交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.(1)图①中，连接AP，由三角形的外角性质知∠1＝∠DAP＋∠DP A，∠2＝∠EAP＋∠EP A，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠DAE.(2)图②中，∠2＝2∠DAE.图③中，∠1＝2∠DAE.(3)∠2－∠1＝2∠DAE.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角的相关计算和证明（导学案）知识过关背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________．F ED CBA3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F AG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．4. 如图，点F 是△ABC 边BC 延长线上一点，EF ∥AC ，过点E 作ED ⊥AB 于点D ，交AC 于点G ．若∠A =35°，则 ∠DEF =______．5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180°（__________________________）∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________） ∴DA ∥CB （__________________________）G FE DC BA 第6题图21F EDCBA21PD B AGFE DCBAG FE D C B A7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 已知：如图，点E 是△ABC 边BC 延长线上一点，BP 平分∠ABC ，CP 平分△ABC 的外角∠ACE ．求证：∠A =2∠P ．证明：如图，设∠PBC =α，∠PCE =β ∵BP 平分∠ABC （_____________________） ∴∠ABC =2∠PBC =2α （_____________________） ∵CP 平分∠ACE（_____________________）∴∠ACE =______=_______ （_____________________） ∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（_____________________） ∴∠ACE =∠ABC +∠A （_____________________） ∴2β=2α+∠A（_____________________）∴∠A =2(β α) （_____________________） ∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（_____________________） ∴∠PCE =∠PBC +∠P（_____________________）∴β=______+_______ （_____________________）21O E FDCBAE DAPEC B A∴∠P =β α （_____________________） ∴∠A =2∠P （_____________________） 10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足D ．求证：∠A =2∠BCD ．【参考答案】知识过关（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补． 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补； （2）相等；相等；相等（3）180°；互余；和它不相邻的两个内角的和 同位角、内错角、同旁内角直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和➢ 精讲精练1. 20°2. 25°3. 65°，70°4. 125°5. 60°6.已知 平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，D CBA21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90° （垂直的定义）∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知） ∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）8. 解：如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75° （已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75° =70°（三角形的内角和等于180°） ∵AE 平分∠BAC（已知）∴∠BAE =12∠BAC =12×70° =35°（角平分线的定义）∵∠AED 是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠AED =∠B +∠BAE =35°+35° =70° （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵AD ⊥BC（已知） ∴∠ADE =90°（垂直的定义）∴∠EAD =90°-∠AED=90°-70° =20°（直角三角形两锐角互余）9. 已知角平分线的定义 已知2∠PCE ，2β；角平分线的定义 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 等量代换 等式性质 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 α，∠P ；等量代换 等式性质 等量代换EDCADCB A10. 证明：如图，设∠B =∠ACB =α，在△ABC 中，∠B =∠ACB =α（已知） ∴∠A =180°-∠B -∠ACB=180°-2α（三角形的内角和等于180°）∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90°（垂直的定义）∴∠B +∠BCD =90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠BCD =90°-∠B=90°-α（等式的性质）∴∠A =2∠BCD （等量代换）角的相关计算和证明（当堂过关）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =70°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠FDE 的度数是_______．2. 已知：如图，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠F =130°．求证：EF ∥AB ． 证明：如图，EF D CBFEDC BA【参考答案】1. 20°2. 证明：如图，角的相关计算和证明（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．FEDC BA ACE D B思路分析 ①读题标注：②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°；由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；把∠B 当作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 作为△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）➢ 巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）A ．120°B ．115°C ．110°D ．105°第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70°D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．求证：．ABC DE21CB AD CBAEF EBC FD A1902D A ∠=︒+∠ABCDB D E CA20°80°证明：如图，设∠DBC =α，∠DCB =β ∵BD 平分∠ABC（__________________________） ∴∠ABC =2∠DBC =2α （__________________________） ∵CD 平分∠ACB（__________________________）∴∠ACB =______=_____ （__________________________） ∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（________________________） ∴2α+2β+∠A =180°（ 等量代换 ）∴α+β=_______________ （ 等式性质 ） ∵∠DBC +∠DCB +∠D =180° （_______________________） ∴____________________（__________________________） ∴α+β=______________ （__________________________）∴ （ 等量代换 ）∴ （ 等式性质 ）6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 的延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．➢ 思考小结1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________ _________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角190=1802A D ︒-︒-∠∠1902D A ∠=︒+∠A B CDE F1B C D M PF AE考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________． 2. 阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上） 第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？要求∠A ，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠B 的度数即可；结合题中的条件，由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°，再由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°； 最后，利用三角形的内角和等于180°， 得∠A =180°-∠B -∠C =180°-50°-70°=60°． 第三步：规划过程 过程分成三块：①由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°； ②由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°； ③利用三角形内角和定理求∠A ． 第四步：书写过程【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 60°2. 270°3. B4. A5.已知A B C D E F角平分线的定义已知2∠DCB，2β；角平分线的定义三角形的内角和等于180°1 902A︒-∠三角形的内角和等于180°α+β+∠D=180°，等量代换180°-∠D，等式性质6.证明：如图，∵AB∥DE（已知）∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）∵AC平分∠BAD（已知）∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）∴∠1=∠DAC（等量代换）∵∠1=∠ACB （已知）∴∠DAC=∠ACB（等量代换）∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）7.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（等式性质）∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠ACB=∠CFM+∠M（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（等式性质）。