二项式定理典型例题

高考数学专题复习二项式定理练习题

1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.

I 2仮丿

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：

前三项的r =01,2.

1 1 1 1 得系数为：1 =1,上

2 =。；一 =— n,t

3 = cn — = —ng-1

),

2 2 4 8

1 由已知：2t

2 =匕 叫

3 n= 1 + — n(n —1), 8

••• n =8

通项公式为

_ 16 J3r

1 ---

TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数,

2 /. r =0,4,8.

依次得到有理项为「= X 4

,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2

•

2 8 2 256

说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3

/3）100

的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中

系数和为3n

.

2. （1）求（1 —x ）3

（1+x ）10

展开式中X 5

的系数；（2）求（x + 1

+2）6

展开式中的常数

项.

X

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘；

（2）可以经过代数式变形转化为二项式.

解：（1 ） （1-x ）3

（1 +x ）10

展开式中的X 5

可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3

展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10

展开式中的 X 5

项，可以得到

C lo X 5

;用

“c"严k 丿

2n J3r

=c n 2^

x 4

r 的取值，得到共有

（1）可以

（1-x）3展开式中的一次项乘以（1+x）10展开式中的X4项可得到（―3X）（C40X4）=—3C40X5

(C o —C 4O +3C 3O -C !0)X 5 = —63x 5

.

的常数项为C ；2 =924

说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.

3.求（1+ X-X 2）6

展开式中X 5

的系数.

2 6 2 2 2

分析：（1+x-x ）不是二项式，我们可以通过 1+x-x =（1+x ）-x 或1+（x-x ）

把它看成二项式展开.

解：方法一：(1+x-X 2

)6

= (1+x) -X 2

f

6 5 2 4 4

= (1+x )-6(1+x) X +15(1+ x) X -

其中含X 5

的项为c l x 5

-6C 5X 5

+15。衣=6X 5

.

含x 5

项的系数为6.

用（1 _x ）3

中的X 2

乘以（1 +x ）10

展开式中的

o 2 3 3 3 5 3

x 3

可得到 3x C 10X =3C i0X ；用(1-x)中的

X 3

项乘以（1+x ）10

展开式中的x 2

项可得到

-3x 3

Cwx 2

= —Cwx 5

,

合并同类项得X 5

项为:

(x+l+2)5

X

'、vx 丿

展开式的通项公式T — =&2（丿2）12

亠

r 1 丫

五)

= C ；2X^r

，可得展开式

方法二：（1+ X -X 2

）6

= 1+( X-X 2)F

2

= 1+6(x-x )+15(x

—X 2

)2

+20(x —X 2

)3

+15(x —X 2

)4

+6(x —x 2

)5+(x —X 2)6

其中含 x 5

的项为 20(—3)x 5

+15(—4)x 5

+6x 5

=6x 5

.

二X 5

项的系数为6.

方法3 :本题还可通过把（1+ X-X 2

）6

看成6个1+ x-x 2

相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项， X 5项可由下列几种可能得到.

5个因式中取X , —个取1得到C 6X 5

.

（

2）

cn+ic^+^c 2^ + 亠㈡ 2 3

n +1

分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.

解决这两个小题的关键是通过组合数公式

将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质

C 0 + Cn +cn + …+ cn =2

解: (1)- kC 一

二

n!

=n • Z 二 ncn ；

k!( n-k)! (k —1)!( n-k)! (k-1)!( n+k)!

•••左边=nC 0

」+ nC ；」十"+nCni

n!

k!(n-k)! "(k-1)!(n-k)!

= C 1

十 + -^―C 241

n +1C n

十 n +1C n

勺

= £c J c 2

十

…I

n +1 n +1

说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质

求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定

理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求

z 'Cw +28C 9O +27。8

0 +…+2^0 +10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与 （1+2）10

的展开式接

近，但要注意:

(1 + 2)10

=C 00 +C 10 •2+C 20 讫

2

+…

+ C ：。亡9

+ c 10 亡

10

=1

+2X1O+22c 50 +…+2^9。+210

C 10

3个因式中取 9

3 13 2

X , 一个取-X 2

，两个取1得到C 6 C 3X •(—X ).

1个因式中取 9 12 2 2

X ,两个取-X 2

，三个取1得到C 6 C 5X (―X ).

合并同类项为

(c 6 -c 6c 3 +C 6C 5)X 5

=6X 5

,

X 5

项的系数为6.

4.求证：（1）

C ；+2C 2

+…+ncn =n (2n + _1).

n +1

n!

(n-1)!

—

n

( C n 」+C nj

+■■- +C 壮)=n ”2n 」=右边.

n!

—n +1 (n+1)!

(k+1)!(n -k)! n +1

1

^n + 二7C n 卅 n +1

+■■■ +c n iH —(2n

*-1H 右边. •••左边