高考数学专题 存在性问题

第76炼 圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于

,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

2

2

。 （1）求,a b 的值

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

成立？若存在，

求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3

::323

c e a b c a =

=⇒=

则,a b =

=，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时

:0l y x c x y c =-⇒--=

2

O l d -∴=

=

解得：1c =

a b ∴== 椭圆方程为：22

132

x y +=

（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r Q 012

012

x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩

联立直线与椭圆方程：()221236

y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()222

2316x k x +-=，整理可得：

()2

222326360k

x k x k +-+-=

2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232

k k

y y k x x k k k k +=+-=-=-++

22264,3232k k P k k ⎛⎫

∴- ⎪++⎝⎭

因为P 在椭圆上

2

2

2

22

642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

()()()2

2

42222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+

(

)2224632k k k ∴=+⇒=

当k =

时，):1l y x =-

，3,2

2P ⎛- ⎝⎭

当k =

):1l y x =-

，3,22P ⎛ ⎝⎭

当斜率不存在时，可知:1l x =

，1,

,1,33A B ⎛⎛⎫

- ⎪⎝⎭⎝

⎭，则()2,0P 不在椭圆上

∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，322P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦

点，已知1AF B V 的周长为8，椭圆的离心率为2

（1）求椭圆Γ的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且

OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由1AF B V 的周长可得：482a a =⇒=

2

c e c a ∴=

=⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆2

2:14

x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为2

2

2

x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

01r ∴<<

若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

PQ Q 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴=

=⇐=+

0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅=u u u r u u u r

即12120x x y y +=

联立方程：2

2

44

y kx m x y =+⎧⇒⎨

+=⎩()222148440k x kmx m +++-=

2121222844

,4141

km m x x x x k k -∴+=-=++

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++