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天津市高考十年数学试卷分析

天津高考十年真题解答题[04高考] (19)．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F 。

(I)证明 ∥PA 平面EDB ； (II)证明⊥PB 平面EFD ；(III)求二面角D -PB -C 的大小。

[05高考] （19）（本小题满分12分）（不易建系的问题，今后一般不考）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为ο120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角（Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积[06高考] (19)、（本题满分12分）（不易建系的问题，今后一般不考）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//12EF BC =．（1）证明FO //平面CDE ；（2）设3BC CD =，证明EO ⊥平面CDF ．[07高考] (19)．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．[08高考] （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.已知ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小ABCDPEFABCDPE.[09高考]（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值[10高考] （19）（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2）证明AF ⊥平面1A ED（3）求二面角1A ED F --的正弦值。

2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k Î³，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-×³-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。

2021年天津市高考数学试卷(解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()() P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B ．•球的体积公式313V R ，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，则()A B C （）A.0 B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】∵ 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，1A B ， ()0,1,2,4A B C .故选：C.2.已知a R ，则“6a ”是“236a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a ，则236a ，故充分性成立；若236a ，则6a 或6a ，推不出6a ，故必要性不成立；所以“6a ”是“236a ”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||2x y x的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当 0,1 x 时， 0f x ，排除D ，即可得解.【详解】设 2ln ||2x y f x x ，则函数 f x 的定义域为0x x ，关于原点对称，又2ln ||2x f x f x x，所以函数 f x 为偶函数，排除AC ；当 0,1 x 时，2ln ||0,10x x ，所以 0f x ，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： 66,70、 70,74、、 94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 82,86内的影视作品数量为4000.05480 .故选：D.5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b cB.c a bC.b c aD.a c b【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10 ∵，0a ，122225log 0.4log 0.4log log 212∵，1b ，0.3000.40.41 ∵，01c ，a c b .故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B 【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD，设球的半径为R ，则343233R，可得2R ，所以，44AB AD BD BD ，所以，1BD ，3AD ，CD AB ∵，则90CAD ACD BCD ACD ，所以，CAD BCD ，又因为ADC BDC ，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD，CD ，因此，这两个圆锥的体积之和为 21134433CD AD BD .故选：B.7.若2510a b ，则11a b（）A.1 B.lg 7C.1D.7log 10【答案】C 【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】∵2510a b ，25log 10,log 10a b ，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b .故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的右焦点与抛物线22(0)y px p 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若||CD AB ．则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为 ,0c ，进而可得准线为x c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c ，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b与抛物线22(0)y px p 的公共焦点为 ,0c ，则抛物线22(0)y px p 的准线为x c ，令x c ，则22221c y a b ，解得2b y a ，所以22bAB a,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a ，所以2bcCD a，所以22bc a a，即c ，所以222212a c b c ，所以双曲线的离心率ce a故选：A.9.设a R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a，若()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.95112,,424B.5711,2,424C.9112,,344D.11 ,2,3447【答案】A 【解析】【分析】由 222150x a x a 最多有2个根，可得 cos 220x a 至少有4个根，分别讨论当x a 和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】 222150x a x a ∵最多有2个根，所以 cos 220x a 至少有4个根，由22,2x a k k Z可得1,24k x a k Z ，由1024k a a 可得11222a k ，（1）x a 时，当15242a 时， f x 有4个零点，即7944a ；当16252a ， f x 有5个零点，即91144a ；当17262a ， f x 有6个零点，即111344a ；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a ，22Δ4(1)4582a a a ，当2a 时，， f x 无零点；当2a 时，0 ， f x 有1个零点；当2a 时，令22()2(1)5250f a a a a a a ，则522a ，此时 f x 有2个零点；所以若52a时， f x 有1个零点.综上，要使()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则应满足7944522a a或91144522a a a 或或1113442a a ，则可解得a 的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a 和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题目，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数92i2i_____________．【答案】4i 【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5 .故答案为：4i .11.在6312x x的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x的展开式的通项为636184166122rrrr r r r T C x C x x，令1846r ，解得3r ，所以6x 的系数是3362160C .故答案为：160.12.的直线与y 轴交于点A ，与圆 2211x y 相切于点B ，则AB ____________．【答案】【解析】【分析】设直线AB方程为y b，则点 0,A b ，利用直线AB 与圆2211x y 相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b，则点 0,A b ，由于直线AB 与圆 2211x y 相切，且圆心为 0,1C ，半径为1，则112b ，解得1b 或3b ，所以2AC ，因为1BC ，故AB .13.若0 , 0a b ，则21a b a b 的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】∵0 , 0a b ，212a b b a b b b当且仅当21a a b 且2b b，即a b所以21a b ab的最小值为.故答案为：14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C .故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB 且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF的值为____________；()DE DF DA的最小值为____________．【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BE x ，由222(2)44BE DF BE BE DF DF 可求出；将()DE DF DA化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x ，10,2x，ABC ∵ 为边长为1的等边三角形，DE AB ，30,2,,12BDE BD x DE DC x ，∵//DF AB ，DFC 为边长为12x 的等边三角形，DE DF ，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ，|2|1BE DF，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA ∵ 222311)(12)(1)53151020x x x x x，所以当310x时，()DE DF DA 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B Cb ．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C的值．【答案】（I ）（II ）（III ）116【解析】【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c ，即可求出；（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C ，由正弦定理可得::2a b c ，b ∵2a c ；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab ；（III ）3cos 4C ∵，7sin 4C ，3sin 22sin cos 2448C C C ，291cos 22cos 121168C C ，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C111828216.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角正弦值．（III ）求二面角11A A C E 的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）9；（III ）13【解析】【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C 运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 0,0,0A , 10,0,2A , 2,0,0B , 2,2,0C , 0,2,0D , 12,2,2C , 10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 2,1,0E ， 1,2,0F ，所以 11,0,2D F , 112,2,0A C , 12,1,2A E,设平面11A EC 的一个法向量为 111,,m x y z ，则11111111202202m x y m x y A A E z C ，令12x ，则 2,2,1m ，因为1220m D F ，所以1m D F ，因为1D F 平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得， 12,2,2AC ，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为，则111sin cos ,9m A C AC m m C A ；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为 2,2,0DB ，则22cos ,3DB m DB m DB m ，所以二面角11A A C E的正弦值为13 .18.已知椭圆 222210x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为5，且BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y ；（2）0x y .【解析】【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点 00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x x y y ，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k ，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点 ,0F c 、 0,B b ，故BF a因为椭圆的离心率为5c e a ，故2c ，1b ，因此，椭圆的方程为2215x y ；（2）设点 00,M x y 为椭圆2215x y 上一点，先证明直线MN 的方程为0015x x y y ，联立00221515x x y y x y ，消去y 并整理得220020x x x x ，2200440x x ，因此，椭圆2215x y 在点 00,M x y 处的切线方程为0015x x y y.在直线MN 的方程中，令0x ，可得01y y ，由题意可知00y ，即点010,N y，直线BF 的斜率为12BF b k c ，所以，直线PN 的方程为012y x y ，在直线PN 方程中，令0y ，可得012x y ，即点01,02P y ，因为//MP BF ，则MP BF k k ，即20000002112122y y x y x y ，整理可得 20050x y ，所以，005x y ，因为222000615x y y ，00y ，故066y ，0566x ，所以，直线l的方程为166x y，即0x y .【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m 与椭圆方程联立，由0 进行求解；（2）椭圆22221x y a b在其上一点 00,x y 的切线方程为00221x x y y a b ，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b 与椭圆22221x y a b相切.19.已知 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b ．（I ）求 n a 和 n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N ，（i ）证明22n n c c 是等比数列；（ii）证明 *n k n N 【答案】（I ）21,n a n n N ，4,n n N b n ；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得 n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224n n n c c ，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c，进而可得112n n k k k k ，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ，所以11a ，所以 12121,n n n n N a a ；设等比数列 n b 的公比为 ,0q q ，所以 221321484q b b b q q b q ，解得4q （负值舍去），所以114,n n n b q n N b ；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b ，所以22224211442444n n n n n nn c c ，所以220n n c c ，且212222124424n n n n n n c c c c ，所以数列22n n c c 是等比数列；（ii ）由题意知， 22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a ，12n n ，所以112n n k k k k ，设10121112322222n n k n k k n T ，则123112322222n n n T ，两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n n n T ，所以1242n n n T，所以1112422n n k n k k n.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为n k 由错位相减法即可得证.20.已知0a ，函数()x f x ax xe ．（I ）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）(1),(0)y a x a ；（II ）证明见解析；（III ）,e【解析】【分析】（I ）求出 f x 在0x 处的导数，即切线斜率，求出 0f ，即可求出切线方程；（II ）令 0f x ，可得(1)x a x e ，则可化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点，利用导数求出 g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令 2()1,(1)xh x x x e x ，题目等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ，利用导数即可求出 h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e ，则(0)1f a ，又(0)0f ，则切线方程为(1),(0)y a x a ；（II ）令()(1)0x f x a x e ，则(1)x a x e ，令()(1)x g x x e ，则()(2)x g x x e ，当(,2)x 时，()0g x ， g x 单调递减；当(2,)x 时，()0g x ， g x 单调递增，当x 时， 0g x ， 10g ，当x 时， 0g x ，画出 g x 大致图像如下：所以当0a 时，y a 与 y g x 仅有一个交点，令 g m a ，则1m ，且()()0f m a g m ，当(,)x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递增，当 ,x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递减，x m 为 f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m ，此时)1(1,m a m e m ，所以 2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m ，令 2()1,(1)xh x x x e x ，若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ， 2()2(1)(2)x x h x x x e x x e ，1x ，当(1,1)x 时，()0h x ， h x 单调递减，当(1,)x 时，()0h x ， h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ，故b e ，所以实数b 的取值范围 ,e .【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x .祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2021年天津市高考数学试卷(含答案解析)

【答案】
【解析】
【分析】设直线方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故 .
故答案为： .
13.若，则的最小值为____________．
【答案】
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
7.若，则（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
8.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）
【解析】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为 .
故答案为： .
14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为 .
故选：D.
5.设，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】

天津市高考数学试卷分析

天津市高考十年数学试卷分析目录第一部分：选择题与填空题基本知识点分析1．知识点：复数的基本概念与运算（历年都考）。

重点：复数的乘除运算。

试题类型：选择题；位置：第一题；难度：容易试题规律：复数的基本运算为必考试题，一般是放在选择的第一题，作为全卷的第一题非常容易，起到稳定军心的作用，但此题绝对不能出错。

2．知识点：四种命题及充要条件（历年都考）。

重点：充要条件判断、命题的否定与否命题，考真假命题。

试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：都是与其它知识点结合，重点考查充要条件的判断。

新课标有转向全称与特称命题的趋势。

充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围”，而范围经常是用图形来表示的，所以要用数形结合的思想来求解。

3．知识点：分式与绝对值不等式及集合。

重点：解二次和分式不等式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重要不等式求最值。

试题类型：选择题；位置：前7题；难度：容易试题规律：经常与集合结合，含绝对值不等式。

4．知识点：三角函数图象性质，正余弦定理解三角形（考图象性质，考解三角形）重点：化一公式、图象变换、函数)sin(φω+=x A y 的性质、正余弦定理解题。

试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：常考查三角函数的单调性、周期性及对称性；三角函数的图象变换。

重点为)sin(ϕω+=x A y 型的函数。

5．知识点：函数性质综合题（奇偶、单调、周期、对称等）、特别是结合分段函数是新课标的考查重点（每年都考）试题类型：选择题；位置：选择后3题；难度：较难试题规律：是必考题。

重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。

结合分段函数是新课标的考查重点6．知识点：圆锥曲线定义及几何性质有关问题（椭圆双曲线准线不考）（抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交）试题类型：选择题；位置：前五题；难度：容易试题规律：考三种圆锥曲线各自的独特性，椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线7．知识点：抽样统计小题是趋势试题类型：填空题；难度：中等或容易试题规律：抽样方法，概率与统计，重要不等式的应用，分层抽样应用题8．知识点：直线与圆（常与参数方程极坐标等结合，主要是直线与圆相切或相割）试题类型：选择题或填空题；位置：前六题；难度：容易试题规律：重点考查直线与圆的基本题型，直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。

2024年天津市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2023年天津市高考数学真题及答案解析

2023年天津市高考数学真题及答案解析一、选择题1.若函数 f(x) 满足 f(1)=4，且 f'(x)-2f(x)=3x，则 f(x) 的表达式为（）。

A. 2e^2x + ln3x + 1B. 2e^2x - ln3x + 1C. e^2x + ln3x - 1D. e^2x - ln3x - 1解析：由 f'(x)-2f(x)=3x，可以得到 f'(x)=3x+2f(x)。

观察选项，B 选项的 e^2x 后面没有负号，并且满足 f'(x)=3x+2f(x)，所以选 B。

2.已知等差数列 {an} 的公差是 3，a1+a3+a5=a11，表达式 an=（）。

A. a1 + 2(n-1)B. a1 + 3(n-1)C. 2a1 - 3(n-1)D. 2a1 + 3(n-1)解析：因为等差数列的公差是 3，所以 a3=a1+2d，a5=a1+4d，a11=a1+10d。

将题目中的等式代入可得(a1+2d)+(a1+4d)+(a1+6d)=(a1+10d)，化简得到3a1+12d=11a1+10d，继续化简得到a1=2d。

根据等差数列的通项公式可知an=a1+(n-1)d，将 a1=2d 代入即可得到选项 B。

二、填空题1.若 2^(x+1) - 9√2^x + 8 = 0，则 x = （）。

解析：将9√2^x 移项并改写为9√2^x = 2^(x+1) - 8，再对两边同时平方可得 81 * 2^x = (2^(x+1) - 8)^2。

进一步展开并整理化简后可得 2^x=36，即 x=log2(36)。

使用换底公式可将底为 2 的对数转换为底为 10 的对数，即 x=log10(36)/log10(2)。

2.在ΔABC中，P 是 AB 的中点，AP 的中线为 AD，PM ⊥ CD 于 M，且 E 为 BC 的中点，则 PM 的长度为（）。

解析：根据题意，AP 的中线为 AD，所以 PM 是 AD 的一半，即 PM=1/2AD。

2024年天津市高考数学真题试卷(附答案)

2024年天津市高考数学真题试卷一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（） A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A ．6B 12+ C D 12-二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．15．若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为．三、解答题16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，． (1)求a ； (2)求sin A ； (3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中2ABC S =△． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案1．B【详细分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【过程详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B2．C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【过程详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．A【详细分析】由点的分布特征可直接判断【过程详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A4．B【详细分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【过程详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141eϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【过程详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6．C【详细分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【过程详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误. 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误. 对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C.7．A【详细分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【过程详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【详细分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【过程详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =则21122PF PF F F c c ====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【详细分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【过程详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【过程详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7. 11．20【详细分析】根据题意结合二项展开式的通项详细分析求解即可. 【过程详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45/0.8【详细分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【过程详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513．3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【过程详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【过程详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【详细分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【过程详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则2x =±，不符合要求，舍去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得， ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【名师点评】关键点名师点评：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【过程详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 16A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+=17．(1)证明见解析(2)11【详细分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【过程详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,11m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11；（3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB mm⋅==，即点B到平面1CB M的距离为11.18．(1)221129x y+=(2)存在()30,32T t t⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ⋅≤恒成立.【详细分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx=-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t表示TP TQ⋅，再根据0TP TQ⋅≤可求t的范围.【过程详解】（1）因为椭圆的离心率为12e=，故2a c=，b=，其中c为半焦距，所以()()2,0,0,,0,2A cB C⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，故122ABCS c=⨯=△故c=a=，3b=，故椭圆方程为：221129x y+=.（2）若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx=-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，由22343632x yy kx⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx+--=，故()222Δ144108343245760k k k=++=+>且1212221227,,3434kx x x xk k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t=-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【名师点评】思路名师点评：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =- ①(2)证明见过程详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【详细分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式详细分析求解；（2）①根据题意详细分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法详细分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法详细分析求解.【过程详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112n n n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =-+=∑.【名师点评】关键点名师点评：1.详细分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和详细分析可得()()1211213143449k k k k ii bk k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2){}2(3)证明过程见解析【详细分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论. 【过程详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-. （2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g⎛⎫⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤+-=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件. 综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=+<+=-+= ⎪⎝⎭'，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'. 所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<-> ()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤. 情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立. 综上，结论成立.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

2022年新高考天津数学高考真题—试卷分析

11
0.85
已知圆的弦长求方程或参数；
18
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求椭圆的切线方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；
空间向量与立体几何
2
7
0.65
柱体体积的有关计算；求组合体的体积；
16
0.65
空间位置关系的向量证明；线面角的向量求法；面面角的向量求法；
10
0.85
识记
求二项展开式的第k项；
11
0.85
识记
已知圆的弦长求方程或参数；
14
0.4
理解
根据函数零点的个数求参数范围；根据二次函数零点的分布求参数的范围；
三、双空题
12
0.85
理解
计算条件概率；乘法公式；
13
0.85
理解
用基底表示向量；向量夹角的计算；
四、解答题
15
0.85
理解
用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；
2
0.94
识记
判断命题的充分不必要条件；
3
0.65
理解
函数奇偶性的应用；函数图像的识别；根据解析式直接判断函数的单调性；
4
0.85
理解
比较对数式的大小；由幂函数的单调性比较大小；
5
0.85
识记
对数的运算；对数的运算性质的应用；
6
0.65
理解
根据a、b、c求双曲线的标准方程；已知方程求双曲线的渐近线；根据抛物线方程求焦点或准线；
12
0.85
计算条件概率；乘法公式；
20
0.85
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；

天津高考数学试卷点评：解答题变动较大

天津高考数学试卷点评：解答题变动较大2021天津高考数学试卷点评：解答题变动较大2021年天津高考数学试卷相比2021年高考数学题目总体难度稳中有升，但总体始终贯穿新课标的根本要求，比拟能够考察考生对数学学科的综合认识以及把握水平。

其中，选择题和填空题较往年出题无大幅变化，但是解答题较往年有了较大变动，大局部题目重点强调根底概念，但同时对于考生的分析能力也有了较高要求。

总之，2021年的天津数学高考试卷告诉我们这样一个重要信息：高考复习阶段一定要重视根底、关注高考热点和高频考点，同时加强数学能力的培养。

分工程评析：选择题：2021年天津高考文理卷共同考察的主要内容有：复数化简运算、函数性质、函数求导、框图的理解、解三角形、对数指数函数、不等式、集合的概念。

题目都较为根底，属于基此题，也是每年高考中频繁出现的高频考点，更是2021年备考时考生应重点关注的内容，这些题目在考试中应该拿到大局部甚至全局部数！2021年天津高考理科卷单独考察的主要内容有：圆锥曲线、数列〔等比数列〕、排列组合。

其中圆锥曲线和数列的题目难度不大，考生普遍反映的是最后一道选择题——排列组合比拟难做，很多考生根本没有思路。

其实，这道题的做法很多，其中一种方法就是将此题转换为有条件的填色问题。

有条件的填色问题是天津高考中的考试热点，出卷人对这种类型题乐此不疲屡次在高考中涉及到，我们可以采取传统的分析法解题，也可以采取改良的“三值定量〞法迅速解题。

所以这道题目在传统题型的根底上有所创新有所改良，既考察了学生对于排列组合根本概念的深入理解，又考察了考生对于传统类型题的透彻把握，而且还需要考生在考场上能够根据具体情况应对变化，不失为近几年天津高考题目中的经典之题！2021年天津高考文科卷单独考察的主要内容有：线性规划、三角函数平移、函数值域。

其中线性规划和三角函数平移都属于常规题型，难度不大。

最后一道选择题——函数值域是广阔考生反映的难题。

天津高考数学卷2023讲解

天津高考数学卷2023讲解天津高考数学卷2023讲解一、解析选择题（共25题，每题4分）2023年的天津高考数学卷选择题部分难度适中，涵盖了基础和拓展知识点。

下面我们逐题进行详细解析。

1. 题目：已知函数f(x)在[-1,1]上连续，下列结论正确的是（）选项：A. f(x)在[-1,1]上可导；B. f(x)在(-1,1)内可导；C. f(x)在[-1,1]的某个区间内可导；D. f(x)在[-1,1]内可能不可导。

解析：根据连续函数的性质，函数在闭区间上连续必然在开区间内连续。

因此，选项B正确。

2. 题目：已知复数z满足|z+2i|=4，z的幅角为α，下列选项中，α的取值范围正确的是（）选项：A. 0≤α<π；B. π/2<α<5π/2；C. π/4≤α<9π/4；D. π/3<α<π/2。

解析：根据复数的几何表示，|z+2i|=4表示z到复平面上的点和-2i的距离为4。

通过绘制图形，我们可以得出α的取值范围为π/4≤α<9π/4，因此选项C正确。

3. 题目：已知函数f(x)在区间(-∞,1)上为减函数，下列结论正确的是（）选项：A. f(x)在(-∞,1)上不可导；B. f(x)在(-∞,1)上不连续；C. f(x)在(-∞,1)上有极大值点；D. f(x)在(-∞,1)上无极大值点。

解析：由于f(x)是减函数，在(-∞,1)上有单调递减的趋势。

根据单调函数的性质，减函数的导数非正且单调递减。

因此，选项D正确。

……四、解析解答题（共3题，每题20分）2023年的天津高考数学卷解答题部分包含了三道挑战性较高的题目。

下面我们一起来解答。

1. 题目：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续且有导数，在(0,1)内单调递增。

已知f(0)=0，且f(x)满足方程f'(x)+f(x)=2x^2-4x+2。

求f(x)在[0,1]上的解析式。

解析：根据题意，我们可以得到f'(x)=2x^2-4x+2-f(x)。

高考天津卷理数试题解析(正式版)(解析版).docx

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件 A ，B 互斥，那么 •如果事件 A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )P (B )． •棱柱的体积公式V =Sh . •锥体的体积公式13V Sh =. 其中 S 表示棱柱的底面面积，其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱柱的高． h 表示棱锥的高．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B I =（A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D 【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==I 选D .考点：集合运算（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B考点：线性规划（3）在△ABC 中，若=13AB ，BC =3，120C ∠=o ，则AC =（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）2 （B ）4（C ）6（D ）8【答案】B 【解析】试题分析：依次循环：8,2;2,3;4,4,S n S n S n ======结束循环，输出4S =，选B. 考点：循环结构的程序框图（5）设{n a }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.考点：充要关系（6）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（A ）22443=1y x - （B ）22344=1y x - （C ）2244=1y x - （D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设(,)A x y在第一象限，则22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩，∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 考点：双曲线的渐近线（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF BC →→g 的值为（A ）58- （B ）18（C ）14（D ）118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b=+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r .考点：向量数量积（8）已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f (x )│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）（0，23] （B ）[23，34]（C ）[13，23]U {34} （D ）[13，23）U {34} 【答案】C【解析】考点：函数性质综合应用第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-b i ）=a ，则ab的值为_______. 【答案】2 【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．考点：复数相等（10）281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-试题分析：展开式通项为281631881C ()()(1)C r r r r r rr T x xx--+=-=-，令1637r -=，得3r =，所以展开式中7x 的系数为338(1)56C -=-．故答案为56-．考点：二项式定理（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）【答案】2 【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，因此所求四棱锥的体积1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2．考点：三视图、几何体的体积（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.23考点：相交弦定理(13) 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞ ，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f （2），则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->可化为1(2)2)a f f ->，则122a -<112a -<，解得1322a <<．考点：利用函数性质解不等式(14) 设抛物线22,2x pt y pt⎧=⎨=⎩ （t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为32则p 的值为_________. 6 【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||2A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以262CEF CEA S S ==V V 92ACF AEC CFE S S S =+=V V V所以132922p ⨯=6p = 考点：抛物线定义三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) （本题满分13分）已知函数()f x =4tan x sin(2x π-)cos(3x π-)- . (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f (x )在区间[,44ππ-]上的单调性.【答案】（Ⅰ）{|,}2x x k k π≠+π∈Z ，π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：()=2sin 23f x x π-（），再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；()II 根据（Ⅰ）的结论，研究函数f (x )在区间[,44ππ-]上单调性.试题解析：()I ()f x 的定义域为,2x x k k ⎧π⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z . ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos sin 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π-=-（）.所以, ()f x 的最小正周期2.2T π==π ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z由222232k x k πππ-+π≤-≤+π,得5,.1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 设5,,,441212A B x k x k k ππ⎧ππ⎫⎡⎤=-=-+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工所以，事件A 发生的概率为13.()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()222334210C C C 0C P X ++==415=， ()11113334210C C C C 71C 15P X +===， ()1134210C C 42C 15P X ===.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率、随机变量的分布列与数学期望（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r.设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ . 不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ⋅=u u u r u r，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r为平面OEF 的一个法向量. 依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r.因此2227cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r 所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721. 考点：利用空间向量解决立体几何问题(18)(本小题满分13分)已知{n a }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（I ）设22*1,,n n n c b b n +=-∈N 求证：数列{n c }是等差数列；(II)设22*11,(1),N ,nk n kk a d T b n ===-∈∑ 求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：212;n n c c d +-=（Ⅱ）证明数列不等式一般以算代证,先利用分组求和化简n T ，再利用裂项相消法求和，易得结论.试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（II ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-+++-+L()()()24222222221,n n d a a a n a a d d n n =++++=⋅=+L所以()222211111111111112121212nn n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和（19）（本小题满分14分）设椭圆2221(3x y a a +=> 的右焦点为F,右顶点为A.已知113,||||||eOF OA FA += 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（I ）求椭圆的方程；（II ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由113||||||e OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，试题解析：（I ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，)3412,3449(222++-=k kk k BF . 由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程（20）（本小题满分14分）设函数3()(1)f x x ax b =---，x ∈R ，其中a ,b ∈R. (I)求f (x )的单调区间；(II)若f (x )存在极点x 0，且f (x 1)= f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； (III)设a ＞0,函数g (x )= |f (x )|,求证：g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于．．．14.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=。

天津高考数学试卷点评：难度区分合理

天津高考数学试卷点评：难度区分合理纵观2021年天津高考数学试卷，笔者总体感受在引入新奇元素的同时也保留了天津本地稳固为主的特点，试题简洁明快，特色鲜亮，平凡问题考查真功夫，在考查基础知识的同时注重对思想方法与能力的考查，试卷从试题的综合性、应用性和创新性的角度设计了由易到难的整体布局，试题的难易分布梯度较为平缓，试题情形设置合理，紧扣教材选题的同时也有着相当的创新要素，关于考生能力的要求进一步提高。

与2021年相比，今年试卷总体难度稍有上升。

今年高考试卷结构上专门好地秉承了天津高考以稳为主的命题思路，题型分布和考点设置上没有太大变化，严格依照《考试说明》中规定的考查内容，准确把握考查要求，对基础知识的考查既注重全面又突出重点。

试卷每种题型均设置了数量较多的基础题，许多试题差不多上考查单一的知识点或是在最基础的知识交汇点上设置，例如试卷中的选择题第1、2、3、4题，填空题第9、10、11、12题，这部分试题确实是通常意义上的送分题，考查考生的差不多功，需要牢牢把握。

二、注重能力立意，更加注重创新2021年天津数学试题表达了《考试说明》规定的各项能力要求，运算求解能力贯穿试卷始终，空间想象能力考查也达到一定深度，推理论证能力和抽象概括能力依旧是考查的重点，在区分考生时起到重要作用。

试卷中依旧注重应用意识与创新意识的考查，如第16题，以实际问题为背景，考查概率知识在实际问题中的简单应用;第7、14、20题构思与设问较为新颖，考查了学生的创新意识。

除以上几点外，今年天津卷最大的亮点在于引入了创新题型。

此类题型在北京等其他省市通过多年尝试与摸索差不多初步成型，并已逐步形成一种命题趋势。

这类题型的特点在于题干比较抽象，需要考生具有较强的明白得力，同时在准确明白得题意的基础上综合使用相应的知识进行解题。

如第19题，在数列问题中引入了集合环境，以全新的角度设置问题，重在考查考生对设问的明白得。

第1问枚举关心考生明白得题意，而第2问的新意在于要求考生构造二者差值，这是对其不等关系进行实质性分析的基础，而关于该差值的极端化处理则是放缩法证明不等式的差不多技巧。