数阶幻方的
合数阶幻方的构造法
合数阶幻方的构造法一、概念和公式1、设n 阶矩阵()n ij n nA a ⨯=，,k b N ∈（1）定义()n ijn nkA ka ⨯=即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都乘以k ； （2）()n ij n nA b a b⨯+=+，即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都加上b ；由（1）（2）得出：()n ij n nkA b ka b ⨯+=+（3）()n m ij m mn mn A B a B ⨯⨯=⨯ 2 、()1n n n I ⨯= ，()n n n kI k ⨯= 二、用3幻方构造9阶幻方3492357816A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33811246705A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，3111111111I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，339999999999B I ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3333333333391(1)246705B B B A B B B B B B ⎛⎫⎪-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，()333333333333A A A A A A A A A A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3333339333333333333333339(1)246705B A B A B A A A B A B A B A B A B AA B A ⨯+++⎛⎫⎪=-⨯+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭就是9阶幻方。
其中33949992939597989196k k k kB A k k k k k k +++⎛⎫⎪+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭表示由91,92,,99k k k +++ 这9个数构成的3阶幻方。
33333393333333333331362976817413181130323475777912141635283380737817101538222720404538586356246212325394143575961705261924443742625560677265492495447666870357485B A B A B A A B A B A B A B AA B A +++⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪+++⎝⎭052716469816534651⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭二、合数(3,;3,)n ab a a N b b N =≥∈≥∈ 已知a A ，b A ，1、 做出1a A -，就是把a A 中的每个数都减去12、 做出b I ，以及2b b B b I =3、 计算(1)a b A B -⨯4、 做出()b b b a abb a a A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 5、 那么()(1)n a b b a a A A B A ⨯=-⨯+就是一个n 阶幻方。
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
幻方知识点总结
幻方知识点总结一、幻方的定义。
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。
二、幻方的阶数。
1. 阶数的概念。
- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。
常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。
2. 不同阶数幻方的特点。
- 三阶幻方。
- 是最基本、最常见的幻方。
它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。
在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。
例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。
- 四阶幻方。
- 构造相对复杂一些。
四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。
三、幻方的构造方法。
1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。
- 把1（或最小的数）放在第一行正中。
- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。
2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。
- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。
- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。
例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。
幻方制作方法
幻方制作方法一、什么是阶数？横竖各3格就是3阶，各4格就是4阶，依此类推。
二、奇数阶幻方的构造方法：把1放在中间，右上行走，上边出头往下落，右边出头往左走，占位或者对角出头往下落三、4×n阶幻方的构造（一）4×1阶幻方的构造方法一第一步：依次填数第二步：对角交换1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（二） 四阶幻方的构造方法二第一步：依次填数 第二步：不是对角的交换1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16总结：基本的四阶幻方的构造，是先依次填数，然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。
（三）4×n 阶幻方的构造我们已经知道了4×1阶幻方的构造方法：然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。
那么4×n 阶幻方的构造方法，完全与4阶幻方的构造一样，也是：要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。
但是，在构造4×2阶幻方时候，要把每2×2格作为一格，在构造4×3阶幻方时候，要把每3×3格作为一格，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 59 60 61 62 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 575859606162636416 2 3 13 34 5 11 10 8 34 9 7 6 12 34 4 14 15 1 34 34 34 34 341 15 14 4 34 12 6 7 9 34 8 10 11 5 34 13 3 2 16 34 34 34 34 3464 63 3 4 5 6 58 57 56 55 11 12 13 14 50 49 17 18 46 45 44 43 23 24 25 26 38 37 36 35 31 32 33 34 30 29 28 27 39 40 41 42 22 21 20 19 47 48 16 15 51 52 53 54 10 9 8 7 59 60 61 62 2 11 2 62 61 60 59 7 89 10 54 53 52 51 15 1648 47 19 20 21 22 42 4140 39 27 28 29 30 34 3332 31 35 36 37 38 26 2524 23 43 44 45 46 18 1749 50 14 13 12 11 55 5657 58 6 5 4 3 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 1441 2 3 141 140 139 138 137 136 10 11 1213 14 15 129 128 127 126 125 124 22 23 2425 26 27 117 116 115 114 113 112 34 35 36108 107 106 40 41 42 43 44 45 99 98 9796 95 94 52 53 54 55 56 57 87 86 8584 83 82 64 65 66 67 68 69 75 74 7372 71 70 76 77 78 79 80 81 63 62 6160 59 58 88 89 90 91 92 93 51 50 4948 47 46 100 101 102 103 104 105 39 38 37109 110 111 33 32 31 30 29 28 118 119 120121 122 123 21 20 19 18 17 16 130 131 132133 134 135 9 8 7 6 5 4 142 143 144（三）如何在纸上快速填写4n阶幻方，参看上图1、我们假设对角不变。
数阶幻方的编排方法
数阶幻方的编排方法什么是数阶幻方？数阶幻方是一种古老的数学问题，其中的数字被排列在一个正方形的矩阵中，并且每一行、每一列以及对角线的所有数字之和都相等。
幻方有很多阶数，比如3阶幻方、4阶幻方、5阶幻方，以此类推。
在本文中，我将探讨一些数阶幻方的编排方法。
3阶幻方的编排方法：最简单的3阶幻方可以通过填充1到9之间的数字来实现。
可以使用简单的试错方法，将数字填入3x3矩阵中，并检查每一行、每一列以及对角线的和是否相等。
下面是一种可能的解决方案：```816357492```上面的解决方案是通过不断尝试和调整数字的位置来得到的。
当然，3阶幻方还有其他可能的编排方法，但这是最常见的一种。
4阶幻方的编排方法：4阶幻方相对更加复杂一些，因为需要填充16个数字。
简单的试错方法通常不再适用，需要使用一些更加高级的算法来解决问题。
一种解决4阶幻方问题的方法是使用“奇偶对角线法”。
这种方法涉及到将数字分成两组：奇数和偶数。
首先，将1放置在矩阵的中心，并将2放置在1的上方。
然后，将3放置在2的右方，以此类推，直到填满了一个对角线。
此时，将奇数组的数字放置在偶数组的对角线上，并反之亦然。
最后，将两组数字各自在外侧的对角线上交换位置。
下面是一种可能的解决方案：```11415412679810115133216```需要注意的是，这种方法只是其中一种可能的4阶幻方编排方法，并且可能有多个解决方案。
其他数阶幻方的编排方法：对于更高阶的幻方，编排方法会更加复杂。
通常，需要使用更加高级的算法和数学技巧来解决问题。
对于5阶幻方，可以使用“差位赋值法”来填充数字。
该方法涉及到将数字从1到25分别放在矩阵中不同的位置上，使得每一行、每一列以及对角线的和都相等。
对于6阶幻方，目前还没有找到一种通用的解决方法。
6阶幻方问题一直以来都是数学家们的挑战，至今尚未找到完整的编排方法。
总结：数阶幻方的编排方法各不相同，对于较低阶的幻方，可以使用试错法和一些基本的编排方法来得到解决。
幻方之填法(自我学习总结)
幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。
（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。
二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1） 对角线上的数字一律不动；（2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3） 完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3）完成后的四阶幻方如下：3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）六阶幻方之填法（交换红色字体数字位置，其他数字位置不变）（二）十阶幻方：你值得期待10129496783537444653 111810077843643502759。
“幻方”的口诀
“幻方”的口诀“幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：一居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。
举例（3阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”* * ** * *步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * 21 * ** * *步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”* * 21 * ** 3 *步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，（将要填写的数字放到本行靠右一列）* * 21 * *步骤（５）：* * 21 5 ** 3 4步骤（６）：6 * 21 5 ** 3 4步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时6 7 21 5 ** 3 4步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”6 7 21 5 *8 3 4步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”6 7 21 5 98 3 4只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
幻方解题公式
幻方解题公式幻方是一种数学谜题，由数字排列在一个正方形内以形成一个阶数相同的网格而形成。
每行、每列和对角线的数字之和相等。
在这篇文章中，我们将介绍一些幻方解题的公式，让您更好地理解和解决这个谜题。
1. 幻方基本公式在一个n阶幻方中，每个数字的位置可以表示为 (i,j)。
其中i 和j是数字的行和列。
幻方基本公式是S=n(n+1)/2。
这个公式是幻方中每行、每列和每个对角线数字之和的值。
例如，一个3阶幻方中的S值是15。
2. 幻方奇数阶公式在奇数阶的幻方中，我们可以使用以下公式来找出每个数字的位置。
如果我们要找出数字x的位置，那么行和列可以表示为：行 = (n+1)/2 + p列 = (n+1)/2 - q其中p和q是数字在幻方中的偏移量，可以使用以下公式计算： p = (x-1) mod nq = (x-1) div n例如，在一个5阶幻方中，数字17的位置可以计算为：行 = (5+1)/2 + (17-1) mod 5 = 3 + 1 = 4列 = (5+1)/2 - (17-1) div 5 = 3 - 3 = 0因此，数字17在第4行第1列。
3. 幻方偶数阶公式在偶数阶的幻方中，我们需要使用不同的公式来找出每个数字的位置。
我们可以将幻方分成四个相等的部分，并使用以下公式来计算每个数字的位置：如果数字x位于左上或右下的网格中：行 = (n/2) - p列 = (n/2) - q如果数字位于右上或左下的网格中：行 = (n/2) + p列 = (n/2) - q其中p和q的计算方法与奇数阶幻方相同。
例如，在一个4阶幻方中，数字14位于左下角的网格中。
因此，我们可以计算其位置为：行 = (4/2) + (14-1) div 4 = 2 + 3 = 5列 = (4/2) - (14-1) mod 4 = 2 - 1 = 1因此，数字14在第5行第1列。
以上是一些幻方解题的基本公式，希望能对您的幻方解题有所帮助。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方的填法
幻方的填法幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
幻方
幻方一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。
这个相等的和叫幻和。
奇数阶幻方奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：（1）三阶幻方（九宫幻方）：具体可以概括为以下几步：第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；第二步：如图2，画斜线；第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。
便得到了图4的三阶幻方（九宫幻方），横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。
（2）五阶幻方：五阶幻方具体可以概括为以下几步：第一步：将1——25这二十五个整数如图5排列成方阵；第二步：如图6，画斜线；第三部：如图7，将图2中得到的正方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；（16、21、22），和（20、24、25）分别向斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1 和25交换，2和20交换，6 和24交换，5和21交换，4和16交换，10和22交换填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。
偶数阶幻方偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：比如四阶幻方四阶幻方比较简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。
具体步骤为：第一步：将1——16十六个整数如图9排列成方阵；第二步：如图10那样画出对角线和方框；第三步：如图10—图11，将方阵中对角线上的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10 对换，便得到了图12的四阶幻方，而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。
反幻方将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。
幻方解法
幻方解法
幻方，就是对于一个n×n的方阵，将1—n²这n²个数填入其中，使每行每列以及对角线上的数字之和都相等的方阵。
幻方分为奇数阶幻方(n=2k+1)、单偶数幻方
(n=4k+2)、双偶数幻方(n=4k)三种，每种幻方解法不同，但都有其固定的解。
下面我来具体介绍下幻方的解法：
1.奇数阶幻方
①将1填入第一行中间位置
②向右上方向依次填入
③如果上方出格了，则将其填入最后一行与其同列的位置
④如果右方出格了，则将其填入第一列与其同行的位置
⑤如果右上都出格，则将其填入第一列最后一格
⑥如果将要填入的方格已有数字，则填入上一个数字的下方
这里已三阶幻方为例：
2.双偶数阶幻方(n=4k)：
①先将1，2，3……n²依次填入方阵中
②拟出方阵对角线
③对角线上数字不动，将其余所有数字移至与其中心对称的位置
这里以四阶幻方为例
↓
↓ 3.单偶数阶幻方(n=4k+2)：
①先将1，2，3……n平方依次填入方阵中
②拟出对角线，将对角线上所有数字移至与其中心对称的位置。
③从方阵左半部分的每一列数字中抽出一对上下对称的数字互换位置(每一列抽出一对)
④从方阵上半部分的每一行数字中抽出一对左对称的数字互换位置(每一行抽出一对)
注：已经移动过或换过位置的数字不能再移动或换位
这里以六阶幻方为例：
↓
↓②↓
↓
↓③↓
↓
↓④↓。
幻方填入规律
幻方填入规律幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2 * (n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n*(n*n+1)/2为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行（顶行）正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯，亦称“楼梯法”。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
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数阶幻方的编排方法．
奇数阶幻方的编排方法
简便易学的编排方法。
一、九子排列法
宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。
利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。
但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。
二、罗伯法
请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1；
2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；
3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）
4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把
5、6依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。
重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H 完全相同。
这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。
编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：
1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。
罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。
下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。
三、巴舍法
的编排方法。
步骤如下：下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方）凸阶梯式的虚线方格（如下图1在方格的四周画出①先画出一个5×5（五行五列）的方格，
25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；②把1～ 11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；15③以3、、23、把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全④
格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。
部平移5
”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切这种编排幻方的方法叫“巴舍法的奇数阶幻方的编排。
这二十五个数时，可以从左向右上填写，需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写251～也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
就可以了。
等差数列n另外，编排阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成
练习（一定要完成的哦）～12编排一个三阶幻方。
1、使用“罗伯法”将4713115211、用“罗伯法”将、、、、、2、、、编成一个三阶幻方。
233446121212编排一个七阶幻方。
49～1、使用“巴舍法”将3．
双偶数阶幻方的编排方法
一、中心对称交换法
例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。
再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。
①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。
这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。
②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。
第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。
为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。
同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。
③再观察上图C的第一、第四行。
第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。
为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。
同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。
交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。
这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？
对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。
那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。
例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。
又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。
我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。
由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：
①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；
②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。
③．
运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。
例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。
【分析与解答】编排步骤如下:
①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）
②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中有颜色的数字）；
③每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中
心对称交换。
这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。
二、环形平移补空法
例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。
【分析与解答】编排步骤如下:
①画一个8×8的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。
②把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：1～16，第二组：17～32，第三组：33～48，第四组：49～64。
③把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针方向依次排成环形（红色）；第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始，按逆时针
方向依次排成环形（蓝色）；第三组的十六个数从八阶幻方的第一行与1相隔一格开始，按顺时针方向依次排成环形（深绿色）；第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始，按逆时针方向依次排成环形（浅绿）。
（见图B）
④把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移8格到相应的八阶幻方中，去掉右边凸阶梯状虚线格（图C）；把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移8格到相应的八阶幻方中，去掉）D左边凸阶梯状虚线格。
这样就编成了一个八阶幻方。
（图
环形填数”、“平移补环形平移补空法可分为：“画左、右阶梯状图”、“数字分组”、“空”
四个步骤。
一般地，当编排任意4k阶幻方时，先画一个4k×4k且左、右有凸阶梯状虚线方格，再把12个自然数依次分成（4k÷2）组，如8阶就分成8÷2＝4组，12阶就分成）（至4k12÷2＝6组，…把第一、三、五、…等组中的各数，从4k阶幻方的右上角开始，每次起点左移二格，按顺时针方向依次排成环形。
再把第二、四、六、…等组中的各数，从4k阶幻方的左半部分的右下角开始，每次起点左移二格，按逆时针方向依次排成环形。
最后把凸阶梯状虚线方格中的各数进行平移补空，便得到一个4k阶幻方。
（这种方法很难，请多练习）。