高中数学经典高考难题集锦(解析版)

解答：
解：（ 1）由题意可知
（ x， y） =（13， 5），即
，
解得
，所以 A （ 2，﹣ 3）；
设矩阵 M 的逆矩阵为
ห้องสมุดไป่ตู้，则
?
=
，即
，
且
，解得 a=﹣1， b=3， c=﹣ 1， d=2
考点 ：直 线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．
专题 ：计 算题；压轴题；转化思想．
分析： （ 1）由矩阵的线性变换列出关于 x 和 y 的一元二次方程组，求出方程组的解集即可
得到点 A 的坐标；可设出矩阵 M 的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵
M
的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到
点 本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最 评： 大值，注意换元中变量范围的改变．
3．（ 2013?越秀区校级模拟） 已知圆满足： ① 截 y 轴所得弦长为 2；② 被 x 轴分成两段圆弧， 其弧长的比为 3： 1； ③ 圆心到直线 l ： x﹣ 2y=0 的距离为 ．求该圆的方程．
2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
一．解答题（共 10 小题）
1．（ 2012?宣威市校级模拟）设点 C 为曲线
（ x＞0）上任一点，以点 C 为圆心的圆与 x
轴交于点 E、 A ，与 y 轴交于点 E、 B ． （1）证明多边形 EACB 的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线 y= ﹣ 2x+4 与圆 C 交于点 M ， N，若 |EM|=|EN| ，求圆 C 的方程．
考点 ：直 线与圆的位置关系．
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专题 ：综 合题；压轴题． 分析： 设 出圆 P 的圆心坐标，由圆被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1，得到圆 P 截 x
轴所得劣弧对的圆心角为 90°，根据垂径定理得到圆截 x 轴的弦长，找出 r 与 b 的关 系式，又根据圆与 y 轴的弦长为 2，利用垂径定理得到 r 与 a 的关系式，两个关系式 联立得到 a 与 b 的关系式； 然后利用点到直线的距离公式求出 P 到直线 x﹣ 2y=0 的距
离，让其等于 ，得到 a 与 b 的关系式，将两个 a 与 b 的关系式联立即可求出 a 与 b
的值，得到圆心 P 的坐标，然后利用 a 与 b 的值求出圆的半径 r ，根据圆心和半径写
出圆的方程即可．
解答： 解 ：设圆 P 的圆心为 P（a， b），半径为 r，
则点 P 到 x 轴， y 轴的距离分别为 |b|， |a|．
5．（ 2009 ?福建）（ 1）已知矩阵 M
所对应的线性变换把点 A（ x，y）变成点 A ′（13，
5），试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标． （2）已知直线 l ：3x+4y ﹣12=0 与圆 C：
（ θ为参数 ）试判断他们的公共
点个数； （3）解不等式 |2x﹣ 1|＜ |x|+1 ．
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（Ⅰ ）试将 S 表示成的函数 S（ k），并求出它的定义域；
（Ⅱ ）求 S 的最大值，并求取得最大值时 k 的值．
考 直线与圆的位置关系；二次函数的性质．
点：
专 计算题；压轴题．
题：
分 （Ⅰ ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进
析： 行化简．
（Ⅱ ）换元后把函数 S 的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意
设 M （x 1， y1）， N（ x 2， y2），则 x1+x 2=4k 且 x1?x 2=﹣ 4t，
∴
．
∵ ∠ MON 为钝角， ∴
，解得 0＜ t＜ 4，
∵
，
点 O 到直线的距离为
，∴
，易证
在
（ 0， 4）单调递增， ∴
，故不存在直线，当 ∠ MON 为钝角时， S△MON =48 成立．
点评： 本 题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离 公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．
或
，于是 r2=2b2=2，
所求圆的方程是：
（
x+1
）
2
+
（
y+1
）
2=2，或（
x﹣
1）
2+（
y﹣
1）
2
=2
．
点评： 本 小题主要考查轨迹的思想， 考查综合运用知识建立曲线方程的能力， 是一道中档题．
4．（ 2013?柯城区校级三模） 已知抛物线的顶点在坐标原点， 焦点在 y 轴上， 且过点 （ 2，1）．
（ 1）证明：点
（ t＞ 0），
因为以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E、 A，与 y 轴交于点 E、 B． 所以点 E 是直角坐标系原点，即 E（ 0，0）．
于是圆 C 的方程是
．则
．
由 |CE|=|CA|=|CB| 知，圆心 C 在 Rt△AEB 斜边 AB 上， 于是多边形 EACB 为 Rt△ AEB ，
，求得点 O 到直线的距离，从而求得
，由此函数在（ 0， 4）单调递增，故有
而得出结论．
解答： 解 ：（Ⅰ ） 设抛物线方程为
x
2
=2py ，
由已知得： 22=2p，所以 p=2，
所以抛物线的标准方程为 x 2=4y．
（ Ⅱ ） 不存在．
因为直线与圆相切，所以
．
，从
把直线方程代入抛物线方程并整理得： x 2﹣ 4kx﹣ 4t=0 ． 由 △=16k 2+16t=16 （ t2+2t） +16t ＞ 0，得 t＞ 0 或 t＜﹣ 3．
8．（ 2007?海南）在平面直角坐标系
xOy 中，已知圆
2
x +y
2﹣
12x+32=0
的圆心为
Q，过点 P
（0， 2）且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A ， B．
（Ⅰ ）求 k 的取值范围；
（Ⅱ ）是否存在常数 k，使得向量
与 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请
说明理由．
9．如图，已知圆心为 O，半径为 1 的圆与直线 l 相切于点 A ，一动点 P 自切点 A 沿直线 l
向右移动时，取弧 AC 的长为
，直线 PC 与直线 AO 交于点 M ．又知当 AP= 时，点
P 的速度为 v，求这时点 M 的速度．
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10．过原点 O 作圆 x2+y 2﹣ 2x﹣4y+4=0 的任意割线交圆于 P1，P2 两点，求 P1P2 的中点 P 的 轨迹．
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2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
时，求直线 l 的方程；
（Ⅲ ）设 t=
，试问 t 是否为定值，若为定值，请求出 t 的值；若不为定值，请说明理
由．
7．（ 2009?天河区校级模拟）已知圆 C：（ x+4） 2+y 2=4，圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切，圆 D 与 y 轴交于 A 、 B 两点，定点 P 的坐标为（﹣ 3， 0）． （1）若点 D （ 0，3），求 ∠ APB 的正切值； （2）当点 D 在 y 轴上运动时，求 ∠APB 的最大值； （3）在 x 轴上是否存在定点 Q，当圆 D 在 y 轴上运动时， ∠ AQB 是定值？如果存在，求 出 Q 点坐标；如果不存在，说明理由．
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5．（ 2009 ?福建）（ 1）已知矩阵 M
所对应的线性变换把点 A（ x，y）变成点 A ′（13，
5），试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标． （2）已知直线 l ：3x+4y ﹣12=0 与圆 C：
（ θ为参数 ）试判断他们的公共
点个数； （3）解不等式 |2x﹣ 1|＜ |x|+1 ．
4．（ 2013?柯城区校级三模） 已知抛物线的顶点在坐标原点， 焦点在 y 轴上， 且过点 （ 2，1）．
（Ⅰ ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ ）是否存在直线
l ： y=kx+t ，与圆
x
2
+
（
y+1
） 2=1
相切且与抛物线交于不同的两点
M，
N，当 ∠ MON 为钝角时，有 S△MON =48 成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明 理由．
2
2
6．（ 2009?东城区一模）如图，已知定圆 C： x +（ y﹣ 3） =4，定直线 m： x+3y+6=0 ，过 A
（﹣ 1， 0）的一条动直线 l 与直线相交于 N ，与圆 C 相交于 P，Q 两点， M 是 PQ 中点．
（Ⅰ ）当 l 与 m 垂直时，求证： l 过圆心 C；
（Ⅱ ）当
由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°，
知圆 P 截 x 轴所得的弦长为
．故 r2=2b2
又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2，所以有 r2=a2+1．从而得 2b2﹣ a2=1；
又因为 P（a，b）到直线 x﹣ 2y=0 的距离为 ，所以
= ，即有 a﹣ 2b=±1，
由此有
或
解方程组得
参考答案与试题解析
一．解答题（共 10 小题）
1．（ 2012?宣威市校级模拟）设点 C 为曲线
（ x＞0）上任一点，以点 C 为圆心的圆与 x
轴交于点 E、 A ，与 y 轴交于点 E、 B ． （1）证明多边形 EACB 的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线 y= ﹣ 2x+4 与圆 C 交于点 M ， N，若 |EM|=|EN| ，求圆 C 的方程．
专题 ：压 轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （ Ⅰ） 设抛物线方程为 x 2=2py ，把点（ 2， 1）代入运算求得
线的标准方程．
p 的值，即可求得抛物
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（ Ⅱ） 由直线与圆相切可得
．把直线方程代入抛物线方程
并整理，由 △ ＞0 求得 t 的范围．利用根与系数的关系及
，求得
M的
逆矩阵；
（ 2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的
距离公式求出圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较大小得到直线与圆的位置关系，即可
得到交点的个数；
（ 3）分三种情况 x 大于等于 ，x 大于等于 0 小于 和 x 小于 0，分别化简绝对值后，
求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．
（Ⅰ ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ ）是否存在直线
l ： y=kx+t ，与圆
x
2
+
（
y+1
2
） =1
相切且与抛物线交于不同的两点
M，
N，当 ∠ MON 为钝角时，有 S△MON =48 成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明 理由．
考点 ：直 线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
换元后变量范围的改变．
解 解：（ Ⅰ ）直线 l 方程 答：
原点 O 到 l 的距离为
， （ 3 分）
弦长
（ 5 分）
?ABO 面积
?
∵|AB| ＞ 0， ∴ ﹣ 1＜ K ＜ 1（ K ≠0）， ?
∴
（﹣ 1＜ k＜ 1 且 K ≠0）（ 8 分），
（Ⅱ） 令
，
∴
．
∴当 t= 时，
时， Smax=2（ 12 分）
O 在 AB 上，
故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；
（ 2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直
的实质解直线的斜率互为负倒数．
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2．（ 2010?江苏模拟）已知直线 l ： y=k （ x+2 是坐标原点，三角形 ABO 的面积为 S．
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）与圆 O： x +y =4 相交于 A、 B 两点， O
其面积
．
所以多边形 EACB 的面积是定值，这个定值是 4． （ 2）若 |EM|=|EN| ，则 E 在 MN 的垂直平分线上，即 EC 是 MN 的垂直平分线，
， k MN=﹣ 2．
所以由 kEC?kMN =﹣ 1，得 t=2，
所以圆
C 的方程是（
x﹣
2）
2
+
（
y﹣
1）
2
=5．
点评： （ 1）重点考查了利用方程的思想用以变量 t 写出圆的方程，判断出圆心
考点 ：直 线和圆的方程的应用． 专题 ：计 算题；压轴题． 分析： （ 1）由题意，由于以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E、A ，与 y 轴交于点 E、B ，所
以先得到点 E 为原点，利用方程的思想设出圆心 C 的坐标，进而利用面积公式求解； （ 2）由于 |EM|=|EN| 此可以转化为点 E 应在线段 MN 的垂直平分线上，利用圆的性质 可得 EC 与 MN 垂直建立 t 的方程求解即可． 解答： 解 ：
2．（ 2010?江苏模拟）已知直线 l ： y=k （ x+2 是坐标原点，三角形 ABO 的面积为 S．
）与圆 O： x2+y 2=4 相交于 A、 B 两点， O
（Ⅰ ）试将 S 表示成的函数 S（ k），并求出它的定义域；
（Ⅱ ）求 S 的最大值，并求取得最大值时 k 的值．
3．（ 2013?越秀区校级模拟） 已知圆满足： ① 截 y 轴所得弦长为 2；② 被 x 轴分成两段圆弧， 其弧长的比为 3： 1； ③ 圆心到直线 l ： x﹣ 2y=0 的距离为 ．求该圆的方程．