微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22

(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

⎰∞

+--dx e x x

21

___________.

π

=⎰

∞

+∞

--dx e x 2

3、函数

22

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.

5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________. 6 知dx

e

x

p ⎰∞

+- 0

)1(与

⎰

-e

p x x dx

1

1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222

22

2y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( b ).

(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8

、若2

211

x y I +≤=

⎰⎰

,2

2

212x y I ≤+≤=

⎰⎰

,

2

2

324x y I ≤+≤=

⎰⎰

,则下列关

系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=

(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x

e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=12n n

a

收敛，则∑∞

=-1)

1(n n

n

a ( d ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)

1、2(1)1x y y -+. 2

3、)

32

,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：

32

y x =的函数为

2

3,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是)6()

3(分分8

8

2

2

33

8

37

730

(4)16(80)33

128128(80)

775127

V y dy y dy

y ππππππππ

=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰

12、求二重极限

1

1lim

22220

-+++→→y x y x y x .

解：原式

11)11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)

2

)11(lim 220

=+++=→→y x y x (6分)

13、),(y x z z =由xy e z z

=+确定，求y x z

∂∂∂2.

解：设(,,)z

F x y z z e xy =+-，则

x F y

=-， y F x =- ，1z z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x

y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)

222

111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y

x y y e e e e ∂+-⋅⋅

∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)

14、用拉格朗日乘数法求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得

12x =

,"40z =>,1

2x =

为极小值点. (3分) 故22

1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11

(,)22,极小值为32

(6分) 15、计算

⎰

⎰1 2

1

2dx

e dy y

y

y

x .

解：

21

1

2

123182x y

y

y I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分) 6、计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周

22

1x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()D x y dxdy +⎰⎰＝13200d r dr πθ⎰⎰＝8π (6分)

17、解微分方程x y y +'=''.

解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +='

,于是