留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分计算中的应用

引言

在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理．

1留数定义及留数定理

1.1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分

()()1

:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =．

1.2 留数的定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：

设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C

f z dz =⎰．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所在范围的区域D 内，除

12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则

()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰． （1）

证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得

()()1k

n

k C

f z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，

由留数的定义，有

()()2Re k

k

z a f z dz i s f z π=Γ=⎰．

特别地，由定义得 ()2Re k

k

z a f z dz i s π=Γ=⎰，

代入（1）式得 ()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰．

2．留数定理在定积分中的应用

利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．

2.1形如

()20

cos ,sin f x x dx π

⎰型的积分

()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =，

21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21

cos 22ix ix e e z x z

-++==

得

()22210

11cos ,sin ,22z z z dz

f x x dx f z iz iz

π

=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎰⎰

()1

2Re k

n

z z k i s f z π===∑．

例1

计算()

22

2dx

I x

π

=

+

⎰

．

解

:(

)

22

210

2

1222z dx

dz

I iz x

z z π

==

=

⎛

⎫++ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎰

⎰ ()

2

1

2

443z z

dz i

z z ==

+

⎰

1244

31

3

z zdz

i

z z ==

++⎰， 由于分母有两个根12z z ==121,1z z <>， 因此 I =14

2Re 43z z i s i

ππ=⋅=．

2.2 形如

()f x dx +∞

-∞

⎰型的积分

此类积分计算时要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足以下条件才能适用 (1)()()

()

P z f z Q z =

，其中()P z ，()Q z 均为关于z 的多项式，且分母()Q z 的次数至少比分子()P z 的次数高两次；

(2)()f z 在半平面上的极点为k z （k ＝1，2，3，…，n ），在实轴上的极点为k

x （k ＝1，2，3，…，n ）则有

()()12Re k n z z k f x dx i s f z π+∞

==-∞

⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

∑⎰

．

例2 计算2

42

1x I dx x x +∞

-∞

=++⎰． 解:取()()()

22

4222111z z f z z z z z z z ==++-+++，