固体材料的电子理论解析

固体材料电子的能量结构与状态，给出了金属、半导体、
绝缘体的导电基础。
2．1 固体电子模型（能带理论）
band theory of solid 材料中原子、分子、离子的不同排列方式：
——材料的内部出现不同形式的势场
——使不同材料中电子表现出不同的运动状态。
能带理论: 关于材料中电子运动规律的一种量子力 学理论。能带理论是在量子力学研究金属导电理 论的基础上发展起来的，它的成功之处在于定性 地阐明了晶体中的电子运动的规律。
'
n
2k 2
2m Vn 2 2 k 2πn a 2
微扰后Байду номын сангаас二级校正的电子总能量为:
E(k)
2k 2 2m
'
n
2k 2
2m Vn 2 2 k 2πn a 2
(3)
计入微扰后电子的波函数：
kx
k'
H' kk '
E(0) (k ) E(0) (k ')
0 k'
x
1 eikx 1 L
'
2mVne
i
2π a
在周期性势场中运动的电子的能量状态受到周期性势场 的影响，将产生一系列变化。
周期性势场的特点： 1)能带理论的出发点是固体中的电子不在束缚于个别的原子,
而是在整个固体内运动,称为共有化电子。
2)在讨论共有化电子的运动状态时,假定原子实处在平衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微 扰 perturbation
根据不同处理方法，能带理论主要有3种理论：
1）近自由电子近似 ——考虑电子与晶格的正离子作用相当微弱，将势
场对电子的作用 视为微扰。 2）赝势法 ——造一个有效势 3）紧束缚近似 ——原子轨道线性组合法
2.1.2 晶体中电子的运动
对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期 性，因而等 效势场 V (r) 也具有周期性。
1．零级微扰
0 (x) 1 eikx , E0 (k )
2k 2
(2)
L
2m
2. 一级微扰
E (1) H 'kk '
L
0
0* k
(
x)
V k0d x
L
0
0* k
(
x)
V
(x)
V
k0d x
L
0
0* k
(
x)V
(
x)
k0d x
V
VV
0
说明能量的一级微扰等于零。
3．能量的二级微扰：
E(2) (k)
H kk ' ' 2 n E(0) (k) E(0) (k) '
晶体中的电子和自由电子的区别就在于有无周期势场。 由于它是一个很弱的势，所以可以把它作为自由电子恒定 势场的一般微扰来处理，从而推导出自由电子近似下的电 子能带结构。
2.1.3 近自由电子近似的一维模型
电子在周期性点阵中运动，受到弱的原子实势场的散射， 这个模型称为近自由电子模型。近自由电子模型是当晶格周 期性势场起伏很小，从而使电子的行为很接近自由电子时， 可以采取微扰的处理方法。一些简单金属 Na、K、Al 等可 用此模型。 一、一维周期势场中电子运动的近自由电子近似
晶体中的电子就在一个具有周期性的等效势场中运动
波动方程
2
2 V (r)
E
2m
势的周期性
V r V r Rn
(2 1)
Rn 任意晶格矢量
Rn 为任意晶格矢量由晶体的平移对称性
r
k Gn
E r E k Gn
E k ——称为晶体的电子能带结构。
E k ——k的周期函数，只能在一定范围变化. ，
• 求电子在周期性势场中的运动状态，采用量子力学的微扰 理论。
第二章 固体材料的电子理论
材料物理性能与材料的晶体结构、原子间的键 合、电子能量状态方式有密切的关系。由于固体中 原子、分子、离子的排列方式不同，因此固体材料 的电子结构和能量状态呈现不同的运动状态，对材 料的电学、光学和磁学性质将产生很大影响。
重点内容
1、了解能带的产生原因 ； 2、理解导体、半导体、绝缘体导电性差别的原因 3、能够根据价电子排布判断导电类型。
§2.1 .1 能带理论的一般性介绍
在固体中存在着大量的电子，它们的运动都是互相关联 的，每个电子运动都要受到其他电子运动的牵连，因此要想 严格求解多电子系统几乎不可能。所以能带理论是一个近似 理论，它采用单电子近似的方法来处理复杂的多电子问题。
1、单电子近似 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中运动。
固体材料电子理论
固体材料的电子理论从微观上探讨原子和电子
的结构与宏观物理性质之间的关系及其相应机制， 能够更深入地理解各种材料物理性质的起因。
例如：金属、半导体、绝缘体的电导率相差1028
（10-6
1022 ·cm ），
为什么会有如此大的差别呢？
energy bands
主要是由于晶体中的电子分布在各个能带上,而在能带和 能带之间存在着带隙。
2、等效势场(equivalent potential field)
在原子结合成固体的过程中，变化最大的是价电子，而 内电子的变化较小，所以可以把原子核和内层电子看成是一 个离子实与价电子构成的等效势场。
3、周期性势场 (periodicity potential field)
晶体中原子排列具有周期性，那么晶体中的势场也具有 周期性，称为周期性势场。
i 2π nx
Vne a
V0
n
V e '
i 2π nx a
n
n
Hˆ ' 单电子哈密顿算符为
Hˆ
2 d2 2m dx2
V (x)
2 d2 2m d x2
V0
V e '
i
2π a
nx
n
n
Hˆ 0
2 d2 2m dx2
V0 , Hˆ '
V e '
i
2π a
nx
n
n
对于一维点阵的薛定谔方程，在零级近似下
2 d2 2m dx2
nx
n 2k 2 2 k 2πn a 2
(4)
周期性函数
uk x
1
'
2mVne
i
2π a
nx
n 2k2 2 k 2 n a 2
微扰后得到的波函数是由两部分叠加而成:
先对最简单的一维模型进行讨论，然后给出三维模型。 晶体势场 V (x) 具有周期性，那么它的平面波也具有周期性。
一维周期势场
考察由N个间距a的正离子周期性排列所形成的一维晶 体点阵，其势能如图2-1所示，看到晶体点阵具有相同的 周期性。
图2-1 一维周期势场
晶体周期势场 由微扰理论 Hˆ
Vx
Hˆ 0
V0
0 k
(0) k
(1)
可以求出薛定谔方程的本征值 (能量)
0 (k) 2k 2
2m
k = 2n/a （波矢）
本征函数 (波函数)
0 (x) 1 eikx L
L = Na 为一维点阵的长度。E 0(k) 与 k 的函数关系为一抛物
线。零级近似是自由电子。
0
1
2
E E0 E1 E2
二、微扰计算