(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义
六年级奥数专题讲义：工程问题
六年级奥数专题讲义：工程问题多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．1．甲、乙两人共同加工一批零件,8小时司以完成任务．如果甲单独加工,便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后,甲被调出做其他工作,由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【分析与解】乙单独加工,每小时加工18－112=124.甲调出后,剩下工作乙需做(8—225)×(18÷124)=845(小时),所以乙每小时加工零件420÷845=25个,则225小时加工225×25=60(个),因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．2．某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作,需48天完成．现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需做多少天?【分析与解】由右表知,甲单独工作15天相当于乙单独工作20天,也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．所以,甲单独工作63天,相当于乙单独工作63÷3×4=84天,即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．现在甲先单独做42天,相当于乙单独工作42÷3×4=56天,即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．3．有一条公路,甲队独修需10天,乙队独修需12天,丙队独修需15天．现在让3个队合修,但中间甲队撤出去到另外工地,结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【分析与解】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为110+112+115=14,那么它们6天完成的工程量为14×6=32,而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．所以32－1=12是因为甲队的中途撤出造成的,甲队需12÷110=5(天)才能完成12的工程量,所以甲队在6天内撤出了5天．所以,当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了5天才完成．4．一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等,则共用了多少天?【分析与解】甲队做6天完成一半,甲队做3天乙队做2天也完成一半.所以甲队做3天相当于乙队做2天．即甲的工作效率是乙的23,从而乙单独做12×23=8(天)完成,所以两段所用时间相等,每段时间应是：8÷(1+l+23)＝3(天),因此共用3×2＝6(天)．5．抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的18,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和,因此甲两天抄写书稿的18,即甲每天抄写书稿的116；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天,从而丙6天抄写书稿的18,即丙每天抄写书稿的148；于是可知乙每天抄写书稿的18－116－148＝124.所以乙一人单独抄写需要1÷124=24天才能完成．6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么,单开丙管需要多少小时注满水池?【分析与解】乙管每小时注满水池的18-120=340,丙管每小时注满水池的16-340=11120.因此,单开丙管需要1÷11120=12011=101011(小时)．7．一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?【分析与解】甲、乙,乙、丙,丙、丁合作的工作效率依次是18、16、112.对于工作效率有(甲,乙)+(丙,丁)－(乙,丙)=(甲,丁)．即18+112－16=124,所以甲、丁合作的工作效率为124．所以,甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．8．一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天?【分析与解】方法一：对于工作效率有：(甲,乙)+(乙,丙)－(丙,甲)=2乙,即18+19－118=1372为两倍乙的工作效率,所以乙的工作效率为21 144．而对于工作效率有,(乙,丙)－乙=丙,那么丙的工作效率为19－13144＝148那么丙一个人来做,完成这项工作需1÷148=48天．方法二：2(甲,乙,丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝18＋19＋118＝2172,所以(甲,乙,丙)=2172÷2＝21144,即甲、乙、丙3人合作的工作效率为21144．那么丙单独工作的工作效率为21144－18＝148,那么丙一个人来做,完成这项工作需48天．9．某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成．那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?【分析与解】由已知条件可得,对于工作效率有：(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．所以5个小队一起合作时的工作效率为：（112＋17＋2×18＋142）÷3＝16所以5个小队合作需要6天完成这项工程.评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.10．一个水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管,甲管注入18吨水时,水箱已满；若只开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满．又知,乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?【分析与解】设甲管注入18吨水所需的时间为“1”,而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍,那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”,所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75.以下采用两种方法：方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”,那么有：因此18+“1”=27+“O.75”,则“0.25”=9吨,所以“1”=36吨,即丙在单位时间内灌入36吨的水．所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的34．再设甲单独灌水的工作效率为“1”,那么乙单独灌水的工作效率为“2”,有1+丙=34(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”,即丙的工作效率等于乙的工作效率,那么在乙、丙合灌时,丙也灌了27吨,那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．11.某水池的容积是100立方米,它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水,如果甲、乙两管同时进水而排水管放水,需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水,需要2小时将水池中的水放完．问水池中原有水多少立方米?【分析与解】甲每小时注水100÷10=10(立方米),乙每小时注水100÷15=203(立方米),设排水管每小时排水量为“排”,则(“排”－10－203)×3=(“排”－10),整理得3“排”－3×503=“排”－10,2“排”=40,则“排”=20．所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．12．一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管．当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池．现在需要在2小时内将水池注满,那么最少要打开多少个进水管?【分析与解】记水池的容积为“1”,设每个进水管的工作效率为“进”,排水管的工作效率为“排”,那么有：4“进”－“排”=15, 2“进”－“排”=115.所以有,2“进”=(15－115)=215,那么“进”=115,则“排”=115.题中需同时打开x个进水管2小时才能注满,有：x“进”－“排”=12,即115x－115=12,解得x=8.5所以至少需打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满．13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时．要排光一池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6小时．现在池内有16池水．如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管,每次每管开1小时,问经过多少时间后水开始溢出水池?【分析与解】方法一：甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开l小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的13－14＋15－16=706.最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间,且甲的效率是四条管子中最大的．那么在最优情况下：完整周期只需注入1－16－13＝12池水．所需周期数为12÷706＝307＝427那么,至少需要5个完整周期,而5个完整周期后,水池内有水16＋760×5=16＋712＝34剩下l－34＝14池水未灌满,而完整周期后l小时内为甲注水时间,有14÷13＝34(小时).所以,需5个完整周期即20小时,再加上34小时,即2034小时后水开始溢出．方法二：甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的13－14＋15－16=760.加上池内原有的水,池内有水：16＋760=1760.再过四个4小时,也就是20小时后,池内有水：1760＋760×4=4560,在20小时后,只需要再灌水1－4560＝14,水就开始溢出．1 4÷13=34(小时),即再开甲管34小时,水开始溢出,所以20+34=2034(小时)后,水开始溢出水池．方法三：甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的13－14＋15－16＝760.一个周期后,池内有水：16＋760=1760,4360有待注入；二个周期后,池内有水：1760＋760=2460,3660即35有先待注入；三个周期后,池内有水：2460＋760＝3160,2960有待注入；四个周期后,池内有水：3160＋760＝3860,2260即1130有待注入；五个周期后,池内有水：3860＋760＝4560,1560即14有待注入．而此时,只需注入14的水即可,小于甲管1小时注入的水量,所以有14÷13=34(小时),即再开甲管34小时,水开始溢出,所以20+34＝2034(小时)后,水开始溢出水池．评注：这道题中要求的是第一次溢出,因为在一个周期内不是均匀增加或减少,而是有时增加有时又减少,所以不能简单的运用周期性来求解,这样往往会导致错误的解答,至于为什么?我们给出一个简单的问题,大家在解完这道题就会知晓．有一口井,深20米,井底有一只蜗牛,蜗牛白天爬6米,晚上掉4米,问蜗牛爬出井需多少时间?14.一个水池,地下水从四壁渗入,每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时,打开A管,8小时可将水池排空；打开B管,10小时可将水池排空；打开C管,12小时可将水池排空．如果打开A,B两管,4小时可将水池排空,那么打开B,C两管,将水池排空需要多少时间?【分析与解】设这个水池的容量是“1”A管每小时排水量是：18+每小时渗入水量；B管每小时排水量是：110+每小时渗入水量；C管每小时排水量是：112+每小时渗入水量；A、B两管每小时排水量是：14+每小时渗入水量．因为18+每小时渗入水量+110+每小时渗入水量=14+每小时渗入水量,因此,每小时渗入水量是：14－（18＋110）＝140.那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：于是打开B、C两管,将水池排空需要1÷（18＋13120-140）=1÷524=4.8（小时）.。
小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx
百度文库- 让每个人平等地提升自我六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率×工作时间，工作时间 =工作量÷工作效率，工作效率 =工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。
甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。
甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。
这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。
(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义
工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。
word完整版小学六年级奥数教案06工程问题二
小学六年级奥数教案一06工程问题二本教程共30讲工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。
例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。
如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：乙臥从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。
于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 （天）完成，即乙的工作效率为£ °又因为乙工作4天的工作量和甲工作亍天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的孑为存卜非甲、乙合做这一工程，需用的时间为氓G痔t咅〔天〕例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天, 然后甲队做4天.共完成这项工程的学，女燥把其亲的工程交给乙队单独做.那么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作效率是;’但甲、乙两队一天也没有合作过。
为了解决这个问题，我们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再做3天"，这样，就可以把合作的工作致率;用上了。
单独61 9甲、乙两队合作4天完成的工程量是乙再做3天就可完成工程量的存由此求出乙的工作效率为剩下的工程乙队还需干（1・存存2 （天）0例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。
问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的2因为单独做，乙比甲多用+ =珂天），所以甲需要（天），乙需要10+5=15（天）。
六年级奥数课堂第五讲 工程问题
六年级奥数课堂第五讲工程问题【专家讲解】工程问题是分数应用题的一种特殊形式，它主要研究的是工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
这类问题一般不给出具体的工作总量，而通常是把工作总量看做单位“1”，用分率表示工作效率（有时也需要用分率表示工作时间）。
【解题技巧】1.解答工程问题要掌握基本的数量关系。
工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间2.在解答工程问题时应主要：（1）理清工作总量、工作时间和工作效率的对应关系（2）如果一件工作是由几个人共同完成的，则要考虑几个人的工作效率和。
例题1.加工一批零件，甲单独做要12小时，乙单独做要10小时，丙单独做要15小时。
如果要求这批零件在8小时以内做完，应该怎么办？请你设计一个方案，并实施需要几个小时？例题2.一项工作，甲、乙合作10天完成，现由甲先单独做5天后，剩下的由乙单独做20天完成。
如果乙单独做这项工作，需要几天完成？趁热打铁习题（1）1.修一条水渠，甲工程单独修20天完成，乙工程队单独修15天完成，丙工程队单独修30天完成。
若要在13天内完成任务，应该怎么办？2.修一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成，丙队单独修12天完成。
若要在6天内完成，应该怎么办？3.一件工作，甲、乙合作18天完成，现甲先单独做20天后，再由乙单独做15天刚好完工，乙每天完成这次工程的几分之几？4.师徒俩共同生产一批零件，共需要12天完成，如果师傅先单独做8天，再由徒弟单独做，这样徒弟还要做16天才能完成任务，师傅单独做几天可以做完这批零件？例题3.一项工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成。
现在甲、乙、丙三人合做需要多少天完成？趁热打铁习题（2）1.一项工程，由甲、乙两人合做8天可以完成，乙、丙两人合做6天可以完成，丙、丁两人合做12天可以完成，那么甲、丁两人合做多少天可以完成？2.一份稿件，由小红单独打需要45分钟，小明打字的速度是小红的3/5.如果由两人合打，需要多少分钟才能完成？3.一项工程，甲队独做60天完成，乙队独做30天完成，丙队独做20天完成。
六年级奥数之工程问题
1 8
8181111010
(只列式不计算)
①甲乙两根进水管，单开甲管10小时注满水池，单开乙管15小时 注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？
1÷ 1
10
＋
1 15
②甲乙两根水管，单开甲进水管10小时可把水池注满，单开乙出 水管15小时可把满池水放完，若两管齐开，几小时可注满水池？
• 6.一项工程，甲单独做12天可以完成，如果 甲单独做3天，余下工作由乙单独去做，乙 在用6天可以完成，问若甲单独做6天，余 下工作乙要做几天？
•3、做一批零件，甲单独做12天完成，乙单 独做16天完成，现在两人合作4天后，余下的 由乙独做多少天可以完成？
•4、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成， 现在甲、乙合做4天后，余下的乙独做20天可 以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少 天？
• 5、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙 队独做60天可完成，现在已知两队合做这 项工程，但中间甲队因另有任务调走几天， 所以经过27天才完成全部工作，甲队离开 了几天？
六年级奥数之工程问题
李老师
一.基本公式
•顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题 目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也包括行程、水管注水等许多内 容。
•工作总量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般 用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
•在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： • 工作总量=工作效率×工作时间， • 工作时间=工作量÷工作效率， • 工作效率=工作量÷工作时间。
＋
1 20
×3
1
20
④甲乙合做几天完成全工程的一半？ 1
⑤甲乙合做5天后，余下的再 由乙单独完成，还需几天？
六年级数学工程问题基础部分讲义
✧ 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
✧ 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间,工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间.✧ 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示，例如:工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13✧ 工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
✧ 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？练习1 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？练习2 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？练习3 甲、乙、丙三人合修一围墙.甲、乙合修6天修好围墙的13,乙、丙合修2天修好余下的14,剩下的三人又合修了5天才完成.共得工资180元,按各人所完成的工作量的多少来合理分配,每人分别得多少钱？例4一批零件，张师傅独做20小时完成，王师傅独做30小时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个？练习4修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。
六年级下小升初典型奥数之工程问题
六年级下小升初典型奥数之工程问题在小学六年级的学习中，奥数里的工程问题是一个比较重要的知识点，也是小升初考试中经常出现的题型。
工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
接下来，让我们一起来深入了解一下工程问题。
一、工程问题的基本概念1、工作总量：一般把完成一项工作的总量看作单位“1”。
2、工作效率：单位时间内完成的工作量。
例如，如果一个人一天能完成一项工作的 1/5，那么他的工作效率就是 1/5。
3、工作时间：完成工作所花费的时间。
二、工程问题的基本公式工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率三、工程问题的常见题型1、合作完工问题例：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？思路：甲的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/15，两人合作的工作效率就是（1/10 ＋ 1/15）。
解：甲的工作效率：1÷10 ＝ 1/10乙的工作效率：1÷15 ＝ 1/15两人合作的工作效率：1/10 ＋ 1/15 ＝ 1/6合作完成所需时间：1÷（1/6）＝ 6（天）2、轮流工作问题例：一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 8 天完成。
甲先做 1天后，两人轮流做，按照甲 1 天，乙 1 天的顺序，完成这项工程共需要多少天？思路：先算出甲1 天完成的工作量，然后计算两人合作的工作效率，再逐步计算完成的天数。
解：甲的工作效率：1÷6 ＝ 1/6乙的工作效率：1÷8 ＝ 1/8甲先做 1 天完成的工作量：1/6×1 ＝ 1/6剩下的工作量：1 1/6 ＝ 5/6两人合作的工作效率：1/6 ＋ 1/8 ＝ 7/24两人合作 2 轮（4 天）完成的工作量：7/24×2 ＝ 7/12此时剩下的工作量：5/6 7/12 ＝ 1/4第 5 天甲做，完成的工作量：1/6还剩下的工作量：1/4 1/6 ＝ 1/12第 6 天乙做，完成的工作量：1/8因为 1/8 ＞ 1/12，所以乙在第 6 天能完成剩下的工作。
(word版)4工程问题(一)六年级数学奥数讲座共30讲含答案,文档
楚鲲教育·星沙校区辅导学习中心〔蒋云玲老师〕小学数学奥数根底教程(六年级)本教程共30讲第4讲工程问题〔一〕顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/时〞等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效第1页楚鲲教育·星沙校区辅导学习中心〔蒋云玲老师〕例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？〞这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个？第2页楚鲲教育·星沙校区辅导学习中心〔蒋云玲老师〕分析与解：这道题可以分三步。
最新小学数学六年级上册工程问题讲课讲稿精品课件
子
技巧（ ）
成
熟
掌握交替做工程问题的解题技巧（ ）
了
，
4
你
主动思考问题，敢于发表自己的想法（ ）
准
备
好
了
吗
？
第三页，共22页。
工程(gōngchéng)三大量？？？
工作总量=（
）×工作时间(shíjiān)
工作效率=工作总量÷（
）
工作时间(shíjiān)=（
）÷工作效率
合作的工作时间(shíjiān)=工作总量÷（
第十六页，共22页。
知识(zhī shi)大总结
1、基本公式，工总=工效×时间 （1）工总，设为单位“1” 设为时间的最小公倍数 （2）列出各自工效、合作工效.
2、关于(guānyú)合作、交替做 交替做、周期问题.注意是谁结尾
3、基本公式的熟练程度
第十七页，共22页。
[巩固(gǒnggù)练习]
(3)如果甲乙两队合做若干天之后，乙队停工休息(xiū xi)，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队 一共 修了多少天？
例题的特点：
没有具体的工作总量，只有各部分单独完成工作总量的时间，这类应用题就是
设为工时的最小公倍数，各自的工效=最小公倍数÷工时
工程问题(wèntí)的应用题，解答时把工作总量
各部分工作量的和等于工作总量
1、甲两个(liǎnɡ ɡè)进水管，单开甲管10小时注满水池，单开乙管15小时 注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？
第十八页，共22页。
[巩固(gǒnggù)练习]
2、 一项工程(gōngchéng)，甲独做要10天完成，乙独做要15 天完成。（1） 甲乙合做多少天完成？
（2）甲乙合做多少天完成这项工程(gōngchéng)的 ？ （3）甲先做3天，余下的乙做还要多少天？ （4）甲乙先合做2天，余下的甲做还要多少天？
六年级《工程问题》奥数教案
（一）例题1：（10分）
一份工作，卡尔5小时先完成了 ，欧拉6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由卡尔、欧拉合作，还需要多少时间才能完成？
【讲解重点：把工作总量看作单位“1”。熟悉工程问题基本公式，会逐步利用公式解题】
师：老师刚才说了，我们一般把工作总量看作什么？
生：单位“1”。
师：对，多出了多少工作量？
生： 。
师：这是怎么造成的？
生：米德做了几天，并不是全都由阿博士来做。
师：也就是说多出来的工作量是由阿博士在米德的工作时间里比米德多做而造
成的。阿博士每天比米德多做多少工作量？生： 。师：这段时间有几天呢？
生： ÷（ － ）。
板书：
（ ×14－1）÷（ － ）＝5（天）
板书：
1小时20分钟＝ 小时，1小时15分钟＝ 小时
1÷（1÷ ＋1÷ －1÷1）＝ （小时）
答：灌满这一池需要 小时。
三、小结：（5分）
1.在解决工程问题时，一般把工作总量看作单位“1”，然后表示各个工作效
率。
2.工作总量＝工作效率×工作时间（1＝工作效率×工作时间）
工作效率＝工作总量÷工作时间（工作效率＝1÷工作时间）
工作时间＝工作总量÷工作效率；
工作总量＝工作时间×工作效率。
（若学生对此不是很了解，教师需在上面的问题中一点点引导学生）
师：非常棒，接下来就是考验大家的时候了！
【探究新知，引入新课：
我们已经学过了工程问题的基本题型，如修一条马路，已知一共有多少千米，每天修多少千米，求需要几天完成任务？这节课，我们遇到的工程问题将没有具体的工作总量和工作效率，这时候需要我们利用分数来解题。】
生：乙、丙合作的工作效率： 。
小学奥数五六年级-工程问题(培优讲义)
工程问题 学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。
本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。
知识梳理1.工程问题在主要概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。
工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，即：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。
在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。
常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。
2.解决工程问题的基本思路(1)工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。
工程问题一般采用这种方法求解。
(2)先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
(3)求剩余部分的工作量完成的时间。
工程问题讲义1
尹老师奥数----小升初班工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。
抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。
对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。
【工程问题知识点】一：基本数量关系：1.工效×时间=工作总量2.工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率二：基本特点：设工作总量为“1”，工效 =1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：分做合想、合做分想。
五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配四：休息请假：方法： 1.分想：划分工作量。
2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期： 1.顺序，2.池中原来是否有水， 3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例： 1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题： 1.新生草量，2.原有草量， 3.解决问题。
学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题精编版
六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率X工作时间，工作时间=工作量十工作效率，工作效率二工作量十工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成.工程的三分之一表示为|03工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效率是希，同理〃乙队的工作效率是占。
两队合干的工作效率是（而+占” 由强工作量=工作效率X工作时间撷,W天的工作量是希十挣5 土乜工討9啬也（天）剰下的工作量是（l-|）c由"工作时间=工作量〒工作效率：剩下的工作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天?分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干这样一来，问题就简单多了。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的, 所以甲队实际工作了［一冷班天）例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
六年级《工程问题》奥数教案
（ 六年级 ） 备课教员：第四讲 工程问题一、教学目标： 知识目标 1. 认识工程问题的结构特点。
2. 掌握它的数量关系、解题思路和解题方法。
3. 并能正确解答工程问题的基本题。
能力目标 1. 初步培养学生的分析概括能力和迁移类推能力。
2. 运用所学知识解决实际问题的能力。
情感目标 1. 通过课堂教学中引用国家发展建设中的图片， 渗透学生爱国思想，培养学生民族自豪感。
二、教学重点： 1. 工程问题的结构特点、解题思路和解题方法。
三、教学难点： 1. 理解用“单位1”表示工作总量，用单位时间完成工作总量 的几分之一表示工作效率。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过一组中国古代大型工程的图片和相关了解，渗透学生的爱国思想，培养学生民族自豪感。
再通过几个简单的问题，对工程问题的基本结构和解题思想做一个复习】师：这节课一开始，老师就想要考考大家。
同学们知道中国古代三大工程是什 么吗？生：长城、故宫……师：有的同学们猜到了，但是都没有完全猜对。
那老师给大家降低一些难度， 先给大家看图片，再由大家来猜，举手抢答哦！（出示PPT ，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字） 师：我们的古人是不是很厉害，很伟大？生：是。
师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生命的代价。
我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设 需要你们。
那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。
【板书课题：工程问题】师：我们再来看几个简单的问题？（出示PPT ）师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？生：51。
师：每天修一段路的51，修完这段路需要多少天？ 生：5天。
师：都是怎么计算的？生：第一个问题是：1÷5＝51，第二个问题是：1÷51＝5（天）。
师：我们在做工程问题的时候经常把工作总量看作单位“1”，那么这里工作总量是？生：一段路。