《27.2.3 相似三角形应用举例》教案

27.2.3 相似三角形应用举例

一、课标要求: 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

二、课标理解：识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力.

三、内容安排：

【教学目标】

知识与技能：1.能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的测量问题；2.通过例题的分析与解决，让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用.

过程与方法：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解，体会相似三角形的应用方法.

情感、态度与价值观：发展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯，体会相似三角形的实际应用价值，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.

【教学重难点】

重点：运用相似三角形的知识解决生活中的一些测量问题.

难点：如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型.

四、教学过程

（一）孕育

问题：（1）怎样判断两个三角形相似？

（2）相似三角形的性质有哪些？

引入：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230 米.据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了20 年时间，每年用工10 万人.该金字塔原高146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低.

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？

引出课题：今天，我们就来研究利用三角形的相似，解决一些有关测量的问题.

（二）萌发生长

1.探究测量物体高度

例1：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影

子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.

如图，木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO .

追问：怎样测出OA 的长？

金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA 等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.

解：太阳光是平行光线，因此∠BAO ＝∠EDF .

又∠AOB ＝∠DFE ＝90°，

∴△ABO ∽△DEF . BO OA EF FD ∴＝ 20121343OA EF BO FD ⋅⨯∴＝

＝＝（m ） 因此金字塔的高度为134 m.

归纳：同一时间，同一地点，物高与影长成比例.

【牛刀小试】

1.在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋高楼的影长为90m ，这栋高楼的高度是多少？

2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?

2.探究测量河的宽度

例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R .已测得QS ＝45m ，ST ＝90m ，QR ＝60m ，请根据这些数据，计算河宽PQ .

解：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ，

∴△PQR∽△PST.

PQ QR

PS ST

∴＝

即

60

4590 PQ QR PQ

PQ QS ST PQ

++

＝＝

PQ×90＝（PQ+45）×60.

解得PQ＝90（m）.

因此，河宽大约为90m.

归纳：构造两个共线的相似直角三角形.

【随堂练习】

1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高.

2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?

（三）收获硕果

1.这节课我们学到了哪些知识？

2.我们是利用什么方法获得这些知识的？

3.通过这节课的学习，你有什么新的想法或发现？

（四）拓展延伸，布置作业

必做题：教材43页习题27.2第8、9题.

选做题：教材44页习题27.2第14题.

（五）学习评价

1.要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出()

A.仰角

B.树的影长

C.标杆的影长

D.都不需要

2.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，某一时刻他在地面上的影长为2.1 m.若小芳比爸爸矮0.3 m，则她此时在地面上的影长为()

A.1.3 m

B.1.65 m

C.1.75 m

D.1.8 m

3.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测

试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表.如图，如果大视力表中“E”

的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是______________.

4.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，

Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝

80 m，则河的宽度PQ为__________.

5.有一张简易的活动小餐桌，如图,现测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，桌面离地面

的高度为40 cm，则两条桌腿的交点离地面的高度为_____________.

附：板书设计

§ 27．2．2 相似三角形的性质

一：相似三角形对应角相等，对应边成比例

二：相似三角形的对应高线、对应中线、对

应角平分线的比等于相似比

例题板演学生板演三：相似三角形周长比等于相似比

推广：相似三角形对应线段的比等于相似比

四：相似三角形面积比等于相似的平方