等价无穷小替换_极限的计算
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
自然就有一个疑问， 不能随意替代是不是有些情况下可以替 代？ 那么在什么情况下可以代换呢？ 还有对复合函数的内函
∞ 00
数， 以及求未定式极限1 ，∞ ，0 各 位 置 上 的 无 穷 小 量 等 情 况，求极限时能否用无穷小量代换 ？ 文献 ［1］、［2］并未作详细 论述。 笔者拟对此问题作进一步探析，说明其在具体求函数 极限中的应用。
1.等 价 无 穷 小 量 代 换 定 理 利用等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推证等价 无 穷 小 量 代 换 求 函 数 极 限 的 重 要 结 论 ， 下 面 给 出 文 献 ［1］、 ［2］ 中的结论，称之为等价无穷小量代换定理。 定 理 ［1］： 设 函 数 f，g，h在 U0 （x0 ） 内 有 定 义 ， 且 有 f （x）~g （x） （x→x0）。
下面找到一些特殊且容易满足的条件， 使等价无穷小量
代换可以适合于极限的同一极限过程中的无穷小量 ，若
f（x），g（x）为同阶无穷小，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），当lim g（x） f（x）
≠-1，则f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x）。
f（x）
f（x）
推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量 ，若f
（x），g （x） 为 同 阶 无 穷 小 ， 且 f （x） ~f′ （x），g （x） ~g′ （x）， 当 lim =
g（x） ≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。 f（x）
推 论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，… ，n）是 在 同 一 极 限 过 程 中
（包括口头的和书面的）和撰写小论文等情况综合评定。 在“初等数学研究”课程的教学中，对于学生的课中参与，
不常见的等价无穷小替换公式
不常见的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常见的用于求解极限的方法。
但是，除了常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些不常见的等价无穷小替换公式。
本文将介绍其中一些不常见的等价无穷小替换公式，并探讨它们的应用。
我们来看一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，sin(x) 可以表示为 x 减去 x 的三阶无穷小量。
因此，当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以忽略 x 的三阶无穷小量，从而被替换为 x。
接下来，我们来看另一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
这个公式的推导可以通过极限的定义来进行。
根据极限的定义，当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以表示为无穷大加上一个小于任意正实数的无穷小量。
因此，当x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
除了上述两个不常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些其他的不常见的等价无穷小替换公式。
例如，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，ln(x+1) 可以表示为 x 减去 x 的平方的一半。
因此，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以忽略 x 的平方的一半，从而被替换为 x。
在实际应用中，不常见的等价无穷小替换公式可能会用于简化复杂的极限计算。
例如，在求解某个函数的极限时，如果可以将函数中的某个部分替换为无穷大或其他等价无穷小量，就可以简化计算过程。
这在计算机科学、物理学等领域中经常会遇到。
然而，需要注意的是，不常见的等价无穷小替换公式并不适用于所有情况。
在使用这些替换公式时，需要进行严格的推导和分析，确保替换后的结果与原始函数在极限意义下相等。
否则，可能会导致计算结果的误差或错误。
不常见的等价无穷小替换公式是一种在极限计算中使用的方法。
等价无穷小替换公式加减使用条件
等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。
例如，进行除法运算时，被除数不能为零。
2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。
即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。
3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。
如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。
举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。
即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。
等价无穷小替换,极限的计算
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、 理解无穷小与无穷大的概念；2、 掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、 不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、 无穷小与无穷大；2、 无穷小的比较；3、 几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、 求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法 （20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n —数列x n 的极限、X - - （ x r 厂「'、*—；工：）函数f x 的 极限、X — x 0 （ X —. x 0、x — x 0「函数f （x ）的极限这七种趋近方式。
下面我们用 X — *表示上述七种的某一种趋近方式，即*X r X r ： X rX 0 X —； X 0 X —； x 0定义：当在给定的X 》*下，f （x ）以零为极限，则称f （x ）是X > *下的无穷小，即lim* f x = 0。
例如，；limsi nx =0,.函数si nx 是当x 》0时的无穷小.1 1 — vlim =0, 函数 是当X T °°时的无穷小. x =x x【注意】不能把无穷大与很大的数混淆； 无穷大是极限不存在的情形之一。
lim 4=0, n —; • n.数列｛T ｝是当n >n::时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆； 零是可以作为无穷小的唯一的数, 不是无穷小。
任何非零常量都定义:当在给定的x 》*下, f X 无限增大，则称 f X 是X — *下的无穷大，即哩 f（x h- 。
显然,n —；时，n 、n 2、n 3、… 都是无穷大量,无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x 二 0 , X — ■.xmeX"，所以e x 当X )时为无穷小，当 X —时为无穷大。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
浅析等价替换在求极限中的应用-廖依丹
浅析等价无穷小替换在求极限中的应用极限计算是每年考研必考的题型，而等价无穷小替换是求极限的重要方法之一，使用等价无穷小代换可以使计算简化。
根据考研大纲发现，我们比较关注求极限的方法。
想要掌握一种计算方法，通常从研究背景、定理及应用三个方面出发。
一、研究背景极限计算的四则运算只适用于非未定式，通常在极限计算中未定式居多，而通过等价无穷小替换可以计算未定型极限，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
二、定理设在x →时()~()x x αβ，则有()()lim ()()lim ()();lim lim ()()x x x x g x g x f x x f x x x x αβαβ→→→→==。
三、适用范围只有整个式子作为乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能随意替换。
四、常见等价无穷小替换当0x →时2sin arcsin tan arctan ln(1)11(1)1,1cos 2x a x x x x xx e x ax xx +-+-- （1）等价无穷小替换的广义化：当0→时 2sinarcsin tan arctan ln(1)11(1)1,1cos 2a e a +-+--（2）等价无穷小替换之变形：①凑1：加1减1，提公因式，可能需要凑1的公式有：21ln(1)1,(1)1,1cos 2x a x x e x ax x x +-+--②凑0（考得少）。
五、应用由于等价无穷小替换只适用于乘除因子，所以应用于可替换的例题。
【答案】：14解析：利用等价无穷小替换： 22330,1,arctan ,ln(12)222x x x x e x x x →-+ 223300(1)arctan122lim lim ln(12)24x x x x x e x x x →→-==+【例】：计算极限cos 0xx →【答案】：32e解析：利用等价无穷小替换：2cos12111,11cos 32x x x e x x -→-- 2cos cos 10002132lim 123xx x x x x e e x -→→→=== 根据以上的讲解，相信大家对于等价无穷小替换在求极限中的运用有了一个全面的认识，而且它能够很大程度上化简计算，只要掌握住了“等价无穷小”的使用技巧，就能克服了复杂的计算问题，最后，祝愿大家最终在研究生考试中一举夺魁。
等价无穷小替换-极限的计算
等价无穷小替换-极限的计算无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n 数列x n的极限、XX 、X )函数 f X 的极限、X x (x X 0、X X ) 函数f(X)的极限这七种趋近方式。
下面我们用 X *表示上述七种的某一种趋近方式，即衣 nX X X X X o X X o X X o定义：当在给定的X *下，f(x)以零为极限， 则称f(x)是X 水下的无穷小，即lim f X 0。
*函数sin x 是当X 0时的无穷小 函数-是当X 时的无穷小.X【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可 以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是 无穷小。
定义：当在给定的X *下，|fx |无限增大， 则称fX 是X *下的无穷大，即凹f X 。
显然， n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大 是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相 对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是 无穷小也可能是无穷大，如例如,lim si nx 0,X 0lim - 0, li m(1)nn0,数列是当nn时的无穷小0 e x 0 ,lim e x,x所以e x 当x时为无穷小，当x 时为无穷大。
2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同 一变化过程中，如果f x 为无穷大，则丄为无穷小；反之，如果 f x 为无穷小，且 f xf x 0，则亠为无穷大。
等价无穷小替换极限的计算
等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。
在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。
而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。
等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。
具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。
1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。
例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。
同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。
需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。
高数等价无穷小替换公式
高数等价无穷小替换公式
高数中，等价无穷小替换公式是指在极限计算中将一个无穷小量替换为与它等价的另一个无穷小量的公式。
常见的等价无穷小替换公式有以下几种：
1. 当 x 趋于0时，可以将 sin(x) 替换为 x。
lim(x→0) sin(x) / x = 1
2. 当 x 趋于0时，可以将 tan(x) 替换为 x。
lim(x→0) tan(x) / x = 1
3. 当 x 趋于0时，可以将 arcsin(x) 替换为 x。
lim(x→0) arcsin(x) / x = 1
4. 当 x 趋于0时，可以将 arctan(x) 替换为 x。
lim(x→0) arctan(x) / x = 1
5. 当 x 趋于无穷大时，可以将 e^x - 1 替换为 x。
lim(x→∞) (e^x - 1) / x = 1
这些等价无穷小替换公式在极限计算中经常使用，可以简化计算过程，但需要注意使用的条件和适用范围。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
利用等价无穷小替换求解二元函数的极限
利用等价无穷小替换求解二元函数的极限在微积分中，求解函数极限是一个重要的问题。
当我们面对二元函数的极限时，可以采用等价无穷小替换的方法来简化计算过程。
本文将介绍利用等价无穷小替换来求解二元函数极限的方法和注意事项。
一、等价无穷小的概念及性质为了应用等价无穷小替换求解二元函数的极限，首先需要了解等价无穷小的概念和性质。
等价无穷小是指在某一极限过程中，与某个无穷小f(x)的差的绝对值趋于零的无穷小。
等价无穷小有以下几个性质：1. 若f(x)是无穷小，且当x趋于某个值时，f(x)与g(x)的差的绝对值趋于零，则称g(x)是f(x)的等价无穷小，记作g(x)∼ f(x)。
2. 若f(x)∼ g(x)，则f(x)的高阶无穷小与g(x)的高阶无穷小等价。
3. 若f(x)∼ g(x)，h(x)∼ k(x)，则f(x)+h(x)∼ g(x)+k(x)，f(x)h(x)∼g(x)k(x)。
通过以上性质，我们可以找到一组与原二元函数相等价的无穷小。
二、应用等价无穷小替换的方法首先，我们需要判断原二元函数在所求的极限点附近是否存在一个等价无穷小。
为此，我们可以通过泰勒展开或其他方法来确定等价无穷小。
若确定了等价无穷小，我们可以将原二元函数用等价无穷小近似替代，从而将二元函数的极限转化为无穷小的极限。
具体的方法如下：1. 将原二元函数记作f(x, y)。
2. 找到与f(x, y)等价的无穷小，记作ε(x, y)。
3. 将f(x, y)用ε(x, y)近似替代，即将f(x, y)替换为ε(x, y)，得到近似函数。
4. 求近似函数的极限，即求lim(ε(x, y))。
此时只需要将二元函数中的变量用极限点的坐标代入ε(x, y)中即可得到极限的值。
需要注意的是，使用等价无穷小替换求解二元函数极限的方法存在一定的局限性。
首先，我们需要确保等价无穷小的存在性，并且要选择合适的等价无穷小来进行替换。
其次，由于等价无穷小是对原函数的近似，所以在一些特殊情况下可能会引入误差。
极限的计算---无穷小等价替换
பைடு நூலகம்解:
所以原式
例3.
解:
原式= = = .
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限： （三级）
例4. 求 .
解：
则 ，
用等价无穷小替换得 = =1.
例5. 求 .
解：因为 ， ，
所以
.
三、能力反馈部分
1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
（1） （2）
四则运算变换后进行替换
注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.
引例 =
3、等价无穷小的替换定理
定理
证：
4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）
例1.（1） ； （2） .
解:（1）原式= = ;
（2） 故原式 = 2.
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用在加、减法运算中.
（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
（3） （4）
其它情况等价替换（选做）
（5） （6）
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其应用；
能力目标
培养学生灵活运用知识的能力
时间分配
30分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订
熊文婷
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握 型极限的求解方法。
特点：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。
模块基本信息
一级模块名称
函数与极限
二级模块名称
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式是一种在微积分中常用的方法，用于将一个无穷小量替换为与之等价的另一个无穷小量。
这种方法的基本思想是，当两个无穷小量之比在某一点趋于一个确定的常数时，这两个无穷小量可以相互替换。
这个常数通常称为等价常数。
在使用等价无穷小等价替换公式时，需要首先确定无穷小量的等价常数。
这通常可以通过求极限的方法获得。
例如，当$x$趋于$0$时，$sin x$可以等价替换为$x$，因为$limlimits_{xto 0}frac{sin x}{x}=1$。
另一个常用的等价替换公式是$e^x-1$可以等价替换为$x$，因为$limlimits_{xto 0}frac{e^x-1}{x}=1$。
需要注意的是，等价无穷小等价替换公式仅适用于无穷小量在某一点附近的情况，而不能在整个定义域范围内使用。
此外，使用等价无穷小等价替换公式时，需要注意等价常数的确定，以免产生误差。
总之，等价无穷小等价替换公式是微积分中重要的工具之一，它可以帮助我们简化计算，并得到更加简洁的结果。
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不常见的等价无穷小替换公式
不常见的等价无穷小替换公式
1. 当 x 趋于 0 时，可以使用以下等价无穷小替换公式：
sin(x) ≈ x，其中 x 是弧度制下的角度。
tan(x) ≈ x，其中 x 是弧度制下的角度。
ln(1 + x) ≈ x，其中 x 趋近于 0。
2. 当 x 趋于无穷大时，可以使用以下等价无穷小替换公式：
e^x 1 ≈ x，其中 x 趋近于无穷大。
ln(x + 1) ≈ x，其中 x 趋近于无穷大。
3. 当 x 趋于某个特定常数 a 时，可以使用以下等价无穷小替换公式：
(x a)^n ≈ 0，其中 n 是正整数，x 趋近于 a。
e^x ≈ e^a，其中 x 趋近于 a。
4. 在级数展开中，可以使用以下等价无穷小替换公式：
当 x 趋于 0 时，可以使用泰勒级数展开，将函数表示为无穷级数的形式，然后保留前几项来近似计算。
需要注意的是，这些等价无穷小替换公式只在特定的极限计算中适用，并且在应用时需要谨慎。
在实际计算中，我们通常需要根据具体情况选择合适的等价无穷小替换公式，以确保计算结果的准确性。
希望以上回答能够满足你的要求。
如果你还有其他问题，请随时提出。
等价无穷小替换公式所有
等价无穷小替换公式所有
等价无穷小代换公式有：arcsinx ~ x；tanx ~ x；e^x-1 ~ x；ln(x+1) ~ x；arctanx ~ x；1-cosx ~ (x^2)/2。
1、当x→0，且x≠0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx; x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2; [(1+x)^n-1]~nx; loga(1+x)~x/lna;a 得x次方~xlna;(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）。
2、等价无穷小的替换的含义：等价无穷小替换的前提是，你所看的未知项（这里指整体，并不一定是x趋近于0）必须趋近0时，才可替换。
如果是相加减关系，替换拆开后极限存在，则可拆：不存在，则不可拆，这是要寻求其他途径将其化为相乘关系，再替换。
3、等价无穷小代换求极限的条件是什么：剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）可能是x^2的等价无穷小这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小这时极限为常数如果是x^4的等价无穷小那么极限就是0了。
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无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=- 原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x x x x x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x2=又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x xx x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，()0131arctan lim2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .03==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x 再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设 解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x π取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0 ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例x x f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x .01lim ==+∞→A x x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量 但=+∞→)()(limx f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较. 【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim 000=-+-=-→→→xx x e x x e x x x x x（2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “”型，拆项。