等价无穷小替换_极限的计算

无穷小 极限的简单计算

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+

→0x x 、-

→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊{

}

-

+

→→→-∞

→+∞→∞→∞

→∈00

0x x x x x x x x x n

定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即

()0lim =→x f x ＊

。

例如, ,0sin lim 0

=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x

,01lim

=∞→x x .1

时的无穷小是当函数∞→∴x x

,0)1(lim =-∞→n

n n .})1({

时的无穷小是当数列∞→-∴n n n

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都

不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即

()∞=→x f x ＊

lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

0l i m =-∞

→x x e ， +∞=+∞

→x

x e lim ，

所以x

e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，

则

()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()

x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0

lim ()()(),x x x f x A f x A x α®

=?

+其中)(x α是自变量在同一变化过程

0x x →（或∞→x ）中的无穷小.

证：（必要性）设0

lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0

lim ()0,x x x α®=

).()(x A x f α+=∴

（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则

lim ()lim(())x x x

x f x A x α =+ )(lim 0

x A x x α→+= .A =

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

是无穷小，

时例如n

n 1

,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)

1(lim =-∞

→n n

n ，01sin lim 0=→x

x x ，0sin 1

lim =∞→x x x

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，2

2

1

0,,,sin ,sin

x x x x x x

®当时都是无穷小，

观察各极限： x

x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x

x

x sin lim

0→,1=;sin 大致相同与x x

2

201sin

lim

x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹

(1)lim

0,,();o β

βαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ

≠=C C

lim 1,~;β

βααβα

=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作

(3)lim

(0,0),.k

C C k k β

βαα=?如果就说是的阶的无穷小

例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →

证：430tan 4lim x x x x →3

0)tan (lim 4x

x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan lim

x x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,2

1

=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x

（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x

e ～x

（7）x cos 1-～2

2x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x

a -～ln a x *

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

,1lim

=αβ ,0lim =-∴α

βα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(2

11cos 22

x o x x +-

= 3．等价无穷小替换

定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα'

'

=''''则存在且设 证：α

β

lim

)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=

例3 （1）.cos 12tan lim

2

0x

x x -→求； （2）1cos 1

lim

2

0--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02

x x x x x -→时当 故原极限202

(2)lim 12x x x ®== 8

（2）原极限=2

lim 220x

x x -→=21

- 例4 .2sin sin tan lim

30x

x

x x -→求