2.1.2等式性质与不等式的性质【试题版】

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2.1 不等式和不等式的性质训练题及解析

2.1 不等式和不等式的性质训练题1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（） A ．a +b +c ＞130B ．a +b +c ＜130C ．a +b +c ≥130D ．a +b +c ≤1302．已知t ＝2a +2b ，s ＝a ²+2b +1，则（） A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ≤sD ．t ＜s3．已知P ＝x 2+xy +y 2，Q ＝3xy ﹣1，则（） A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．P ，Q 的大小关系不确定4．已知a ，b 为不相等的实数，记M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2，则M 与N 的大小关系为（） A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定5.如果,a b >那么下列说法正确的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 7.下列命题正确的是（） A ．若>a b ，则11a ba b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（）A ．22ac bc D ．22a ab b >> 9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（） A ．11a b C ．22a b > D ．a b < （多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2（多选）11．已知a ，b ，c 满足c ＜a ＜b ，且ac ＜0，那么下列各式中一定成立的是（） A ．ac （a ﹣c ）＞0B ．c （b ﹣a ）＜0C ．cb 2＜ab 2D ．ab ＞ac（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则D ．若a ＞b 且，则ab ＜0（多选）13．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下面一定成立的是（） A ．a +d ＜b +cB ．ac ＞bdC ．ac 2＞bc 2D ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---.19.若0bc ad -≥，0bd >，求证： a b c db d++≤．20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>.2.1 不等式和不等式的性质训练题解析1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130 【答案】D【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．故选：D．2．已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s【答案】C【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故选：C．3．已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【答案】A【解答】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x+y）2+1＞0．故P．故选：A．4．已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定【答案】A【解答】解：∵M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2， ∴M ﹣N ＝a 2﹣ab ﹣ba +b 2＝（a ﹣b ）2， ∵a ，b 为不相等的实数， ∴（a ﹣b ）2＞0， ∴M ＞N ．故选：A ．5.如果,a b >那么下列说法正确的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 【答案】D【解答】因为a b >，不等式两边同时减去a 得0b a >-，D 正确，若0c，则AB 错误，若0c ≠，C 错误．故选：D ．6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 【答案】B【解答】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立7.下列命题正确的是（） A ．若>a b ，则11a ba b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解答】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（） A ．22ac bc D ．22a ab b >> 【答案】D【解答】对于A ，当0c时，220ac bc ==，A 错误；对于B ，当2a =-，1b =-时，112a =-，11b =-，此时11a b>，B 错误；对于C ，220b a b a a b ab--=<，b a a b ∴<，C 错误；对于D ，0a b <<，0a b ∴-<，()20∴-=->a ab a a b ，()20ab b b a b -=->，22a ab b ∴>>，D正确.9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（） A ．11a b C ．22a b > D ．a b < 【答案】C【解答】因0ab <，a b >，则a>0，b<0，110,0a b><，A 不正确； 0,0b a a b <<，则0b aa b+<，B 不正确；又0a b +>，即0a b >->，则22()a b >-，22a b >，C 正确；由0a b >->得||a b >，D 不正确.故选：C（多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2【答案】BD【解答】解：对于A，若a≠b，则a2≠b2错误，反例：a＝1，b＝﹣1，故A错误：对于B，若a2≠b2，则a≠b正确，故B正确；对于C，若a＞b，则a2＞b2错误，反例：a＝1，b＝﹣5，故C错误；对于D，若a＞|b|，则a2＞b2正确，故D正确，故选：BD．（多选）11．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ab＞ac【答案】BCD【解答】解：因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选：BCD．（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＞b＞0且c＜0，则D．若a＞b且，则ab＜0【答案】BCD【解答】解：A，不成立，比如c＝0时，ac2＝bc2，B，成立，a＜b＜0，则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，C，成立，若a＞b＞0且c＜0，则a2＞b2＞0，，即有，D，成立，若a＞b且，可得＞0，∵b﹣a＜0，∴ab＜0，故选：BCD．（多选）13．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＞bd C．ac2＞bc2D．【答案】BD【解答】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣1，c ＝﹣5，d ＝﹣1时，a +d ＞b +c ，故选项A 错误；∵a ＜b ＜0，c ＜d ＜0， ∴﹣a ＞﹣b ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴ac ＞bd ，故选项B 正确； ∵a ＜b ，c 2＞0，∴ac 2＜bc 2，故选项C 错误； ∵﹣a ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴＞＞0，故选项D 正确；故选：BD ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______ 【答案】()18,1--【解答】依题意可知2026-<-<-b ，由于25<<a ，由不等式的性质可知1821-<-<-a b .15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AB【解答】因为660<<a ，1518<<b ，所以1111815<<b ，1815-<-<-b ，则6601815<<a b ，6156018+<+<+a b ，6186015-<-<-a b ，即143<<a b ，2178<+<a b ，1245-<-<a b ，则41,53+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭a b a b b ；故AB 正确，CD 错.16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.【答案】(5,10)【解答】令4(2)()(2)()-=++-=++-a b m a b n a b m n a m n b ，则241+=⎧⎨-=-⎩m n m n ，解得12=⎧⎨=⎩m n ，所以4(2)2()-=++-a b a b a b ，因为34<-<a b ，所以62()8<-<a b ，因为122-<+<a b ，所以1622()28-+<++-<+a b a b ，所以5410<-<a b ，所以4-a b 的取值范围为(5,10)，17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15] 【答案】B【解答】令=-m x y ，4=-n x y ，,343-⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩n m x n my , 则85933=-=-z x y n m552041333-≤≤-∴≤-≤m m 又884015333-≤≤∴-≤≤n n ，因此85192033-≤=-=-≤z x y n m ，故本题选B.18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---. 【答案】证明见解析.【解答】证明：111()()()()()()()()()--+--+--+-=------a b c a c a b c b c a b b c a b a c b c c a a b2()()()()()()----=---a b c a b c b c c a a b .由>>a b c ，可知0->a b ，0-<c a ，从而()()0--<a b c a ，又0->b c ，()()()0------b c a b a c ，即111+>---b c a b a c. 19.若0bc ad -≥，0bd >，求证：a b c db d++≤．【解答】证明：+++----==a b c d ad bd bc bd ad bcb d bd bd， 0,0-≥>bc ad bd ，0-∴≤ad bcbd， ++∴≤a b c db d. 20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解答】（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-. （2）因为0ab >，所以10ab>. 又因为a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅，即11b a >，因此11a b<. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>. 又因为0a b >>，则 11a b c d⋅>⋅，即a b c d >。

等式与不等式的性质(原卷版)

等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数；如果a ＜b ，那么a －b 是负数；如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ⇔a －b >0 a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小题型二：作差法比较数（式）大小题型三：利用不等式的性质证明不等式【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（） A ．d a 2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（） A ．a b c <>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b a a b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（） A ．a b C ．2ab a <D ．2ab a >10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（） A ．ab a b >-B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >D ．1ab b>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>题型二：作差法比较数（式）大小一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．22lg lg a b >D ．33a b >3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（）注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（） A ．log 0a b - C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b ab+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（） A ．22a b >B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（） A ．14a b <++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．4222m n --+>D ．()3log 1m n +>4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n >D ．log log m n n m <题型三：利用不等式的性质证明不等式一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac +的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞二、多选题1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（） A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y <D ．11x y> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（） A ．若221a b -=，则1a b -<；B ．若111b a -=，则1a b -<；C 1a b =，则1a b -<；D ．若331a b -=，则1a b -<.4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（） A ．2a b +≤B ．1222a b -<< C ．221log log 2a b -D ．221a b ->-。

等式性质与不等式性质》(第2课时)

《 2.1.2 等式性质与不等式性质》
（第2课时）
1.了解等式的性质；
学习目标
2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质
解决有关问题．
等式的性质与不等式的性质
【问题思考】
1.你能说出等式有哪些基本性质吗?
提示:性质1.如果a=b,那么b=a;
性质2.如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3.如果a=b,那么a±c=b±c;
√
)
解析:(方法一)∵c2≥0,
∴当 c=0 时,有 ac2=bc2,故 A 为假命题;

∵ −
-
=

,又
(-)
< < ⇒- > -

a>b>0,∴
>0⇒
> ,故 B 为假命题;
(-)
-

> ⇒- > - ,

⇒ > b,那么ac=bc;

性质 5.如果 a=b,c≠0,那么 = .

2.你能类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质吗?
提示:能.
3.填表:
性质
1
2
3
别名
对称性
传递性
可加性
4
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a
a>b,b>c⇒ a>c
a>b⇔a+c > b+c
> ,
⇒ac > bc
>
> ,
⇒ac < bc
<
注意
⇔
同向传递

2.1等式性质与不等式性质基础练习题

A． B． C． D．
6．若实数满足，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
8．若，则下列四个数中最小的数是（）
A． B． C． D．
9．下列说法不正确的是（）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
因为，所以，即，故C正确；
取，满足题意，此时，故A错误；
，故B错误；，故D错误，
故选：C
4．C
【分析】
本题可根据题意以及进行计算，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，，，
故的取值范围是，
故选：C.
5．C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若，
对于A，，所以，故A不成立；
19．若，，求证：．
20．设 .
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
21．已知，比较与的大小.
22．已知，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：当时，，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，故选项B不正确；
15．a克糖水中含有b克塘（），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了.试根据这个事实提炼出一个不等式：______________.
16．设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________
三、解答题
17．比较与的大小，其中 .范围.

2.1等式性质与不等式性质同步练带答案

2.1等式性质与不等式性质一、单选1．如果a b >，那么下列运算正确的是（）A ．33a b -<-B ．33a b +<+C ．33a b<D ．33a b<--2．下列命题中为真命题的是（）A ．220a b a b >>⇒>B ．220a b a b >⇒>>C ．1b a b a>⇒<D ．33a b a b >⇒>3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤4．下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则11a b或2b c >C ．若x y <，则22x y <D ．若a b =，则a b=5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b<二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a____21b ;(4)如果0a b c >>>,那么c a ____c b.7．已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.9(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；第3页共8页◎第4页共8页2.1等式性质与不等式性质答案，⎤⎥⎥⎦330a b >≥；当0a b ³>时，330a b ≥>；综上所述：当a b >时，33a b >，D 正确.故选：D.3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤【答案】D【分析】由不等式的性质求出b -，3a 的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为14a ≤≤，12b -≤≤，所以是假命题．故选：C5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b<【答案】B【详解】A.若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；B.若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C.若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D.若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误.故选：B二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a ____21b ;(4)如果0a bc >>>,那么c a ____cb.【答案】①.>②.<③.<④.<【详解】解析:(1)c d < ,c d ∴->-.a b > ,a cb d ∴->-.(2)0c d <<Q ,0c d ∴->->.0a b >> ,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.(3)0a b >> ,0ab ∴>,10ab>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,110b a∴>>,2211b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211a b <.(4)0a b >> ,所以0ab >,10ab>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11a b <.0c >Q ,c ca b∴<.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键7.（2023·全国·高一专题练习）已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．【答案】31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】利用不等式的性质即可求出b 的取值范围.【详解】由题意，在23a b ≤-<中，32b a -<-≤-∵01a b ≤+<，∴321b -<<-，解得：3122b -<<-，故答案为：31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.【答案】225a b <+<第7页共8页◎第8页共8页【详解】解：23a << ，426a ∴<<，又21b -<<- ，225a b ∴<+<.9.(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）2212(1)x y x y ++>+-.【详解】解：（1）因为()()2225625930xx x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++.（2）因为()22110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.。

高中试卷-专题2.1 等式与不等式性质解析版)(含答案)

专题2.1 等式与不等式性质知识点①等式性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a ．2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc．知识点②不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点③两个实数比较大小的方法1．作差法：⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a ba b a b a b a 0002．作商法：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∈<⇔<≠∈=⇔=>∈>⇔>010101b R a b a b ab R a b a b ab R a b a b a，，，知识点④常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.2．两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m＞0)．一、单选题1．已知R a b c d ∈、、、，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则11a b<D ．若11||||a b <，则||||a b >【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，当0c £时不成立；对于B ，当1,2,0,1a b c d ==-==-时，显然不成立；对于C ，当1,2a b ==-时不成立；对于D ，因为110||||<<a b ，所以有||||0a b >>，即||||a b >成立.故选：D ．2．下列命题正确的是（）A ．22,0a b c ac bc >≠⇒>B ．a b <⇒<C ．a b >且c d a c b d <⇒+>+D ．22a b a b >⇒>【答案】A【解析】对于选项A ，∵0c ≠，∴20c >，又a b >，22ac bc \> 成立，故A 正确；对于选项B ，当0a <，0b >时，结论明显错误，故B 错误对于选项C ，当4,3,1,2a b c d ====时，a c b d +=+，所以结论错误，故C 错误对于选项D ，当1,2a b ==-时，22a b <，所以结论错误，故D 错误故选：A3．下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>【答案】D【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.4．已知04x <<，06y <<，则2x y -的取值范围是（）A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(8,6)-D ．(6,8)-【来源】第07讲不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】D【解析】解：因为04x <<，06y <<，所以028x <<，60y -<-<，所以628x y -<-<，所以2x y -的取值范围是(6,8)-，故选：D.5．如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b<，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6．若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若c a <，则cb ab<C ．若0ab ≠且a b <，则11a b>D ．若a b >，则a c b c+>+【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】D【解析】对A ，取1,2a b ==-，则有22a b <，A 错；对B ，取0b =，则有cb ab =，B 错；对C ，取1,2a b =-=，则有11a b<，C 错；对D ，若a b >，则a c b c +>+正确；故选：D7．设a ＞b ＞1，y 12311,,11b b b y y a a a +-===+-，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）【答案】C【解析】解：由a ＞b ＞1，有y 1﹣y 2()()1111b b ab a ab b a ba a a a a a ++---=-==+++＞0，即y 1＞y 2，由a ＞b ＞1，有y 2﹣y 3()()1111b b ab b ab a a ba a a a a a ---+-=-==---0，即y 2＞y 3，所以y 1＞y 2＞y 3，故选：C.8．若,,,R a b c d ∈，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则a c b c->-D ．若0a b <<，则1a<1b【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题【答案】C【解析】对于A ，若2,1,1,2a b c d ===-=-，则2ac bd ==-，所以A 错误，对于B ，若0c =，则220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以由不等式的性质可得a c b c ->-，所以C 正确，对于D ，因为0a b <<，所以0ab >，所以a b ab ab<，即11b a <，所以D 错误，故选：C9．若0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．ac bc>B ．33a b >C ．a b->-D ．a b ab+<【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】对于A ，若0c =，则ac bc =，所以A 错误，对于B ，因为0a b >>，所以330a b >>，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以a b -<-，所以C 错误，对于D ，若2,1a b ==，则32a b ab +=>=，所以D 错误，故选：B10．对任意实数a b c d ,,,，命题：①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >.④若33,0a b ab ><，则11a b>，其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】C【解析】对于①，若a b >，0c <，则ac bc <，①错；对于②，若0c =，则22ac bc =，②错；对于③，若22ac bc >，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，③对；对于④，若33,0a b ab ><，则0a b >>，则110a b>>，④对故选：C11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-【来源】第05讲等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）【答案】D【解析】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.12．已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B13．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e e a c d b+>--D ．()ea d c b->【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e ea c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误.故选：C.14．下列说法中，错误的是（）A ．若22a b >，0ab >，则11a b ，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+×+×+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->×+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A15．已知0a b >>，则（）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11a b>D 的取值范围是[)2,+¥【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，a b +³a b =时，等号成立，而a b >，D 错误．故选：B16．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的假命题是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0,0bc ad bd -³>，则a b c db d++£C ．若0a b <<，则b aa b>D ．若11,a b a b>>，则0,0a b ><【答案】C【解析】对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：若0bc ad -³，0bd >，则0bc ad bd -³，化为c ad b ³，可得a b c d b d++£，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误；对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D正确；故选：C。

2.1等式性质与不等式性质同步练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版(必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质同步练习一．选择题1．（2021•广东学业考试）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 2．（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定3．（2021秋•和平区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞a＞ab2C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a 4．（2021秋•南京期中）已知a∈R，则a＞4的一个必要条件是（）A．a＜5B．a＞5C．a＜1D．a＞15．（2021春•深圳期末）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定7．（2021秋•天心区校级期末）已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 8．（2021•济南模拟）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．多选题9．（2021秋•长沙期末）若，则下列不等式正确的是（）A．|a|＞|b|B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3 10．（2021•南海区校级模拟）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1B．若，则a﹣b＜1C．若，则|a﹣b|＜1D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1 11．（2021秋•大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3B．p：x＞3，q：x＞2C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5D．p：a＞b＞0，m＞0，q：12．（2021秋•新兴县校级月考）下列命题正确的是（）A．∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2B．若c＞a＞b＞0，则C．ab≠0是a2+b2≠0的必要不充分条件D．若a≥b＞﹣1，则三．填空题13．（2021秋•宝山区校级月考）三角不等式中，|a|+|b|≥|a+b|等号当且仅当成立．14．（2020秋•长宁区期末）已知α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分条件，则m的取值范围是．15．（2021秋•通州区校级月考）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．16．（2021春•五华区期末）糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是（只需填满足题意的一个值即可）．四、解答题17．（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：（1）与，其中x＞1；（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．18．（2021秋•浦东新区期中）已知命题α：﹣3≤x＜7，命题β：k+1≤x≤2k﹣1，且α是β的必要条件，求实数k的取值范围．19．（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．20．（2021秋•扬中市校级月考）（1）已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较与a+b的大小；（2）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，求实数a的取值范围．21．（2021•衡阳三模）已知函数f（x）＝|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．22．（2021•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．。

2.1 等式性质与不等式性质(原卷版)

2.1 等式关系与不等式关系一、选择题1．下列说法正确的是( )A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <"B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >"C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥"D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．22a b C ．2211ab a b <D ．11a b a >- 6.已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（）A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -< D ．22cb ab <7．（多选）对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若a b >，则11a b > 二、填空题8．设2,73,62P Q R ==-=-，则,,P Q R 的大小顺序是______．9.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．10.已知两实数22210a x x =-+-，239b x x =-+-，a ，b 分别对应实数轴上两点A 、B ，则点A 在点B 的（填“左边”或“右边” )．三、解答题11．已知a ，b 均为正实数，求证：a b a b +≥+.12．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.13.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间，问甲以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m n乙两人谁先到达指定地点？。

人教A版(2019)数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质练习题

人教A版（2019）数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质练习题一、单选题（共8题；共16分）1.若关于x的不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. [-3,0] C. D.2.若，则P，Q的大小关系为（）A. B. C. D.3.设，则下列不等式中不成立的是（）A. B. C. D.4.已知集合，,则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（20.2）•f（20.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. c＞a＞bD. a＞c＞b6.若，则下列命题中正确的是（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.设，则（）A. a>b>cB. c>a>bC. b>a>cD. b>c>a二、填空题（共6题；共6分）9.设，，则与的大小关系是________．10.设，，，则a，b，c由小到大的顺序为________．11.已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=x+sinx，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则a、b、c的大小关系是________．12.已知，有以下命题：①若a>b ，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b ；③若a>b ，则.则正确命题序号为________13.+ 和+ 中较大的为________14.在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是________三、解答题（共2题；共10分）15.设二次函数f(x) = a x2 +bx+c，函数F(x) = f(x)－x 的两个零点为m，n(m < n)．（1）若m =－1，n = 2，求不等式F(x) > 0 的解集；（2）若a >0，且0 < x < m < n < ，比较f(x) 与m 的大小16.已知a＞0，b＞0，试比较M= 与N= 的大小．答案一、单选题1. D2.A3. B4. C5. C6. D7. D8.C二、填空题9. 10.c＜a＜b 11.b＞a＞c 12.②③ 13.+ 14.（2，4）三、解答题15. （1）解：由题意知，当时，不等式即为. 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为（2）解：且，∴∴，即．16.解：∵．∴M＞N。

专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】(解析版)

+2
−+2 =
(+2)−(+2)
(+2)
2(−)

+2
= (+2) < 0N < +2N C §7¨
¦ DNğ > > 0N}− > 0, + > 0N
4
-.10)*+, ............................................................................................................................6
5
./0)*2 !&+,&3 ........................................................................................................7
1+
1+
1−
1−
= 1+ + 1+
2(1−)
= (1+)(1+) > 0NĠÔN > .
! 3-223-24 `ĥ·àĲ·ģ
!LėD&
1
1
ABğ < < 0N}3 + 3 > 2 + 2 BBğ < < 0N} <
+2
-
!&'(:;<=> ..........................................................................................................14

2.1.2等式性质与不等式性质

ab ②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ③对于正数 a，b，m，若 a<b，则a<a＋m.其中真命题的序号是________．
b b＋m
①③
一、利用不等式的性质比较大小
例3 已知 a > b >0, c <0, 求证: c
c
＞
.
证明：因为a > b >0,
a 所以 ab >0,
1b
>0.
性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.
abba
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性．
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.（传递性）
a b，b c a c
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性．
于是 a 1 b 1 ,
ab
ab ab
即
1 1.
ba
思考？
由 c<0 , 得
c b
c a
,
能否用作差法
即
c c. ab
证明？
二、利用不等式的性质求范围
例3
已知12<a<60,15<b<36.求a－b和
b a
的取值
范围．
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15，
又 1 <1< 1 36 b 15
∴12－36<a－b<60－15， ∴12<a<60
即－24<a－b<45.

【高中数学】新人教A版高一第 2 课时等式性质与不等式性质(练习题)

新人教A版高一第 2 课时等式性质与不等式性质(2006)1.下列是等式2x+13−1=x的变形，其中根据等式性质4变形的是（）A.2x+13=x+1 B.2x+13−x=1C.2x3+13−1=x D.2x+1−3=3x2.下列说法正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若1a >1b，则a<bC.若b>c，则|a|b⩾|a|cD.若a>b，c>d，则a−c>b−d3.已知a,b,c,d均为实数，则下列结论中正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若ab>0,bc−ad>0，则ca −db>0C.若a>b,c>d，则a−d>b−cD.若a>b,c>d>0，则ad >bc4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a＋1b >b＋1aB.a＋1a⩾b＋1bC.ba >b＋1a＋1D.b−1b>a−1a5.已知非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a+b>0B.a2>b2C.1a <1bD.a2+b2>2ab6.下列说法中正确的是（）A.在等式ab=ac两边同除以a，可得b=cB.在等式a=b两边同除以c2+1，可得ac2+1=bc2+1C.在等式2c=2a−b两边同除以2，可得c=a−bD.在等式ba =ca两边同乘a，可得ab=ac7.设a>b>c，且a＋b＋c=0，则下列不等式恒成立的是（）A.ab>bcB.ac>bcC.ab>acD.a|b|>c|b|8.已知a<0，−1<b<0，则下列各式正确的是（）A.a>ab>ab2B.ab>a>ab2C.ab2>ab>aD.ab>ab2>a9.已知a>b>0,且c>d>0,则√ad 与√bc的大小关系是.10.若1⩽a⩽5，−1⩽b⩽2，则a−b的取值范围为.11.已知a＋b>0且ab≠0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是.12.已知实数a>b，当a,b满足条件时，不等式1a <1b成立.13.已知c>a>b>0，求证：ac−a >bc−b.14.已知1<a<4，2<b<8，试求a−b与ab的取值范围.15.已知a,b为非零实数，且a<b，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab16.已知a，b，c，d均为实数，有下列说法：①若ab>0，bc−ad>0，则ca −db>0；②若ab>0，ca −db>0，则bc−ad>0；③若bc−ad>0，ca −db>0，则ab>0.其中正确的说法是.(填序号)17.某公司有荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往港口，已知一辆甲种货车可装载荔枝4吨，香蕉1吨，一辆乙种货车可装载荔枝、香蕉各2吨.(1)该公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助他们设计出来．(2)若甲种货车每辆要付运费2000元，乙种货车每辆要付运费1300元，则该公司选哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？参考答案1.【答案】:D2.【答案】:C3.【答案】:B；C【解析】:当a=1，b=−1，c=0，d=−2，满足a>b，c>d，此时ac=0，bd=2，ac<bd，所以A不正确；若ab>0，bc−ad>0，得1ab (bc−ad)>0，即ca−db>0，所以B正确；若a>b，c>d，则a+c>b+d，即a−d>b−c，所以C正确；当a=−1，b=−2，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，此时ad =−1，bc=−1，ad=bc，所以D不正确．故选BC.4.【答案】:A5.【答案】:D6.【答案】:B【解析】:对于选项A，当a=0时，两边不能除以a，所以选项A错误；对于选项C，等式2c=2a−b两边同除以2，可得c=a−b2，所以选项C错误；对于选项D，等式ba =ca两边同乘a，可得b=c，所以选项D错误，只有选项B正确.故选B.7.【答案】:C【解析】:因为a>b>c，且a＋b＋c=0，所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零. 由b>c，a>0知，ab>ac. 故选C.8.【答案】:D【解析】:因为−1<b<0，所以1>b2>0>b>−1，即b<b2<1，同乘a(a<0)得ab>ab2>a.故选D.9.【答案】:√ad >√bc【解析】:因为c>d>0,所以1d >1c>0,因为a>b>0,所以ad>bc>0,所以√ad>√bc.10.【答案】:−1⩽a−b⩽6【解析】:因为−1⩽b⩽2，所以−2⩽−b⩽1，又1⩽a⩽5，所以−1⩽a−b⩽6.11.【答案】:ab2＋ba2⩾1a＋1b【解析】:ab2＋ba2−(1a+1b)=a−bb2＋b−aa2=(a−b)·(1b2−1a2)=(a＋b)(a−b)2a2b2.∵a＋b>0，(a−b)2⩾0，a2b2>0，∴(a＋b)(a−b)2a2b2⩾0，∴ab2＋ba2⩾1a＋1b.12.【答案】:ab>0【解析】:当ab>0时，∵a>b，∴aab >bab，即1b>1a；当ab<0时，∵a>b，∴aab<bab，即1b<1a.综上所述，当a,b满足条件ab>0时，不等式1a <1b成立.13.【答案】:∵c>a>b>0，∴c−a>0，c−b>0，−a<−b，故0<c−a<c−b.∴1c−a >1c−b>0，又a>b>0，故ac−a >bc−b.14.【答案】:因为1<a<4，2<b<8，所以−8<−b<−2，所以1−8<a −b <4−2，即−7<a −b <2. 又因为18<1b <12，所以18<ab <42，即18<ab <2.15.【答案】:C【解析】:∵a 2−b 2=(a +b)(a −b)的正负不能确定，∴a 20，bc −ad >0， ∴ca −db =bc−ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又ca −db >0，即bc−ad ab>0，∴bc −ad >0，∴②正确； ∵bc −ad >0，又ca−d b>0，即bc−ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确. 17(1)【答案】设安排m 辆甲种货车，安排n 辆乙种货车，依题意，得{4m +2n ⩾30,m +2n ⩾13，m +n =10,解得5⩽m ⩽7．∵m 为整数，∴m =5，6，7， ∴共有三种方案，方案1：安排5辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：安排6辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：安排7辆甲种货车，3辆乙种货车．(2)【答案】方案1所需运费为2 000×5+1 300×5=16 500(元)；方案2所需运费为2 000×6+1 300×4=17 200(元)；方案3所需运费为2 000×7+1 300×3=17 900(元)．∵16 500<17 200<17 900，∴该公司应选方案1，使运费最少，最少运费是16 500元．。

高一数学2.1等式性质与不等式性质练习

2.1等式性质与不等式性质练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式一定成立的是（） A ．1a b，那么下列不等式中，一定成立的是（） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．若a b <，则下列不等式中正确的是（） A ．22a b D ．22ac bc <4．设,a b ∈R ，则下列命题正确的是（） A ．若x y >，a b >，则a x b y ->- B ．若a b >，则11a b< C ．若x y >，a b >则ax by >D ．若||a b >，则22a b >5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是（） A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m6．已知222P a b =++，22Q a b =+，则（） A ．P Q > B ．P Q < C ．P Q ≥D ．P Q ≤7．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为（） A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜nD ．m ≤n二、多选题8．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（） A ．11a b> B ．11a b a=- C ．2211a bc c >++ D ．22a b >9．已知24a b -<+<，228a b <-<，则下列不等式正确的是（）A ．04a <0，b >0，且a >b ），若再添加c 克糖（c >0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：b c ba c a+>+.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（） A ．若0,0a b m >>>，则b m a m ++与ba的大小关系随m 的变化而变化 B ．若00a b m >><，，则b b m a a m+<+ C ．若00a b c d >>>>，，则b db ca da c++<++ D ．若0,0a b >>，则一定有1111ababa b a b a b +<+++++++ 11．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+三、填空题12．已知23,23x y <<<<．则2x y -的取值范围是________．四、解答题13．若0,0a b m >>>.求证b b m a a m+<+.五、双空题14．已知23,15a b <<-<<，则a b +的取值范围是_________，⋅a b 的取值范围是__________.参考答案：1．C【分析】根据给定条件，举反例说明判断选项A ，B ，D ；利用不等式性质推理判断选项C 作答.【详解】非零实数a ，b 满足a b <，取3,1a b =-=-，则31ab=>，A 不正确；取3,1a b =-=，则1103033b a a b +=--=-<，B 不正确；因a ，b 是非零实数，则220a b >，而a b <，有2222a b a b a b <，即2211ab a b<，C 正确；取3,1a b =-=，则226,2a a b b +=+=，有22a a b b +>+，D 不正确. 故选：C 2．D【分析】利用不等式的性质分析判断即可【详解】若0c <，则由a bc c>可得a b <，22ac bc <，a c b c -<-，因为a bc c>，20c >，所以ac bc >. 故选：D 3．C【分析】结合不等式的性质，差比较法确定正确选项. 【详解】A ，10-<，但()2210->，所以A 错误. B ，12<，但1112>，所以B 错误.C ，()22222,202a b a ab b a b a b ab <-+=->⇒+>，C 正确. D ，当0c 时，不等式22ac bc =，所以D 错误. 故选：C 4．D【解析】利用特殊值排除判断ABC ，由不等式的性质判断D 即可. 【详解】当1,0x a y b ====时，a x b y ->-不成立，故A 错误；当1,1a b ==-时，11a b<不成立，故B 错误；当2,1,0,2x y a b ==-==-时，ax by >不成立，故C 错误；||0a b >≥，由不等式性质知222||a b b >=，故D 正确.故选：D 5．D【分析】利用不等式的性质即可得到.【详解】法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．【点晴】此题考不等式的性质，属于基础题. 6．C【分析】作差，配方后可得结论．【详解】222222(22)2121(1)(1)0P Q a b a b a a b b a b -=++-+=-++-+=-+-≥，则P Q ≥. 故选：C ． 7．B【分析】运用作差法进行比较即可得到答案.【详解】因为m －n ＝(2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0. 所以m ≥n . 故选：B. 8．CD【分析】利用作差法对左右两式进行大小比较，即可选出正确答案.【详解】对于A 选项，11b a a b ab --=，0a b >>，0,0ab b a ∴>-<，即11a b<，故A 不正确；对于B 选项， ()()()11a a b b a b a a b a a a b ---==---，0a b >>，110a b a ∴->-，所以11a b a >-，故B 不正确；对于C 选项，0a b >>，2220111a b a bc c c -∴-=>+++，即2211a b c c >++，故C 正确；对于D 选项，0a b >>，()()220a b a b a b ∴-=+->，所以22a b >，故D 正确.故选：CD. 9．AC【分析】将24a b -<+<，228a b <-<两个不等式相加即可得到04a <<，即A 正确；将228a b <-<两边同乘以-1，再与24a b -<+<两边乘以2的结果相加即可得到42b -<<，故B 不正确；将42b -<<两边同时乘以2，与04a <<相加，即可判断C 、D 的正误.【详解】24a b -<+<，228a b <-<22248a b a b ∴-+<++-<+0312a ∴<<04a ∴<<，故A 正确；228a b <-<822b a ∴-<-<-24a b -<+<，4228a b ∴-<+<8224228b a a b -<-<-⎧⎨-<+<⎩ 1236b ∴-<<，42b ∴-<<，故B 不正确；设2=()2)a b m a b n a b +++-（，则()()2=2a b m n a m n b +++-1=22=m n m n +⎧∴⎨-⎩5=31=-3m n ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩()()512=233a b a b a b ∴++--，24a b -<+<10520()333a b ∴-<+<228a b <-<()2182333a b ∴<-<()8122333a b ∴-<--<-()()5162=2633a b a b a b ∴-<++--<故C 正确、D 错误；故选：AC 10．CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A ；举反例，如3,1,2a b m ===-，即可判断B ；若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，再根据“糖水不等式”即可判断C ；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A ，根据“糖水不等式”，若0,0a b m >>>，则b m a m +>+ba，故A 错误；对于B ，当3,1,2a b m ===-时，1,13b b m b a a m a+==-<+，与题设矛盾，故B 错误；对于C ，若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，根据“糖水不等式”，b dcd b d a d c d a d++-+>++-+，即b d b ca da c++<++，故C 正确；对于D ，若0,0a b >>，则110,110a b a a b b ++>+>++>+>，所以1111,1111a b a a b b<<++++++，所以1111ababa b a b a b +<+++++++，故D 正确.11．AD【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可．【详解】解：对于A ，()()()()111111b a a b b b b aa a a a a a +-++--==+++ 0a b >>，所以0a b ->，所以()01b aa a -<+，所以11b b a a +<+，故选项A 一定不成立；对于B ，不妨取2a =，1b =，则11a b a b +>+，故选项B 可能成立；对于C ，不妨取2a =，1b =，则11a b b a+>+，故选项C 可能成立；对于D ，222(2)(2)02(2)(2)a b a a b b a a b b a a b b b a b b a b ++-+--==<+++，故22a b a a b b+<+，故选项D 一定不成立；故选：AD ． 12．()4,1--【分析】根据题意得624y -<-<-，再求解2x y -的范围即可得答案. 【详解】解：因为23y <<，所以32y -<-<-，所以624y -<-<- 又因为23x <<，所以421x y -<-<-. 所以2x y -的取值范围是()4,1--. 故答案为：()4,1-- 13．证明见解析.【解析】利用不等式的性质得到0am bm >>，不等式两边同时加上一个数不等号方向不变，得到()()am b b m a +>+，在不等式两边同时除以()a a m +，即可得到结论.【详解】由0,0a b m >>>，得0am bm >>，故得am ab bm ab +>+，即()()am b b m a +>+，又因为0,0a b m >>>，在不等式两边同时乘以()1a a m +得：b b m a a m+<+，不等式得证.【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质证明不等式成立问题.属于较易题. 14． ()1,8 ()3,15-【分析】根据不等式的性质可求解. 【详解】23,15a b <<-<<，18a b ∴<+<，当10b -<<时，01b <-<，03ab ∴<-<，则30ab -<<，当05b <<时，015ab <<，当0b =时，0ab =，综上，315ab -<<，所以a b +的取值范围是()1,8，⋅a b 的取值范围是()3,15-. 故答案为：()1,8；()3,15-.。

2.1 等式性质与不等式性质(第二课时)高一数学 (人教A版2019必修第一册)(原创精品)

D. a+b>0
(2)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )

A. >
B. <
C. >
之
+
逻
辑
推
理
数
据
分
析
2.(1)设a,b∈R,若a- >0,则下列不等式中正确的是(

解
答
方
法
总
结

D. <

(1)选D
注意到 ≥-b
(2)选D
因为-c>-d >0,所以−>−>0, 所以 a(−)>b(−)>0
第二章一元二次函数、方程、不等式
2.1.2 不等式的性质
高中数学/人教A版/必修一
2.1.2 不等式的性质
思维篇
素养篇
知识篇
上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不
等式的性质奠定了基础. 让我们先回顾等式的有关性质：
等式有下面的基本性质：
性质１如果a＝b，那么b＝a；
性质２如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质３如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质４如果a＝b，那么ac＝bc；
性质５

如果a＝b，c≠０，那么＝．

1
不等式的性质
接下来，我们类比等式的性质，猜想不等式的性质，请
你给出证明.
不等式的性质：
(对称性)
性质１
如果a>b，那么b<a；
性质２
如果a>b，b>c，那么a>c；(传递性)

高中试卷-2.1 等式的性质与不等式的性质(含答案)

2.1 等式的性质与不等式的性质1. 一元一次方程、一元二次方程的解法；2. 一元二次方程根的判别式；3.一元二次方程根与系数的关系；4. 用不等式表示不等关系；5. 比较数或式子的大小；6.利用不等式性质判断；7. 不等式的证明；8. 利用不等式的性质求值或取值范围一、单选题1．（2021·浙江湖州·高一期中）设集合()(){}110A x x x =-+=，则（）A ．AÆÎB ．1A ÎC ．{}1A -ÎD ．{}11A -Î,【答案】B【解析】集合()(){}{}1101,1A x x x =-+==-，A \ÆÍ，所以选项A 错误，1A Î，所以选项B 正确，{}1- A,{}1,1=A -，所以选项C ，D 错误.故选：B2．（2021·浙江高一期中）已知集合2{|1}P x x==， 2{|0}Q x x x =-=，那么P Q U =( )A ．{1,1}-B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1}【答案】C【解析】因为2{|1}{1,1}===-P x x ，2{|0}{0,1}=-==Q x x x ，所以{}1,0,1P Q È=-，故选：C3．（2021·浙江高一单元测试）已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s>B ．t s ³C ．t s<D ．t s ≤【答案】D【解析】s﹣t=a+b 2+1﹣a﹣2b=b 2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有 s≥t，故选D ．4．（2021·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）A ．若a b >，则11b a >B ．若22a b <，则a b<C ．若a b >，c d >则a d b c->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误；对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确；对于D ，取0c =时，22ac bc =，则D 错误；故选：C5．（2021·全国高三课时练习（理））若0a b >>，0c d <<，则一定有( )A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】0c d <<Q ，0c d \->->，0a b >>Q ，ac bd \->-，\ac bd cd cd-->，\a b d c <．故选：D ．6．（2021·全国高一课时练习）已知，那么,,,a b a b --的大小关系是（）A ．a b b a>>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a>->>-D ．a b a b >>->-【答案】C【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.7．（2021·浙江高一单元测试）若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（）．A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【解析】13b -<<Q ，31b \-<-<，23a b \-<-<．故选：C.8．（2021·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立.故选：B.9．（2021·浙江高一课时练习）设a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为（）．A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】b ==，c ==+>+<，b c \<.又0a c -==->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .10．（2021·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（）A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22éùêúëûD ．[4,12]【答案】B【解析】Q 二次函数()y f x =的图像过原点，Q 设二次函数为：2()f x ax bx =+，Q 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，\ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.二、多选题11．（2021·山东济南·高一期末）若0a b >>,0d c <<,则下列不等式成立的是( )A ．ac bc >B ．a d b c ->-C ．11d c <D ．33a b >【答案】BD【解析】对A,因为0a b >>,0c <,故ac bc <,故A 错误.对B,因为0a b >>,0d c <<,故d c ->-,故a d b c ->-,故B 正确.对C,取2,1d c =-=-易得11d c >,故C 错误.对D,因为()3f x x =为增函数,故D 正确.故选：BD12．（2021·江苏省天一中学高一期中）对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b ，则22ac bc ³C ．若0a b >>，则2ab a<D ．若c a b >>，则a b c a c b>--【答案】ABC【解析】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a >>，故A 正确；B.由a b >及2c ³0得22ac bc ³，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--，322-<-，故D 错误.故选：ABC.13．（2021·福建高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b >，则0ab <【答案】BCD【解析】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<ììÞ>Þ>\>>íí<<îî，所以本命题是真命题；选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b >>Þ>>Þ<<<\>Q ，所以本命题是真命题；选项D:2111100,00b a a b b a ab a b a b ab->Þ->Þ>>\-<\<Q ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.14．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高二期中）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（）A ．1,43a b ⎛⎫Î ⎪⎝⎭B ．()221,78a b +ÎC ．()12,45a b -Î-D ．7,56a b b +⎛⎫Î ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】A 中，11115181815b b <<Þ<<，又660a <<，所以根据不等式的性质可得1111660418153a a b b ⨯<⨯<⨯Þ<<，故A 正确；B 中，30236b <<，36296a b <+<，故B 错误；C 中，1815b -<-<-，1245a b -<-<，故C 正确；D 中，41,53a b a b b +⎛⎫=+Î ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.三、填空题15．（2021·全国高一）已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则b a ____b x a x++（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由题得()()()b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a ++----==+++，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以()0,()b a x a x a -<+所以b b x a a x+<+.故答案为＜16．（2021·浙江高一课时练习）设,,a b c ÎR ，且满足2643b c a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系为_______．【答案】c b a >…．【解析】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-…，所以c b …．又因为)()22211=[()()][(64344122b b c c b a a a a a ù+--=-+--+=+û，所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可得，c b a >…．17．（2021·浙江高一课时练习）若x y >，a b >，则在①a x b y ->-，②a x b y +>+，③ax by >，④x b y a ->-，⑤a b y x>这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.【答案】②④【解析】令2,1,2,1x y a b ====，则a x b y -=-，故①错误；令2,1,1,2x y a b ==-=-=-，则：ax yb <，故③错误；令1,2,1,2x y a b =-=-=-=-，则：a b y x<，故⑤错误；由于x y >，a b >，根据不等式的性质可知a x b y +>+，故②正确；由于x y >，a b >，则b a ->-，根据不等式的性质可知x b y a ->-，故④正确.故答案为：②④四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）关于x 的一元一次不等式组21,52x x m ->ìïí+≤ïî中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，m 的值为_______.【答案】(],1-¥- 2【解析】解21x ->得1x <，解52x m +≤得25x m ≤-.由题图知这个不等式组的解集是(],1-¥-，且251m -=-，\2m =.故答案为(],1-¥-； 219．（2021·湖北高三月考（文））张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.【答案】10 18.5【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，则10x =.②设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当150M ³时，0.8()0.7M x M -³.即8M x …对150M …恒成立，则8150x …，18.75x …，又2x ÎZ ,所以max 18.5x =.20．（2021·上海）（1）“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的________条件；（2）“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的________条件.【答案】充要充分非必要【解析】（1）根据不等式性质可得“1>0x 且20x >”Þ“120x x +>且120x x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件；“120x x +>且120x x >”Þ“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件.所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件.（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >”Þ“124x x +>且124x x >”，所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5,x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”.“124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的非必要条件.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分非必要条件.故答案为：充要；充分非必要.21．（2021·全国高一课时练习）已知6084,2833x y <<<<，则x y -的取值范围为_______，x y 的取值范围为_________.【答案】(27,56) 20,311⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵2833y <<，∴3328y -<-<-.又∵6084x <<，∴2756x y <-<.由2833y <<，得1113328y <<，即20311x y<<.故答案为：(1)(27,56) (2)20,311⎛⎫⎪⎝⎭.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >.【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>，又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >.23．（2021·全国高一课时练习）已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>.【答案】证明见解析.【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab，因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab ，即证：c c a b>.24．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小.【答案】3322a b a b ab +³+【解析】∵()()()33223232a b a b ab a a b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+；当a b ¹时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+.综上所述，3322a b a b ab +³+.25．（2021·浙江高一单元测试）当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22px qy +的大小．【答案】222()px qy px qy+≤+【解析】()()()()22222112px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p-=--=-因此()()()()2222222px qy px qy pq x y xy pq x y +-+=-+-=--因为,p q 为正数，所以()20pq x y --≤因此()222px qy px qy +≤+，当且仅当x y =时等号成立26．（2021·浙江高一课时练习）甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a ，另一半时间的速度为b ；乙车一半路程的速度为a ，另一半路程的速度为b ．若a b ¹，试判断哪辆车先到达B 地．【答案】甲先到达B 地．【解析】设,A B 两地间的路程为s ，甲、乙两辆车所用的时间分别为12,t t ，则12s t a b =+，222s s t a b=+．方法一因为22124()2()0222()2()s ab a b s s s s a b t t a b a b ab a b ab a b éù-+-⎛⎫ëû-=-+==-< ⎪+++⎝⎭，即12t t <，所以甲先到达B 地．方法二 1224()t ab t a b =+，因为a b ¹，所以2()4a b ab +>，从而121t t <，即12t t <，所以甲先到达B 地．27．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：（1）231x x -+与221x x +-；（2）当0a >，0b >且a b ¹时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >.【解析】（1）()()()2222312122110x x x x x x x -+-+-=-+=-+>Q ，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a b a b a b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>；②当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>.综上所述，当0a >，0b >且a b ¹时，a b b a a b a b >.。

2.1 等式性质与不等式性质同步练习卷【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册(含答案)

2.1 等式性质与不等式性质同步练习卷【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d2．（3分）（2021春•金安区校级月考）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定3．（3分）（2020春•上饶期末）如果a＞b＞0，t＞0，设M=ba，N=b+ta+t，那么（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系和t有关4．（3分）（2021春•深圳期末）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．a+1b＜b+1a B．2a+ba+2b＜abC．ba−c ＞ab−cD．√ca3＜√cb35．（3分）（2020秋•开福区校级月考）若P=√a+2+√a+3，Q=√a+√a+5，（a≥0），则P、Q 的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值确定6．（3分）（2021春•慈溪市期末）已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，则（）A．（a+b）2＞c2B ．a ，b ，c 三数中至少有一个大于零C ．a ，b ，c 三数中至少有两个大于零D ．a ，b ，c 三数均大于零7．（3分）（2020秋•潍坊期中）某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（） A ．3或4B ．4或5C ．3或5D ．4或68．（3分）（2020秋•通化县期末）已知b 克糖水中含有a 克糖（b ＞a ＞0），再添加m 克糖（m ＞0）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（） A ．ba ＞b+m a+mB ．b a＜b+m a+mC ．a b＞a+m b+mD ．a b＜a+m b+m二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021•湖北模拟）设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．ca −d b＞010．（4分）（2020•山东模拟）若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是（） A ．ab ＜1B ．b a+a b≥2C ．1ab2＜1a 2bD ．a 2+a ＜b 2+b11．（4分）（2020秋•朝阳月考）已知P ＝a 2+b 2，Q ＝2ab ，R =(a+b)22，则（）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q12．（4分）（2021•长沙模拟）设实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则下列不等式成立的是（） A ．c ＜bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a ＜c三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•中山市校级月考）如果a ＞b ，给出下列不等式：①1a＜1b ；②a 3＞b 3；③√a 2＞√b 2；④2ac 2＞2bc 2；⑤ab＞1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b ．其中一定成立的不等式的序号是．14．（4分）（2020秋•吉林期末）已知a ，b 为实数，则2a 2+14b 2+1 ab +2a ．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）15．（4分）（2020秋•兰州期中）a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：．16．（4分）（2020春•西城区校级月考）已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a ﹣b 的取值范围是．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•天门月考）已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，比较e a−c与eb−d的大小．18．（6分）（2020春•江都市校级期末）表示下列不等关系（1）a 是正数（2）a +b 是非负数（3）a 小于3，但不小于﹣1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5．19．（8分）（2020春•涞水县校级月考）已知﹣6＜a ＜8，2＜b ＜3，分别求2a +b ，a ﹣b ，ab 的取值范围．20．（8分）（2020秋•玄武区校级月考）（1）已知a ，b 均为正实数．试比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11−a与1+a 的大小．21．（8分）（2020春•黄陵县校级月考）已知α，β满足{−1≤α+β≤1①1≤α+2β≤3②，试求α+3β的取值范围．22．（8分）（2020秋•天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，问甲乙两人谁先到达指定地点？2.1 等式性质与不等式性质同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d【解题思路】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答过程】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．故选：C．2．（3分）（2021春•金安区校级月考）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定【解题思路】配方可得P和Q都大于0，作商法比较可得．【解答过程】解：∵P=1a2+a+1=1(a+12)2+34＞0，Q＝a2﹣a+1＝（a−12）2+34＞0，QP=（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣a2＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P当且仅当a＝0时取等号．故选：C．3．（3分）（2020春•上饶期末）如果a＞b＞0，t＞0，设M=ba，N=b+ta+t，那么（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系和t有关【解题思路】作差即可得出M−N=t(b−a)a(a+t)，然后根据a＞b＞0，t＞0，即可得出M，N的大小关系．【解答过程】解：M −N =b a −b+ta+t =ab+bt−ab−at a(a+t)=t(b−a)a(a+t)， ∵a ＞b ＞0，t ＞0，∴b ﹣a ＜0，a （a +t ）＞0， ∴t(b−a)a(a+t)＜0，∴M ＜N ．故选：A ．4．（3分）（2021春•深圳期末）已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞0＞c ，则下列不等式中成立的是（）A ．a +1b ＜b +1aB ．2a+b a+2b＜abC ．ba−c＞a b−cD ．√c a 3＜√cb 3【解题思路】根据不等式的性质判断A ，根据举实例判断CD ，根据作差法判断B ．【解答过程】解：A 、∵a ＞b ＞0，∴1a＜1b ，∴a +1b ＞b +1a ，∴A 错误，B 、∵a ＞b ＞0，∴2a+b a+2b−a b=(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b＜0，∴B 正确，C 、当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1时，∵b a−c=13，a b−c =1，∴b a−c＜a b−c ，∴C 错误，D 、当a ＝8，b ＝1，c ＝﹣1时，√c a3=−12，√c b3=−1，∴√c a 3＞√c b3，∴D 错误，故选：B ．5．（3分）（2020秋•开福区校级月考）若P =√a +2+√a +3，Q =√a +√a +5，（a ≥0），则P 、Q 的大小关系为（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解题思路】可比较P 2和Q 2的大小关系，然后即可得出P ，Q 的大小关系．【解答过程】解：P 2=2a +5+2√a 2+5a +6，Q 2=2a +5+2√a 2+5a ， ∵a 2+5a +6＞a 2+5a ， ∴P 2＞Q 2，且a ≥0， ∴P ＞Q ．故选：A ．6．（3分）（2021春•慈溪市期末）已知a ，b ，c ∈R ，且a +b +c ＞0，则（） A ．（a +b ）2＞c 2B ．a ，b ，c 三数中至少有一个大于零C ．a ，b ，c 三数中至少有两个大于零D ．a ，b ，c 三数均大于零【解题思路】可以代入特殊值，利用排除法解答．【解答过程】解：A 、当a +b ＝c ＝0时，该不等式不成立，故不符合题意；B 、由a ，b ，c ∈R ，且a +b +c ＞0知：a ，b ，c 三数中至少有一个大于零，故符合题意；C 、当a ＝4，b ＝c ＝﹣1时，a +b +c ＞0，即a ，b ，c 三数中可以只有一个数大于零，故不符合题意；D 、结合选项C 的分析，a ，b ，c 三数可以不都大于零的实数，故不符合题意．故选：B ．7．（3分）（2020秋•潍坊期中）某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（） A ．3或4B ．4或5C ．3或5D ．4或6【解题思路】设房间为x ，由题意可得5（x ﹣1）+1≤3x +6＜5x ，解得即可求出房间的数．【解答过程】解：设房间为x ，由题意可得5（x ﹣1）+1≤3x +6＜5x ，解得3＜x ≤5， ∵x 为正整数， ∴x ＝4或5，故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5，故选：B ．8．（3分）（2020秋•通化县期末）已知b 克糖水中含有a 克糖（b ＞a ＞0），再添加m 克糖（m ＞0）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（） A ．ba ＞b+m a+mB ．b a＜b+m a+mC ．a b＞a+m b+mD ．a b＜a+m b+m【解题思路】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论．【解答过程】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此ab ＜a+m b+m正确．故选：D ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021•湖北模拟）设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．ca −d b＞0【解题思路】利用不等式的性质判断选项A ，D ，利用特殊值法判断选项B ，D ．【解答过程】解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a ＞b ＞0，0＞c ＞d ，对于A ，因为0＞c ＞d ，由不等式的性质可得c 2＜cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则a ﹣c ＝3，b ﹣d ＝3，所以a ﹣c ＝b ﹣d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝﹣2，bd ＝﹣2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为ad ＜0，bc ＜0，因为a ＞b ＞0，d ＜c ＜0，则ad ＜bc ，所以ca＞db，故ca−d b＞0，故选项D正确．故选：AD ．10．（4分）（2020•山东模拟）若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是（） A ．ab ＜1B ．b a+a b≥2C ．1ab2＜1a 2bD ．a 2+a ＜b 2+b【解题思路】当a ＜b ＜0时，a b＜1不成立可判断A ；当a b＜0时，a b+b a≥2不成立可判断B ；利用作差可判断C ，D ．【解答过程】解：当a ＜b ＜0时，ab ＜1不成立，当a b＜0时，a b+b a≥2不成立，因为1ab 2−1a 2b=a−b (ab)2＜0，则1ab 2＜1a 2b一定成立，因为a 2﹣b 2+a ﹣b ＝（a ﹣b ）（a +b +1）符号不定，故a 2+a ＜b 2+b 不一定成立．故选：ABD ．11．（4分）（2020秋•朝阳月考）已知P ＝a 2+b 2，Q ＝2ab ，R =(a+b)22，则（）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q【解题思路】利用作差法可比较出大小．【解答过程】解：P ﹣R ＝a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，则P ≥R ，故A 正确，C 错误，R ﹣Q =(a+b)22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b)22≥0，所以R ≥Q ，故B 错误，因为P ≥R ，R ≥Q ，所以P ≥Q ，故D 正确，故选：AD ．12．（4分）（2021•长沙模拟）设实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则下列不等式成立的是（） A ．c ＜bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a ＜c【解题思路】两式作差可得b 的范围，再利用作差法即可比较．【解答过程】解：∵{b +c =6−4a +3a 2①c −b =4−4a +a 2②，由①﹣②得2b ＝2a 2+2，即b ＝a 2+1， ∴b ≥1，又b −a =a 2+1−a =(a −12)2+34＞0， ∴b ＞a ，而c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（a ﹣2）2≥0， ∴c ≥b ，从而c ≥b ＞a ．故选：BD ．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•中山市校级月考）如果a ＞b ，给出下列不等式：①1a＜1b ；②a 3＞b 3；③√a 2＞√b 2；④2ac 2＞2bc 2；⑤ab＞1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b ．其中一定成立的不等式的序号是 ②⑥ ．【解题思路】①不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1； ②利用函数y ＝x 3在R 上单调递增，即可判断出正误； ③不一定成立，例如a ＝1，b ＝﹣2； ④不一定成立，例如取c ＝0时； ⑤不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b 化为：（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＞（a ﹣1）（b ﹣1），配方变为[a −1−12(b −1)]2+34(b −1)2＞0，进而判断出正误．【解答过程】解：①1a＜1b ，不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；②利用函数y ＝x 3在R 上单调递增，可知：a 3＞b 3，正确；③√a 2＞√b 2，不一定成立，例如a ＝1，b ＝﹣2； ④2ac 2＞2bc 2，不一定成立，例如取c ＝0时； ⑤ab ＞1，不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b 化为：（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＞（a ﹣1）（b ﹣1），∴[a −1−12(b −1)]2+34(b −1)2＞0，∵b ＝1时，a ＞1，∴左边恒大于0，成立．其中一定成立的不等式的序号是②⑥．故答案为：②⑥14．（4分）（2020秋•吉林期末）已知a ，b 为实数，则2a 2+14b 2+1 ≥ ab +2a ．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）【解题思路】根据不等式a 2+b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取等号），即可得出a 2+14b 2≥ab ，a 2+1≥2a （当且仅当a =12b =1时取等号），这样即可得出答案．【解答过程】解：∵a 2+14b 2=a 2+(12b)2≥ab ，当且仅当a =12b 时取等号； a 2+1≥2a ，当且仅当a ＝1时取等号；∴2a 2+14b 2+1=(a 2+14b 2)+(a 2+1)≥ab +2a ，当且仅当a =12b =1时取等号．故答案为：≥．15．（4分）（2020秋•兰州期中）a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： x+b a+x＞ba（a ＞b ＞0）．【解题思路】利用糖水的浓度可得x+ba+x＞ba（a ＞b ＞0）即可．【解答过程】解：由a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0）可得糖水的浓度为ba×100%；在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为x+b a+x×100%．∵糖水变甜了，于是可得x+ba+x×100%＞b a×100%；化为x+ba+x＞ba （a ＞b ＞0）．故答案为x+ba+x＞ba（a ＞b ＞0）．16．（4分）（2020春•西城区校级月考）已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a ﹣b 的取值范围是（﹣2，4）．【解题思路】直接利用不等式的性质求出2a 的范围和﹣b 的范围，采用不等式的可加性得答案．【解答过程】解：∵1＜a ＜3， ∴2＜2a ＜6， ∵2＜b ＜4， ∴﹣4＜﹣b ＜﹣2，则﹣2＜2a ﹣b ＜4．故答案为：（﹣2，4）．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•天门月考）已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，比较e a−c与eb−d的大小．【解题思路】利用作差法即可比较．【解答过程】解：∵e a−c−e b−d=e （1a−c−1b−d）＝e •b−d−a+c(a−c)(b−d)，∵a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，∴a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，又e ＜0， ∴e a−c −e b−d ＞0，∴e a−c＞e b−d．18．（6分）（2020春•江都市校级期末）表示下列不等关系（1）a 是正数（2）a +b 是非负数（3）a 小于3，但不小于﹣1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5．【解题思路】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．【解答过程】解：（1）a 是正数，用不等式表示为：a ＞0；（2）a +b 是非负数，用不等式表示为：a +b ≥0；（3）a 小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a ＜3；（4）a 与b 的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a ﹣b |≤5．19．（8分）（2020春•涞水县校级月考）已知﹣6＜a ＜8，2＜b ＜3，分别求2a +b ，a ﹣b ，ab 的取值范围．【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．【解答过程】解：∵﹣6＜a ＜8，∴﹣12＜2a ＜16，又∵2＜b ＜3，∴﹣10＜2a +b ＜19．∵2＜b ＜3，∴﹣3＜﹣b ＜﹣2，∴﹣9＜a ﹣b ＜6．∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12，∵﹣6＜a ＜8，∴﹣3＜a b ＜4． 20．（8分）（2020秋•玄武区校级月考）（1）已知a ，b 均为正实数．试比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11−a 与1+a 的大小．【解题思路】（1）利用“作差法”，可得（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，（2）利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【解答过程】解：（1）∵a ，b 均为正实数，∴a 3+b 3﹣a 2b ﹣ab 2＝a 2（a ﹣b ）﹣b 2（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a 2﹣b 2）＝（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，即a 3+b 3≥a 2b +ab 2，（2）∵11−a −（1+a ）=a 21−a ． ①当a ＝0时，a 21−a =0，∴11−a =1+a ． ②当a ＜1且a ≠0时，a 21−a ＞0，∴11−a ＞1+a ．③当a ＞1时，a 21−a ＜0，∴11−a ＜1+a ．综上所述，当a ＝0时，11−a =1+a ；当a ＜1且a ≠0时，11−a ＞1+a ；当a ＞1时，11−a ＜1+a ．21．（8分）（2020春•黄陵县校级月考）已知α，β满足{−1≤α+β≤1①1≤α+2β≤3②，试求α+3β的取值范围．【解题思路】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．【解答过程】解设α+3β＝λ（α+β）+v （α+2β）＝（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得{λ+v =1λ+2v =3，从而解出λ＝﹣1，v ＝2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．22．（8分）（2020秋•天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，问甲乙两人谁先到达指定地点？【解题思路】设出总路程和甲乙所用时间，作比后利用不等式的性质比较甲乙所用时间的大小．【解答过程】解：设总路程s ，甲用时间t 1，乙用时间t 2．则t 12m +t 12n =s ，所以t 1=2s m+n ． t 2=s 2m +s 2n =(m+n)s 2mn ，t 1t 2=2s m+n (m+n)s 2mn =4mn (m+n)2因为m ≠n ，所以，（m +n ）2＞4mn ，所以4mn(m+n)2＜1．所以，t 1t 2＜1．t 1＜t 2．即：甲先到达．。

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2.1.2等式性质与不等式的性质
1. 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
2. 给出下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒b
a<1；④a>b⇒
1
a<
1
b.
其中正确的命题个数是()
A．0B．1
C．2 D．3
3. 若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()
A．－2<α－β＜0B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 4. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()
A.a
c>
b
d B.
a
c
b
c D.
a
db，则下列不等式恒成立的是()
A.1
a<
1
b B．a
2>b2
C.
a
c2＋1>
b
c2＋1D．a|c|>b|c|
6．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a
＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c
B ．b >c >d >a
C ．d >b >c >a
D ．c >a >d >b 7．已知a >0，b >0，c >0，若
c a ＋b <a b ＋c ><，则mb _____ma ，
b m a m --_____b a (用>，<填空). 10．已知若a >b >
c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)
11.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．
12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 .
13.对于实数a ，b ，c ，有下列说法：
①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a ab >b 2；其中正确的是________(填序号)．
14．设a ，b 为正实数，有下列命题：
①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；
③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为(写出所有正确命题的序号)．
15．已知三个不等式：①ab>0；②c
a>
d
b
；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结
论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋b
b≤
c＋d
d.
17.已知a>b>c>0，求证：
b
a－b
>
b
a－c
>
c
a－c
.
18．已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)a
d>
b c
；
(2)
ac
a＋c
>
bd
b＋d
.。