三角函数的周期性_课件

1．周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个 非零 常数T，使得
定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周
期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(周期函数f(x)的周期不唯一，kT，
(k∈Z，k≠0)都是它的周期)，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期
5．函数y＝cos
的单调递增区间为________．
解析：函数y＝cos
＝cos
，
∴y＝cos
的单调递增区间就是y＝cos
的单调递增区间，
由下式确定：2kπ－π≤x－ ≤2kπ，
k∈Z.∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z，
即函数y＝cos
的单调递增区间是
，k∈Z.
答案：
，k∈Z
从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如
【知识拓展】 余切函数图象和性质 函数y＝cot x的图象如图所示，
(1)定义域：函数y＝cot x的定义域为{x∈R且x≠kπ，k∈Z} (2)值域：函数y＝cot x的值域为R. (3)周期性：函数y＝cot x是周期函数，周期为π. (4)奇偶性：y＝cot x是奇函数，图象关于原点对称． (5)单调性：y＝cot x在每一个开区间(kπ，kπ＋π)，k∈Z内都是减函数．
上某处的函数值．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴
，
又f(x)为偶函数，∴
，
∵当x∈
时，f(x)＝sin x，∴
答案：
变式1：(苏北四市联考)如图，函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图 象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于________． 解析：由题图知f(x)的周期为8，∴ ＝8，∴ω＝ .又A＝2， ∴f(x)＝2sin x.又f(4)＝0，f(2)＋f(6)＝0，f(3)＋f(5)＝0， 原式＝f(1)＝2sin ＝2× ＝ . 答案：
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性 最小正周期为2π
最小正周期为2π
最小正周期为π
单调性
在[－ ＋2kπ， ＋2kπ]内递增(k∈Z)； 在[ ＋2kπ， ＋2kπ]
内递减(k∈Z)
在[－π＋2kπ，2kπ]内 递增(k∈Z)；在[2kπ， π＋2kπ)内递减(k∈Z]
在开区间(－ ＋kπ， ＋kπ)，(k∈Z) 内，函
数单调递增
思考：函数y＝Atan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 的周期T为多少？ 提示：T＝ .
1．(2010·淮安市四星级高中数学学科学习能力评价测试)已知函数f(x)
＝cos
(ω＞0)的最小正周期为 ，则ω＝________.
答案：10
2．函数y＝－cos x的图象与余弦函数的图象关系为__________． 答案：关于x轴对称
三角函数的周期性、 三角函数的图象与性质
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．会用“五点法”作正弦、余弦函数的图象． 3．理解三角函数的性质，并能利用性质求定义域、值域、周期、判断
奇偶性，求单调区间及最值、对称轴、对称中心．
【命题预测】 1．近几年高考加强了对三角函数的图象和性质的考查，因此三角函数的 图象和性质是高考复习的一个重点．三角函数的复习应充分利用数形结 合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的 性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图象的代数本质． 2．三角函数的图象和性质是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低 了对三角变换的考查要求，势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度， 从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题 型， 具有一定的灵活性和综合性．
1．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础． 2．形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把
ωx＋φ看作一个整体，由－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ(k∈Z) 求得函数的增区间，由 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ(k∈Z) 求得函数的减区间． 3．形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x的系 数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)， 由－ ＋2kπ≤ωx－φ≤ ＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间， 由 ＋2kπ≤ωx－φ≤ ＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．
基本的正弦、余弦函数来处理． 3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数化为基本三角函数标准式，然后通过
同解变形或利用数形结合的方法求解．若对函数利用描点画图，则根据图形的直 观性可迅速获解．对复合函数的单调区间的确定，应明确对复合过程中的每一个 函数而言，“奇数个减则减，偶数个减则增”．
【高考真题】
【例4】求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值． 思路点拨：对于较为复杂的三角函数在求最值时，我们一般先化简其形 式，再按照相关方法进行求解． 解：y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(sin 2x－1)2＋6. 由于函数z＝(u－1)2＋6(u＝sin 2x)在[－1,1]中的最大值 zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值zmin＝(1－1)2＋6＝6. 故当sin 2x＝－1时，即x＝kπ－ ，k∈Z，y取得最大值10； 当sin 2x＝1时，即x＝kπ＋ ，k∈Z，y取得最小值6.
1．三角函数的定义域是使三角函数有意义的x的取值范围，解题时 要注意和周期性相结合． 求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
2．求较复杂的三角函数的定义域、值域时，有时需要先将解析式化 简．这时应注意化简前后定义域的变化，并注意这种变化是否会影 响我们对结论的判断．
【例2】求下列各函数的定义域：
(1)y＝
；(2)y＝
解：(1)函数y=
有意义时，1-cos x≠0，即cos x≠1，
所以x≠2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠2kπ，x∈R，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，必须
由图知道，
函数的定义域为
(k∈Z)．
变式2：函数y＝ 解析：由 即x∈ 答案：
＋lg(2sin x－1)的定义域为______． ，得 ，k∈Z. ，k∈Z
【例5】(2009·北京卷)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间
上的最大值和最小值．
分析：根据诱导公式和二倍角的正弦公式将函数解析式变换为
一个角的三角函数，然后根据三角函数的基本性质解决．
规范解答：(1)因为f(x)＝2sin(π－x)cos x＝2sin xcos x＝sin 2x， 所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由 得－ ≤2x≤π， 所以－ ≤sin 2x≤1. 即f(x)的最大值为1，最小值为
中存在一个最小的正数就叫做它的
正周期．
2．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且 A≠0，ω>0)的周期T＝ .
3．三角函数的图象和性质 y＝sin x
图象
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f
＝f(2x)，
则 是f(x)的周期．
【例1】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，
且当x∈
时，f(x)＝sin x，则f ＝________.
思路点拨：利用函数的周期性及奇偶性把 处的函数值转化为
∴函数的单调减区间是
(k∈Z)．
(2)y＝sin
可写成y＝－sin
，
由
(k∈Z)
得
，∴函数的单调减区间为
(k∈Z)．
求三角函数最值的常用方法有：(1)配方法(主要利用二次函数理论及三角 函数的有界性)；(2)化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三角函 数的有界性)；(3)数形结合法；(4)换元法；(5)基本不等式法等． 三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设 中所给出的区间． (1)求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换， 要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性． (2)含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响．
(2)解法一：因为f(x)＝
在区间上
为增函数，在区间上为
减函数，又
故函数f(x)在区间
上的最大值为 ，最小值为－1.
解法二：作函数f(x)=
在长度为一个周期的区间
上的
图象如图所示．由图象得函数f(x)在区间
上的最大值为 ，
最小值为f
=-1.
【规律方法总结】
1．画周期函数的图象，先确定一个周期内的图象，再确定整个定义域内的图象． 2．利用三角函数性质解决问题时要重视化归的思想，即将复杂的三角函数转化为
【应试对策】 1．用“五点法”．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．求定义域 时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化． 2．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离 不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的． 3．三角函数的性质包括值域、周期性、奇偶性、单调性和最值等，其中以单 调性、最大和最小值最为突出．此外近两年也出现了奇偶性的问题，更深刻 地考查学生对图象性质的理解．