2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级(上)第二次月考数学试卷(12月份) 解析版
福建省厦门市莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
（1）判断顶点M是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx+2+4b﹣b2，借助图象，求出x的取值范围．
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
【详解】
解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝ ＝ ＝ ，即AC= ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【解析】
【分析】
先求出原抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求出平移后的顶点坐标，即可求出结论．
【详解】
解：抛物线 的顶点坐标为（-1,3）
将（-1,3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后为（2,1）
即平移后的抛物线的顶点坐标为（2,1）
∴平移后的抛物线解析式为
故选B．
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.一个口袋中共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到白球的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 152.从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是()A. 事件M是不可能事件B. 事件M是必然事件C. 事件M发生的概率为15D. 事件M发生的概率为253.下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B.C. D.4.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是()A. 8B. 6C. 4D. 25.下列方程：①3x2+1=0②√2x2−√3x+1=0③2x−1x=1④x2−2xy= 5⑤√x2+4x=1⑥ax2+bx+c=0其中是一元二次方程的个数()A. 2B. 3C. 4D. 56.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A. x2+4=0B. x2+2x−1=0C. x2−x+3=0D. 4x2−4x+1=07.将二次函数y=x2−1的图象向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是()A. b>8B. b>−8C. b≥8D. b≥−88.下列关系式中不是函数关系式的是()A. y=5−4xB. y=x2C. y=√2x+1D. y2=−3x9.如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A＇B＇C＇，再将△A＇B＇C＇绕点A＇逆时针旋转一定角度后，点B恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()A. ，B. ，C. ，D. ，10.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是()A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点有无数条直线D. 直线比曲线和折线短二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知一元二次方程−2x2+3x+c=0的一个根为1，则c的值为______．12.将抛物线y=x2−12x+16作关于x轴对称，所得抛物线的解析式是______．13.平面直角坐标系中，点P的坐标是(2,−1)，则点P关于原点对称的点的坐标是______．14.如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是______．15.已知二次函数y=2(x−1)2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围______．16.如图，在三角形△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ//AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t(s)(0<t<2.5)，当t为______时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.(1)解方程：(x+8)(x+1)=−12．(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．(a−2)2+b2−418.如图，在下列网格中，每个小正方形边长均为1个单位，A、B两点都在小正方形的格点上．(1)已知A点坐标为(0,4)，请在图中画出直角坐标系，并写出B点坐标；(2)画出线段AB关于y轴对称的线段MN；(3)若直线y=kx平行于线段MN，则k的值为．19.随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图．移动支付方式支付宝微信其他人数/人20075请你根据上述统计表和统计图提供的信息．完成下列问题(1)在此次调查中，使用支付宝支付的人数为______人，表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为______度．(2)某天该步行街人流量为10万人，其中30%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数．(3)甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请计算三人恰好选择同一种支付方式的概率．20. 已知抛物线的顶点为(−1,−3)，与y轴的交点为(0,−5)(1)求抛物线的解析式．(2)将上面的抛物线向右平移2个单位、向上平移3个单位会得到怎样的抛物线．(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线解析式．21. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F.求证：△AEF∽△CAB．22. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中的三个小球上分别标有数字1、4、5，乙袋中的三个小球上分别标有数字2、3、6，小明分别从甲、乙两个袋子中随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法求小明摸出的两个小球上的数字之和为3的倍数的概率．23. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：第x天售价/(元/件)日销售量/件1≤x≤30x+40100−2x 已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．(1)y与x的函数关系式为______；(2)在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？(3)当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？24. 已知，如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和F，使得DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．25. 已知一次函数的图象经过点(2,1)和(0,2)．(1)求出该函数图象与x轴的交点坐标；(2)判断点(−4,6)是否在该函数图象上．参考答案及解析1.答案：C解析：解：根据题意，摸到白球的概率是2050=25，故选：C．从中任摸一球总共有50种情况，其中是白球的情况有20种，利用概率公式进行计算．本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．2.答案：B解析：连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB= 36°，求出∠CBE=72°，推出BE//CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．3.答案：D解析：解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：A解析：解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，。
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市思明区莲花中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列各点A(−2,1)、B(−2,−1)、C(2,−1)、D(−1,2)，关于原点O对称的两点是()A. 点A与点BB. 点A与点CC. 点A与点DD. 点C与点D2.对于抛物线y=x2−2x−3，下列判断错误的是()A. 对称轴是直线x=−1B. 与x轴有两个交点C. 开口向上D. 与y轴在的交点在x轴下方3.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，当y>0时，则x的取值范围是()A. x<−3B. x>1C. −3<x<1D. x<−3或x>14.若一次函数y=kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2−2x+kb+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根5.以x=3±√9+4c2为根对的一元二次方程可能是()A. x2−3x−c=0B. x2+3x−c=0C. x2−3x+c=0D. x2+3x+c=06.一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，则a为()A. −1B. 19C. a=−1，a=−19D. a=1，a=197.如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)()A. 左上角的梅花只需沿对角线平移即可B. 右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C. 右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D. 左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°8.菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=()A. √72B. √3 C. √5+12D. 539.某药品经过两次降价，每瓶零售价由81元降为64元，已知两次降价的百分率都是x，那么x满足的方程是()A. 81(1−x)2=64B. 81(1−x2)=64C. 81x2=64D. 64(1+x)2=8110.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O(AD>AB).下列说法：①AB=CD；②S△AOB=S△AOD；③∠ABD=∠CBD；④对边AB，CD之间的距离相等且等于BC的长.其中正确的结论有()个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2−3x−10=0的根，则该三角形是______三角形．12.若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1，则m+n=______．13.在平面直角坐标系中，把点A(2,1)绕着原点顺时针旋转90°，得到的点B坐标为______．14.如图，O点在梯形ABCD的下底AB上，且⨀O与梯形的上底及两腰都相切，若AB=5cm，CD=2cm，则梯形ABCD的周长等于______．15.某学生在体育测试时推铅球，铅球所经过的路线是二次函数图象的一部分，如果这名学生出手处为A(0,2)，铅球路线最高处为B(6,5)，则该学生将铅球推出的距离是______ ．16. 在直角坐标系平面内，抛物线y =3x 2+2x 在对称轴的左侧部分是______的(填“上升”或“下降”)三、计算题（本大题共2小题，共19.0分）17. {y =4−x 2x −y =−1．18. 如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD 的边长AB =4米，∠ABC =60°.设AE =x 米(0<x <4)，矩形EFGH 的面积为S 米 2．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米 2，黄色花草的价格为40元/米 2.当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)？四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）19. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC.BD 交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F.求证：OE =OF ．20. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．(1)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？(2)商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元？21.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知BD=6，CD=4，求高AD的长．22.南海水暑礁是中国南沙群岛的一个环形珊瑚岛，是中国领土不可分割的一部分，岛礁上的设施是中国守护南海战略利益、拓展安全空间的基石.图中，点P为岛礁上的船舰监测塔，监测区域是半径为50km的⊙P.一货船在A处时测得监测塔在货船北偏东75°方向上，向正东方向航行100km到达B处后测得监测塔在货船北偏东60°方向上.已知货船的速度为32km/ℎ．(1)若货船不改变航向继续向正东方向航行，试判断航向所在直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)为了安全，货船在B处调整航向，以北偏东78°方向穿过监测区域，求货船航行在监测区域内的时长．(参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)23.已知抛物线：y=x2+2(a−1)x+a2−2a(a>0)，P(2,3)在此抛物线上(1)求该抛物线的解析式；(2)求直线y=2x−2与此抛物线的公共点个数；若有公共点，求出公共点的坐标．24.如图，四边形AFCD是菱形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的直径为10cm，求AE的长．(sin67.5°=0.92,tan67.5°=2.41，精确到0.1)25.在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0,1.5)，我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．(1)写出点C的两个好友坐标；x−4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点(2)直线l的解析式是y=43(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；(3)抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD.E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？。
2020—2021学年度九年级第二次月考数学试卷
2020—2021学年度九年级第二次月考数 学 试 卷温馨提示：1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题号的字母代号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效。
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B ．孝感市12月份某一天的最低气温是﹣3℃C ．通常加热到100℃时，水沸腾D ．打开电视，正在播放法制节目《今日说法》3．关于一元二次方程x 2－3x －2＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．在平面直角坐标系中，有A （2，﹣1）、B （﹣1，﹣2）、C （2，1）、D （﹣2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）A ．点A 和点B B ．点B 和点C C ．点C 和点D D ．点D 和点A5．一元二次方程0562=--x x 配方可变形为（ ）A ．14)3(2=-xB ．4)3(2=-xC ．14)3(2=+xD ．4)3(2=+x6．如图所示，如果AB 为 ⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为 E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．CE =DEB ．BC BD = C ．∠BAC =∠BAD D ．AC >ADA B C D O E7．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．10πB ． 15πC ． 20πD ． 25π8．抛物线322--=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为c bx x y ++=2，则b 、c 的值为（ ）A ．b =2，c =2B ．b =2，c =－1C ．b =﹣2，c =－1D ．b =－3，c =29．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y = ax 2 +bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A (1，0)，与y 轴交于点B (0，3)，则a 的取值范围是（ ）．A ．a ＜0B ．－3＜a ＜0C ．a ＜32-D ．92-＜a ＜32- 10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）11．已知关于的方程032=++kx x 的一个根是－1，则k ＝ ▲ ．12．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 ▲ ．13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB ＝AD ，若∠C ＝72°，则∠ABD 的度数是 ▲ ．14．半径为4cm 的圆内正六边形的边心距是 ▲ cm ．15．已知二次函数y ＝－（x ＋k ）2＋h ，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是 ▲ ．16．如图，B （0，3），A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90得AC ，连O C ．则OC 的最小值为 ▲ ．第13题图第16题图第18题图三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）17．（本题满分6分＝3分＋3分）解方程：（1）03)3(=-+-x x x ; （2）2632=-x x ．18．（本题满分8分＝4分＋4分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.（1）如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；（2）如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OCD 的大小．19．（本题满分9分＝3分＋6分）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．20．（本题满分8分＝4分＋4分）关于x 的一元二次方程2220x x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根1x ，2x 满足22122x x m +=，求m 的值．21．（本题满分9分＝3分＋6分）X 市与W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下：（1）请你根据上表数据，在二个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)；②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)中，选取一个合适的函数模型，求出的m 关于n 的函数关系式是 m ＝ （不写n 的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q 最多（每节车厢载容量设定为常数p ）． 22．（本题满分10分＝4分＋6分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =α, 若固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转.（1）当△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时,如图2，则此时旋转角为 ；（用含α的式子表示）（2）当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由.23．（本题满分10分＝3分＋4分+3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G ．（1）求证：点E 是弧BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若AD =6，⊙O 的半径为5，求弦DF 的长．24．（本题满分12分＝4分＋5分+3分）如图1，已知抛物线52++=bxax y 的对称轴是直线x ＝2，且经过点（3，8），抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A点右侧）.（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标； （2）如图2，已知Q （1，0），E （0，m ），F （0，m +1），点P 是第一象限的抛物线52++=bx ax y DE AB C 图3 第22题图 第23题图上的一点．①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？图2图1 备用图第24题图。
福建省厦门市 九年级(上)第二次月考数学试卷
九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.若关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有一个根为-1，则另一个根为（）A. 5B. −3C. −5D. 43.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. (2,−3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−2,−3)4.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是（）A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5.用配方法解一元二次方程x2-8x-11=0时，下列变形正确的是（）A. (x−4)2=5B. (x+4)2=5C. (x−4)2=27D. (x+4)2=276.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A. (0,4)B. (1,1)C. (1,2)D. (2,1)7.抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位再向下平移2个单位得抛物线y=x2+2x+2，则（）A. b=2，c=3B. b=−1，c=3C. b=−2，c=4D. b=−2，c=28.2017年底厦门市有绿化面积696公顷，若绿化面积平均每年的增长率为x，那么2019年底厦门市绿化面积比2018年底厦门市绿化面积大多少公顷（）A. 696(1+x)B. 696(1+x)2C. 696(1+2x)D. 696(x+x2)9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A. 53π−23B. 53π+23C. 23−πD. 3+53π10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜-1，其中结论正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1=______．12.如果二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围______．13.已知点A（4，y1），B（0，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=a（x-2）2-1（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．14.圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是______cm．15.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16.四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值=______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）17.绿苑小区在规划设计时，设置了一块面积为375平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少米？18.如图，在△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE=BE，求∠C的度数．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）19.解下列方程：①x2-4x-1=0；②x（2x-3）=4x-6．20.已知：抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（-1，8），求抛物线的函数表达式，并通过配方写出抛物线的顶点坐标．21.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为______．22.阅读下列材料：求函数y=2x2+3xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y-2）x2+（y-3）x+0.25y=0当y≠2时，∵x为实数，∴△=（y-3）2-4•（y-2）•0.25y=-4y+9≥0．∴y≤94且y≠2；当y=2时，（y-2）x2+（y-3）x+0.25y=0即为-x+0.5=0，方程有解（x的值存在）；∴y≤94．因此，y的最大值为94．根据材料给你的启示，求函数y=3x2−2x+1x2+2x+1的最小值．23.如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．24.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：______．25.在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx-2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：设方程的另一个根为α，则-1+α=4，解得α=5，故选：A．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．3.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x-2）2-3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，-3），故选：A．根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D=∠BOC=20°，故选：A．利用圆周角定理判断即可求出所求．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：x2-8x=11，x2-8x+16=27，所以（x-4）2=27，故选：C．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6.【答案】C【解析】解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），故选：C．选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P．本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．7.【答案】C【解析】解：y=x2+2x+2=（x+1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位得抛物线y=（x+1-2）2+3=（x-1）2+3=x2-2x+4，所以b=-2，c=4．故选：C．根据题意，把y=x2+2x+2化为顶点坐标式，向右平移2个单位，再向上平移3个单位得抛物线y=x2+bx+c，再求b、c的值．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8.【答案】D【解析】解：2018年底厦门市绿化面积：696（1+x），2019年底厦门市绿化面积：696（1+x）2，根据题意得：696（1+x）2-696（1+x）=696（1+x）（1+x-1）=696（x+x2），故选：D．本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意表示2019年底厦门市绿化面积和2018年底厦门市绿化面积，相减可得结论．本题考查的是增长率问题，关键是能根据增长前的面积表示经过一年和两年变化增长后的面积．9.【答案】A【解析】解：连接OE，∵∠BOA=90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA=4∴∠ECO+∠COA=180°，OB=OE=4，OC=2，∴∠OCE=90°，OE=2OC，∴∠EOC=60°，CE=2，∴阴影部分的面积为：=，故选：A．根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】D【解析】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac-b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a-b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，上面两个相加得到6a＜-6，∴a＜-1．故选：D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．11.【答案】15°【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，关键是运用旋转的性质解决问题．由旋转性质可得：AC=A'C，∠B=∠A'B'C=60°，可求∠CAA'=45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠1的度数．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，∴∠B=∠A'B'C=60°，AC=A'C，∠ACA'=90°，∴∠CAA'=45°，∴∠1=∠A'B'C-∠CAA'=15°，故答案为15°.12.【答案】m＜94【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=32-4×1×m＞0，解得：m＜．故答案为：m＜．根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13.【答案】y1=y2＞y3【解析】解：当x=4时，y1=4a-1当x=0时，y2=4a-1当x=-2时，y3=16a-1∵a＜0∴y1=y2＞y3．故答案为：y1=y2＞y3将x=4，x=0，x=-2代入解析式，可求y1，y2，y3的值，即可求y1，y2，y3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．14.【答案】23【解析】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．∵OH⊥BC，∴BH=CH=6，在Rt△OBH中，OH=BH•tan30°=6×=2（cm），故答案为：2．正多边形的内切圆的半径就是正三边形的边心距，从而构造直角三角形即可解．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．15.【答案】20【解析】解：依题意：该函数关系式化简为S=-5（t-2）2+20，当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．16.【答案】2+213【解析】解：如图，∵BP⊥PC，∴∠BPC=90°，∴点P的运动轨迹是以BC为直径的园，∵PD⊥DQ，PD=QD，∴点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，（可以利用旋转法证明：取BC的中点E，连接DE，PE，将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DAO，连接OQ，只要证明△DEP≌△DOQ即可，推出OQ=PE=的值）在Rt△BOC中，OC===2，∴当点Q 1在CO的延长线上时，CQ1的长最大，最大值为2+2，故答案为2+2．如图，由BP⊥PC，推出∠BPC=90°，推出点P的运动轨迹是以BC为直径的园，因为PD⊥DQ，PD=QD，推出点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，当点Q1在CO的延长线上时，CQ1的长最大．本题考查旋转变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是准确寻找点Q的运动轨迹，学会用转化的射线思考问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：设宽为x米，则长为（x+10）米，依题意列方程：x（x+10）=375，解方程得：x1=15，x2=-25（舍去）．10+15=25（米）．答：绿地的长和宽各是25米，15米．【解析】设宽为x米，则长为（x+10）米，根据矩形面积公式：长×宽=矩形面积可得答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．用代数式表示长和宽，也是关键．18.【答案】解：（1）∵四边形ABED圆内接四边形，∴∠A+∠DEB=180°，∵∠CED+∠DEB=180°，∴∠CED=∠A，∵∠A=68°，∴∠CED=68°；（2）连接AE．∵DE=BE，∴DE=BE，∴∠DAE=∠EAB=12∠CAB=34°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°．【解析】（1）根据圆内接四边形的性质解答；（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEC=90°，计算即可．本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．19.【答案】解：①∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=5，∴（x-2）2=5，∴x-2=±5，解得，x1=2+5，x2=2-5；②∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）=2（2x-3），∴x（2x-3）-2（2x-3）=0，∴（x-2）（2x-3）=0，∴x-2=0或2x-3=0，解得，x1=2，x2=1.5．【解析】①根据配方法可以解答此方程；②先移项，根据提公因式法可以解答此方程．本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．20.【答案】解：根据题意得9a+3b+3=0a−b+3=8，解得a=1b=−4，所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3；因为y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．【解析】把A、B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可求得解析式；把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.【答案】26【解析】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；②如图，△AB2C2为所作；（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，则PC1=PC′，PB1+PC1=PB1+PC′=B1C′==，所以PB1+PC1的最小值为．故答案为：．（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1=PC′，则PB1+PC1=PB1+PC′=B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．22.【答案】解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y-3）x2+（2y+2）x+y-1=0，当y≠3时，∵x为实数，∴△=（2y+2）2-4•（y-3）•（y-1）=24y-8≥0．∴y≥13且y≠3；当y=3时，（y-3）x2+（2y+2）x+y-1=0即为8x+2=0，方程有解（x的值存在）；∴y≥13．因此，y的最小值为13．【解析】模仿例题，利用根的判别式解决问题即可；本题考查根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线【解析】（1）由题意可求AB=CD，∠B=∠ADC，根据圆的内接四边形的性质可得∠D=∠AEB，即∠B=∠AEB，则AE=AB=CD；（2）连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．由题意可得∠AEF=90°，即可得∠EAF+∠AFE=90°，根据圆周角定理可得∠AFE=∠ACE=∠BAE，即可得∠BAE+∠EAF=90°，则可证直线AB是⊙O的切线．本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，圆周角定理，添加恰当辅助线是本题的关键．24.【答案】（1）解：补全图形如图1：;（2）①证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②PB=AB．【解析】【分析】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【解答】（1）、（2）①见答案；②解：结论：BP=AB．理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．故答案为PB=AB.25.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+mx-2m经过点A（1，0），∴0=1+m-2m，解得：m=1，∴抛物线解析式为y=x2+x-2，∵y=x2+x-2=（x+12）2-94，∴顶点P的坐标为（-12，-94）；（Ⅱ）抛物线y=x2+mx-2m的顶点P的坐标为（-m2，-m2+8m4），由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限，如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ=∠OPQ=45°，可知PQ=OQ，即m2+8m4=-m2，解得：m1=0，m2=-10，当m=0时，点P不在第四象限，舍去；∴m=-10，∴抛物线的解析式为y=x2-10x+20；（Ⅲ）由y=x2+mx-2m=x2+m（x-2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于4，∴点H的坐标为（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，则∠DEA=∠AGH=90°，∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，∴∠ADH=45°，∴AH=AD，∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，∴∠DAE=∠AHG，∴△ADE≌△HAG，∴DE=AG=1、AE=HG=4，则点D的坐标为（-3，1）或（5，-1）；①当点D的坐标为（-3，1）时，可得直线DH的解析式为y=35x+145，∵点P（-m2，-m2+8m4）在直线y=35x+145上，∴-m2+8m4=35×（-m2）+145，解得：m1=-4、m2=-145，当m=-4时，点P与点H重合，不符合题意，∴m=-145；②当点D的坐标为（5，-1）时，可得直线DH的解析式为y=-53x+223，∵点P（-m2，-m2+8m4）在直线y=-53x+223上，∴-m2+8m4=-53×（-m2）+223，解得：m1=-4（舍），m2=-223，综上，m=-145或m=-223，则抛物线的解析式为y=x2-145x+285或y=x2-223x+443．【解析】（Ⅰ）将点A坐标代入解析式求得m的值即可得；（Ⅱ）先求出顶点P的坐标（-，-），根据∠AOP=45°知点P在第四象限且PQ=OQ，列出关于m的方程，解之可得；（Ⅲ）由y=x2+mx-2m=x2+m（x-2）知H（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，证△ADE≌△HAG得DE=AG=1、AE=HG=4，据此知点D的坐标为（-3，1）或（5，-1），再求出直线DH的解析式，将点P的坐标代入求得m的值即可得出答案．本题主要考查二次函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．。
福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)
福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)- 2．已知方程2430x x -=，下列说法正确的是（ ）A ．只有一个根34x = B ．只有一个根0x = C ．有两个根1230,4x x == D ．有两个根1230,4x x ==- 3．点()2,3-关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()3,2- 4．二次函数221y x x =-+的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 5．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程2420x x -+=的一个解的取值范围是（ ）A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x << 6．某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x 满足方程()()252521521196x x ++++=，则x 表示的意义是（ ）A ．该厂七月份生产面包数量的增长率B ．该厂八月份生产面包数量的增长串C ．该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率D ．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率7．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形()ABCD 菜园，若菜园靠墙的一边()AD 长为x （米），那么菜园的面积y （平方米）与x 的关系式为（ ）A ．(12)2x x y -=B ．(12)y x x =-C ．(24)2x x y -=D ．(24)y x x =-8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线 1.x =-若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（ ）A ．20a b +=B ．420a b c --+>C ．2x =是关于x 的一元一次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点 x 1,y 1 ， x 2,y 2 在抛物线上，当121x x >>-时，120y y <<9．若点(),Q m n 在抛物线()20y ax a =?上，则下列各点在抛物线()21y a x =-上的是（ ） A ．(),1m n + B ．()1,m n + C ．(),1m n - D ．()1,m n -10．某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在12:20，13:00，14:10这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为0.49m ，0.35m ，0.44m ．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ）A ．12:20前，直杆的影子逐渐变长B ．13:00后，直杆的影子逐渐变长C ．在13:00到14:10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35mD ．在12:20到13:00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短二、填空题11．抛物线231y x =-+的开口向．（填“上”或“下”）12．若将抛物线y =x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为13．一元二次方程2231x x -=，用求根公式x =求解时c 的值是． 14．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12m ，拱桥的最高点B 到水面OA 的距离为6m ．则抛物线的解析式为．15．如图，在ABC V 中，108BAC ∠︒＝，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为 ．16．若点(),0p ，(),0q 是二次函数2y x bx c =++与x 轴正半轴的两个交点，且满足：在p ，q ，2-这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的平方根，则该二次函数顶点坐标为．三、解答题17．解方程：22510x x --=．18．建立直角坐标系，并画出函数21y x =-的图象．19．先化简，再求值：112+2+2+2x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭，其中2x = 20．如图，四边形ABCD 中，BD BC CD ==，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60︒得线段DE ．(1)作出线段DE （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接CE ，求证：AB EC =．21．已知关于x 的一元二次方程220x ax a -+-=.(1)求证：该方程总有两个不相等实数根；(2)若两实数根1x 、2x 满足()()21211x x a ++=，求a 的值． 22．如图，二次函数2=23y x x --的图象与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与一次函数y x b =-+的图象交于A ，C 两点．（1）求b 的值；（2）求△ABC 的面积；（3）根据图象直接写出当x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y （单位：辆）与累计驶出车辆数w （单位：辆）随统计时间t （单位：min ）变化的结果如表所示：在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y 与t 之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w 与t 之间看作一次函数关系．(1)求y 关于t 的函数解析式，写出自变量的取值范围；(2)当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？(3)当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即7:05时交通事故解除，驶出桥梁的车辆每min 增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 24．【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图1，ABC V 为等边三角形，将ABC V 绕点A 旋转180︒，得到ADE V ，连接BE ；则EBC ∠=______︒．若F 是BE 的中点，连接AF ，则AF 与DE 的数量关系是______．(2)【迁移探究】如图2，将（1）中的ABC V 绕点A 逆时针旋转30︒，得到ADE V ，其他条件不变，求出此时EBC ∠的度数及AF 与DE 的数量关系．(3)【拓展应用】如图3，在Rt ABC △中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，将ABC V 绕点A 旋转，得到ADE V ，连接BE ，F 是BE 的中点，连接AF ．在旋转过程中，当15EBC ∠=︒时，直接写出线段AF 的长．25．已知二次函数图象()2114312y ax a x a a ⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭与x 轴交于()1,0A x 、()2,0B x 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)1a =时，求该二次函数图象的顶点坐标；(2)是否存在一条直线()0y kx p k =+≠，始终与该二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由；(3)设直线BC 与直线AD 交于点(),M m n ，求m ，n 满足的数量关系．。
2020-2021学年福建省厦门二中九年级上学期月考数学试卷(10月份)(解析版)
2020-2021学年福建省厦门二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题）.1．（4分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．43．（4分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（）A．1B．3C．5D．74．（4分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25 5．（4分）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而减小6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y＝﹣2x2﹣x+3B．y＝﹣2x2+4x+5C．y＝﹣2x2+4x+8D．y＝﹣2x2+4x+67．（4分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．25%8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．（1﹣）a2 10．（4分）二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（）A．b＞﹣1B．1＜b＜2C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程x2＝x的根．12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，得到抛物线．13．（4分）如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是．14．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是．16．（4分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（2）3x2﹣5x+1＝018．（8分）二次函数y＝x2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？19．（8分）如图，△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．（3）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．21．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（10分）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求△ABC的面积．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．24．（12分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．25．（12分）若抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．（1）请猜猜看：抛物线y＝x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC＝，求直线AB解析式．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故选：B．3．（4分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（）A．1B．3C．5D．7解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．4．（4分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．5．（4分）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而减小解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y＝1，故选项B错误，图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，故选：D．6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y＝﹣2x2﹣x+3B．y＝﹣2x2+4x+5C．y＝﹣2x2+4x+8D．y＝﹣2x2+4x+6解：根据题意a＝﹣2，所以设y＝﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即是y＝﹣2x2+4x+6．故选：D．7．（4分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．25%解：设增长率为x，根据题意得200（1+x）2＝288，解得x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，所以每月的增长率应为20%，故选：C．8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．9．（4分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．（1﹣）a2解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE＝∠DAE．∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD•tan∠DAE＝a．∴S四边形AB′ED＝2S△ADE＝2××a×a＝a2．∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S四边形AB′ED＝（1﹣）a2．故选：D．10．（4分）二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（）A．b＞﹣1B．1＜b＜2C．D．解：由题意可得，，解得，2＜b＜，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程x2＝x的根x1＝0，x2＝1．解：由原方程得x2﹣x＝0，整理得x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案是：x1＝0，x2＝1．12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，得到抛物线y＝（x ﹣5）2﹣6．解：抛物线y＝x2向右平移5个单位，再向下平移6个单位，所得图象的解析式为y＝（x ﹣5）2﹣6．故答案为：y＝（x﹣5）2﹣6．13．（4分）如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x 满足的方程是（50+2x）（80+2x）＝5000．解：设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是：（50+2x）（80+2x）＝5000．故答案为：（50+2x）（80+2x）＝5000．14．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是y1＞y3＞y2．解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（，y3），|﹣2﹣1|＞|﹣1|＞|0﹣1|，∴y1＞y3＞y2，故答案为：y1＞y3＞y2．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（，3）．解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，∵∠AOB＝∠B＝30°，∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，∴AD＝1，BD＝，∴OD＝OA+AD＝3，∴B（3，），∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，∴B′坐标为：（，3）．故答案为：（，3）．16．（4分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．解：（方法一）根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．（方法二）当＜﹣1时，有，解得：﹣＜a＜0；当≥﹣1时，有，解得：a＝﹣．综上所述：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（2）3x2﹣5x+1＝0解：（1）∵x2﹣4x＝1∴（x﹣2）2＝5∴∴（2）a＝3，b＝﹣5，c＝1，△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，方程有两个不等的实数根∴，∴，18．（8分）二次函数y＝x2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣1，﹣4），∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x+3．（2）描点、连线，画出图形如图所示．（3）观察函数图象可知：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．19．（8分）如图，△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A；根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝150°，∴旋转角度是150°；（2）由（1）可知：∠BAE＝360°﹣150°×2＝60°，由旋转可知：△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，又C为AD中点，∴AC＝AE＝AB＝×4＝2cm．20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．（3）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，故顶点坐标和对称轴分别为（2，1）、x＝2；（2）令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或3，则AB＝3﹣1＝2；（3）∵a＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，当y＜0时，自变量x的取值范围x＜1或x＞3．21．（8分）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．22．（10分）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求△ABC的面积．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，设AD为a，∵△ABC为等边三角形，CD⊥AB，∴AD＝DB＝a，∠ACD＝30°，∴CD＝a，∴点B坐标（2+a，a），∴a＝2（2+a﹣2）2，∴a＝，∴AD＝DB＝，∴AB＝，CD＝，∴△ABC的面积＝×AB×CD＝．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．24．（12分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．解：（1）可卖出千克数为500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，y与x的函数表达式为y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价每涨（55﹣50）元，少销售量是（55﹣50）×10千克，∴月销售量为：500﹣（55﹣50）×10＝450（千克），所以月销售利润为：（55﹣40）×450＝6750元；（3）令y＝8000，则8000＝﹣10x2+1400x﹣40000解得x1＝60，x2＝80．当x＝60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400＝16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x＝80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200＝8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．25．（12分）若抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．（1）请猜猜看：抛物线y＝x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC＝，求直线AB解析式．解：（1）设A点的坐标是（m，n），∵A，B关于原点对称，∴B点的坐标是（﹣m，﹣n），∵A，B都是抛物线y＝x2+x﹣1上的点，∴，解得m＝1或m＝﹣1，①当m＝1时，n＝12+1﹣1＝1，②当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1，∴抛物线y＝x2+x﹣1是“完美抛物线”，A（1，1）、B（﹣1，﹣1）或A（﹣1，﹣1）、B（1，1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，∴直线AB经过原点，∴设直线AB解析式是：y＝kx，设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（﹣p，﹣q），∴，∴ap2+c＝0，∴bp＝q，∴，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣，0），∴，∴2b﹣ac＝4，∵点C的坐标是（0，c），∴|cp×2|＝，∴，∴p2＝，又∵，∴，∴b2＝﹣ac，又∵2b﹣ac＝4，∴b2+2b﹣4＝0，∴b＝﹣1，∵S△ABC＝＞0，∴b＞0，∴b＝﹣1，又∵bp＝q，∴，即直线AB的斜率是：k＝，∴直线AB解析式是：y＝（﹣1）x．。
福建省厦门市思明区莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 (1)
福建省厦门市思明区莲花中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点A （a ，﹣1）与B （2，b ）是关于原点O 的对称点，则（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 B ．a ＝﹣2，b ＝1 C ．a ＝2，b ＝﹣1 D ．a ＝2，b ＝1 2．对于二次函数y ＝2（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是 x ＝﹣1C ．与 x 轴有两个交点D ．顶点坐标是（1，2）3．若二次函数25y x bx =++配方后为()234y x =--，则b 的值为（ ）A ．0B ．5C ．6D ．﹣6 4．关于x 的一元二次方程()212019x k -=-，下列说法错误的是（ ）A ．2017k =方程无实数解B ．2018k =方程有一个实数解C ．2019k =有两个相等的实数解D ．2020k =方程有两个不相等的实数解5．以32x =为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c 6．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O内部7．如图，在△ABC 中，AB ，AC BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为（ ）A ．3B ．C ．D ．48．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ．2，3πB ．，πC 23πD ．43π 9．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x 折，则有A ．500(12)320x -=B ．2500(1)320x -=C ．250032010x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2500132010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 10．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36二、填空题 11．方程230x x -=的根为 ．12．已知关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣5n ＝0有一个非零根n ，则2m ﹣n 的值是_____． 13．在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣3），点B 绕点A 逆时针旋转90°得到点C ，则点C 的坐标是_____．14．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B ＝20°，则∠C 的大小等于_____．15．汽车刹车后行驶的距离s （米）与行驶的时间t （秒）函数关系式是2156s t t =-，汽车刹车后停下来前进了________米．16．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c ，当﹣3＜x ＜﹣2时，y ＞0；当3＜x ＜4时，y ＜0．则a 与c 满足的关系式是_____．三、解答题17．解方程x 2﹣4x+1=0．18．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4（1）以点D 为对称中心，作出△ABD 的中心对称图形；（2）求点A 到BC 的距离．19．用一条长40cm 的绳子能否围成一个面积为101cm 2的矩形？请说明理由．20．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP ＝CQ ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转（点P 在△ABC 内部），连接AP 、BP 、BQ ．（1）求证：AP ＝BQ ；（2）当PQ ⊥BQ 时，求AP 的长．21．如图，圆内接四边形ABCD ，AB 是⊙O 的直径，OD ∥A 交BC 于点E ．（1）求证：△BCD 为等腰三角形；（2）若BE ＝4，AC ＝6，求DE ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x +b 的顶点在x 轴上，P （p ，m ），Q （q ，m ）（p ＜q ）是抛物线上的两点．（1）当m ＝b 时，求p ，q 的值；（2）将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程．23．已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y （kg ）随销售单价x （元/kg ）的变化而变化，具体变化规律如表所示：（1）请根据上表，写出y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）； （2）若该绿茶的月销售利润为w （元），且售单价得高于80元，求w 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时，w 的值最大？（3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，在第一个月，按使w 获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于78元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，求第二个月的销售单价的取值范围？24．如图，已知点A 、B 、P 、D 、C 都在在⊙O 上，且四边形BCEP 是平行四边形．（1）证明：CD ＝PB ；（2）若AE ＝BC ，AB DP 的长度是6，求EC 的长． 25．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，BD：BC＝1：2．①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．参考答案1．B【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据条件就可以求出a，b的值．【详解】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）是关于原点O 的对称点，∴a=﹣2，b=1，故选B．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题．2．D【分析】根据题意从y＝2（x﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．【详解】解：y＝2（x﹣1）2+2，（1）函数的对称轴为x＝1；（2）a＝2＞0，故函数开口向上；（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x轴没有交点；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的开口方向与x轴的交点，以及函数顶点坐标等基本性质，是函数的基础题注意掌握．3．D【分析】可将y=(x-3)2-4的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b的值．【详解】解：∵y=(x-3)2-4=x2-6x+9-4=x2-6x+5，又∵y=x2+bx+5，∴b=-6．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 4．B【分析】将各选项的k 带入方程验证，即可得到答案.【详解】解：A ，当k=2017，k-2019=2017-2019=-2，该方程无实数解，故正确;B, 当k=2018，k-2019=2018-2019=-1，该方程无实数解，故错误;C ，当k=2019，k-2019=2019-2019=0，解得x=1，故正确;D, 当k=2020，k-2019=2020-2019=1，解得x=0或x=2，故正确;因此答案为B.【点睛】本题主要考查二元一次方程的特点，把k 值代入方程验证是解答本题的关键.5．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵x = ∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A.【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．6．D【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，解得d≤1，∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.7．A【分析】根据旋转的性质得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1，求出∠BAC1＝90°，根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB，AC∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC13，故选：A．【点睛】此题主要考查图形旋转的性质和勾股定理的应用，掌握图形旋转前后的对应角相等、对应边相等和勾股定理是解题的关键.8．D【解析】试题分析：连接OB ，∵OB=4，∴BM=2，∴60441803BC ππ⨯==， 故选D ．考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．9．C【分析】设该店春装原本打x 折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该店春装原本打x 折，依题意，得：500（10x ）2＝320． 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B【解析】设AC =x ，则BD =12−x ，则四边形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×x ×(12−x )=− 12x²+6x =−12 (x −6)²+18，∴当x =6时，四边形ABCD 的面积最大，最大值是18，故选B.11．120,?3x x ==. 【解析】试题分析：x （x －3）=0 解得：1x =0，2x =3．考点：解一元二次方程．12．-5【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：n 2﹣2mn ﹣5n ＝0，∴由于n ≠0，∴n ﹣2m ﹣5＝0，∴2m ﹣n ＝﹣5，故答案为：﹣5【点睛】此题主要考查一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键.13．（4，﹣1）【分析】根据题意画出图形，易证△AOB ≌△ADC ，求出CD 、OD 的长即可求出C 的坐标．【详解】解：如图所示，点B 绕点A 逆时针旋转90°到点C ，∵A 坐标为（1，0），B 坐标为（0，﹣3），∴OA ＝1，OB ＝3，根据旋转的性质，AB ＝AC ，∵∠BAC ＝90°∴∠BAO +∠CAD ＝90°，∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∴∠ABO＝∠CAD．在△AOB和△ADC中，，∴△AOB≌△ADC（AAS），∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝1，∴OD＝4，∴C（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键. 14．50°．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【详解】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，∴∠AOC ＝40°，∴∠C ＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．15．758【解析】【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【详解】∵221566( 1.25)9.375s t t t =-=--+，∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来。
福建省厦门市思明区厦门市莲花中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题及参考答案
2023-2024莲花中学九（上）数学月考试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是A.3，6，1B.3，6，-1C.3，-6，1D.3，-6，-12.抛物线()221y x =--的顶点坐标是（）A.()2,1- B.（()2,1-- C.()2,1 D.()2,1-3.方程240x -=的解是（）A.12x =，22x =- B.0x = C.122x x == D.122x x ==-4.将抛物线22y x =+先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.2(1)5y x =-+B.2(1)1y x =+-C.2(1)1y x =-- D.2(1)5y x =++5.把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是（）A.225x -=（） B.223x -=（） C.215x -=（） D.213x -=（）6.关于()2232y x =-+的图象，下列叙述正确的是（）A.其图像开口向下B.其最小值为2C.当3x >时y 随x 增大而减小D.其图像的对称轴为直线x =-37.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是2156s t t =-汽车刹车后到停下来前进的距离是（）A.54 B.52C.7516D.7588.如图，以()1,4-为顶点的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）A.23x <<B.34x <<C.45x <<D.56x <<9.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②240b ac ->；③0a b c -+>；④30c a +>；⑤()a b m am b +≥+，其中正确信息的个数有（）A.2B.3C.4D.510.已知二次函数y ＝ax 2+bx+2的图像与x 轴交于A （3﹣m ，0）和B （m+1，0），点A 在点B 的左侧，且m≤2，给出下列四个点的坐标：P （﹣1，m 2﹣2），Q （3，m ﹣1），M （4，m 2+1），N （2，﹣4a+2）．其中一定不在该二次函数图像上的点是（）A.点P 和点NB.点Q 和点NC.点P 和点MD.点Q 和点M二、填空题（共6小题，每小题4分共24分）11.抛物线261y x x =-+的对称轴是______．12.若x m =是方程2220220x x +-=的一个根，则()2m m +的值为______．13.已知二次函数23(1)y x k =--+的图像上有三点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为_______．14.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x…－2－1012…y…4664…请求出当y ＜0时x 的取值范围________．15.已知抛物线()2210y ax ax a =--<，若当22x -≤≤时，y 的最大值是1，求当22x -≤≤时，y 的最小值是______．16.如图，在平面直角坐标系中，点(2,4)A 在抛物线2y ax =上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C 、D 在线段AB 上，分别过点C 、D 作x 轴的垂线交抛物线于E 、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为_________．三、解答题（共10小题，共86分）17.解方程：（1）2430x x -+=；（2）22510x x --=．18.已知二次函数的图像经过点()0,3，且顶点坐标为()1,4-．（1）求这个函数解析式；（2）在直角坐标系，画出它的图像．19.学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？20.已知关于x 的一元二次方程220x ax a -+-=.（1）求证：该方程总有两个不相等实数根；（2）若两实数根1x 、2x 满足()()21211x x a ++=，求a 的值．21.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；（3）若点()p m ,和点(),q n 都在该抛物线上，若5p q >>，判断m 和n 的大小．22.探索一个问题：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形A 的周长和面积的一半？”（1）当已知矩形A 相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B 相邻两边的长分别是x 和y ，根据题意，得方程组723x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y ，化简得2x 2﹣7x +6＝0．解得x 1＝，x 2＝，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）设矩形A 相邻两边的长分别为m 和n ，若所求矩形B 存在，请直接写出m 和n 满足的关系式．23.某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，部分数据如表：售价x （元/件）55658085周销售量y （件）90704030（1）直接写出y 与x 之间的函数表达式为______；（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？（3）由于某种原因，该商店进价提高了m 元/件（m ＞0），通过销售记录发现，当销售价格大于76元/件时，每周的利润随售价的增大而减小，请直接写出m 的取值范围为______．24.【综合实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x 米，与湖面的垂直高度为y 米．下面的表中记录了x 与y 的五组数据：x （米）01234y （米）0.51.251.51.250.5（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y 与x 函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m 米，则m =__________，并求y 与x 函数表达式；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．25.已知抛物线C ：()20y ax bx c a =++>，顶点为()0,0．（1）求b ，c 的值；（2）若1a =，抛物线与直线L ：122y x =+相交，P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点，过P 作直线PN x ⊥轴交x 轴于点N ，交直线L 于M 点，设P 点的横坐标为m ，当2PM PN =时，求m 的值；（3）点()0,2P 为y 轴正半轴上一定点，点A 、B 均为y 轴右侧抛物线C 上两动点，若APO BPy ∠=∠，求证：直线AB 经过一个定点．2023-2024莲花中学九（上）数学月考试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是A.3，6，1 B.3，6，-1 C.3，-6，1 D.3，-6，-1【答案】D 【解析】【详解】对于一元二次方程ax 2+bx+c =0（a≠0），a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.故方程3x 2-6x -1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1.故选：D .2.抛物线()221y x =--的顶点坐标是（）A.()2,1- B.（()2,1-- C.()2,1 D.()2,1-【答案】D 【解析】【分析】由抛物线顶点式即可求解．【详解】解：∵抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k ，∴抛物线()221y x =--的顶点坐标是()2,1-，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k ．3.方程240x -=的解是（）A.12x =，22x =- B.0x = C.122x x == D.122x x ==-【答案】A 【解析】【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】解：240x -=，变形得：24x =，开方得：12x =，22x =-，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成()20x a a =≥的形式，利用数的开方直接求解．4.将抛物线22y x =+先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.2(1)5y x =-+B.2(1)1y x =+-C.2(1)1y x =--D.2(1)5y x =++【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线平移的规律解答．【详解】将抛物线22y x =+先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是22(1)23(1)5y x x =-++=-+，故选：A ．【点睛】此题考查抛物线平移的规律：横坐标左加右减，纵坐标上加下减，熟记规律是解题的关键．5.把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是（）A.225x -=（） B.223x -=（） C.215x -=（） D.213x -=（）【答案】C 【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】2240x x --=，221140x x -+--=，2(1)5x -=，故选C ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．6.关于()2232y x =-+的图象，下列叙述正确的是（）A.其图像开口向下B.其最小值为2C.当3x >时y 随x 增大而减小D.其图像的对称轴为直线x =-3【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可依次判断．【详解】对于()2232y x =-+中，a ＞0，故图像开口向上，A 错误；当x =3时，y 的最小值为2，故B 正确；当3x >时，y 随x 增大而增大，C 错误；图像的对称轴为直线x =3，D 错误；故选B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．7.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是2156s t t =-汽车刹车后到停下来前进的距离是（）A.54 B.52C.7516D.758【答案】D 【解析】【分析】求出函数的最大值即可得求解．【详解】∵s ＝15t−6t 2＝−6（t−54）2＋758，∴当t ＝54时，S 取得最大值758，即汽车刹车后到停下来前进的距离是758m ，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．8.如图，以()1,4-为顶点的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）A.23x <<B.34x <<C.45x <<D.56x <<【答案】C【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为1x =，根据对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32-<<-x ，得出抛物线与x 轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出20ax bx c ++=的正数解的范围．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的顶点为()1,4-，∴对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32-<<-x ，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x 轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键．9.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②240b ac ->；③0a b c -+>；④30c a +>；⑤()a b m am b +≥+，其中正确信息的个数有（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质逐项进行判断即可．【详解】解：抛物线对称轴位于y 轴的右侧，a ，b 异号，即0ab <．抛物线与y 轴交于正半轴，则0c >．所以<0abc ．故①错误．由抛物线与x 轴有两个交点可得240b ac ->．故②正确．根据图象知道当=1x -时，0y a b c =-+<．抛物线开口方向向下，则a<0，由于对称轴是2bx a =-，且12b a-=，所以2b a =-，当=1x -时，0y a b c =-+<，即()20a a c --+<．所以30c a +<，故④错误．抛物线开口方向向下，则a<0，对称轴为1x =，∴当1x =时，2(0)y ax bx c a =++≠有最大值y a b c =++，∴当x m =时，2a b c am bm c ++≥++，即()a b m am b +≥+，故⑤正确，正确信息的个数有2个，故选：A【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10.已知二次函数y ＝ax 2+bx+2的图像与x 轴交于A （3﹣m ，0）和B （m+1，0），点A 在点B 的左侧，且m≤2，给出下列四个点的坐标：P （﹣1，m 2﹣2），Q （3，m ﹣1），M （4，m 2+1），N （2，﹣4a+2）．其中一定不在该二次函数图像上的点是（）A.点P 和点NB.点Q 和点NC.点P 和点MD.点Q 和点M【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数图像过A,B 两个点可以得到二次函数的对称轴，再结合m 的取值范围判断即可．【详解】解：由题意得：3﹣m <m+1，∴m >1，∵m≤2．∴1<m≤2．当x ＝0时，y ＝0．∴抛物线开口向上．抛物线的对称轴为：x 312m m -++==2．∴当x ＝﹣1时的函数值大于x ＝0时的函数值，∴m 2﹣2>2，∴m >2或m <﹣2，不合题意．∴P 一定不在抛物线上．∵抛物线的对称轴是x ＝2，∴x ＝0时的函数值等于x ＝4时的函数值．∴2＝m 2+1．∴m ＝±1，∵1<m≤2，∴点M 一定不在抛物线上．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数对称轴的求法是求解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分共24分）11.抛物线261y x x =-+的对称轴是______．【答案】直线=3x 【解析】【分析】运用配方法把抛物线的表达式的一般式变换成顶点式，即得抛物线的对称轴．配方法是抛物线的表达式的一般式的二次项系数为“1”，配上一次项系数一半的平方．【详解】解：把抛物线表达式配方，得，261y x x =-+26991x x =-+-+()2=38x --，∴抛物线的对称轴是直线=3x ．故答案为：直线=3x ．【点睛】此题主要考查了抛物线的对称轴，熟练掌握配方法，把一般式配方成顶点式是解题的关键．12.若x m =是方程2220220x x +-=的一个根，则()2m m +的值为______．【答案】2022【解析】【分析】使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解（根），根据一元二次方程的解的概念，得到222022m m +=，即可求出()2m m +的值．【详解】解：x m = 是方程2220220x x +-=的一个根，2220220m m ∴+-=，222022m m ∴+=，()2222022m m m m ∴+=+=，故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是掌握一元二次方程的解的概念是解题关键．13.已知二次函数23(1)y x k =--+的图像上有三点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为_______．【答案】213y y y >>##312y y y <<【解析】【分析】根据30a =-<得到抛物线的开口朝下，根据图象上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可．【详解】解：由题意得：30a =-<，抛物线的开口朝下，对称轴为：=1x ，∴图象上点离对称轴越远，函数值越小，2离对称轴最近，5离对称轴最远，∴213y y y >>；故答案为：213y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x…－2－1012…y…4664…请求出当y ＜0时x 的取值范围________．【答案】<2x -或3x >【解析】【分析】先根据表中数据运用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图像与性质求解即可．【详解】解：由表得，抛物线2y ax bx c =++过点(0，6)，∴c =6．∵抛物线26y ax bx =++过点(-1，4)和(1，6)，∴4666a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得，11a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为2y -x +x 6=+．写成顶点式为：2125()24y x =--+∴抛物线的顶点坐标为125,24⎛⎫⎪⎝⎭；令0y =，求得12x =-，23x =，如图，由函数图像可知当<2x -或3x >时，0y <．故答案为：<2x -或3x >【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息是解答本题的关键．15.已知抛物线()2210y ax ax a =--<，若当22x -≤≤时，y 的最大值是1，求当22x -≤≤时，y 的最小值是______．【答案】17-【解析】【分析】根据抛物线的对称轴为直线1x =，可得顶点在22x -≤≤范围内，y 的最大值是1，得顶点坐标为()11，，把顶点()11，代入221y ax ax =--，可得a 的值，进而可得y 的最小值．【详解】解：∵抛物线()()2221110y ax ax a x a a =--=---<，∴该函数图象的开口向下，抛物线的对称轴为：直线212ax a-=-=，当1x =时，取得最大值1a --，∵当22x -≤≤时，y 的最大值是1，∴1x =时，11y a =--=，得2a =-，∴()2211y x =--+，∵22x -≤≤，∴2x =-时，取得最小值，此时()2221117y =-⨯--+=-，故答案为：17-．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a 的值，利用二次函数的性质解答．16.如图，在平面直角坐标系中，点(2,4)A 在抛物线2y ax =上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C 、D 在线段AB 上，分别过点C 、D 作x 轴的垂线交抛物线于E 、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为_________．【答案】2-+【解析】【分析】点(2,4)A 代入抛物线中求出解析式为2y x =，再设CD =2x ，进而求得E 点坐标为(x ,4-2x )，代入2y x =中即可求解．【详解】解：将点(2,4)A 代入抛物线2y ax =中，解得1a =，∴抛物线解析式为2y x =，设CD 、EF 分别与y 轴交于点M 和点N ，当四边形CDFE 为正方形时，设CD =2x ，则CM=x=NE ，NO=MO-MN =4-2x ，此时E 点坐标为(x ,4-2x )，代入抛物线2y x =中，得到：242x x -=，解得11x =-+，21x =-(负值舍去)，∴22CD x ==-+，故答案为：2-+．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．三、解答题（共10小题，共86分）17.解方程：（1）2430x x -+=；（2）22510x x --=．【答案】（1）13x =，21x =（2）15334x +=，25334x =【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【小问1详解】解：2430x x -+=()()310x x --=13x =，21x =；【小问2详解】22510x x --=2a =，=5b -，1c =-，∵()()25421258330∆=--⨯⨯-=+=>，∴5334x ±=，解得：15334x =，25334x =．【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．18.已知二次函数的图像经过点()0,3，且顶点坐标为()1,4-．（1）求这个函数解析式；（2）在直角坐标系，画出它的图像．【答案】（1）()221423y x x x =-++=--+；（2）见解析【解析】【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入（0，3）求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可．【详解】解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（-1，4），∴可设二次函数解析式为()214y a x =++，又∵点（0，3）在二次函数图像上，∴()2014=3a ++，∴1a =-，∴二次函数解析式为()221423y x x x =-++=--+；（2）列表如下：x...-3-2-101 (223)y x x =--+…343…函数图像如下所示：【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．19.学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？【答案】20%【解析】【分析】设这两年人均阅读量年平均增长率是x ，根据题意列出一元二次方程求解即可．【详解】解：设这两年人均阅读量年平均增长率是x ，依题意得：()21001144x +=，解得：1 2.2x =-（不符合题意，舍去），20.2x =，0.220%=，答：这两年人均阅读量年平均增长率是20%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出方程是解题关键．20.已知关于x 的一元二次方程220x ax a -+-=.（1）求证：该方程总有两个不相等实数根；（2）若两实数根1x 、2x 满足()()21211x x a ++=，求a 的值．【答案】（1）见解析（2）121a a ==【解析】【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出0∆>，即可得证；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x a +=，122x x a =-，根据题意可得212121x x x x a +++=，进而解方程，即可求解．【小问1详解】证明：∵()()242a a ∆=---()22482440a a a =-+=-+≥>，∴该方程总有两个实数根；【小问2详解】∵()()21211x x a ++=，∴212121x x x x a +++=，∵12x x a +=，122x x a =-，∴221a a a -++=，2210a a -+=，即()210a -=，∴121a a ==．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．21.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；（3）若点()p m ,和点(),q n 都在该抛物线上，若5p q >>，判断m 和n 的大小．【答案】（1）所求解析式为223y x x =-++（2）当点P 在x 轴上方时，13m -<<（3）m n <【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）令0y =，得出()3,0B ，结合图象，当点P 在x 轴上方时，13m -<<；（3）由题意，223y x x =-++的对称轴为1x =，根据0a <，5x >时y 随x 的增大而减小，即可求解．【小问1详解】由题意，将A 、C 两点坐标代入已知解析式得，103b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩.∴所求解析式为：223y x x =-++.【小问2详解】由题意，抛物线交x 轴于A 、B 两点，又解析式为223y x x =-++，()1,0A -，∴令0y =，有2230x x -++=，又一个根是－1.∴根据两根之积为3-，从而可以求得()3,0B .∴结合图象，当点P 在x 轴上方时，13m -<<.【小问3详解】由题意，223y x x =-++的对称轴为1x =.∵0a <，∴5x >时y 随x 的增大而减小，∵5p q >>，∴m n <.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22.探索一个问题：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形A 的周长和面积的一半？”（1）当已知矩形A 相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B 相邻两边的长分别是x 和y ，根据题意，得方程组723x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y ，化简得2x 2﹣7x +6＝0．解得x 1＝，x 2＝，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）设矩形A 相邻两边的长分别为m 和n ，若所求矩形B 存在，请直接写出m 和n 满足的关系式．【答案】（1）2，32（2）不存在（3）（m +n ）2-8mn ≥0【解析】【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m ，n 满足的条件．【小问1详解】2x 2-7x +6=0，∵△=49-48=1＞0，∴714x ±=，∴x 1=2，x 2=32，∴满足要求的矩形B 存在．故答案为2，32；【小问2详解】设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得321x y xy ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，消去y 化简，得2x 2-3x +2=0，∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B ．【小问3详解】22m n x y mn xy +⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴2x 2-（m +n ）x +mn =0，∴△=（-m -n ）2-8mn =（m +n ）2-8mn ≥0∴当（m +n ）2-8mn ≥0时，矩形B 存在．【点睛】类题目考查了一元二次方程的应用，要读懂题意，准确地找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．23.某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，部分数据如表：售价x （元/件）55658085周销售量y （件）90704030（1）直接写出y 与x 之间的函数表达式为______；（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？（3）由于某种原因，该商店进价提高了m 元/件（m ＞0），通过销售记录发现，当销售价格大于76元/件时，每周的利润随售价的增大而减小，请直接写出m 的取值范围为______．【答案】（1）2200y x =-+（2）当售价定为75元时，每周可获得最大利润，最大利润是2450元（3）0<12m ≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设周利润为w ，根据周销售利润=周销售量⨯（售价-进价），列出二次函数，根据二次函数的性质，即可得出结果；（3）设周利润为w ，根据周销售利润=周销售量⨯（售价-进价），列出二次函数，然后再根据当销售价格大于76元/件时，每周的利润随售价的增大而减小，列出不等式，解出即可得出结果；【小问1详解】解：设y 与x 之间的函数解析式为()0y kx b k =+≠，把5590x y ==，和8040x y ==，代入函数解析式，可得：55+=9080+=40k b k b ⎧⎨⎩，解得：=2=200k b -⎧⎨⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为：2200y x =-+；故答案为：2200y x =-+【小问2详解】解：设周利润为w ，根据题意，可得：()()()24022002752450w x x x =--+=--+，∴当75x =时，w 最大，最大利润为2450元，答：当售价定为75元时，每周可获得最大利润，最大利润是2450元；【小问3详解】解：设周利润为w ，根据题意，可得：()()22140+=402+200=2+70+245022m m w x m x x m ------⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴抛物线开口向下，对称轴为直线140+=2m x ，∵当销售价格大于76元/件时，每周的利润随售价的增大而减小，∴140+762m ≤，解得：12m ≤，∴m 的取值范围为0<12m ≤．故答案为：0<12m ≤【点睛】本题考查了一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的性质，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24.【综合实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x 米，与湖面的垂直高度为y 米．下面的表中记录了x 与y 的五组数据：x （米）01234y （米）0.5 1.25 1.5 1.250.5（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y 与x 函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m 米，则m =__________，并求y 与x 函数表达式；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．【答案】（1）见解析（2） 1.5m =，210.54y x x =-++（3）约2.1米，理由见解析【解析】【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；（2）设函数表达式为2()y a x k h =-+，先由图1得到函数顶点为21.5（，），再将00.5（，）代入计算即可；（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可【小问1详解】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：【小问2详解】解：由图1可得函数顶点为（2， 1.5），∴水柱最高点距离湖面的高度为1.5米，∴ 1.5m =根据图象可设二次函数的解析式为：()22 1.5y a x =-+，将()0,0.5代入()22 1.5y a x =-+，解得14a =-，∴抛物线的解析式为：210.54y x x =-++；【小问3详解】解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：210.54y x x n =-+++，由题意可知，当横坐标为37222+=时，纵坐标的值不小于20.5 2.5+=，21770.5 2.5422n ⎛⎫∴-⨯+++≥ ⎪⎝⎭，解得2516n ≥，∴水管高度至少向上调节2516米，250.5 2.116∴+≈（米），∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约2.1米才能符合要求．【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．25.已知抛物线C ：()20y ax bx c a =++>，顶点为()0,0．（1）求b ，c 的值；（2）若1a =，抛物线与直线L ：122y x =+相交，P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点，过P 作直线PN x ⊥轴交x 轴于点N ，交直线L 于M 点，设P 点的横坐标为m ，当2PM PN =时，求m 的值；（3）点()0,2P 为y 轴正半轴上一定点，点A 、B 均为y 轴右侧抛物线C 上两动点，若APO BPy ∠=∠，求证：直线AB 经过一个定点．【答案】（1）0b =，0c =（2）m 的值是12或43（3）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可解答；（2）设点P 的坐标为()()2,0P m mm >，则点1,22M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据2PM PN =构建关于m 的方程求解即可，注意取舍；（3）作点A 关于y 轴的对称点M ，连接PM ，如图，先证明M 、P 、B 三点共线，设点()2,A p ap ，则点()2,M p ap -，联立方程组利用根与系数的关系求出224,B ap ap ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式是222ap y x p+=-，进而可得结论．【小问1详解】解：设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+，∵顶点为()0,0，∴0h =，0k =，∴2y ax =，即0b =，0c =；【小问2详解】解：1a =时，抛物线的表达式为2y x =，如图：∵P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点，∴设点P 的坐标为()()2,0P m mm >，则点1,22M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2PM PN =，∴221222m m m +-=，∴221222m m m ⎛⎫+-=±⎪⎝⎭，解得12m -=（舍去）或12m +=或43m =或1m =-（舍去），∴m 的值是12+或43；【小问3详解】证明：作点A 关于y 轴的对称点M ，连接PM ，如图：∵抛物线关于y 轴对称，∴点M 在抛物线上，∵MPO OPA BPy ∠=∠=∠，∴M 、P 、B 三点共线，设点()2,A p ap ，则点()2,M p ap -，联立方程组22y kx y ax =+⎧⎨=⎩，可得22ax kx =+，即220ax kx --=，∴此方程的两根是B 、M 两点的横坐标，不妨设12,B x p x x =-=，则122x x a -=，∴()222x a p ap-==-，代入2y ax =，得2224y a ap ap ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，∴224,B ap ap ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的解析式是y kx n =+，∴2224pk n ap k n ap ap ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：222ap k p n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式是222ap y x p+=-，∴0x =时，=2y -，∴直线AB 过定点()0,2-．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键．。
福建省厦门市九年级上学期数学第二次月考试卷
福建省厦门市九年级上学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）(2017·渝中模拟) 在以下奢侈品牌的标志中，是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018九上·易门期中) 下列方程中，属于一元二次方程的是（）A . ax2+bx+c=0B .C . （x+3）2=2（x﹣3）D . （x+4）（x﹣2）=x23. （2分）(2019·荆州) 如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·虎丘模拟) 下列说法正确的是（）A . 为了解苏州市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式B . 某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖C . 一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3D . 若甲组数据的方差s甲2=0.1，乙组数据的方差s乙2=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定5. （2分） (2017九上·高台期末) 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=（）A . 1B . ﹣1C . ±1D . 06. （2分）在⊙O中，AB=2AC，那么（）A . AB=ACB . AB=2ACC . AB＞2ACD . AB＜2AC二、填空题 (共10题；共10分)7. （1分） (2019八上·顺德月考) 某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数为________。
8. （1分）(2013·徐州) 已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为________cm．9. （1分）(2020·常熟模拟) 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是________.10. （1分）在2002年世界杯足球赛第一轮的比赛中，某队上场队员的年龄情况如下表所示：那么这些队员年龄的平均数是________，众数是________．11. （1分） (2018九上·安定期末) 如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2 ，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：________．12. （1分） (2020七下·咸阳期中) 假设存在一个数，且它具有的性质是，若，则 ________.13. （1分）(2019·益阳模拟) 如图，AB是⊙O的直径，BD ， CD分别是过⊙O上点B ， C的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A的度数是________°．14. （1分） (2020九下·安庆月考) 如图，已知点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是________。
2021年福建省厦门市思明区莲花中学中考数学二模试卷(附详解)
2021年福建省厦门市思明区莲花中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在3，0，1，−5四个数中，最小的数是()A. 3B. 0C. 1D. −52.新年伊始，湖北疫情牵动着全国人民的心.一方有难，八方驰援.据统计，2020年1月支援湖北医疗队共有42600人，将42600用科学记数法表示为()A. 426×102B. 4.26×105C. 4.26×104D. 0.426×1063.如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是()A.B.C.D.4.下列式子化简后的结果为x6的是()A. x3+x3B. x3⋅x3C. (x3)3D. x12÷x25.测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是()A. 方差B. 标准差C. 中位数D. 平均数6.下列计算正确的是()A. √8−√3=√8−3B. √4+√9=√4+9C. √9×√16=√9×16D. √75−√3=6√27.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为()A. 57°B. 52°C. 38°D. 26°8. 如图，△AOB 中，∠ABO =90°，点B 在x 轴上，点A 坐标为(2,2)，将△AOB 绕点O 逆时针旋转15°，此时点A 的对应点A′的坐标是( )A. (√2,√6)B. (√6,√2)C. (√3,2√3)D. (1,√3)9. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中( )A. 有一个内角小于60°B. 每一个内角都小于60°C. 有一个内角大于60°D. 每一个内角都大于60°10. 抛物线y =−x 2+bx +3的对称轴为直线x =−1，若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3−t =0(t 为实数)在−2<x <3的范围内有实数根，则t 的取值范围是( )A. −12<t ≤3B. −12<t <4C. −12<t ≤4D. −12<t <3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 分解因式：xy 2−4x =______．12. 若正n 边形的一个外角是36°，则n = ______ ．13. 计算：tan60°−sin60°= ______ ．14. 如图，已知⊙O 内切于边长为2的正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积是______ (结果保留π)．15. 定义：数值倒数的平均数的倒数叫调和平均数.如有三个正数分别为x ，y 和z ，那么它们的调和平均数x −=113(1x +1y +1z ).研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度.绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐.数学家们研究发现：对应弦长的长度之比是15：12：n(n 为正整数)的三根弦，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和乐声do ，mi ，so.此时，12是12、15和n 的调和平均数，那么n 的值为______ ．16.如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是______ ．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.解方程：3x(2x+1)=4x+2．18.计算：(1)(2x−3)(2x+3)−(2x−1)2；(2)(x2x+2+x−2)÷2x2−4x2−4．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）19.在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF.求证：∠DAF=∠BCE．20.如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5．(1)请用尺规在图上作菱形EBFD，使得E点在边AD上，F点在边BC上(保留作图痕迹，不要求写作法)．(2)求出(1)中所作的菱形的面积．21.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？22.为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元.为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：请你根据以上信息，解答下列问题：(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______ 元；(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；(3)经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定.根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元(只能整数元)，才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？23.如图1，在平面直角坐标系xOy中，A(−m,m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，点C在第一象限内，连接AB，BC.AB交y轴于点D，且∠ABC=90°，AB=BC．(1)求点C的坐标(用含m，n的式子表示)；(2)如图2，连接OA，OC.OC交AB于点Q．①求证：∠OAQ=∠BCQ；②延长CB至P，使BP=BQ.求证：A，O，P三点共线．24.定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．(1)求证：等腰三角形底边的中点是它的准内心；(2)如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，分别交AB与AC的延长线于点E，F.若点D是△ABC的准内心，AE=6，tan∠CFD=3，求EB的长．4x2−2x+c．25.已知抛物线y=12(1)如图1，当c=−6时，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴于点C．①直接写出直线CB的解析式；②点P在直线BC下方抛物线上，作PD//y轴，交线段BC于点D，作PE//x轴，交抛物线于另一点E，若PE=PD，求点P的坐标；(2)如图2，若抛物线与x轴有唯一公共点F，直线l：y=kx+b(k>0,b>0)与抛物线交于M、N两点(点N在点M右边)，直线MG⊥x轴，交直线NF于点G，且点G的纵坐标为−3，求证：直线l过定点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵−5<0<1<3，∴在3，0，1，−5四个数中，最小的数是−5．故选：D．根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．2.【答案】C【解析】解：将数据42600用科学记数法表示为：4.26×104．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．故选：A．找到从上面看所得到的图形即可．本题考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．4.【答案】B【解析】解：A、原式=2x3，故本选项错误；B、原式=x6，故本选项正确；C、原式=x9，故本选项错误；D、原式=x12−2=x10，故本选项错误．故选：B．根据同底数幂的运算法则进行计算即可．本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，故选：C．根据中位数的定义解答可得．本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．6.【答案】C【解析】解：A、原式=2√2−√3，所以A选项错误；B、原式=2+3=5，所以B选项错误；C、原式=√9×16，所以C选项正确；D、原式=5√3−√3=4√3，所以D选项错误．故选：C．根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．本题考查了二次根式的加减乘除运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，再合并即可．7.【答案】B【解析】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=38°，∴∠BAC=90°−∠ABC=52°，∴∠BDC=∠BAC=52°．故选：B．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC= 38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.过点A′作A′H⊥y轴于H.解直角三角形求出OH，A′H即可．【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥y轴于H．∵A(2,2)，∴OA=OA′=2√2，∵∠AOH=45°，∠AOA′=15°，∴∠A′OH=30°，∴A′H=1A′O=√2，OH=√3A′H=√6，2∴A′(√2,√6)，故选：A．9.【答案】D【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选：D．熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=−x2−2x+3，将一元二次方程−x2+bx+ 3−t=0的实数根可以看作y=−x2−2x+3与函数y=t的有交点，再由−2<x<3的范围确定y的取值范围即可求解．【解答】解：∵抛物线y=−x2+bx+3的对称轴为直线x=−1，∴b=−2，∴y=−x2−2x+3，∴一元二次方程−x2+bx+3−t=0的实数根可以看作y=−x2−2x+3与函数y=t 的有交点，∵方程在−2<x<3的范围内有实数根，当x=−2时，y=3；当x=3时，y=−12；函数y=−x2−2x+3在x=−1时有最大值4；∴−12<t≤4．故选：C．11.【答案】x(y+2)(y−2)【解析】解：原式=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，故答案为：x(y+2)(y−2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】10【解析】解：n=360°÷36°=10．故答案为：10．利用多边形的外角和即可解决问题．主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．13.【答案】√32【解析】解：原式=√3−√32=(1−12)√3=√32，故答案为：√32．代入特殊角的三角函数值进行计算即可．此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．14.【答案】4−π【解析】解：设AD、AB于⊙O切于点E、F，连接OE、OF，则OE⊥AD，OF⊥AB，又∠A=90°，∴四边形AFOE为矩形，∵AE=AF，∴四边形AFOE为正方形，∴AE=OE，同理可得，DE=OE，∴AE=ED，∴图中阴影部分的面积=22−π×12=4−π，故答案为：4−π．根据正方形的面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．本题考查的是正方形的性质、扇形面积计算，掌握正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．15.【答案】10【解析】解：根据调和平均数的定义，可知：12=113(112+115+1n )，解得：n =10．故答案为：10．题中给出了调和数的规律，可将n 所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．16.【答案】6【解析】解：作AM ⊥y 轴于M ，延长BD ，交AM 于E ，设BC 与y 轴的交点为N ， ∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA//BC ，OA =BC ，∴∠AOM =∠CNM ，∵BD//y 轴，∴∠CBD =∠CNM ，∴∠AOM =∠CBD ，∵CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，∴∠CDB =90°，BE ⊥AM ，∴∠CDB =∠AMO ，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM =BD =√2，∵S△ABD=12BD⋅AE=2，∴AE=2√2，∵∠ADB=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，∴k=√2m=(m−2√2)×3√2，解得：m=3√2，∴k=√2m=6．故答案为：6．根据三角形面积公式求得AE=2√2，易证得△AOM≌△CBD(AAS)，得出OM=BD=√2，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=2√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m=3√2，即可求得k=6．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．17.【答案】解：方程整理得：3x(2x+1)−2(2x+1)=0，分解因式得：(3x−2)(2x+1)=0，可得3x−2=0或2x+1=0，解得：x1=23，x2=−12．【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可．18.【答案】解：(1)(2x−3)(2x+3)−(2x−1)2=4x2−9−4x2+4x−1=4x−10；(2)(x2x+2+x−2)÷2x2−4x2−4=x2+(x−2)(x+2)x+2⋅(x+2)(x−2)2(x2−2)=x2+x2−41⋅x−22(x2−2)=2(x2−2)1⋅x−22(x2−2)=x−2．【解析】(1)根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题；(2)根据分式的加法和除法可以解答本题．本题考查平方差公式、完全平方公式、分式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．19.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，又∵AE=CF，∴AB−AE=CD−CF，∴BE=DF，在△ADF和△CBF中，{AD=CB ∠D=∠B DF=BE，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴∠DAF=∠BCE．【解析】依据平行四边形的性质，即可得到AD=BC，∠B=∠D，BE=DF，判定△ADF≌△CBE，即可得到∠DAF=∠BCE．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．20.【答案】解：(1)如图，菱形BEDF即为所求．(2)∵四边形ABEDF是菱形，∴EB=ED，设EB=ED=x，∵∠A =90°，在Rt △ABE 中，∵BE 2=AB 2+AE 2，∴x 2=42+(5−x)2，∴x =4.1，∴DE =4.1，∴S 菱形BEDF =DE ⋅AB =4×4.1=16.4．【解析】(1)连接BD ，作线段BD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 于F ，连接BE ，DF ，四边形BEDF 即为所求．(2)设EB =ED =x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理构建方程求出x 即可解决问题． 本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，由题意得：{2x +y =1006x =7y， 解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费18×35+32×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费19×35+31×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费20×35+30×30=1600元；所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本;购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本;购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本;购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【解析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．(1)设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．22.【答案】10【解析】解：(1)全校总人数为：1800+2400+800=5000人．因此再将价钱按照8元(A)、10元(B)、15元(C)的价钱排列后，对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和第2501个数据的平均数．也就是说，中位数为数量(份)的第2500和2501个数的平均数，因此，通过统计表计算得知，A+B一共为1800+2400=4200，因此中位数为B午餐的费用，即为10元，故答案为10．(2)①树状图如下：根据树状图能够得到共有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．其中“AB”组合共有2中情况，∴P(AB)=26=13．(3)①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，因此，总利润为：1800×2+4×2400+3×800=15600(元)，平均利润为：15600÷5000=3.12(元)，3.12>3，因此应调低午餐单价．=2.76(元)，②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：1×1800+4×2400+3×8005000=2.64(元)，调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：2×1800+3×2400+3×8005000=2.96(元)，调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：2×1800+4×2400+2×8005000当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．(1)中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字．(2)画树状图见解答．(3)根据条形统计图找到ABC的利润，算出总利润，之后除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可．对于调低单价，要求对ABC三种午餐分别罗列每个讲价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在降价1元时比较三种午餐的利润谁与3元最接近即可作答．主要考查了事件的分类和概率的求法．同时考查中位数的概念及求法，统计表、条形统计图的综合运用．考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；对于条形统计图和统计表，要学会综合起来运用，能够根据统计表找到条形统计图中的信息，二者通过综合得到要分析的数据．23.【答案】解：(1)过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，∴∠AFB=∠BGC=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠CBG=90°，∴∠FAB=∠CBG，在△AFB和△BGC中，{∠AFB=∠BGC ∠FAB=∠CBG AB=BC，∴△AFB≌△BGC(AAS)，∴AF=BG，BF=CG，∵A(−m,m)，B(n,0)，m>0，n>0，∴OF=AF=m，OB=n，∴OG=BG+OB=AF+OB=m+n，CG=BF=OF+OB=m+n，∴C(m+n,m+n)；(2)①证明：如图2，过点A分别作AM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于N，∵A(−m,m)，C(m+n,m+n)，m>0，n>0，∴AM=OM=m，CN=ON=m+n，∴∠AOM=∠CON=45°，∴∠AOC=90°，∴∠AQO+∠OAQ=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BQC+∠QCB=90°，又∠AQO=∠BQC，∴∠OAQ=∠BCQ，∴∠OAQ=∠BCQ；②证明：延长AO交射线CB于点P′，如图2，∵∠ABC=90°，∴∠ABP′=∠CBQ=90°，在△ABP′和△CBQ中，{∠OAQ=∠BCQ AB=BC∠ABP′=∠CBQ，∴△ABP′≌△CBQ(ASA)，∴BP′=BQ，∵BP=BQ，∴BP′=BP，又点P，P′都在CB的延长线上，∴点P与点P′重合，∴A，O，P三点共线．【解析】(1)过点A作AF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，证明△AFB≌△BGC(AAS)，由全等三角形的性质得出AF=BG，BF=CG，则可得出结论；(2)①过点A分别作AM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于N，证出∠AOM=∠CON=45°，由直角三角形的性质得出结论；②延长AO交射线CB于点P′，证明△ABP′≌△CBQ(ASA)，由全等三角形的性质得出BP′= BQ，得出点P与点P′重合，则可得出结论．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】(1)已知：△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D是△ABC的准内心；证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图1所示：则∠DMB=∠DNC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，{∠DMB=∠DNC ∠B=∠CBD=CD,∴△BDM≌△CDN(AAS)，∴DM=DN，∴D是△ABC的准内心；(2)解：连接OD，如图2所示：∵OA=OC=OD，∴OD=12AC，∵点D是△ABC的准内心，∴点D到AB、AC的距离相等，∴∠BAD=∠CAD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴BD=CD，∵OA=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AB，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AB⊥EF，∵tan∠CFD=34=AEEF，∴EF=4AE3=8，∴AF=√AE2+EF2=10，∵OD//AB，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE =OFAF，即OD6=10−OD10，解得：OD=154，∴AB=AC=2OD=152，∴EB=AB−AE=152−6=32．【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)可得∠DMB =∠DNC =90°，证明△BDM≌△CDN 得出DM =DN ，即可得出结论；(2)连接OD ，由题意得出∠BAD =∠CAD ，证出OD 是△ABC 的中位线，得出OD//AB ，由勾股定理得出AF =√AE 2+EF 2=10，证出△ODF∽△AEF ，得出AB =AC =2OD =152，即可得出结果．25.【答案】解：(1)①c =−6时，y =12x 2−2x +6．令x =0，则y =−6，∴C(0,−6)，令y =0，则x =−2或x =6，∴A(−2,0)B(6,0)，设直线BC ：y =mx +n ，将B(6,0)，C(0,−6)代入，{6m +n =0n =−6， 解得{m =1n =−6， ∴直线CB 的解析式：y =x −6；②设点P 的坐标为(t,12t 2−2t −6)，D 的坐标为(t,t −6)，则PD =(t −6)−(12t 2−2t −6)=3t −12t 2，∵PE//x 轴，∴点P 与点E 关于对称轴x =2对称，∴E 的坐标为(4−t,12t 2−2t −6)，∴PE =|4−t −t|=|4−2t|，∵PE =PD ，∴3t −12t 2=|4−2t|，当t ≥2时，3t −12t 2=4−2t ，解得：t 1=4，t 2=−2(舍去)，∴t =4，此时点P 的坐标为(4,−6)，当t <2时，3t −12t 2=−4+2t ，解得：t 1=5−√17，t 2=5+√17(舍去)，∴t =5−√17，此时点P 的坐标为(5−√17,5−3√17)，∴点P 的坐标(4,−6)或(5−√17,5−3√17).(2)∵抛物线与x 轴有唯一公共点F ，∴(−2)2−4×12 c =0， 解得c =2，此时F(2,0)，过点N 作NT ⊥x 轴于点T ，MG 交x 轴于点S ，设点M(m,12m 2−2m +2)，N(n,12n 2−2n +2)，G(m,−3)，则{y =kx +by =12x 2−2x +2， ∴m 、n 是方程12x 2+(−2−k)x +2−b =0的两个解，∴m +n =2k +4，mn =4−2b ，∵∠SFG =∠NFT ，∴tan∠SFG =tan∠NFT ，即GS SF =NT FT ， ∴32−m =12(n−2)2n−2， ∴(n −2)(2−m)=6，∴2(m −n)−mn =10，∴2(2k +4)−(4−2b)=10，∴b =3−2k ，∴直线l 解析式为y =kx +3−2k =k(x −2)+3，∴当x=2时y=3，∴直线l过定点(2,3)．【解析】(1)①c=−6时，y=12x2−2x+6.得到C(0,−6)，令y=0，得A(−2,0)B(6,0)，设直线BC：y=mx+n，将B(6,0)，C(0,−6)代入，求出k、b的值，即得到直线CB的解析式；②设点P的坐标为(t,12t2−2t−6)，D的坐标为(t,t−6)，则PD=(t−6)−(12t2−2t−6)=3t−12t2，由PE//x轴，得E的坐标为(4−t,12t2−2t−6)，所以PE=|4−t−t|=|4−2t|，根据PE=PD，得出3t−12t2=|4−2t|，分两种情况当t≥2时，当t<2时求出点P的坐标(4,−6)或(5−√17,5−3√17).(2)根据抛物线与x轴有唯一公共点F，得到c=2，此时F(2,0)，过点N作NT⊥x轴于点T，MG交x轴于点S，设点M(m,12m2−2m+2)，N(n,12n2−2n+2)，G(m,−3)，则{y=kx+by=12x2−2x+2，所以m+n=2k+4，mn=4−2b，根据tan∠SFG=tan∠NFT，得到32−m =12(n−2)2n−2，直线l解析式为y=kx+3−2k=k(x−2)+3，当x=2时y=3，即可证明直线l过定点(2,3)．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．。
福建省厦门市莲花中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
福建省厦门市莲花中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．B ．．．A ．a b <B ．a =比较9．下表是二次函数2y ax bx =+x⋯12-121y⋯141-74-m则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式1y >-的解集是0x <③方程20ax bx c ++=的两个实数根分别位于④当0x >时，函数值y 随x 的增大而增大．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个10．已知二次函数2y ax bx =+2345x x x x x =+++时（其中1x值为p ，当345x x x x =++时，函数值为q ，则p q -=（）A ．0B ．5C ．-1D ．1二、填空题16．已知直线y x b =-+E ，F 两点．若2AB EF =三、问答题17．解方程：2610x x +-=四、计算题18．先化简，再求值：五、证明题19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB =BF ．六、问答题20．关于x 的一元二次方程2221()0x k x k +-+=有两个实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得12 x x +和12x x 互为相反数？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．七、作图题21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC =3．（1）以BC 边上一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 分别与AC 、AB 都相切(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；（2）求⊙O 的面积．八、问答题22．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y ()m 与运行的水平距离x ()m 满足关系式2(6)y a x h =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.45m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．(1)当 2.8h =时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)当 2.8h =时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．(1)求证：12DF AC =；(2)连接,CD AE ，若AE 平分(3)在（2）的条件下，若24．新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．(1)下列四边形为对直四边形的是______（写出所有正确的序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)如图，在对直四边形ABCD ①求证：BD 的垂直平分线经过点②若AB ＝6，BC ＝8，请在备用图中补全四边形大值，并求此时BD 的长度．25．已知抛物线2y ax =+(1)求抛物线的解析式；(2)D 为抛物线2y ax bx =+①设抛物线的对称轴与直线点为F '，求证：GF '的长度为定值；②当45BAD ∠=︒时，过线段的最大值．于P，Q两点，求PH QH。
2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(原卷版)
2020-2021学年福建省厦门市湖里实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每题都有4个选项，其中有且只有一个选项正确）1. ﹣13的倒数是（ ） A. ﹣13 B. 13 C. ﹣3 D. 32. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形3. 用配方法解方程x 2﹣2x ﹣4＝0，配方正确的是（ ）A. （x ﹣1）2＝5B. （x ﹣1）2＝4C. （x +1）2＝﹣3D. （x ﹣1）2＝﹣3 4. 将抛物线23y x =如何平移得到抛物线23(2)3y x =+-（ ）A. 向左平移2个单位，向上平移3个单位；B. 向右平移2个单位，向上平移3个单位；C. 向左平移2个单位，向下平移3个单位；D. 向右平移2个单位，向下平移3个单位． 5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D 点，则∠BAD 等于（ ） A . 30°B. 45°C. 60°D. 75°6. 新冠肺炎是一种传染性极强疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A. (1)81x x x ++=B. 2181x x ++=C. 1(1)81x x x +++=D. (1)81x x +=7. 如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，⊙O 的半径长为a ，下列说法中不正确的是（ ）A. 正六边形ABCDEF 的中心角等于60°B. 正六边形ABCDEF 的周长等于6aC. 正六边形ABCDEF 的边心距等于32aD. 正六边形ABCDEF 的面积等于323a8. 将点A （5，0）绕着点B （1，0）逆时针旋转120°，得到点C ，则点C 的坐标为（ ） A. （﹣1，﹣23） B. （52-，53） C. （﹣2，23） D. （﹣1，23）9. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点A ，B ，C ，D 分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，AB 为半圆的直径，则这个“果园”被y 轴截得的弦CD 的长为（ ）A. 8B. 5C. 5D. 5510. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）11. 方程x 2＝2x 的解是__________．12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球3个，白球4个，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是_____．13. 在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是____．14. 已知三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BOC ＝140°，则∠BAC 的度数为_____． 15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．16. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为2，圆心坐标为（4，0），y 轴上有点B （0，3），点C 是⊙A 上的动点，点P 是BC 的中点，则OP 的范围是_____．三、解答题（共86分）17. 011(3)()33π---+．18. 解不等式组：124(3)21223x x x x --≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩．19. 已知二次函数当x ＝3时，有最小值﹣1，且当x ＝0时，y＝2，求二次函数的解析式．20. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n100150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m73113 154 370 604 751 摸到黑球的频率m n0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751（1）请估计；当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近 （结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有 只；（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率．22. 如图，A ，B ，C 为⊙O 上三点，AB 为⊙O 的直径，∠ABC ＝30︒，（1）尺规作图：在弧BC 上求作一点D ，连接CD ，使得CD //AB ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在问题（1）的基础上，连接OD ，试判断四边形ACDO 的形状，并说明理由．23. 如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，,,a b c 是全等的Rt ABC 和Rt BED 的边长，易知2=AE c ，这时我们把关于x 的形如220++=ax cx b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 必有实数根；（2）若1x =-是“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 的一个根，且四边形ACDE 的周长是12,求ABC 的面积．24. 如图，点P 是⊙O 直径AB 上的一点，过P 作直线CD ⊥AB ，分别交⊙O 于C 、D 两点，连接AC ，并将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接ED ，分别交⊙O 和A 、B 于F 、G ，连接FC ， （1）求证：∠ACF ＝∠AED ；（2）若点P 在直径AB 上运动（不与点A ，B 重合）其他条件不变，请问EG AP是否为定值？若是，请求出其值，若不是，请说明理由．25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（2-，0），直线BC的解析式为22 y x=-+．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
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2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．57．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）40036032028024024．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），∴点B的坐标是（2，﹣3）．故选：D．2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】根据等边三角形的性质得AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD ＝∠CDB＝60°，则可利用旋转的定义，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D点或BD的中点为旋转中心．【解答】解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，∴将△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60°可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180°可得到△CDB．故选：C．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2＝4×1，故四条线段成比例．故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．7．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）【分析】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．∵A（4，4），∴OE＝4，AE＝4，∵∠A′HO＝∠AEO＝∠A′OA＝90°，∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠A＝90°，∴∠A′OH＝∠A，∵OA′＝OA，∴△A′OH≌△OAH（AAS），∴OH＝AE＝4，A′H＝OE＝4，∴A′（﹣4，4），故选：B．8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：+1＝+1，即＝．故答案为：．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝212°．【分析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝180°+32°＝212°．故答案为：212．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42．【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，∴BD＝BC＝12．∵∠CBD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝12．∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．故答案为：42．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∵OE＝OF＝1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP＝OE＝，故答案为：．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，由题意，△AOB是等边三角形，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，由题意，△OCD是等边三角形，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）【分析】（1）把x﹣3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．【解答】解：（1）（x﹣3）（3x﹣9+x）＝0；（2）配方得x2﹣2x+1＝4即（x﹣1）2＝4x﹣1＝±2x1＝3，x2＝﹣1．18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，﹣3）；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．【分析】（1）利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为（﹣2，3）；故答案为（﹣2，3）；（2）如图，△OA1B1为所作．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率＝＝．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由菱形的性质可得DF＝AF＝2，DF∥AB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解．【解答】解：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，又∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°﹣∠EAF＝60°，∴∠CFE＝∠AFE﹣∠AFC＝75°﹣60°＝15°；（2）∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝30°，∴△ACF为等腰三角形，且∠CAF＝120°，∴∠ACF＝30°，∴CF＝2cos∠ACF•AC＝，∴CD＝CF﹣DF＝．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；（2）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）400360320280240【分析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，根据总利润＝每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880＝1760公斤；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400﹣40×（52.5﹣50）＝300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，则w＝（50+x﹣）（400﹣40x）＝﹣40x2+400x＝﹣40（x﹣5）2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8（400﹣40x）≥1760，解得x≤4.5，根据实际意义有400﹣40x≥0，解得x≤10，∴x≤4.5，∵﹣40＜0，∴当x＜5时，w随x的增大而增大，∴当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元．24．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义求出∠DFE＝∠OFE，根据等腰三角形的性质得出∠OEF＝∠OFE，求出∠DFE＝∠OEF，求出OE⊥AD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，证△DEF∽△ABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出DE．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l＝进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO＝EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD＝BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC＝12，∴CO＝6，∴＝＝2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A，由（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OP A＝∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∴∠PQE＝90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC，∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC，∴CE＝CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ＝∠EAP，∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OP A，∵∠OP A+∠OPC＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD＝OE，∴FC＝EC＝r﹣OE＝r﹣OD＝r﹣BC ∴BF＝BC+FC＝r+BC∵PD＝r+OD＝r+BC∴PD＝BF又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径，∴∠ABC＝90°又∵∠ADO＝90°，∴PD∥BF∴∠PCF＝∠OPC∵OP＝OC，∴∠OCP＝∠OPC∴∠OCP＝∠PCF，即∠ECP＝∠FCP∵PD∥BF，∴∠ODE＝∠EFC∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED又∵∠OED＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC∴EC＝FC在△PEC与△PFC中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC＝∠PEC＝90°∴四边形PDBF为矩形∠DPF＝90°，即PF为圆的切线．。