高阶偏导数、方向导数与梯度
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第2.2节 高阶偏导数、方向导数与梯度
一、高阶偏导数 二、方向导数 三、梯度
作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x,
y) ,
z y
f y (x,
y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
16/30
函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线) 在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线 平行),指向函数增大的方向.
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2 x
z
2
f xx (x, y);
(z) y x
2z
yx
f x y (x,
y)
(z) x y
2z x y
f y x (x, y)
f21(x, y);
(z) y y
14/30
1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f (P)
f , x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时, 有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 ,
2
时, 有
f l
f x
10/30
例3. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
5/30
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
（偏微分方程）
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
来自百度文库
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
2u z2
3 r3
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
6/30
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则 f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 ) (证明在P29-30)
17
17
yP o 1 2 x
60 17
12/30
例5. 设n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
y
z
9/30
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
7/30
二、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
lim f
0
l
P
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z z)
f
(x,
y, z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
8/30
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
l
P
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u
q
4 r
r
0
4
q
r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
19/30
内容小结
1. 高阶偏导数
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
20/30
2. 方向导数
• 三元函数
在点
为, , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
f f cos f cos f cos
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
28/30
数学实验安排
第12周（5月13号）主B-304上数学实验理论课
第13周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （5月18号）星期三3-4节10:00-12:00; 2.核工程02,03, 地环01 时间:(5月20号)星期五3-4节10:00-12:00;
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
26/30
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
27/30
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
18/30
例7. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
的夹角 .
24/30
解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
25/30
(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
f x
,
f y
,
f z
l 0 (cos , cos , cos )
f
g
l 0
g
c
os
(g
,
l
0
)
l 0 1
g与l0l方向一致时，方向导数取最大值：
这说明 g
max(f ) g l
方向：f 的值增长最快的那个方向;
模 : f 的最大方向导数的值.
u l
P
2xyz
2 14
x2y
3 14
11/30
例4. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课
第15周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03, 地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;
例1. 解
求函数
: z
z ex2y ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
15/30
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线(P5) .
（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C
的交线在xoy坐标平面上的投影.）
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
21/30
3. 梯度
• 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f x
,f y
,f z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
4/30
例如,
f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. )
2z y2
f y y (x, y)
f22 (x, y)
2/30
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
) nz yx n1
3/30
22/30
4. 几个概念之间的关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
5. 方向导数的几何意义(P26)
23/30
思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
13/30
三、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
g
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u
(4) grad (u v ) u grad v v grad u
17/30
例6.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f
(r) x r
f (r) f (r) y ,
y
一、高阶偏导数 二、方向导数 三、梯度
作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x,
y) ,
z y
f y (x,
y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
16/30
函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线) 在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线 平行),指向函数增大的方向.
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2 x
z
2
f xx (x, y);
(z) y x
2z
yx
f x y (x,
y)
(z) x y
2z x y
f y x (x, y)
f21(x, y);
(z) y y
14/30
1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f (P)
f , x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时, 有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 ,
2
时, 有
f l
f x
10/30
例3. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
5/30
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
（偏微分方程）
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
来自百度文库
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
2u z2
3 r3
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
6/30
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则 f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 ) (证明在P29-30)
17
17
yP o 1 2 x
60 17
12/30
例5. 设n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
y
z
9/30
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
7/30
二、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
lim f
0
l
P
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z z)
f
(x,
y, z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
8/30
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
l
P
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u
q
4 r
r
0
4
q
r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
19/30
内容小结
1. 高阶偏导数
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
20/30
2. 方向导数
• 三元函数
在点
为, , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
f f cos f cos f cos
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
28/30
数学实验安排
第12周（5月13号）主B-304上数学实验理论课
第13周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （5月18号）星期三3-4节10:00-12:00; 2.核工程02,03, 地环01 时间:(5月20号)星期五3-4节10:00-12:00;
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
26/30
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
27/30
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
18/30
例7. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
的夹角 .
24/30
解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
25/30
(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
f x
,
f y
,
f z
l 0 (cos , cos , cos )
f
g
l 0
g
c
os
(g
,
l
0
)
l 0 1
g与l0l方向一致时，方向导数取最大值：
这说明 g
max(f ) g l
方向：f 的值增长最快的那个方向;
模 : f 的最大方向导数的值.
u l
P
2xyz
2 14
x2y
3 14
11/30
例4. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课
第15周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03, 地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;
例1. 解
求函数
: z
z ex2y ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
15/30
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线(P5) .
（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C
的交线在xoy坐标平面上的投影.）
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
21/30
3. 梯度
• 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f x
,f y
,f z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
4/30
例如,
f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. )
2z y2
f y y (x, y)
f22 (x, y)
2/30
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
) nz yx n1
3/30
22/30
4. 几个概念之间的关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
5. 方向导数的几何意义(P26)
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
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三、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
g
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u
(4) grad (u v ) u grad v v grad u
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例6.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f
(r) x r
f (r) f (r) y ,
y