2018最新五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(B级)学生版

20
25 (D)
D
2、如图:长方形的面积是小于 100 的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形①的边长是长方
形长的 5 ，正方形②的边长是长方形宽的 1 ，那么图中阴影部分的面积是多少？
12
8
① ②
3、有一个长方形，它的长是宽的 4 倍，对角线长 34cm。求这个长方形的面积。
复习总结
欢迎关注：“奥数轻松学” 根据直角三角形计算出三角形中第三边的长度，在计算时可以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是 直角三角形；有直角的通过加辅助线构造直角三角形； 通过对弦图进行观察分析得出构成弦图的直角三角形两直角边的关系，始终要有方程意识
家庭作业
1、若把边长为 1 的正方形 ABCD 的四个角剪掉,得一四边形 A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为
正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的 5 ,请说明理由.(写出证明及计算过程)。 9
2、如下图，两个正方形的周长相差 12 厘米，面积相差 69 平方厘米，两个正方形的面积各是多少平方厘 米？
三国时期的赵
爽注解道:句股各自
乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,
加差之,亦成弦实．
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结 角曰弦.句短其股，股短其弦．
句股各自乘，并，而开方除之，即弦．
【例 10】.有 5 个长方形,它们的长和宽都是整数,且 5 个长和 5 个宽恰好是 1～10 这 10 个整数；现在用这 5 个长方形拼成 1 个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
3
2
【巩固】如图 7-4，一个边长为 1 米的正方形被分成 4 个小长方形，他们的面积分别是 10 平方米、 5 平
勾股定理与弦图
课前预习
华盛顿的傍晚
亲爱的小朋友们： “在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，
他反复思考与演算……”那是 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人 正 在 散 步 ，欣 赏 黄 昏 的 美 景 ，他 就 是 当 时 美 国 俄 亥 俄 州 共 和 党 议 员 加 菲 尔 德 。他 走 着 走 着 ，突 然 发 现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。 由 于 好 奇 心 驱 使 ，加 菲 尔 德 循 声 向 两 个 小 孩 走 去 ，想 搞 清 楚 两 个 小 孩 到 底 在 干 什 么 。只 见 一 个 小 男 孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德
点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。 把 直 角 三 角 形 的 较 短 直 角 边 称 为 “勾 ”，较 长 直 角 边 为 “股 ”，斜 边 称 为 “弦 ”，所 以 把 这 个 定 理 称 为 “勾 股 定 理 ”。勾 股 定 理 揭 示 了 直 角 三 角 形 边 之 间 的 关 系 。即 ：在 直 角 三 角 形 中 俩 条 直 角 边 的 平 方 和等于斜边的平方。 公元前 11 世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘. 得成三、四、五．
A 25 海里 B 30 海里 C 35 海里 D 40 海里
北
A
东
南
【巩固】一个三角形的三边之比为 5∶12∶13，它的周长为 60，则它的面积是＿＿＿.
【例 2】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别 是 576 和 676 ，那么最小的正方形的面积为
便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分 别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是 5 呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边 分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的 平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一 时 语 塞 ，无 法 解 释 了 ，心 里 很 不 是 滋 味 。加 菲 尔 德 不 再 散 步 ，立 即 回 家 ，潜 心 探 讨 小 男 孩 给 他 出 的 难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的 Rt△ABC 和 Rt△BDE 可以拼成直角梯形 ACDE， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得 a2＋b2＝c2
3、左下图中有三个直角三角形。请问 x=
厘米。
4、请问下图正方形的面积是
平方厘米。
5．以三角形 ABC 的两条边为边长，做两个正方形 BDEC 和 ACFG．已知三角形 ABC 与正方形 BDEC 的
面积比，以及正方形 BDEC 和 ACFG 的边长的比都是 3：5，求三角形 CEF 与整个图形面积的最简整数比
1
1
方米、 5 平方米和 10 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
课堂检测
1、五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7
20 25 24
7
15
(A)
A
25
20
24
7
15
(B)
B
24
25 20
7
15 (C)
C
24
15
边形 ABCD 的面积。
A
D
B C
【巩固】如图所示的一块地，已知 AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
C
A
D
B
【例 4】一个正方形花圃，由四块种着不同花的长方形地组成，如图，已知图中虚线表示的正方形的面积 为 35 平方米，长方形的长比宽多 3 米，则每块长方形地_______平方米。
是多少？
F E
G
C
D
A
B
6、一个长方形若能分割成大小不一样的小正方形，则称它为完美长方形。下图完美长方形可以分割成 9 个小正方形，其中小正方形 A 和 B 的边长分别为 5 厘米和 9 厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？
教学反馈
学生对本次课的评价 ○特别满意
家长意见及建议
○满意
○一般
家长签字：
2 4 1 ab 2
a2 b2 c2.
（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：
S梯形ABCD

(a
b)(a 2
b)

2
1 ab 2

1c2 2
a2 b2 c2.
知识框架
勾股定理:
A
直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
。 【例 6】用同样大小的 22 个小纸片摆成图 7 所示的图形，已知小纸片的长是 18 厘米，求图中阴影部分的 面积和.
【巩固】用 8 张同样的长方形卡片，围成一个正方形的边框（如图 7），其外围长 144 厘米，中间的正方形 面积为 400 平方厘米。求每张长方形卡片的长与宽各是多少厘米？
【例 7】若 E、F、G、H 分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的
c b
勾股定理实际上包含两方面的内容：
B
a
C
1 如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的图平2方；
② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．
勾股数：
满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、
5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
弦图：
重难点
重点： 1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形
难点： 3.勾股定理与弦图的联系与应用
例题精讲
【例 1】已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距_________
【巩固】智能机器猫从平面上的 O 点出发.按下列规律行走:由 O 向东走 12 厘米到 A1,由 A1 向北走 24 厘米
到 A2,由 A2 向西走 36 厘米到 A3,由 A3 向南走 48 厘米到 A4,由 A4 向东走 60 厘米
到
A5,…,问:智能机器猫到达 A6 点与 O 点的距离是多少厘米?
黄
红Fra Baidu bibliotek
绿
【巩固】三个面积都是 12 的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图 7-15，盒中空白部分的面积已经标 出，求图中大长方形的面积？
【例 9】如图所示,直角三角形 PQR 的两个直角边分别为 5 厘米,9 厘米问下图中 3 个正方形面积之和比 4 个三角形面积之和大多少?
【巩固】图中 5 个阴影所示的图形都是正方形，所标数字是邻近线段的长度。那么，阴影所示的 5 个正方 形的面积之和是多少？（单位：厘米）
【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为
7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为___________cm2。
B
A
C D
7cm
【例 3】已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四
【巩固】如下图，大正方形面积为 27 平方厘米，小正方形面积为 3 平方厘米，求 A、C 两个梯形的面积之 和是多少? 余老师薇芯：69039270
【例 5】太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有 10 俄里才左拐弯，接 着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了 2 俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足 有 17 俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在 作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所 围成的土地面积有多大吗？
勾股定理的证明： 余老师薇芯：69039270
（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
_A
_D
S正方形ABCD

a
b2

c2
4
1 2
ab
a2 b2 c2.
_B
_C
（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
S正方形EFGH c 2
a b
分之
；
【巩固】如图所示，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形 PQRS 的面积之比。
余老师薇芯：69039270
【例 8】如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互 叠合，已知露在外面的部分中，红色的面积是 20，黄色的面积是 14，绿色的面积是 10，那么，正方形盒 子的底面积是__________．