函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
合集下载
课件：插值与逼近
f(x2) f[x1,x2]
f(x3) f[x2,x3]
¦
¦
f(xn) f[xn-1,xn]
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
¦
f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
• 差商的性质
1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位置无关.
2. f[x0,x1,…,xn]＝
• 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要求必 须提得合理否则无解或许多解),
• 如何构造逼近函数P(x).
• 逼近的效果.
插值的概念
• 插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值.
• 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件
f [x0 , x1
, xk ] f [x0, x1
, xk2 , xk ] f [x0, x1, xk xk1
, xk1]
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
• 差商表
xi
x0 x1 x2 x3 ¦ xn
f(xi) 一阶差商 二阶差商 … n阶差商
f(x0)
f(x1) f[x0,x1]
而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一.
称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为
Lagrange插值多项式．
• 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
教学课件：第三章-插值与逼近
最佳一致逼近在数值分析、计算数学等领域有广泛应用，如多项式插值、样条插值 等算法都是基于最佳一致逼近的思想。
最佳平方逼近
最佳平方逼近是指在平方误差意义下， 函数空间中最佳逼近原函数的逼近元 所在的函数类。
最佳平方逼近在数值分析、计算数学 等领域有广泛应用，如多项式插值、 样条插值等算法都是基于最佳平方逼 近的思想。
图像处理
在图像处理中，插值用于 放大缩小图像，而逼近则 用于图像的平滑和锐化。
物理学模拟
在物理模拟中，插值用于 确定未知点的物理量，而 逼近则用于简化复杂的物 理过程。
02 插值方法
线性插值
总结词
线性插值是最简单的插值方法，通过连接两个已知点的直线来估计中间点的值。
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过已知的x和y坐标计算出中间点的值。 它适用于数据点分布较为均匀的情况，但在数据点分布不均或存在弯曲趋势时， 线性插值的误差较大。
随着科学技术的不断发展，插值与逼近的应用领域也 在不断扩大。未来，插值与逼近将会在人工智能、大 数据分析、机器学习等领域发挥更加重要的作用。
随着教育技术的发展，未来插值与逼近的教学将会更 加注重实践和应用。学生可以通过更多的实践项目和 案例分析，深入理解和掌握插值与逼近的概念和方法 ，提高解决实际问题的能力。
06 总结与展望
总结
• 插值与逼近是数学中重要的概念，广泛应用于实际问题的解决。通过学习插值 与逼近，学生可以更好地理解数学在解决实际问题中的应用，提高数学素养和 解决问题的能力。
• 本章主要介绍了线性插值、多项式插值、样条插值和最小二乘法等插值方法， 以及代数逼近、多项式逼近和样条逼近等逼近方法。这些方法在数值分析、计 算物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
最佳平方逼近
最佳平方逼近是指在平方误差意义下， 函数空间中最佳逼近原函数的逼近元 所在的函数类。
最佳平方逼近在数值分析、计算数学 等领域有广泛应用，如多项式插值、 样条插值等算法都是基于最佳平方逼 近的思想。
图像处理
在图像处理中，插值用于 放大缩小图像，而逼近则 用于图像的平滑和锐化。
物理学模拟
在物理模拟中，插值用于 确定未知点的物理量，而 逼近则用于简化复杂的物 理过程。
02 插值方法
线性插值
总结词
线性插值是最简单的插值方法，通过连接两个已知点的直线来估计中间点的值。
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过已知的x和y坐标计算出中间点的值。 它适用于数据点分布较为均匀的情况，但在数据点分布不均或存在弯曲趋势时， 线性插值的误差较大。
随着科学技术的不断发展，插值与逼近的应用领域也 在不断扩大。未来，插值与逼近将会在人工智能、大 数据分析、机器学习等领域发挥更加重要的作用。
随着教育技术的发展，未来插值与逼近的教学将会更 加注重实践和应用。学生可以通过更多的实践项目和 案例分析，深入理解和掌握插值与逼近的概念和方法 ，提高解决实际问题的能力。
06 总结与展望
总结
• 插值与逼近是数学中重要的概念，广泛应用于实际问题的解决。通过学习插值 与逼近，学生可以更好地理解数学在解决实际问题中的应用，提高数学素养和 解决问题的能力。
• 本章主要介绍了线性插值、多项式插值、样条插值和最小二乘法等插值方法， 以及代数逼近、多项式逼近和样条逼近等逼近方法。这些方法在数值分析、计 算物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
2020/4/2
15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
《函数的数值逼近》PPT课件
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
精选课件ppt
7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
精选课件ppt
10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
精选课件ppt
6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
精选课件ppt
7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
精选课件ppt
10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
精选课件ppt
6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
第六章函数逼近.ppt
xi 31,
xi2 179,
i 1
i 1
4678 7532
n
xi2
n
yi
i1 n
xi3
a0
a1
i 1
n
xi yi
i 1 n
a2
i1 n
xi4
xi2 yi
第六章 函数逼近
6.1、数据拟合的最小二乘法 6.2、正交多项式 6.3、函数的最佳平方逼近
1
问题 :已知数据表
( xi ,
yi )
(i
1,2,, n) 插值
求一近似函数( x),
使其尽可能"好"地 反映数据点的基本趋势.
2
已知数据表( xi , yi )(i 1,2,, n)，近似函数为( x) 残差： i yi (xi ) (i 1,2,, n) 残差向量： (1,2, n )
i 1
n
yi xi
i 1
n
am
i1
xi 2 m
n
i1
yi
xi
m
讲例 例 :已知数据表 xi 1 2 3 4 5 6 7 yi 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5 求它的最小二乘一次拟合多项式.
121
179 1171 8147a2 635
(4) 求解正则方程组得
a0 1.3185, a1 3.4318, a3 0.3864,
最佳一致和平方逼近ppt课件
若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“正”偏差点。 若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
03
三、径向基函数插值
0 1 概述
三、径向基函数插值
0 1 概述
Hale Waihona Puke 三、径向基函数插值0 1 概述
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
则Lagrange插值与Newton 插值失效，表现为： 当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见 图1-2).
图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton 插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值 曲线出现振荡.
二、多项式插值
解：使用最小二乘方法可以求解.上 面的超定方程组，从而得到
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
常用的范数如下：
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
二、多项式插值
0 2 Lagrange插值
图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数 据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).
二、多项式插值
0 3 Newton插值
当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非 常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择 如下形式的试探空间
最佳逼近PPT课件
φ(xi)=f(xi),
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
(4―70)
这种方法称为多项式拟合数据。
偏差的平方和
n
n
R ri2 [Pm ( xi ) yi ]2
i0
i0
(4―71)
为最小,这样的方法称为线性最小二乘法,R称为用
Pm(x)拟合f(x)的总偏差。 根据极值理论,要使得R达到极小,必有
反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最
好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。
有的还称为配曲线或找经验公式。
例如,已知数据
x0
1
2
3
4
5
y1
1.6
2.1
2.4
3.2
3.4
我们可以用近似函数
(
x)
a0
a1x
1
1 2
x
图 4.4
因为曲线拟合问题并不要求满足插
值原则
φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
k (x) C[a,b](k 0,1, 2 , n) 且线性无关.
记 Span{0 ,1,,n}
为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素
插值法与最小二乘法
1.3 n = 1时. 设yi = f(xi) i = 0，1.
作直线方程：y
=
y0
+
y1 x1
− −
y0 x0
(x
−
x0 )
[ ] = 1
x1 − x0
y0 ( x1 − x0 ) + y1( x − x0 ) − y0 ( x − x0 )
[ ] = 1
Rn ( x)
≤
M n+1 (n + 1)!
ωn+1( x) .
② 对于指定x，当节点数m大于插值点数时，应选取
靠近x的节点构造插值多项式，以使ωn+1( x) 中诸因子
较小，从而 |Rn|较小。
作业 p116 1，3，4
§4 牛顿插值
Lagrange插值优点：对称，便
改写L1，L2 ：
于记忆和编程； 缺点：每增加一个节点，须全
L2 (x) =
f ( x0 ) +
f
(
x1 ) x1
− −
f( x0
x2
)
(
x
−
x0
)
+
x2 − x0
x1 − x0
(x2 − x1 )
(x − x0 )(x − x1 )
记
f [x, y] = f ( y) − f (x) , f [x, y, z] = f [x, z]− f [x, y]
y− x
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
y1
+
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
函数逼近最佳平方逼近ppt课件
16
切比雪夫多项式的性质:
(1)递推关系
T T n 0 (1x (x )) 1,2xT n 1 T ((x x)) T x n ,1(x).
(2.1
T n (x )的最 x n 的 高 系 2 n 次 1 ,( 数 n 1 幂 )为 .
事实上，只需由Biblioteka co(ns1)2cocsonscons1 (),n1. 代入 xco,s即得递.推关系式
21
3. 埃尔米特多项式
区间 ( , )上带(权 x)ex2的正交多项式
Hn(x)(1)nex2ddxnn(ex2), 称为 埃 尔 米 特.多 项 式
(2.16
22
• 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论 本节f(讨 x)C 论 [a,b],求多pn *项 (x)H 式 n,使得误
||f(x)pn *(x)| |mi|n |f(x)pn(x)| | .
p１(x)=4/5x+4/15
3
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意 义下的逼近，逼近函数是不同的.
4
定义设 1 集S是 合数P域 上的线性空间 x1, ， ,xn元 S素 ,
如果存在不全1为 ,,零 n的 P,使 数得
1x1nxn0，
（ 1.1）
则称 x1,,xn线性相 . 否关则 ,若(1.1)只对 1n0成
(f,g)=∫ b(x)f(x)g(x)dx=0 a
则f称 (x)与 g(x)在 [a,b]上 带 权 ρ. ( x ) 正 交
设在 [a,b]给定函数 0(x族 ),1(x),,n(x),, 且满足 (i(x),k(x))A0k,,iikk,, (i,k0,1,2,) (2.2
则称函{数 n(族 x)}为[a,b]上带权ρ(x)的数正族.交函
最新5.1插值与逼近教学讲义ppt课件
插值函数 p ( x ) c 0 0 ( x ) c 1 1 ( x ) c n n ( x )
0 (x ),1 (x ) ,,n (x ) 插值基函数。
5.1 代数插值
一 、一元代数插值 引例：
求 115 的值。
已知： 10 1 0,012 1 1,1 14 1 42 可选择其中两点或三点构造一个一次或二次多项式 作为 x 的近似表达式。
是那么凉快，那么的温馨幸福，有母 亲的味 道！
蒲扇是中国传统工艺品，在
我国已有三千年多年的历史。取材于 棕榈树 ，制作 简单， 方便携 带，且 蒲扇的 表
面光滑，因而，古人常会在上面作画 。古有 棕扇、 葵扇、 蒲扇、 蕉扇诸 名，实 即
今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六 七十年 代，人 们最常 用的就 是这种 ，似圆 非
下，或站着，或随即坐在石头上，手 持那把 扇子， 边唠嗑 边乘凉 。孩子 们却在 周
围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听 到“强 子，别 跑了， 快来我 给你扇 扇”。 孩
子们才不听这一套，跑个没完，直到 累气喘 吁吁， 这才一 跑一踮 地围过 了，这 时
母亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇，
. . .p ( x ) . yP(x)
. . ---插值函数
x1
插值节点
x2 x3 o
．
x x i
x n1
----插值点
xn x
插值条件--- p (x i) y i,(i 0 ,1 ,2 , ,n )
插值的目的：
插值节点
设y=f（x）为定义在[a,b]上的实值函数，已知f（x）在该
区间中n+1个互不相同的点 x0,x1, ,xn 处的值是
chap3第1节 连续函数的最佳平方逼近.ppt
k 0,1, , n
再写成
2 2
(3.4)
意味着
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
(3.5)
f
( x)
pn* ( x)
2 2
min
pn
f
(x)
pn ( x)
2 2
(3.4)
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准， 在此度量标准之下，就可以找出 f(x) 在不同函数类中的 最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。
二、 函数的最佳平方逼近
解释此子 空间结构
１函数的最佳平方逼近概念
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
span{0( x), 1( x), , n( x)}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在
pn ( x) c00 c11 cnn
使得对于一切
pn ( x) c00 c11 cnn
都有：
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
２最佳平方逼近函数构造
不等式 f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
p(x), 称作最佳逼近问题。
本节我们主要考虑连续函数空 间X=C[a,b]上的最佳逼近问题，这 时的子集合Φ可以取为由具有某种 共同特征的函数组成，例如三角 函数、指数函数、有理分式函数、 多项式函数等。
X
f (x)
p( x)
再写成
2 2
(3.4)
意味着
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
(3.5)
f
( x)
pn* ( x)
2 2
min
pn
f
(x)
pn ( x)
2 2
(3.4)
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准， 在此度量标准之下，就可以找出 f(x) 在不同函数类中的 最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。
二、 函数的最佳平方逼近
解释此子 空间结构
１函数的最佳平方逼近概念
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
span{0( x), 1( x), , n( x)}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在
pn ( x) c00 c11 cnn
使得对于一切
pn ( x) c00 c11 cnn
都有：
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
２最佳平方逼近函数构造
不等式 f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
p(x), 称作最佳逼近问题。
本节我们主要考虑连续函数空 间X=C[a,b]上的最佳逼近问题，这 时的子集合Φ可以取为由具有某种 共同特征的函数组成，例如三角 函数、指数函数、有理分式函数、 多项式函数等。
X
f (x)
p( x)
函数逼近最佳平方逼近ppt课件
9
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
第二章最佳平方逼近.ppt
（一） 正交函数的概念
定义 给定函数 (x), x [a,b] 若 (x) 满足:
(1) (x) 0, x (a,b);
b
(2) a (x)dx 0
(3)
积分
b
a
(
x)
x
n
dx
存在,n=0,1,….
则称 ( x)为[a,b]上的权函数
b
权函数 (x) 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 a (x)dx
当k n 1 时
Cn1
gn
,
xg
n1
/
g
n1
,
g
n1
而
xgn1
x
=g
* n
x
+Cn1gn*1
x
C0g0*(x)
故
(xgn-1,gn )=(gn ,gn )
于是有
Cn1=(gn*,gn* ) / (gn*1,gn*1)= n
当 k n 时，则有
Cn =(gn*,xgn*) / (gn*,gn*)=n
把这些结果代入（1.11）式，得到
xgn*
(
x)=
n
g* n1
(x)+n
gn*
(
x)
g* n1
(
x)
即
g* n1
(
x)=(x-n
)
gn*
(
x)-
n
gn*1(
x)
证毕。
推论 对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk (x) ,有递推
关系式
其中
g* n1
(
x)=
An1 An
(x
ˆn )gn (x)
对于离散情形若可引进阶矩阵ijik则可将式写成310从而由下列方程组所决定可以证明正规方程组的解存在而且唯一且使为最小311事实上由于线性无关从而对于任意非零向量说明此二次型正定故方程组的系数行列式大于零因此方程组的解存在而且唯一
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
pn(x) = a0 + a1x +…+ anxn
(5.1-2)
pn(xi) = a0 + a1xi +…+ anxin = fi (i = 0，1，2，…，n)
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
13
(3) n = 1时称为线性插值：
l0(x)
x x1 x0 x1
，
l1(x)
x x1
x0 x0
p1(x) = l0(x)f0 + l1(x)f1
n = 2时称为抛物插值：
l0(x)((xx0 xx1 1))((xx0xx22)) l1(x)((xx1 xx0 0))((xx1xx22)) l2(x)((xx2 xx0 2))((xx2xx1)1)
(2)
以
||fy|2 |
b
a|
f(x)y(x)|2dx为度量的逼近称为平方
逼近
4
3. 插值与拟合
设已知被逼近函数f (x)在离散点xi [a，b]上的值 f (xi) = fi，
(1) 要求y(x)满足 m 0ina |fx (xi)y(xi)|0 （甚至 m 0in|af'x (xi)y'(xi)|0）的问题称为函数插值。
数值计算方法
第5章 函数的插值与 最佳平方逼近
1
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
前言
点击此处输入 相关文本内容
标题添加
点击此处输Байду номын сангаас相 关文本内容
点击此处输入 相关文本内容
实践中常有这样的问题： (1) 由实验得到某一函数f (x)在一系列点x0，x1，…，xn处的 值f0，f1，…，fn，其函数的解析表达式是未知的 (2) 或者f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用 需要构造一个简单函数y(x)近似地代替f (x) —— 这就是函数 逼近问题
b i(x i x 0).x i. .x i( 1 ) 1 x ( i x i 1 ).x i. .x n ()
即
li (x)
n j0
x xj xi x j
ji
(5.1-5)
12
注：(1) 易知{l0，...，ln}为Pn[x]的一组基，称为
以x0，...，...，xn为节点的Lagrange插值基函数。
n
(2) 要求y(x)满足 | f(xi)y(xi)|2 为最小的问题称为数据
拟合（曲线拟合） i0
5
4. 简单函数类
设φ0，φ1，…，φn线性无关，令 Φ = span{φ0，φ1，…，φn}为简单函数类，
其中φ0，φ1，…，φn称为Φ的基函数。 逼近问题即用y(x) = a0φ0(x) + a1φ1(x) +…+ anφn(x)来做逼近， 问题归结为求其中的待定系数a0，a1，…，an。
3
5.0 基本概念
1. 逼近函数与被逼近函数
函数逼近问题中的函数f (x)称为被逼近函数，y(x)称为逼 近函数，其中所谓简单函数指可用四则运算进行计算的函数 （如：有理、多项式、分段多项式）
2. 逼近的度量
(1) 以 ||fy| |x m [a ,b ]|a f(x x )y(x)| 为度量的逼近称为一致 逼近
因为
f0 1 0
0
f1
f0
0
f1
1
...
fn
0
fn
0
0
1
所以先考虑特殊的插值问题。求次数不大于n的多项式li(x)满
足
li(xj)ij 10
ji ji
(5.1-4)
11
由定理5.1-1知，li(x)唯一存在，且有n个零点：x0，...，xi-1， xi+1，...，xn 所以li(x) = bi(x – x0)... (x – xi-1)(x – xi+1)... (x – xn) 又由li(xi) = 1，得
6
5.1 多项式插值
即：求多项式pn(x)满足插值条件： pn(xi) = f(xi) = fi i = 0，1，2，…，n (5.1-1)
其中点xi [a，b] i = 0，1，2，…，n，称为插值节点，区 间[a，b]称为插值区间，pn(x)称为插值多项式
7
定理5.1-1 存在唯一pn(x) Pn[x]满足插值条件(5.1-1) pn(xi) = f(xi) = fi i = 0，1，2，…，n
9
例1 给定数据
xi
-1
1
2
5
fi
-7
7
-4
35
求次数不小于3的插值多项式p3(x)
解：设p3(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3
依题意有
a0 a1(1)a2 (1)2 a3(1)3 7
a0 a0
a1 a1
(1)a2 (1)2 a3(1)3 7 (2)a2 (2)2 a3(2)3 4
p2(x) = l0(x)f0 + l1(x)f1 + l2(x)f2
14
例2 已知离散数据如下：
xi
-2
-1
0
1
2
fi
0.25
0.5
1
2
4
(1) 求以x2=0，x3=1为节点的线性插值多项式，并预测x=0.3 时f 的近似值。
(2) 求以x1=-1，x2=0，x3=1为节点的二次插值多项式，并预 测x=0.3时f 的近似值。