函数的插值与最佳平方逼近PPT课件

(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
pn(x) = a0 + a1x +…+ anxn
(5.1-2)
pn(xi) = a0 + a1xi +…+ anxin = fi (i = 0，1，2，…，n)
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
13
(3) n = 1时称为线性插值：
l0(x)
x x1 x0 x1
，
l1(x)
x x1
x0 x0
p1(x) = l0(x)f0 + l1(x)f1
n = 2时称为抛物插值：
l0(x)((xx0 xx1 1))((xx0xx22)) l1(x)((xx1 xx0 0))((xx1xx22)) l2(x)((xx2 xx0 2))((xx2xx1)1)
(2)
以
||fy|2 |
b
a|
f(x)y(x)|2dx为度量的逼近称为平方
逼近
4
3. 插值与拟合
设已知被逼近函数f (x)在离散点xi [a，b]上的值 f (xi) = fi，
(1) 要求y(x)满足 m 0ina |fx (xi)y(xi)|0 （甚至 m 0in|af'x (xi)y'(xi)|0）的问题称为函数插值。
数值计算方法
第5章 函数的插值与 最佳平方逼近
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实践中常有这样的问题： (1) 由实验得到某一函数f (x)在一系列点x0，x1，…，xn处的 值f0，f1，…，fn，其函数的解析表达式是未知的 (2) 或者f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用 需要构造一个简单函数y(x)近似地代替f (x) —— 这就是函数 逼近问题
b i(x i x 0).x i. .x i( 1 ) 1 x ( i x i 1 ).x i. .x n ()
即
li (x)
n j0
x xj xi x j
ji
(5.1-5)
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注：(1) 易知{l0，...，ln}为Pn[x]的一组基，称为
以x0，...，...，xn为节点的Lagrange插值基函数。
n
(2) 要求y(x)满足 | f(xi)y(xi)|2 为最小的问题称为数据
拟合（曲线拟合） i0
5
4. 简单函数类
设φ0，φ1，…，φn线性无关，令 Φ = span{φ0，φ1，…，φn}为简单函数类，
其中φ0，φ1，…，φn称为Φ的基函数。 逼近问题即用y(x) = a0φ0(x) + a1φ1(x) +…+ anφn(x)来做逼近， 问题归结为求其中的待定系数a0，a1，…，an。
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5.0 基本概念
1. 逼近函数与被逼近函数
函数逼近问题中的函数f (x)称为被逼近函数，y(x)称为逼 近函数，其中所谓简单函数指可用四则运算进行计算的函数 （如：有理、多项式、分段多项式）
2. 逼近的度量
(1) 以 ||fy| |x m [a ,b ]|a f(x x )y(x)| 为度量的逼近称为一致 逼近
因为
f0 1 0
0
f1
f0
0
f1
1
...
fn
0
fn
0
0
1
所以先考虑特殊的插值问题。求次数不大于n的多项式li(x)满
足
li(xj)ij 10
ji ji
(5.1-4)
11
由定理5.1-1知，li(x)唯一存在，且有n个零点：x0，...，xi-1， xi+1，...，xn 所以li(x) = bi(x – x0)... (x – xi-1)(x – xi+1)... (x – xn) 又由li(xi) = 1，得
6
5.1 多项式插值
即：求多项式pn(x)满足插值条件： pn(xi) = f(xi) = fi i = 0，1，2，…，n (5.1-1)
其中点xi [a，b] i = 0，1，2，…，n，称为插值节点，区 间[a，b]称为插值区间，pn(x)称为插值多项式
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定理5.1-1 存在唯一pn(x) Pn[x]满足插值条件(5.1-1) pn(xi) = f(xi) = fi i = 0，1，2，…，n
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例1 给定数据
xi
-1
1
2
5
fi
-7
7
-4
35
求次数不小于3的插值多项式p3(x)
解：设p3(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3
依题意有
a0 a1(1)a2 (1)2 a3(1)3 7
a0 a0
a1 a1
(1)a2 (1)2 a3(1)3 7 (2)a2 (2)2 a3(2)3 4
p2(x) = l0(x)f0 + l1(x)f1 + l2(x)f2
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例2 已知离散数据如下：
xi
-2
-1
0
1
2
fi
0.25
0.5
1
2
4
(1) 求以x2=0，x3=1为节点的线性插值多项式，并预测x=0.3 时f 的近似值。
(2) 求以x1=-1，x2=0，x3=1为节点的二次插值多项式，并预 测x=0.3时f 的近似值。