正余弦定理在日常生活中的应用

A
•
•
•
T：何时秋千踏板离地面最高？如何表示出秋千踏板与地面的最大高
度？
C
B
•
S：就是当秋千达到最大摆角时其踏板离地面的高度。
•
T：这个距离方便直接求吗？
• •
S：不方便。因为它不在某一个直角三角形中，需要构造直角三角形。 T：那该如何转化呢？
D
E
•
S：连接……
•
S：（另一学生脱口而出）不必这么麻烦。只需……得RtΔABC（如
• 三角函数与我们的生活息息相关，因为人体是一个包含各种周期运动的生 物体，医学上把周期为24小时的生理运动称中周期运动，如血压、血糖浓度 的变化。而且声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生都能引 起听觉的音。每个音都是由纯音合成的。纯音数学模型是函数y=Asinwt。由 此可见三角函数在生命中起着重要的作用。
当小丽用力将4 m长的跷跷板的一端压下并碰
到地面，此时另一端离地面1.5m．你能求出
此时跷跷板与地面的夹角吗？
•
பைடு நூலகம்
•
T：“另一端离地面1.5m”如何理解？
•
S：就是过其端点向地面作垂线，垂线
段的长度就是1.5m。
•
S：（另一学生迫不及待地说）老师我
知道了，我已经看出有直角三角形了
•
T：是吗？说说看！
•
勒密的遗著《天文集》中得到的．托勒密第一个采用了巴比伦人的60进位制，把圆周分为360等份，
但他并没给出“度”、“分”、“秒”的名词，而是用“第一小分”、“第二小分”等字样进行描 述．在1570年曲卡拉木起用了“°”的符号来表示“度”，以及“分”、“秒”等名称．书中又给 出了“托勒密定理”来推算弦、弧及圆心角的关系及公式．
研究内容
• 学而不思则罔，只有通过自己的独立思考，并掌握科学的思维方法才能真 正学会教学要善于利用数学内容之间的内在联系，特别是科学的思维方法， 学习类比、推广、特殊化、化归的数学思考的常用逻辑方法，不断提高数学 思维能力。
• 对于三角函数，自然而然是要画出它的图像，观察图像的形状，看看其特 殊点，并借助图像研究它的性质，如“值域”、“单调性”、“奇偶性”、 “最大值”、“最小值”。我们会明白三角函数具有“周而复始”的规律。
专列了八个测量问题，详细介绍了利用直角三角形相似原理，进行测量的方法．以及后来的《海岛
算经》等都是进行三角测量的史料记载．可见我国对三角学研究开始的很早．
•
三角学的六个基本函数中，最早开始独立研究的是正弦函数．正弦概念的形成是从造弦表开始
的．公元前二世纪古希腊天文学家希帕克，为了天文观察的需要，着手造表工作．这些成果是从托
• 因而我们小组选三角函数为课题。
三角函数是什么
• 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函 数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量 之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义 的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形 中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限 和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函 数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 三 角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函 数也是常用的工具。 它有六种基本函数： 函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
三角函数的由来
•
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的，原意是三角形的测量，也就是解三角
形．后来范围逐渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．
•
三角测量在我国出现的很早．据《史记·夏本记》记载，早在公元前二千年，大禹就利用三角
形的边角关系，来进行对山川地势的测量．《周髀算经》讲得更详细．后来《九章算术》勾股章，
•
第一张正弦表由印度的数学家阿耶波多（约476－550年）造出来的．虽然他直接接触了正弦，
但他并没有给出名称．他称连接圆弧两端的直线为“弓弦”，后来印度著作被译成阿拉伯文．十二
世纪，当阿拉伯文被译成拉丁文时，这个字被译成sinus，这就是“正弦”这一术语的来历．1631
年邓玉函与汤若望等人编《大测》一书，将sinus译成“正半弦”，简称为正弦，这是我国“正弦”
目录
• · 开题报告 • · 研究内容 • · 与三角函数相关的一些资料 • · 研究方法和手段 • · 与活动相关的 • · 相关举例 • · 课题组成员及指导老师
开题报告
• 说到三角函数就必须提及三角形的来历和起源、发展与天文学家密不可分，
他是天文观察结果推算的一种方法，它的出现不全是因为航海，历法推算以 及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙奥秘的巨大吸引力，这 种“量天的学问”确实很诱人。
• 答：其实很简单，函数都是有规律的，三角函数就是周期函数，只要将图像画出来那么解决问题就 很简单了。
• 问：那么我们就可以进行应用的调查了嘛？
• 答：是的，其实三角函数的应用很广泛。
• 问：在我们的生活中哪些方面应用到三角函数呢？
• 答：在电学物理方面应用的比较广泛，比如电学方面，要利用三角函数解决它在枢纽带的静电量， 进行一定防治措施，否则会让人触电死亡。
图4）。
•
T：你还能有其它解决问题的办法吗？如果能，请构造成新的直角三
角形；如果不能，请你利用图4写出计算过程。
•
……
• 接下来，除如图4的方法外，学生还给出了多种转化的方法，下面实录3种：
60 º
图5
60
60
º
º
图6
图7
研究方法和手段
•
今天我们数学组带着问题走访了数学老师以及物理老师。
• 问：我们要研究三角函数，首先要学好它，可我们如何才能更好的掌握它呢?
• 在我们的生活中，三角函数一般被用来：测量山高、测量树高、确 定航海行程问题、确定光照及房屋建造合理性、调整电网，比如两个 电网并接的时候、用于山的坡、TAN 平面所走的距离、上升的高度 。 同理还可以测量楼的高、塔的高、测量树高、确定航海行程问题、确 定光照及房屋建造合理性。
•
公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，
• 问：那么三角函数怎样与各函数以及应用进行联系？
• 答：其实可以绘成一个图，如下:
指导老师：徐桂锦 组长：刘庄锋 组员：张培宇 郑陈斌 王子杰 黄志鑫
洛桑坦增 朗色坚赞 朱子贤 特别鸣谢：漳州三中
影”，水平插在墙上的杆的影长叫做“反阴影”，“直阴影”后来变成余切，“反阴影”叫做正
切．
•
大约半个世纪后，另一位中亚天文学家、数学家阿布尔·威发计算了每隔10°的正弦和正切表，
并首次引进了正割与余割。
三角函数的应用
• 在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立 的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我 们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学 与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题， 把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面 目和它的真正意义，失却了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。 在学生学完三角函数这部分内容以后，寻找三角函数在生活中的实例， 通过这些资料，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
S：如果我们把“碰地”的一端端点看
作点A的话，“跷跷板”看作线段AB，那么过
B点向地面作垂线，垂足为点C，这样就出现
了△ABC。
•
T：接下来应该做什么呢？
•
S：只要解这个直角三角形，求出∠A
的大小就行了。
•
如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不
计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂 线的夹角）约为60°，那么秋千踏板与地面的最大距离为多少？
这一术语的由来．
•
早期人们把与已知角相加成90°角的正弦，叫做的附加正弦，它的拉丁文简写为sinusco或
cosinus，后来便缩写成cos．
•
公元八世纪阿拉伯的天文学家和数学家阿尔·巴坦尼，为了测量太阳的仰角，分别在地上和墙
上各置一直立与水平的杆子，求阴影长b，以测定太阳的仰角．阴影长b的拉丁文译文名叫“直阴
• 在欧洲，最早提出三角学的是德国数学家雷格蒙塔琼斯（1436-1476）并 完成了《论各种三角形》，可是他很有局限性，仅采用了正弦、余弦函数， 后来哥白尼的学生雷提库斯完善了三角函数，并采用了六个三角函数，大大 推动了三角函数学的发展。
• 现在利用三角函数可以计算出许多抽象的问题，三角函数虽然在生活中不 常常用到，可是科学家利用函数大大提高了人们的生活水平，生活中许多东 西都用到了三角函数的原理，并且学习三角函数也能使我们学会一些方法， 所以我们很有必要研究这门悠久而极具吸引力的文学。