角平分线定理的巧妙应用
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
三角形的角平分线与相似三角形综合
三角形的角平分线与相似三角形综合三角形是几何学中重要的概念，它具有许多特性和性质。
本文将探讨三角形中的角平分线和相似三角形之间的关系以及其综合应用。
一、角平分线的概念和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线有如下性质：1. 角平分线将角分为两个相等的角：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线与对边的关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则BD/DC = AB/AC。
3. 角平分线的唯一性：在一个三角形中，每个角都有唯一的角平分线。
二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在相似三角形中，角度相等且对应边的比例相等。
相似三角形的性质如下：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们相似。
三、角平分线与相似三角形的关系在三角形中，角平分线与相似三角形之间存在一定的关系。
具体如下：1. 角平分线分割相似三角形：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D，令AD与角平分线交BC的延长线于点E。
则有∆ABD ∼ ∆ACE。
2. 相似三角形的角平分线：设∆ABD ∼ ∆ACE，∠BAD的角平分线交BD于点F，∠CAE的角平分线交CE于点G。
则有∆ABF ∼∆ACG。
通过以上关系，我们可以在解决三角形相关问题时应用角平分线和相似三角形的知识。
四、综合应用1. 证明角平分线的长度关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D。
通过角平分线与对边的关系可得BD/DC =AB/AC。
进一步利用相似三角形的性质，我们可以得到如下结论：AD/DC = AB/BC。
2. 判断角平分线存在问题：当一个三角形的三个内角都被其角平分线平分时，可以推断该三角形是等边三角形。
角平分线定理及其应用
从这个结果出发,你还能联想到什么?
做一做
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. E 作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
C
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. O
3.作射线OC.
课本：P32 1、2
堂堂清：
课本：P34 2
鲁教版课标九上
6.5 角平分线
回顾与思考 你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你能证明这一结论吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE. A D 分析:要证明PD=PE,只要证明它们 所在的△OPD≌△OPE. 1 P O 2 C 而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS). E B 故结论可证.
D
B
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
课内练习
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外 角平分线,它们有什么关系?
C
E D
B
A
F
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
随堂练习：
C
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
Hale Waihona Puke 动手练一练逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.
角平分线的性质的应用
第8 周第3课时总第课时时间备课人：审核：准核：班级：学生姓名：课题角平分线的性质的应用
1.深入理解角平分线的性质和判定定理；
教学目标
2.提高角平分线的性质和判定定理的应用能力
教学重点角平分线的性质和判定定理的理解
教学难点角平分线的性质和判定定理的应用能力
一、知识回顾
1.角平分线的性质：
∵OC是∠AOB的平分线，且PD⊥OA，
∴
2.角平分线的判定：
∵且PD⊥OA，
∴
二，题型讲解
①角平分线的性质的应用：
例题如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，
垂足为E、F，求证：EB=FC．
分析：①若想证明EB=FC，则首先要证明；
证明条件是否满足？
②根据角平分线的性质，可知。
第8 周第3课时总第课时时间备课人：审核：准核：班级：学生姓名：
变式：
如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D．AE，BD交于点C，
求证：AC=BC
②角平分线判定定理的应用：
例题如图，在△ABC中，D是BC的中点，垂足分别
为E，F，BE=CF。
求证：AD是△ABC的角平分线
分析：根据角平分线的判定定理，可通过证明，从而证明AD是△
ABC的角平分线。
变式：
已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判
定）．
第8 周第3课时总第课时时间备课人：审核：准核：班级：学生姓名：
五，课堂作业：
P51 习题12.3 第5，7题。
角平分线的拓展应用
角平分线的拓展应用我们学习角平分线的概念及角平分线的性质和判定，在解答相关题目时，经常用到上述知识．不过有时遇到一些相关的题型时，只用上面的知识有时并不能解决问题，还需要借助一些其他的相关知识,比如有时需借助三角形的内角和定理，三角形的外角定理，中垂线的性质，垂直的性质等等．1.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC ＝3，求BE．分析：首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE ＝CF，继而求得答案．解：连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝6，AC＝3，∴BE＝1.5．2.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝700，∠D＝100，求∠P的度数．分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P＝（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．解：如图，延长PC交BD于E，∵BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝700，∠D＝100，∴∠P＝（700﹣100）＝300．3.已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC交于点D，AE平分∠BAC，试说明：∠EAD＝（∠C﹣∠B）．分析：由图不难发现∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，再根据三角形的内角和定理及其推论结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC．解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC∵∠BAC＝1800﹣（∠B+∠C），∴∠EAC＝[1800﹣（∠B+∠C）]，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝900，∴∠DAC＝1800﹣∠ADC﹣∠C＝900﹣∠C，∵∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，∴∠EAD＝[1800﹣（∠B+∠C）]﹣（900﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．4.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ．（1）延长BA 至点E ，求证：PA 平分∠CAE ；（2）若∠BPC ＝40°，求∠CAP 的度数．分析：（1）如图，作辅助线；证明PE ＝PF ，即可解决问题．（2）如图，设∠ABC ＝2α，∠ACD ＝2β；证明β＝α+∠BPC ，而β＝，得到∠BAC ＝2∠BPC ，即可解决问题．解：（1）如图，过点P 作PD ⊥BD 、PE ⊥BE 、PF ⊥AC ；∵∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 平分线BP 交于点P ，∴PD ＝PE ，PD ＝PF ，∴PE ＝PF ，∴PA 平分∠CAE ．（2）设∠ABC ＝2α，∠ACD ＝2β；∵∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 平分线BP 交于点P ，∴β＝α+∠BPC ，而β＝，∴∠BAC ＝2∠BPC ＝800，∴∠CAP ＝＝500．5.在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于点P ．（1）求证：P 在∠A 的平分线上；（2）若AB+AC ﹣BC ＝l ，△ABC 的面积为S ，点P 到BC 的距离为d ，试探索s 、l 、d 之间的关系．分析：（1）如图，作辅助线，证明PM ＝PQ ，即可解决问题；（2）首先把S 表示为边长和d 的代数式的形式，化简、整理即可解决问题．解：（1）如图，过点P 作PM ⊥BD 、PN ⊥BC 、PQ ⊥CE ，垂足分别为M 、N 、Q ；∵∠ABC 、∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于点P ．∴PM ＝PN ，PQ ＝PN ，∴PM ＝PQ ，∴P 在∠A 的平分线上．（2）由题意得：＝（AB+AC ﹣BC ），而AB+AC ﹣BC ＝l ，∴S= d.．6.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2， EG ⊥AD 于M ，交BC 的延长线于G ，分别交AB 、AC 于E 、F ，求证： ∠G=21（∠ACB-∠ABC ） 证明：过C 作CN ∥EG 交AB 于N ，∵∠1=∠2，EG ⊥AD ，∴AN=AC ，∴∠ANC=∠ACN ，∵∠ANC=∠BCN+∠ABC, ∠BCN=∠G,∴∠ANC=∠G+∠ABC,∵∠ANC=∠ACB-∠NCB=∠ACB-∠G,∴∠ACB-∠G=∠G+∠ABC,∴∠G=21（∠ACB-∠ABC ）1.已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝15，AC＝9，求CF的长．2.如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，求∠P的度数3.在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝3、PE＝2，S△ABC＝5，求△ABC的周长．4.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于E，AD⊥BC于D，若∠B＝400，∠C＝800，求∠EAD的度数．5.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．6.如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝250，求∠CAP的度数．1.（1）证明：作DK⊥BC于K．∵DK垂直平分线段BC，∴BD＝DC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠DAE＝∠DAF，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，（2）∵AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝2AE＝15+9＝24，∴AE＝AF＝12，∴CF＝AF﹣AC＝12﹣9＝3．2.解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．3.解：如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，连接AP，∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，∴PF＝PG＝PE＝2，∵S△BPC＝3，∴BC•2＝3，解得BC＝3，∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP，＝×（AB+AC）×2﹣3＝5，∴AB+AC＝8，∴△ABC的周长＝11．4.解：∵∠B＝400，∠C＝800，∴∠BAC＝1800﹣∠B﹣∠C＝1800﹣400﹣800＝600，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠BAC＝×600＝300，∵∠B＝400，AD⊥BC，∴∠BAD＝900﹣∠B＝900﹣400＝500，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝500﹣300＝200．5.（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，∴∠B＝80°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝30°，∵AD ⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．6.解：延长BA，作PN⊥BD于点N，PF⊥BA于点F，PM⊥AC于点M，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝25°，∴∠ABP＝∠PBC ＝（x﹣25）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣25°）﹣（x°﹣25°）＝50°，∴∠CAF＝130°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝650．。
角平分线的应用
B
D●
O
C● A
３.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,
AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
A
B
D
C
延伸训练
１、如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平线,DE⊥AB, 垂足为E.
A
E C D B
(1)如果CD=4cm, 求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
∴ BE+PF>PB.
图1-30
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:
A
O
B
1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB
于点E、D 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为 半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C
２: 已知：如图所示：PA，PC分别是 ⊿ABC外角∠MAC与∠NCA平分线，它 们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F 求证： 点P在∠MBN的平分线上
D A P E M
B
C
F
N
３、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
４、已知：△MON中，MP平分 ∠OMN，OP平分∠MON，且 PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为 点D、E 求证：点P在∠MNO的平分线上
证明 作CM⊥AB于点M. M
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD = AM. . 同理， BE = BM.
角平分线定理的巧妙应用
Go thedistance 浅谈角平分线定理的巧妙应用吉林省磐石市第一中学：周喜瑞 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 即在△ABC 中，BD 平分∠ABC，则AD ：DC=AB ：BC （注：定理的逆命题也成立） 这是初中和高中都没有直接给出的重要定理，而它的应用却是那么的广泛，令很多老师学生望而生畏，下面就其三个方面的应用作以详细的介绍，仅供参考：应用1：半角与倍角这是在人教A 版必修Ⅱ练习册中出现的习题，而此时还没有学习三角函数的半角与倍角公式，因此很多教师把这样的习题都删了。
笔者认为放在这里自有它的作用，通过平面几何知识可以巧妙地解决此类问题。
例题1、已知两点()10,2--A ，()4,6-B ，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。
解析：43=AB k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DBCD AB AC =，又由勾股定理得5=AB x x -=∴354，解得34=x ，因此31=AC DC ，31=l k 例题2、一条直线l 经过点()1,2P ，并且满足倾斜角是直线1l ：034=+-y x 的倾斜角的两倍；求直线l 方程。
解析：411=l k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DBCD AB AC =，又由勾股定理得 ()()222144++=x x ，解得1517=x 或1-=x （舍）， 因此158415171=+=AC BC ，158=l k ，所以直线l 的方程为01158=--y x 应用2：求轨迹方程我们知道动点P 与两个定点A ，B 的距离的比为定值λ，若1=λ，则动点P 的轨迹是线段AB 的垂直平分线。
若1≠λ，则动点P 的轨迹是圆。
我们可以通过建立适当的坐标系，用坐标法求出动点P 的轨迹方程，进而说明轨迹形状。
下面用另一种方法，从几何角度求出动点P 的轨迹。
怎样应用角平分线的性质定理和判定定理
怎样应用角平分线的性质定理和判定定理
【能力挑战】
能力挑战1、如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BC 于D ，若AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，DE=DF ． 求证：（1）AD 平分BAC ∠；（2）AE=AF ；（3）AB=AC ．
能力挑战2、如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 、F 分别是AB 、AC （或它们的延长线）上的点，且︒=∠+∠180BAC EDF ．求证：DE=DF ．
能力挑战3、已知：如图所示，AB=CD ，CDE ABE S S ∆∆=．求证：DOE BOE ∠=∠．
A
D
B
C
F E A
E
F
C
B
A
E
C
D
B O
1、如图所示，在ABC ∆中，以AB 、AC 为边向外作等边ABF ∆和等边ACE ∆，连结BE 、CF 交于点O ，
求证：AO 平分EOF ∠．
2、已知：如图所示，BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，BE 、CE 相交于E ．求证：E 在FAC ∠的平分线上．
3、已知如图所示，ABC ∆的C B ∠∠,的外角平分线交于点D ，求证：AD 是BAC ∠的平分线．
4、如图所示，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，AB=AC ，求证：DE=DF ．
B
A
D
E
F A
C
D B
A
B
C
D
A B
C
E
F。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
角平分线定理在高考中的运用
ｒ ａ Ｖ｜
Ａ ９
ｒ
＿ ｎＵ
－
－
２ ４
９
，
足分 据 平 丄 ４Ｃ 垂 ，
别 为 根 ■
Ｅ ｉ；
、
？
角
解
如图
所示 ，
因
为
向
量ｊ
分线性质 即 角平分线 上 的点 到角 两边的 距离 相等可 得 观 Ｉ ＡＳＡｔ ，
＝ ＿ 所以
雨 而 、
、
分 别 表不 風 瓦方 向
ｒ
，
＾ ＤＥ ／２ （ １
也 没有 想象 中 那 么 可 怕 ， 是 小组 的 鼓 励 和坚 持 让 他 变 得学生更 强 ， 让 中 等 学生 充分 展示 ， 让能力 弱 的 可 以 得 到 学
还 脱 口 而 出 “ 不 讲 不讲 ” 可 组员 不依 还 是推举 他 上 台
，
，
，
短 的 时 间 ， 记忆住概念 ， 定理 ， 有利 于后面職的 展 开．
他 迫于 无奈上 的 台 ． 不 过 ， 讲 完 之 后 ， 他 发 现 讲一 道 难 题实 践证明 ： 小 组合作 学 习 应用得 当 ， 可 以 让能 力 强 的
？ 的 发 展？ 而 且 ， 有 时 学 生 对 来 自 同 学 的 鼓 励 、 帮 助 比 来 变成 优 秀． 而 能力 较弱 的 学 生 上 台 ， 如 果 遇 到 障 碍 ， 师 生
自
于教师的 更有
效果 ．
所
有
，
教
师要创设
民
主平
等、
宽 松 可
以 共同
帮助 带他摆脱
困境 ，
让他 自 信 而来 ，
试 Ｍ＾ｌ ｉ ＝
该
ＵＣ
例谈“面积法”在“三角形角平分线模型”中的巧用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀例谈面积法三角形角平分线模型中的巧用例谈 面积法 在 三角形角平分线模型 中的巧用Һ徐乐乐㊀王玮玮㊀（深圳市龙华区外国语学校，广东㊀深圳㊀５１８０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三角形角平分线模型 中蕴含 同高 等高的特点，巧用三角形的面积公式，可以直观㊁快速地建立起边角联系，突破难点．建构三角形角平分线模型，呈现三角形面积法在典型题中的一次㊁二次应用，结合角平分线的性质定理及逆定理可以破解难题；归纳模型的性质结论和应用题型，引导学生在解题中恰当运用三角形面积法，从而发展学生的数学思维和几何模型思想．ʌ关键词ɔ三角形面积法；角平分线的性质；几何模型一般而言，在平面几何题的求解过程中，运用三角形面积公式和由面积公式推出的相关结论来计算或者证明的方法，称之为面积法．但是，三角形面积法在日常教学中，往往容易被学生和教师忽视．在初中数学几何难题中，常会包含三角形的角平分线的有关问题，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐㊁计算量大，有时辅助线的添加还不明了．本文通过分析 三角形角平分线模型 问题的特性，在解题时巧妙应用三角形面积法，最终收到良好的教学效果．一㊁三角形的角平分线模型在三角形的角平分线模型中，由角平分线的性质可知：角平分线上任意一点到角两边的距离相等．所以，学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两个三角形的高相等，结合三角形面积法，就可以将同高（或等高）的两个三角形的面积比转化为底之比．图１㊀图２如图１，ＢＤ是әＡＢＣ的角平分线，则由定义可知，øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝１２øＡＢＣ．如图２，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线ＤＥ，ＤＦ，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．我们不妨把图２称为 三角形的角平分线模型 ，它完整地呈现了三角形的性质的推导过程；从 面积法 的角度看，它直观地呈现了被角平分线分得的两个三角形的底和高，并且是较为特别的 等高 三角形．当我们建立了这样的双视角几何模型，就能够在常规的 角相等 的基础上，发展出 边成比例 的结论．从而为含有角平分线的几何难题提供了新的解题思路 构造等（同）高，巧用面积法．二㊁角平分线模型的应用１．面积法在模型中的一次应用例１㊀如图３，әＡＢＣ中，ＡＤʅＢＣ交ＢＣ于Ｄ，ＡＥ平分øＢＡＣ交ＢＣ于Ｅ，Ｆ为ＢＣ的延长线上一点，ＦＧʅＡＥ交ＡＤ的延长线于Ｇ，ＡＣ的延长线交ＦＧ于Ｈ，连接ＢＧ，下列结论：①ＳәＡＥＢʒＳәＡＥＣ＝ＡＢʒＡＣ；②øＤＡＥ＝øＦ；③øＤＡＥ＝１２（øＡＢＤ－øＡＣＥ）；④øＡＧＨ＝øＢＡＥ＋øＡＣＢ．其中正确的结论是．图３㊀图４分析㊀这个题目是八年级数学期中考试的压轴题，这是一个几何图形综合题，难度很大，学生的正确率只有１０％．②③④都是关于角的结论，通过角的转化可以推导出三个结论都是正确的，此处省略．①就是典型的三角形的角平分线模型的直接应用．如图４，通过抽离出әＡＢＣ，并作出边ＡＢ，ＡＣ上的高，由于角平分线的性质，高相等，因此，面积比转化为底之比，①正确．例２㊀如图５，在直线ＡＢＣ的同一侧作两个等边三角形әＡＢＤ和әＢＣＥ，连接ＡＥ与ＣＤ，求证：（１）ＡＥ＝ＤＣ；（２）ＨＢ平分øＡＨＣ．图５㊀图６分析㊀很多老师和学生都对这个类型的题目非常熟悉，并且形象地称为 手拉手 模型，这个模型的图形特征是两个形状相同㊁大小不同的特殊图形（等边三角形㊁正方形等）绕着一个公共顶点旋转，在变化的过程中有着许多不变的结论，属于典型的动态变化过程中的不变性问题．例２中，әＡＢＤ和әＢＣＥ都是等边三角形，则存在对应相等的边和角，结合公共夹角构造出新的等角，从而证得㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀әＡＢＥɸәＤＢＣ，故ＡＥ＝ＤＣ得证．第（２）问是关于角平分线的判定，此题如果采用常规的角相等去证明会十分烦琐，而采用角平分线的判定定理，如图６，作出两个全等三角形的高线，通过面积法证明就非常简便．教学中，学生常常会有强烈的顿悟感，感觉柳暗花明㊁十分巧妙．证明㊀过点Ｂ作ＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ．（１）ȵәＡＢＤ，әＢＣＥ都是等边三角形，ʑＡＢ＝ＢＤ，ＢＥ＝ＢＣ，øＡＢＤ＝øＥＢＣ＝６０ʎ．ȵøＡＢＤ＋øＤＢＥ＝øＥＢＣ＋øＤＢＥ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＣ，ʑәＡＢＥɸәＤＢＣ（ＳＡＳ），ʑＡＥ＝ＤＣ．（２）由（１）知әＡＢＥɸәＤＢＣ，ʑＳәＡＢＥ＝ＳәＤＢＣ，即ＡＥ㊃ＢＭ２＝ＤＣ㊃ＢＮ２，ʑＢＭ＝ＢＮ．又ȵＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ，ʑＨＢ平分øＡＨＣ．变式㊀如图７，将әＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ得到әＡＤＥ，ＤＥ与ＢＣ交于点Ｐ，求证：ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ．图７㊀图８分析㊀如图８，此题通过连接ＢＤ与ＣＥ就变成等边三角形 手拉手 模型．过点Ａ向两边作高线，构造三角形的角平分线模型．结合三角形面积法与角平分线的性质便可证得øＡＰＢ＝６０ʎ；在ＢＣ边上截取ＰＧ＝ＰＡ，连接ＡＧ，则әＡＰＧ为等边三角形，进而证明әＡＰＥɸәＡＧＣ，ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ得证．２．面积法在模型中的二次应用例３㊀如图９，әＡＢＣ中，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，求证：ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图９㊀图１０分析㊀此题求证的边之比相等是典型的相似三角形问题，常规方法就是构造相似三角形，利用边的转化求证．当换个思路 用三角形的面积法，会收到意想不到的效果．如图１０，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知，ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．如图１１，过点Ｂ向边ＡＣ作垂线，ＢＧ是әＡＢＤ和әＣＢＤ的公共高，ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＤＤＣ，所以ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图１１例４㊀（２０１６年深圳中考２３题（１）（２）问）如图１２，抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ－３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，且点Ｂ的坐标为（１，０）．（１）求抛物线的解析式和点Ａ的坐标；（２）如图１２，点Ｐ是直线ｙ＝ｘ上的动点，当直线ｙ＝ｘ平分øＡＰＢ时，求点Ｐ的坐标．图１２㊀㊀图１３分析㊀第（１）问为基础考查，易得点Ａ的坐标为（－３，０），抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３．对于第（２）问，将图形简化，如图１３，可以理解为ＰＯ平分øＡＰＢ，这就是三角形的角平分线模型，采取与例３的相同方法，二次应用三角形面积法得ＰＡＰＢ＝ＡＯＢＯ＝３，将点Ｐ的坐标设为（ｘ，ｘ），列方程（ｘ＋３）２＋ｘ２＝９（ｘ－１）２＋９ｘ２，解得ｘ＝３２（０舍去），故点Ｐ的坐标为３２，３２()．通过上述例题发现，在三角形的角平分线模型中巧妙使用三角形的面积法，会为解题带来极大的便利．无论是一次应用还是二次应用，其依据都是同高（等高）的两个三角形的面积之比等于底之比．理解并熟练掌握三角形的角平分线模型的特点与结论，便能在复杂的问题中快速想到解题思路，通过辅助线的添加构造模型．在教学过程中，要利用基本几何模型将复杂的问题简单化，透过问题看本质，从而提高探究问题的能力和数学核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］黄孝培．浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用［Ｊ］．中国数学教育∙初中版，２０１９（７－８）：９０－９３．［２］祝林华．角平分线模型的构造及应用［Ｊ］．初中数学教与学，２０１５（０７）：２４－２６．［３］王霞，房文慧．最短路径与几何定值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０（０８）：４１－４６．。
角平分线定理在高考中的运用
角平分线定理在高考中的运用云南省玉溪市民族中学(653100) 侯 勇●中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1008-0333(2016)06-0036-01 随着初中新课程标准的全面实施,部分在高中学习中有用的定理结论,在初中教学时被删减.虽然,这些定理结论用新课标所要求的知识结构可以推导出来,但这样不仅增加高中师生教学负担,而且也不利于学生考试中取得好成绩.笔者认为,对于基础较好的高中学校应该在平时教学过程中将这些知识进行补充,这样既能减轻学生学习负担,又能提高教学效率.本文就对2015年高考试题17题所涉及的平面几何角平分线定理进行证明、运用.一、角平分线性质定理的证明如图,在△ABC 中,∠BAC 的角平分线AD 与BC 交点为D ,则AB AC =BD DC.证明 过点D 分别作DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F.根据角平分线性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等可得|DE |=|DF |,所以S △ABD S △ACD =(1/2)|AB |·|DE |(1/2)|AC |·|DF |=|AB ||AC |.①设△ABC 中,BC 边上的高为h ,那么S △ABD S △ACD =(1/2)|BD |·h (1/2)|DC |·h =|BD ||DC |. ②由①、②得|AB ||AC |=|BD ||DC |,证毕.二、角平分线性质定理运用举例1.【2015年全国新课标卷2,文科17题】△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC.(1)求sin∠B sin∠C ;(2)若∠BAC =60°,求∠B. 解 在△ABC 中,根据正弦定理可得:sin∠B sin∠C =|AC ||AB |.又因为AD 平分∠BAC ,根据角平分线性质定理可得:|AB ||AC |=|BD ||DC |=2.所以,sin∠B sin∠C =12.(2)略.说明:2015年全国新课标卷2,理科17题与此题类似,不再进行解答2.【昆一中2014届高中新课标高三第二次双基检测理科试卷10题】已知△ABC 中,AB =3,AC =2,D 是BC 边上一点.A ,P ,D 三点共线,若AP __→=2AB __→|AB __→|+2AC __→|AC __→|,则△BPD 与△CPD( ).A.32 B. C.94 D.49解 如图所示,因为向量AB __→|AB __→|、AC __→|AC __→|、分别表示AB __→、AC __→方向上的单位向量,在AB 上取一点F ,使得|AF |=2,则AF __→=2AB __→|AB __→|.以向量AC __→、AF __→为邻边构造▱AFPC ,根据向量加法平行四边形法则知,点P 为所求.又因为|AC __→|=|AF __→|,所以AP 为∠CAF 的角平分线.又A ,P ,D 三点共线,所以AD 平分∠CAF.在△ABC 中根据角平分线定理可得DB CD =AB AC =32,设△CBP 中BC 边上的高为h ,所以S △BPD S △CPD =(1/2)|BD |·h (1/2)|CD |·h =|BD ||CD |=|AB ||AC |=32,故选择A . ▶的发展.而且,有时学生对来自同学的鼓励、帮助比来自于教师的更有效果.所有,教师要创设民主平等、宽松和谐的人际交往课堂氛围.我班有个杨同学,他是小组学习中变化很大的学生,一天他道出了变化的原因.说有一次,老师分配题目时,把最难的一道题分到他们组,开始另一名组员乔同学详细地讲解了这道题,然后全组鼓励杨同学上台讲.他开始还脱口而出“不讲不讲”,可组员不依,还是推举他上台,他迫于无奈上的台.不过,讲完之后,他发现讲一道难题也没有想象中那么可怕,是小组的鼓励和坚持让他变得自信了.如果小组不坚持喊他去,而换了一个人,那他可能还会觉得讲难题是一件可怕的事情.其实在这点上,每个学生都是“杨同学”,都需要鼓励与坚持.“好学生是夸出来的”.“夸”真的有暗示效应,说谁优秀,谁就真的可以变成优秀.而能力较弱的学生上台,如果遇到障碍,师生可以共同帮助带他摆脱困境,让他自信而来,满意而去.四、大组学习,需要两人对学进行补充六人一组的规模,有时太大,照顾不了每个人,有的人不能在组内得以充分展示,这时候,两人一组对学就弥补了这一缺点,让每个人都得到说的机会.这种方法尤其实用于概念课,两人一组互问互答的方式,可以让学生利用较短的时间,记忆住概念,定理,有利于后面课程的展开.实践证明:小组合作学习应用得当,可以让能力强的学生更强,让中等学生充分展示,让能力弱的可以得到学习伙伴的帮助,帮助提高课堂效率.当然,小组合作学习需要教育工作者不断成熟,让小组学习与其它教学方法互相补充,发挥出更大的作用,更好地服务于教学,让每个小组成员都从中有所获.—63—All Rights Reserved.。
角平分线与垂直平分线
角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。
对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。
如图1所示，AD是角ABC的角平分线。
角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。
也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。
这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。
2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。
这可以通过反证法来证明。
假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。
3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。
通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。
这一性质在解决几何问题时经常会被应用。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。
对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。
如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。
线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。
2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。
这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。
3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。
也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
内角平分线性质定理的多种证法及其应用
作者： 刘文林
作者机构： 安徽省肥东县第一中学!231600
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 153-154页
主题词： 内角平分线 性质定理 多种证法 相似三角形 辅助线 成比例线段 三角形面积公式转移比例 比例式 代数方法
摘要： 三角形内角平分线性质定理是:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
这个定理有多种证法。
而从这些证法中可以总结出证明成比例线段的规律和技巧,并能运用此证题规律去解这一类问题。
下面谈谈内角平分线性质定理的证法及其应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Go the
distance 浅谈角平分线定理的巧妙应用
吉林省磐石市第一中学：周喜瑞 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 即在△ABC 中，BD 平分∠ABC，则AD ：DC=AB ：BC （注：定理的逆命题也成立） 这是初中和高中都没有直接给出的重要定理，而它的应用却是那么的广泛，令很多老师学生望而生畏，下面就其三个方面的应用作以详细的介绍，仅供参考：
应用1：半角与倍角
这是在人教A 版必修Ⅱ练习册中出现的习题，而此时还没有学习三角函数的半角与倍角公式，因此很多教师把这样的习题都删了。
笔者认为放在这里自有它的作用，通过平面几何知识可以巧妙地解决此类问题。
例题1、已知两点()10,2--A ，()4,6-B ，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。
解析：4
3=
AB k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DB
CD AB AC =，又由勾股定理得5=AB x x -=∴354，解得34=x ，因此31=AC DC ，31=l k 例题2、一条直线l 经过点()1,2P ，并且满足倾斜角是直线1l ：034=+-y x 的倾斜角的两倍；求直线l 方程。
解析：4
11=
l k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DB
CD AB AC =，又由勾股定理得 ()()222144++=x x ，解得15
17=x 或1-=x （舍）， 因此158415171=+=AC BC ，158=l k ，所以直线l 的方程为01158=--y x 应用2：求轨迹方程
我们知道动点P 与两个定点A ，B 的距离的比为定值λ，若1=λ，则动点P 的轨迹是线段AB 的垂直平分线。
若1≠λ，则动点P 的轨迹是圆。
我们可以通过建立适当的坐标系，用坐标法求出动点P 的轨迹方程，进而说明轨迹形状。
下面用另一种方法，从几何角度求出动点P 的轨迹。
例题3、已知定点()0,2-A ，()0,1B ，动点P 与A ，B 两点的距离的比为2:1，求动点P 的
Go the
distance 轨迹方程。
解析：如图：1
2==BO AO BP AP ，所以PO 是APB ∠的平分线。
取AP 中点为M ，易证三角形POM 与三角形POB 全等，所以1==OB OM ，取点()0,2N ，
连接PN ，则在三角形APN 中，OM 是中位线，所以22==OM PN ， 因此P 的轨迹是以N 为圆心，2为半径的圆，所以动点P 的轨迹方
程为：()4222=+-y x
应用3：三角形内心的向量式的充分性的证明
例题4设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.下面用角平分线定理证明充分性 证明：如图所示：O 为ABC ∆的内心
b OA DO =
c OA DO
=
又c b a
+===
c b a
OA DO +===
()()()BO DB c b DO c b OA a ++=+=∴
()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-+=BO c b c OC OB c b BO c BO b OC c OB c ++-=0=++∴OC c OB b OA a 同理ABC ∆的旁心是两条外角平分线和一条内角平分线的交点
结论：O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+的充分性也可以证明。