复变函数测试题及答案

第一章 复

数与复变函数

一、 选择题 1．当i

i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）

（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-

（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3

π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

i

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周

（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周

11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）

（A ）22

1=+-z z （B ）433=--+z z

（C ）)1(11<=--a az

a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ）

（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+-

0)Im()Im(z z -）

1

1．设)

2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π=-=i z z ，则=z

4．复数22)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部

六、对于映射1(21z

z +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(022

1≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.

)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为

n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y

x +≤≤+2.

1（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导

2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件

3．下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析

456 数a （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-

7．如果)(z f '在单位圆1

（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数

8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是

（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数

（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数

（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数

（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数

9（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期

（C ）2

)(iz iz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，则α1( )

（A ）无定义 （B ）等于1

（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1

14．下列数中，为实数的是( )

（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π

-

12

34．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2

323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f

6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导

7．设z i z z f )1(5

1)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为

9．=-)}43Im{ln(i

10．方程01=--z e 的全部解为

三

若记(z w 12. 七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.

八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2

π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s

v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n ∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.