基于KM算法的区间二型单点TSK模糊逻辑系统

２ 区间二型模糊集的定义及理论
定义 ２． 区间二型模糊集一般性描述为 １ 在二型模糊集的相关文献中 ，
； 修订日期 ： ２ ０ １ ２ １ ２ ２ ０ ２ ０ １ ３ ０ ４ １ ９ ＊ 收稿日期 ： － － － －
） 基金项目 ： 辽宁工业大学教师科研启动基金资助项目 （ Ｘ ２ ０ １ ２ ２ ０ ， 作者简介 ： 陈阳 （ 男， 辽宁工业大学理学院讲师 ， 研究方向 ： 模糊推理及其控制 ， 二型模糊逻辑系统 ； 王涛 ， 女， 辽宁工业大学 １ ９ ８ １ －） 研究方向 ： 模糊推理及其控制 ， 二型模糊逻辑系统 。 理学院教授 ，
Ｒ
Ｍ ｉ ｉ
ｉ＝１
∑ｙｒｆ ＋
Ｒ ｉ ｉ＝１
ｉ＝Ｒ＋ １ Ｍ
珚 ∑ｙｆ
ｉ ｉ ｒ
） 步 中 ，核 对 ｙ ．在第 （ ４ Ｒ）是 否 等 于 ｃ ′．如 果 相 等 ，停 止 此 迭 代 算 法 并 且 设 置 ｒ（
ｉ 珚 ∑ ｆ ＋ ∑ｆ ｉ＝Ｒ＋ １
） ） ） 如果不相等 ，进入第 （ 步 。 在第 （ 步中 ， 设置ｃ 且返回第 （ 步 ，反复迭代运 Ｒ）＝ｙ ５ ５ ′ ＝ｙ Ｒ） ２ ｙ ｒ（ ｒ． ｒ（ 算 ，直到找到某个指定的 “ 满足ｙ 所以 ， Ｒ” Ｒ） ′． ＫＭ 算法的关键就是找到切换点序号 Ｌ， Ｒ，而 Ｌ， ＝ｃ ｒ（ Ｒ 分别为使 ｙ ｙ ｌ 取得最小值 ， ｒ 取得最大值的离散点序号 。 ［ ］ ４ 已经证明了 ＫＭ 算法是单调收敛的 ， 且它们以幂指数一样的速度收敛 。 Ｍ ｅ ｎ ｄ ｅ ｌ和 Ｌ ｉ ｕ１ 计算机编程 更 易 实 现 ， 计 算 精 确 度 较 高， 是目前较成熟的一种 ＫＭ 算法较其他算法计算过程简单 ， 本文利用这种算法讨论区间二型单点 Ｔ 类型简化 ， 解模糊化 算法 。 因此 ， Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统的模糊推理 ，
此外 ， 还有两种特殊类型的区间二型 Ｔ 后件 是 普 通 Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统 。当规则前件是二型模糊集 ， 集时 ， 此类型称为 （ 型 。当规则前件是一型模糊集 ， 后件也是一型模糊集时 ， 此类型称为 （ Ａ２ －Ｃ Ａ１ － ０） 型 。在工程实践中 ， 这三种类型的区间二型 Ｔ Ｃ Ｓ Ｋ 模糊系统有广泛的应用 。 １）
已取得一定进展 ， 得到了二型模糊逻辑系统的理论框架 。 应用二型模糊逻辑可以更好的处 深入地研究 ， 、 、 理语言中的不确定性 ， 从而减少系统中大 量 不 确 定 性 。 在 同 期 ， Ｊ ． Ｍ． Ｍ ｅ ｎ ｄ ｅ ｌ Ｒ． Ｉ ． Ｊ ｏ ｈ ｎ Ｆ． Ｌ ｉ ｕ对模糊 逻辑系统应用做了大量的工作 ， 对模糊逻辑系统理论的健全做出了重要贡献 ， 并且在理论与应用之间选
ｐ
ｐ ｉ ｉ ｉ ｉ
ｙ ｌ ＝ ｙ ｒ ＝
ｉ
ｉ
ｋ＝１ ｐ
ｘｋ ＋ｃ ｘ ｓ ｓ ｋ｜ ｋ ０ － ∑｜ ｋ－ ０ ∑ｃ
ｋ＝１ ｐ ｉ ｉ ｉ ｉ
（ ） ４ （ ） ５
ｋ＝１
ｘｋ ＋ｃ ｘ ｓ ｓ ｋ｜ ｋ ｋ＋ ０ ＋ ∑｜ ０ ∑ｃ
ｋ＝１
４ 类型简化和解模糊化模块
本文采用一种实用的基于 ＫＭ 算法的中心集类型简化方法 。 规则后件是区间一型模糊集 ， 两个端
珔 ｉ（ ｉ（ ｉ（ ， ］ ， …， ｘ ｘ ｘ ｋ ＝ １， ２， 珟 珟 珟 ＝［ ｐ ｋ） ｋ） ｋ） Ｆ Ｆ Ｆ μ μ μ ｋ ｋ ｋ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ［ ， ］ ， …， …， Ｃ ｓ ｓ ｉ ＝ １， Ｍ； １， ｊ ＝ ０， ｐ ｊ ＝ ｃ ｊ－ ｊｃ ｊ＋ ｊ
ｉ ｊ ｉ ｊ ｉ ｊ ｉ ｊ ｉ ｐ ｐ
ｐ
ｐ
ｉ＝１ Ｍ
∑ｙθ
ｉ＝１ ｉ 源自文库θ
ｉ ｌｉ
．
Ｌ ｉ ｉ 珚 ＋ ｆ ｌ ∑ｙ
Ｍ
ｉ ｉ＝１ ｉ 珚 （ ）当ｉ≤ Ｌ 时 ， 设置θ 当ｉ≥ Ｌ＋１ 时 ， 设置θ 且计算 ｙ ３ Ｌ） ＝ ｉ ＝ｆ ； ｉ ＝ｆ ， ｌ（ Ｌ
ｉ＝Ｌ １ ＋ Ｍ
∑ｙ ｆ ∑ｆ
ｉ
ｉ ｌ
ｉ
．
ｉ＝１
珚＋ ∑ｆ
ｉ
ｉ＝Ｌ １ ＋
第 ３ 期 陈阳 ， 王涛 ： 基于 ＫＭ 算法的区间二型单点 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统
１ ５
图 ２ 三角形区间二型模糊集的足迹不确定性 （ 主隶属函数有四个参量和五个参量 ）
本文研究规则前件为区间二型模糊集 ， 后件为区间一型模糊集的单点 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统 。 隶属函 数为 ：
１ 引言
二型模糊集的特征是对模糊集合中隶属度值再 Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ 教授在 １ ９ ７ ５ 年首次提出二型模糊集的概论 ， ， 。 次进行模糊化表示 即其隶属度值本身为一型模糊集 二型模糊集增强了集合的模糊性 ， 从而可以提高
［ ］ １］ ０ 。１ 其处理不确定的能力 ［ 并开始了 ９ ９ ９年， Ｊ ． Ｍ． Ｍ ｅ ｎ ｄ ｅ ｌ提出了二型模糊逻辑及 其 模 糊 逻 辑 系 统 ２－１
ｏ ． ３ Ｖ ｏ ｌ ． ２ ８，Ｎ ， Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ４
基于 ＫＭ 算法的区间二型单点 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统
陈 阳， 王 涛
（ ） 辽宁工业大学 理学院 ， 辽宁 锦州 １ ２ １ ０ ０ １
＊
摘 要： 介绍了区间二型模糊集的定义及相关理 论 ， 提出一种多输入单输出区间二型单点 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻 讨论了区间二型单点 Ｔ 类型简 化 ， 解 辑系统 。 在 ＫＭ 算法的理论基础上 ， Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统的模糊推理 ， 模糊化等模块 。 用两个算例验证了设计该模糊逻辑系统的可行性 。 最后给出了本文的 总 结 和 进 一 步 研 究问题的展望 。 关键词 ： 区间二型模糊集 ； 模糊推理 ； 类型简化 ＫＭ 算法 ； 中图分类号 ： Ｏ １ ５ ９ 文献标识码 ： Ａ
（ ） ２ （ ） ３
， 其中 ， 平均数 ） ｃ 表示Ｃ 的中心 （ ｓ 表示Ｃ 的跨度 。 区间二型 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统的激发集 Ｆ （ ｘ）＝
ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 珚 珚 珔 ｉ（ ｉ（ ［ ， （ ］ ，其中 ｆ （ ， （ 。 规则 Ｒ 的后件Ｙｉ 也是一个区间集 ， ｘ） ｘ） ｘ） ｘ ｘ） ｘ Ｙｉ 珟 珟 ＝ ∩μ ＝ ∩μ ｆ（ ｆ ｆ ｋ） ｋ） Ｆ Ｆ ｋ ｋ ｋ＝１ ｋ＝１ ｉ ，ｉ 。 ＝［ ｙ ｒ］ ｌ ｙ
ｙ ｌ ＋ｙ ｒ 等问题 。 区间二型 Ｔ 当使用区间二型模糊 Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统的解模糊化输出 ｙ ．可看出 ， Ｔ Ｓ Ｋ， ２ ＝ ２ 集时 ， 减少了计算 Ｔ Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统中的模糊推理和 类 型 简 化 模 块 都 变 成 区 间 一 型 模 糊 集 间 的 运 算 ，
的复杂度 ， 很有实际意义 。
（ ）核对ｙ 是否等于ｃ 如果相等 ， 停止此迭代算法并且设置ｙ 如果不相等 ， 进入第 ４ Ｌ） ′． Ｌ） ＝ｙ ｌ（ ｌ（ ｌ． （ ） 。 步 ５ ） ）步 ， （ 设置ｃ 反复迭代运算 ， 直到找到某个指定的 “ ５ ′ ＝ｙ Ｌ）且返回第 （ ２ Ｌ”满足 ｙ Ｌ）＝ｃ ′． ｌ（ ｌ（
］ １ ８－２ ０ 。 应用 ［ ２ １］ 本文在 ＫＭ 算法 ［ 的理论基础上 ， 提出了一种多输入单输出区间二型单点 Ｔ 讨 Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统 ， 论了模糊逻辑系统的模糊推理 ， 类型简化和解模糊化等过程 。 研究结果表明 ， 区间二型模糊逻辑系统里
各个模块的运算都可以转化成相应一型模糊集的运算 。
ｉ ） ） （ ，， …， 下面用 ＫＭ 算法计算 ｙ 第（ 和（ 步和计算 ｙ １ ２ ｒ： ｌ 几乎一样 ，但是在第一步中 ，将 ｙ ｒ ｉ＝ １ ２
１ ２ Ｍ Ｒ … ≤ｙ ） ）满足 ｙ 在第 （ 步中 ，找到 Ｒ（ Ｍ ）重新排序 ，使之满足 ｙ ２ １ ≤ Ｒ ≤ Ｍ －１ ′≤ ｒ ． ｒ ≤ｃ ｒ ≤ｙ ｒ ≤ Ｒ＋ １ ｉ ｉ 珚 步 中， 当 ｉ ≤ Ｒ 时 ，设 置 θ 设 置θ ．在第 （ ３） Ｒ）＝ ｙ ｉ ＝ ｆ ；当 ｉ ≥ Ｒ ＋ １ 时 ， ｉ ＝ ｆ ，且 计 算 ｙ ｒ（ ｒ
第２ 模 糊 系 统 与 数 学 ８ 卷第 ３ 期 ２ ０ １ ４年６月 Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ａ ｎ ｄ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｙ （ ） 文章编号 ： １ ０ ０ １ ７ ４ ０ ２ ２ ０ １ ４ ０ ３ ０ ０ １ ３ ０ ８ － － －
１ ６
模 糊 系 统 与 数 学 ２ ０ １ ４年
Ｍ
珔 ｉ（ ｉ（ ｘ ｘ 珟 珟 ＋ ∩μ ｋ） ｋ） ∩μ Ｆ Ｆ ｋ ｋ＝１ ｋ ｋ＝１ ， …， ｉ ＝ １， ２， Ｍ ，然后计算ｃ ′＝ ＝ ２
Ｌ Ｌ １ ＋ （ ）找到 Ｌ（ ）满足 ｙ ２ １ ≤ Ｌ ≤ Ｍ －１ ′ ≤ｙ ． ｌ ≤ｃ ｌ
ｘ∈Ｊ ｘ
珔 珦） 珦） 珔 ，ｘ ∈ Ｘ； ，ｘ ∈ Ｘ． ， ］ 。 在工程上 ，通 ｘ） Ｏ Ｕ（ Ａ ｘ） Ｏ Ｕ（ Ａ ｘ） ｘ） ｘ） 珦（ 珦（ 珦（ 珦（ 珦（ ＝［ ≡Ｆ ≡Ｆ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ μ μ μ μ μ 常选择区间二型模糊集的隶属函数为高斯型或三角形 。
图 １ 高斯区间二型模糊集的足迹不确定性 （ 主隶属函数有不确定性标准偏差和不确定性平均数 ）
］ １ １－１ ７ 。传统的二型模糊逻辑系统 择区间二型模糊逻辑系统解决实际问题 ， 运 用 很 广 泛， 效 果 也 比 较 好［
但是 ， 运用一般的二型 模 糊 逻 辑 系 统 解 决 问 题 时 ， 由于 在处理不确定性问题上优于一型模糊逻辑系统 ， 一般的二型模糊集运算是非常复杂的 ， 因此 ， 人们在二型模糊逻辑系统 中 运 用 区 间 二 型 模 糊 集 ， 也就是 我们所说的区间二型模糊逻辑系统 ， 这使得处理不确定性问题计算更 加 简 单 ， 更 加 容 易 处 理， 这使得区 间二型模糊逻辑系统非常具有实用性 ， 所以 ， 很多学者都着手研究区间二型模糊逻辑系统及其在控制上
ｉ （ ，， …， （） ，设 ＹＴ （） 点 ｙ 和ｙ ｐ）在上文中已经算出 。类型简化集 ＹＴ ｒ ｉ＝ １ ２ Ｓ Ｋ， ２ ｘ 是一个 区 间 集 Ｓ Ｋ， ２ ｘ ＝ ［ 。只需计算出 ｙ ｙ ｙ ｌ， ｒ］ ｌ 和ｙ ｒ． ｉ ｌ
用 ＫＭ 算法计算 ｙ 算法如下 ： ｌ，
ｉ ｉ 珚 ＋ｆ ｆ ｉ １ ２ Ｍ （ ）将 ｙ （ ，， …， … ≤ｙ 初始化θ 设置θ １ Ｍ ）重新排序 ，使之满足 ｙ ｉ， ｉ ＝ ｌ ｉ＝ １ ２ ｌ ≤ｙ ｌ ≤ ｌ ． ２
１ ４
模 糊 系 统 与 数 学 ２ ０ １ ４年
珦＝ Ａ
／ ／ ／ ｘ） ｘ＝ ｕ］ ｘ， Ｊ μ （ ∫ ∫［ ∫１
珦 Ａ
ｘ
］ ０， １ ［
（ ） １
ｘ∈Ｘ
ｘ∈Ｘ ｕ∈Ｊ ｘ
其中 ， 区间二型模糊集的二级隶属度值为 １。 ｕ 表示主隶属度值 ， Ｊ ｘ 表示主隶属度的值域 ， 珦 珔 （ ） 足迹不确定性 Ｆ 上级隶属函数μ 和下级隶属函数μ 是Ｆ Ｏ Ｕ Ａ ＝ ∪ Ｊｘ ． ｘ） ｘ） Ｏ Ｕ 的上下界 ， 珦（ 珦（ Ａ Ａ
４ 算例
算例 ４． １ 模糊推理规则如下 ： １ １ １ １ １ １ １ １ 珟 珟 珟 珟 ，２ 是 Ｆ ， ，那么 ｙ ＝ Ｃ Ｒ ：如果 ｘ ｘ ｘ ｘ １ 是Ｆ ３ 是Ｆ １ ＋Ｃ ２ ＋Ｃ ３． １ ｘ ２ ｘ ３ ０ ＋Ｃ １ ２ ３
３ 模糊推理模块
考虑如下的 ｐ 输入单输出模糊规则 ： ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 珟 珟 珟ｉ ：如果 ｘ … 且ｘ Ｒ ｘ ｘ ｘｐ １ 是Ｆ ２ 是Ｆ １ ＋Ｃ ２ ＋ … ＋Ｃ ｐ 是Ｆｐ ，那么 Ｙ ＝ Ｃ １ 且ｘ ２ 且 ０ ＋Ｃ １ ２ ｐ
ｉ …， （ ，， …， ； 其中 ， 也是一型模糊集 ） ｉ＝ １， ２， Ｃ Ｙｉ 是第ｉ 个规则输出 （ ｐ； ｐ）是后件一型模糊集 ； ｊ ｊ＝０ １ ｉ 珟 （ ，， …， Ｆ ｐ）是后件二型模糊集 。这些规则可以同时解释前件隶属函数和后件参数的不确定性 。 ｋ ｋ ＝１２ 这种区间二型 Ｔ 型。 Ｓ Ｋ 模糊逻辑系统可看成是 （ Ａ２ －Ｃ １）