大学高等数学(文科)复习重点
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第一章 预备知识
一、定义域
1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ,求(ln )f x 的定义域。答案:(0,1)
2. 求322
33
()6
x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示:任何初等函数在定义域范围内都是连续的。 答案:()
()(),33,22,-∞--+∞
二、判断两个函数是否相同?
1. 2
()lg f x x = ,()2lg g x x = 是否表示同一函数?答案:否 2. 下列各题中,()f x 和()g x 是否相同?答案:都不相同
()2ln 1
(1) (),()1
1
(2) (),()sin arcsin (3) (),()x
x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性
1. 判断()2
x x
e e
f x --= 的奇偶性。答案:奇函数
四、有界性
, 0∀∈∃>x D K ,使()≤f x K ,则()f x 在D 上有界。
有界函数既有上界,又有下界。
1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界?答案:无界
2. 221x y x =+ 是否有界?答案:有界,因为2
2
11<+x x
五、周期性
1. 下列哪个不是周期函数(C )。 A .sin , 0y x λλ=>
B .2y =
C .tan y x x =
D .sin cos y x x =+
注意:=y C 是周期函数,但它没有最小正周期。
六、复合函数
1. 已知[]()f
x ϕ ,求()f x
例:已知10)f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
,求()f x 解1:
(111111
()1f x x x
f x x
⎛⎛⎛⎫
==+ ⎪ ⎝⎭⎝⎝=+ 解2: 令
1y x = ,1x y =
,1()f y y =+
,(11()1f x x x =+=+
2. 设2
211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭ ,求()f x 提示:2
22112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
3. 设(sin )cos 21f x x =+ ,求(cos )f x 提示:先求出()f x
4. 设2
2
(sin )cos 2tan f x x x =+ ,求()f x 提示:22
2
2sin (sin )12sin 1sin x
f x x x
=-+-
七、函数图形
熟记arcsin ,arccos ,arctan ,cot ====y x y x y x y arc x 的函数图形。
第二章 极限与连续
八、重要概念
1. 收敛数列必有界。
2. 有界数列不一定收敛。
3. 无界数列必发散。
4. 单调有界数列极限一定存在。
5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。
九、无穷小的比较
1. 0→x 时,下列哪个与x 是等价无穷小(A )。 A .tan x
B .sin -x x
C .sin +x x
D .2
3x
十、求极限
1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
arctan lim
0x x x →∞= ,cos lim 1x x x x →∞-= ,1lim sin 0x x x →∞= ,201
lim sin 0x x x
→= ,2lim
01x x x →+∞=+ 2. 自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式
例如:22
323
lim 4354
→∞-=++x x x x 提示:分子、分母同除未知量的最高次幂。 3. 出现根号,首先想到有理化
lim
lim
x x →+∞
==
12
3
2
1113
12x x x x x →→++==
- 补充练习:
(1)lim
n →∞
(2)1
x →
(3)
)lim
x x →+∞
(4))
lim x x
x →+∞
(5
)3
lim
x x
→ 4. 出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限
例:2211
sin
sin
1lim lim 121(21)2
x x x x x x x x x x
→∞→∞=⨯=++
作业:P49
7 (1)~(3)
5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限
例:22
2
2122
21
22212lim lim 111x x x x x x x e x x +--
⨯+-→∞→∞⎛⎫--⎛
⎫=+=
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
作业:P49 7 (4)~(6)
6.
00 、∞∞
、0∞ 、∞-∞ 、0
0 、1∞ 、0∞ ,可以使用洛必达法则 作业:P99
5 (1)~(8)
7. 分子或分母出现变上限函数
提示:洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数
例:22
3
2 0001sin 1
lim sin lim 33
x
x x x t dt x
x →→==⎰ 补充练习: (1)sin 0
arcsin lim
sin x
x tdt
x x
→⎰
(2)2
lim
x
t x e dt x
→⎰
(3)
()2
2
23
sin lim
sin x
x
x t dt t t dt
→⎰⎰
(4)1
1
1
lim
1
x
t
x e dt
x →-⎰
十一、连续与间断
任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。 分段函数可能的间断点是区间的分界点。
若0
0lim ()()x x f x f x →= ,则()f x 在0x 处连续,否则间断。
第一类间断点:左、右极限都存在的间断点,进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点:不属于第一类的间断点,进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。