双曲线的渐近线和离心率
双曲线渐近线夹角与离心率的关系式
双曲线是一种二次曲线，它的方程为：
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1
其中，a和b是双曲线的两个焦距。
双曲线的渐近线是指与双曲线相切，且与双曲线的极轴重合的直线。
双曲线的渐近线夹角是指双曲线的渐近线与x轴之间的夹角。
双曲线的离心率是指双曲线的焦距之比。
它的计算公式为：
e = √(a^2 - b^2) / a
可以看到，双曲线的离心率与双曲线的两个焦距有关。
双曲线的渐近线夹角与离心率之间的关系式如下：
tan(渐近线夹角) = e
这个关系式告诉我们，双曲线的渐近线夹角与双曲线的离心率成反比。
也就是说，当双曲线的离心率增大时，双曲线的渐近线夹角减小；当双曲线的离心率减小时，双曲线的渐近线夹角增大。
希望这些解释能帮到你！。
双曲线的离心率
双曲线的离心率双曲线是一种经典的二次曲线，它是两个一模一样的开口向外的分支，彼此之间不存在交点，并且它们与直线称为渐近线。
双曲线的形状因其离心率而异，离心率越小，它的开口越窄，而离心率越大，它的开口越宽，形状越扁平。
这篇文章将介绍双曲线的离心率及其相关性质。
一、什么是离心率在介绍双曲线的离心率之前，我们先来介绍一下什么是离心率。
离心率是一个参数，用来描述椭圆、双曲线等曲线形状的程度。
几何上，椭圆和双曲线都是曲线的焦点与直线的距离之比。
对于一个椭圆或双曲线来说，焦点是一个固定点，而直线称为准线。
焦点到准线的距离称为焦距，离心率是焦距与主轴长度的比值。
对于一个椭圆而言，离心率的值在0到1之间，0表示一个完美的圆形，而1表示一个极端扁平的椭圆。
离心率为0.5的椭圆称为圆形。
对于一个双曲线而言，离心率的值一般大于1，它越大，曲线的形状越扁平。
二、双曲线的定义一个双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b是正实数，它们控制了曲线的形状，a称为水平半轴，b称为垂直半轴。
对于双曲线而言，曲线的两个分支的形状是相同的，都是向外开口的，而且彼此之间没有交点。
曲线的顶点是原点，它是两个分支的交点，而直线y=0和x=0称为渐近线，它们分别过曲线的两个极点。
三、双曲线的离心率离心率可以通过以下公式计算：e = √(a^2 + b^2)/a在计算双曲线的离心率之前，需要先找到曲线的水平半轴a和垂直半轴b。
如果我们知道了双曲线的顶点和极点的坐标，可以计算a和b的值。
设顶点的坐标为(0,0)，极点的坐标为(c,0)，其中c是焦距的值，那么有以下公式：a = (x1 + x2)/2b = (y1 + y2)/2其中(x1,y1)和(x2,y2)是两个分支的端点的坐标。
双曲线的离心率e就可以用上述公式计算出来。
四、双曲线离心率的性质1. 离心率越大，双曲线的开口越宽。
2. 离心率越大，双曲线的形状越扁平。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
双曲线的性质离心率渐近线
与抛物线关系比较
离心率的特性
01
抛物线的离心率e=1，处于椭圆和双曲线之间。
焦点和准线
02
抛物线有一个焦点和一条准线，而双曲线有两个焦点和两条渐
近线。
对称性
03
抛物线和双曲线都关于其对称轴对称。
不同圆锥曲线间转换条件
焦点位置变化
随着焦点位置的变化，圆锥曲线的形状也会发生变化。当 焦点沿实轴移动时，双曲线可以转换为椭圆或抛物线。
渐近线与双曲线位置关系
渐近线与双曲线无限接近但永不相交 。
双曲线上的点无限接近于渐近线，但 永远不会落在渐近线上。
利用渐近线判断双曲线开口方向
01 当$a > b$时，双曲线的开口方向沿着$x$轴方向。 02 当$a < b$时，双曲线的开口方向沿着$y$轴方向。 03 可以通过观察渐近线的斜率来判断双曲线的开口
渐近线
双曲线的渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。当x趋近于无穷大 时，双曲线趋近于这两条直线。
离心率与形状
离心率越大，双曲线开口越宽 ；离心率越小，双曲线开口越
窄。
02 离心率及其意义
离心率定义与计算公式
定义
离心率是双曲线的一个重要参数 ，用于描述双曲线与其焦点之间 的距离关系。
对于标准方程 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若a>b，则焦点在y轴上；若 a<b，则焦点在x轴上。
结合图像进行直观判断
观察双曲线图像，若图像关于y轴对称且开口方向沿x轴，则焦点在x轴上。
观察双曲线图像，若图像关于x轴对称且开口方向沿y轴，则焦点在y轴上。 以上判断方法可以帮助我们快速确定双曲线在坐标系中的位置，进而研究 其性质和特点。
双曲线相关知识点总结
双曲线是数学中的一种特殊曲线形式，具有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我
们将对双曲线的相关知识点进行总结。
1.双曲线的定义：双曲线是一个平面上的曲线，其定义是到两个定点
（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，这两支在无穷远处相交。
2.双曲线的方程：双曲线的一般方程形式为：(x2/a2) - (y2/b2) = 1，其
中a和b为正实数。
这个方程可以通过平移、旋转和伸缩来得到不同形状的双曲线。
3.双曲线的性质：
•双曲线的中心在原点，它的对称轴为x轴和y轴。
•双曲线的渐近线是直线y = bx，其中b = ±(a/b)。
•双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率小于1时，双曲线是“瘦长”的；离心率大于1时，双曲线是“扁平”的。
•双曲线的焦点到顶点的距离等于半径的距离，即c = a/e。
4.双曲线的应用：
•双曲线广泛应用于物理学、光学和电工领域。
例如，在光学中，双曲线被用来描述抛物面镜和双曲透镜的形状。
•双曲线也是一类重要的函数图像，如双曲正弦函数和双曲余弦函数。
这些函数在数学分析和应用中有广泛的应用。
•双曲线还在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中被广泛使用。
它们可以用于生成各种曲线和曲面的形状。
总结：双曲线是一种有趣且重要的数学概念，它具有许多有用的性质和应用。
通过理解双曲线的定义、方程和性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
无论是在数学学习中还是在实际应用中，双曲线都有着广泛的应用和重要性。
双曲线的焦点与离心率的计算方法
双曲线的焦点与离心率的计算方法双曲线是经典的数学曲线之一，具有特殊的性质和形态。
焦点和离心率是描述双曲线的重要参数，能够帮助我们深入理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的定义、焦点与离心率的计算方法，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是具有以下几何性质的曲线：1. 定义域：双曲线的定义域为实数集，即曲线上的每一个点都对应一个实数，而且实数可以取任意值。
2. 对称轴：双曲线有两条对称轴，分别为纵轴和横轴。
对称轴是曲线的镜像轴，将曲线分为两个对称的部分。
3. 四个分支：双曲线由四个分支组成，分别位于对称轴及其延长线的两侧。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别靠近其两个对称轴。
渐近线与双曲线在无穷远处趋于平行。
二、焦点的计算方法焦点是双曲线上的一个特殊点，具有重要的几何和物理意义。
双曲线的焦点计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(0,c)和F2(0,-c)。
三、离心率的计算方法离心率是双曲线的一个重要参数，用来描述双曲线的形态特征。
离心率的计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，顶点为V(a,0)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(0,c)和F2(0,-c)，顶点为V(0,a)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
离心率e是一个大于1的实数，可以反映出双曲线的独特形状。
当离心率e趋近于1时，双曲线的形状趋近于抛物线；当e大于1时，双曲线的形状更加尖锐。
四、焦点和离心率的应用焦点和离心率是双曲线的重要参数，在几何和物理中具有广泛的应用。
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线是几何中一类特殊的曲线，它以一个实数Ω为离心率，满足
方程x²/a²-y²/b²=1。
其中a为渐近线长轴，b为短轴，以a和b为直径，以Ω来描述曲线的弯曲程度，当Ω>1时，曲线内角钝角交替，被称为双曲线；当Ω=1时，曲线成圆，为椭圆时，称为椭圆渐近线；而当Ω<1时，曲线内角锐角交替，叫做反椭圆渐近线。
关于双曲线渐近线与离心率Ω之间的关系，当离心率Ω大于1时，椭圆渐近线就变为双曲线。
另外，椭圆的长轴和短轴的长度和离心率Ω有关。
Ω越大，椭圆的长轴越长，短轴越短，双曲线的弧度越大。
反过来，当Ω越小时，长轴越短，短轴越长，双曲线的弧度越小。
双曲线的渐近线与离心率的关系主要有三点：一是随着离心率Ω的增大，双曲线的形状由椭圆向双曲线化变；二是随着离心率Ω的增大，双曲线长轴和短轴的长度有相应的变化；三是随着离心率Ω的增大，双曲线的弧度也会发生变化。
从上面的情况可以看出，长轴、短轴长度以及曲线弧度均和离心率Ω有关联，在双曲线渐近线的形状变化规律上也得出了一定的结果。
此外，它还在很多规律数学中扮演重要的角色，其形状在实际中也有广泛的应用。
双曲线基本知识点
双曲线基本知识点1. 什么是双曲线？在数学中，双曲线是平面上的一种特殊曲线，它与椭圆和抛物线类似，都是由焦点和直角的性质定义的。
双曲线有许多重要的应用，特别是在几何学、物理学和工程学中。
2. 双曲线的方程双曲线的一般方程可以写成：其中a和b分别是椭圆的半轴长度。
当a和b相等时，我们得到一个标准形式的双曲线：3. 双曲线的性质对称轴双曲线有两条对称轴：x轴和y轴。
对称轴通过焦点，并且与直角垂直。
焦点焦点是双曲线上最重要的点之一。
对于标准形式的双曲线，焦点位于原点的左右两侧。
焦点与直角的距离由半轴长度决定。
集中距离集中距离是指从原点到双曲线上任意一点的距离与该点到焦点的距离之差。
对于标准形式的双曲线，集中距离等于半轴长度。
渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无限接近但永远不会相交。
渐近线的斜率等于b/a或-a/b，取决于椭圆的方程形式。
离心率离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
对于标准形式的双曲线，离心率等于根号下(a^2 + b^2)/a。
4. 双曲线的类型根据椭圆方程中a和b的关系，可以将双曲线分为以下几种类型：横向双曲线当a^2 > b^2时，我们得到一个横向双曲线。
这意味着双曲线在x轴上延伸，并且在y轴上收敛。
纵向双曲线当a^2 < b^2时，我们得到一个纵向双曲线。
这意味着双曲线在y轴上延伸，并且在x轴上收敛。
等轴双曲线当a^2 = b^2时，我们得到一个等轴双曲线。
这意味着双曲线在两个方向上都延伸，并且对称于原点。
5. 双曲函数与双曲线相关的函数被称为双曲函数。
常见的双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。
双曲正弦（sinh）双曲余弦（cosh）双曲正切（tanh）%3D-%20i+%20tan(i x))6. 双曲线的应用由于其特殊的性质，双曲线在许多领域中都有重要的应用。
物理学双曲线经常用于描述电磁波、粒子运动和引力场等物理现象。
例如，电磁波在空间中传播的路径可以由双曲线方程表示。
双曲线的渐近线和离心率问题
3．求一条渐近线方程是 3x＋4y＝0 且过点( 15，3)的双曲线
的标准方程，并求此双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
探究2：离心率问题
课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法： e＝ac＝ 1＋ba22求解． (2)方程法：根据条件确定 a，b，c 之间的关系，利用方 程思想
∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
的四个顶点都在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，
且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________.
数学 选修 2-1(配人教版)
课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
2．已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦
点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果
双
曲
线x 2 a2
y2 b2
1共
渐
近
线
的
双
曲
线方Biblioteka 程可以设为x 2 a2
y2 b2
(
0)
双曲线的渐近线 课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
(1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为xa22＋by22＝1，双曲线 C2 的方 程为xa22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线
与渐近线有关的结论：
1.把 双 曲 线 标 准 方 程 的 “1” 改 为 “0”,即 求 出 渐 近 线
2.渐 近 线 为y
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
标准方程离心率及双曲线的渐近线通用课件
已知双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{4} - frac{x^2}{3} = 1$， 且渐近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$，求rac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：$a^2 = b^2 - c^2$。
03 双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的两个分支无限接近，但永 远不相交。
渐近线的位置由双曲线的标准方程决 定，不同的双曲线有不同的渐近线。
渐近线的求法
根据双曲线的标准方程，可以求出渐近 线的方程。
对于标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线，其渐 近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。
综合习题2
已知双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：焦点到渐近线的距离等于$frac{bc}{sqrt{a^2 + b^2}}$。
定义公式
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到中心的距离， $a$ 是顶点到 中心的距离。
离心率与双曲线的关系
01
双曲线的离心率 $e > 1$ ，表示 双曲线与中心的距离大于其顶点 到中心的距离。
02
随着离心率 $e$ 的增大，双曲线 的开口会变得更开阔，反之则会 变得更狭窄。
有关双曲线的二级结论
有关双曲线的二级结论
1. 双曲线的离心率（eccentricity）是一个大于1的实数。
离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的焦点（focus）是离心线（directrix）上的两个点，与该双曲线上的点的距离之和始终相等。
3. 双曲线的两个分支之间的距离（transverse axis）是双曲线的两个焦点之间的距离。
4. 双曲线的两个分支的交点称为顶点（vertex）。
5. 双曲线对称于它的两条渐近线（asymptotes）。
6. 双曲线的上支和下支分别称为正支（positive branch）和负支（negative branch）。
7. 双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1。
其中，a称为双曲线的横轴半轴长，b称为双曲线的纵轴半轴长。
8. 双曲线的渐近线方程为y = (±b/a)x或y = (±b/a)x。
这些是关于双曲线的一些二级结论，它们有助于理解双曲线的性质和特点。
活用渐近线 巧求离心率
2020年第10期 中学数学教学参考（下甸）'高考频迫活用渐近线巧求离心率杨宝兰（河北易县中学)摘要：渐近线方程离不开相应的双曲线方程，又在一定程度上决定着双曲线方程。
通过双曲线方程一条 渐近线的倾斜角确定双曲线方程的离心率，通过探究与变式拓展总结规律，充分挖掘高考题的内涵，揭示 双曲线的渐近线与离心率之间的联系。
关键词：双曲线；渐近线；离心率；倾斜角 文章编号：1002-2171 (2020) 10-0060-02渐近线是双曲线方程特有的几何性质，表明双曲 线在开口方向无限延伸时，相应的曲线无限靠近渐近 线。
渐近线方程直接决定对应双曲线方程的离心率， 两者可以进行有效转化与应用。
下面笔者结合一道 高考题进行说明。
1问题呈现(2019年高考数学全国卷I 文科第10题）双曲线C :^ —$ = l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C 的离心率为（）。
A . 2sin 40° B. 2cos 40°C —~— D -sin 50〇cos 50。
2解法分析解法1:(直接求解法）由题可知双曲线C :bx 2 _y 21U >0,6>0)的渐近线方程为3；=士二:r ，又由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，可得btan 130。
c2-a2-tan 50°，而 tan 50° = Sin ，可得^sin2 50°cos2 50° cos2 50*cos 50—1，所以丨，即f;。
故选D 。
cos^ 50° …cos 50解法2:(公式变形法）由题意得双曲线C 的一条渐近线的斜率为一l = tan 130°,则双曲线C 的离心a率<'1+a /1 + tan2130°:sin2130°cos2130°j —= —^5。
双曲线的基本知识点离心率
双曲线的基本知识点离心率
双曲线的基本知识点包括：
1. 定义：双曲线是与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，其中a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
2. 形状：双曲线有两个分支，这两个分支关于x轴、y轴或原点对称。
3. 离心率：双曲线的离心率e是定义为圆锥曲线上的一点到平面内一定点的距离与到不过此定点的一定直线的距离之比，其中此定点称为焦点而此定直线称为准线。
对于双曲线，离心率e大于1。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，这两条渐近线关于原点对称。
离心率和渐近线都表示双曲线张口的大小。
5. 双曲线与椭圆的关系：在椭圆中，a=b+c；而在双曲线中，c=a+b。
双曲线离心率与渐近线的关系
双曲线离心率与渐近线的关系双曲线离心率与渐近线的关系1、什么是双曲线离心率：双曲线离心率（eccentricity）是指一个椭圆及其形状的程度。
它是描述一个椭圆或其它椭圆曲线的形状的一种特殊比例。
其值的取值范围被约束在 0～1 之间，离心率e 就是在这一范围内，椭圆曲线的圆心和焦点之间的距离与大圆的半径的比。
离心率的取值越大，椭圆的形状就越扁。
2、什么是渐近线:渐远线（Asymptote）是指椭圆或其它椭圆曲线的某一总体方向的线段。
它是定义在曲线上但在某一程序趋近无穷大，任何直线与这条曲线趋近时，直线与曲线的距离都会变为无穷小，最终消失的椭圆上的一种总体方向的直线。
3、双曲线离心率与渐近线的关系:（1）双曲线离心率与渐近线的关系有助于理解双曲线的形状。
由于双曲线上有两个焦点，所以它有两个渐近线，都以椭圆的圆心为中心，斜率自然也不同。
（2）由于双曲线的离心率为0到1之间的一个数值，当离心率越大时，椭圆轮廓更扁，渐近线也会越远离椭圆的形心。
当离心率越接近1时，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线也越来越远离椭圆的圆心。
（3）此外，双曲线的离心率也与渐近线之间的距离存在关系。
双曲线的离心率越大，两个焦点分别处于曲线的最远点，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线之间的距离也越远。
反之，当离心率越接近0时，椭圆的形状越圆，渐近线之间的距离也越短。
4、结论:总的来说，双曲线离心率与渐近线之间存在着诸多关系，离心率越大，渐近线之间的距离就越远；反之，离心率越小，渐近线之间的距离就越短。
它们的关系彼此之间密不可分，它们对于双曲线的性质和形状分析具有重要意义。
双曲线相关公式
双曲线相关公式
双曲线是一种常见的数学曲线,与椭圆和抛物线一样,是数学中非常重要的曲线之一。
下面是双曲线的一些基本公式:
1. 双曲线的渐近线公式:
a = (c - b) / 2,其中a、b、c是双曲线的参数,c是双曲线的离心率。
2. 双曲线的离心率公式:
e = c / a,其中e是双曲线的离心率,c是双曲线的参数,a是双曲线的半焦距。
3. 双曲线的焦距公式:
f = (a + e) / 2,其中f是双曲线的焦距,a是双曲线的参数,e 是双曲线的离心率。
4. 双曲线的顶点坐标公式:
x = (c + b) / 2 - e / 2,y = (c - b) / 2 - e / 2。
5. 双曲线的切线公式:
y - y1 = (x - x1) (y2 - y1),其中y1、y2是双曲线的两个顶点坐标,x1、x2是双曲线的两个离心率。
6. 双曲线的切线斜率公式:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1),其中k是双曲线的切线斜率。
这些公式只是双曲线的基本特征,实际上双曲线还有很多其他的数学性质和应用,如双曲线的积分、微分、方程等。
双曲线也是许多其他领域的重要数学工具,如物理学、工程学、天文学等。
求离心率公式(过双曲线焦点作渐近线平行垂直的离心率公式)
求双曲线的离心率1 F是双曲线的一个焦点，过F且与一条渐近线平行的直线l与双曲线交于点M，与另外一条渐近线交于点N，若，则双曲线离心率为．2 过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为（）D．A．B．C．2如图因为，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴=4⇒e=2．故选C．3 已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．4、 F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若|BF|=2|AF|则双曲线的离心率为___．5 （2014•诸暨市模拟）设F 是双曲线的焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线交于P ，Q ，若向量FP=3 FQ ，则双曲线的离心率为______.同构法6对0>∀x ，不等式0ln ln 22≥+-a x ae x 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．e 2B ．e 21C ．e 2D ．e 21解：由题意得：ln 222ln ln 2ln ln 2ln x a x x x x x x ae x a xe e x a a a a ，令xt a ，2ln at t 此时要构造过原点的切线放缩模型1ln tt e ，故12a e ，即12a e.7（2018•武邑期中）设实数0λ>，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式0x lnxe λλ-恒成立，则λ的取值范围是 ． 解：ln ln n 0l x xx lnxexe x x e x λλλλ≥=-⇒，即ln x x 恒成立，1e.8．（2019•全国Ⅰ卷调研）设实数0m >，若对任意的x e ≥，若不等式2ln 0mxx x me -≥恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．e 1B ．3eC ．e 2D ．e。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第34练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x破题切入点 根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线． 答案 C 解析 由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2，知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.题型二 双曲线的离心率问题例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系． 答案 C解析 如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，c2， 又A 在直线y ＝b ax 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值围是________．破题切入点 先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解． 答案 (1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2aa 2＋b2>1，即2ac>1， 所以e ＝ca<2， 又e >1，故1<e <2.总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a ，c 的关系，a ，c 关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e 之后注意e >1的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“口”大小的一个数据，由于b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1，当e 逐渐增大时，b a的值就逐渐增大，双曲线的“口”就逐渐增大．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( )A ．2或233 B.6或233C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝233或2，故选A. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 A解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得a 2＋c 224a 2c2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝2，故应选A. 3．(2014·模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值围是( )A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析 根据正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|. 因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上． 又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1) ＝2a ， 解得|PF 2|＝2ae －1. 因为|PF 2|>c －a (不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)， 所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得e <2＋1. 又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．5．(2014·)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3D ．2 答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋r 2r 12－r 2r 1＝4r 2r 1－122＋34， 当r 2r 1＝12时，m max ＝163， 所以(r 1c )max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 6．(2014·)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2， ∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a )4， 即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值围为________． 答案 (0,1)解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2，e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，所以e 21＋e 22＝2>2e 1e 1⇒0<e 1e 2<1.8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案102解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 9．(2014·)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52. 10．(2013·)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， 由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°， ∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a＝ 3.11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2. 由(1)可知c 2＝6b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2014·)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解 (1)设F (c,0)， 直线OB 方程为y ＝－1ax ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a )．又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A (c ，c a )，k AB ＝c a －－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a)＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为c ＝a 2＋b 2＝2，所以直线AF 的方程为x ＝2， 所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则|MF |2|NF |2＝2x 0－323y 0214＋32x 0－323y 02 ＝2x 0－329y 204＋94x 0－22＝43·2x 0－323y 20＋3x 0－22.因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·2x 0－32x 20－3＋3x 0－22＝43·2x 0－324x 20－12x 0＋9＝43， 即|MF ||NF |＝23＝233为定值．。