双曲线的渐近线和离心率

第34练 双曲线的渐近线和离心率

题型一 双曲线的渐近线问题

例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5

2

，则C 的渐近

线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1

3x

C ．y ＝±1

2

x D ．y ＝±x

破题切入点 根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线． 答案 C 解析 由e ＝c a ＝

5

2

知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2

，知b ＝k .所以b a ＝12

.

即渐近线方程为y ＝±1

2x .故选C.

题型二 双曲线的离心率问题

例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双

曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →

＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3

破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系． 答案 C

解析 如图，设OF 的中点为T ，

由(AO →＋AF →)·OF →

＝0可知AT ⊥OF ，

又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫c 2，c

2， 又A 在直线y ＝b a

x 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2.

题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题

例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →

.若双曲线x 2a

2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的渐近线

与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值围是________．

破题切入点 先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解． 答案 (1,2)

解析 设P (x ，y )，由题设条件，

得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2

＋(y －2)2

＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．

又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a

x ，即bx ±ay ＝0，

由题意，可得2a

a 2＋b

2

>1，即2a

c

>1， 所以e ＝c

a

<2， 又e >1，故1

总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a ，c 的关系，a ，c 关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e 之后注意e >1的条件，常用到数形结合．

(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2

b 2＝0，所以

可以把标准方程x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的

离心率是描述双曲线“口”大小的一个数据，由于b a ＝c 2－a 2a ＝e 2

－1，当e 逐渐增大时，

b a

的值就逐渐增大，双曲线的“口”就逐渐增大．

1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双

曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的离心率为( )

A ．2或233 B.6或23

3

C ．2或 3 D.3或 6 答案 A

解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，

则b a ＝

3

3

或 3. 则e ＝c a

＝

c 2

a 2＝ a 2＋

b 2

a 2

＝

1＋

b a

2

＝

23

3

或2，故选A. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一

条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 A

解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b

(x －c )，可解得

点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2

b 2＝1可

得a 2＋c 22

4a 2c

2

－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2

，即可得e ＝c a

＝2，故应选A. 3．(2014·模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2

－6x ＋5＝0

相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 2

6＝1 D.x 26－y 2

3＝1 答案 A

解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a

x ，

圆C 的标准方程为(x －3)2

＋y 2

＝4， ∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，