人教版数学中考复习：二次函数综合题(带答案)

二次函数综合题

1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A (1，0)、B (3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；

（2）若点H (1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；

（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当t为何值时，?

（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）∵抛物线与x轴交于A (1，0)、B (3，0)两点

∴解得：∴该抛物线解析式为：

（2）设直线BE的解析式为∵B (3，0)、E，

∴解得：，∴直线BE的解析式为.

因为F是抛物线与BE的交点∴整理得：

解得：、（舍去）∴∴F（）

连接AH，与BE交于点G，设直线BC的解析式为∵B (3，0)、C

∴∴∴直线BC的解析式为∵H (1，y)在BC上∴H (1，) ∵A (1，0) ∴AH // y轴设点G坐标为∵G在BE上

∴G (1，) ∴，过点F作FK⊥GH于K，∴∵S

△FHB =S

△FHG

+ S

△BHG

∴

（3）延长MD与x轴交于点N，∴MN⊥x轴，垂足为N，由题意可知：DM = t

∵D (2，)，∴N (2，0)，∴，

∵∴又∵

∴而∴Rt△ONM∽Rt△MNB

∴即∵，，∴

∴，（舍去）∴秒时，

（4）符合条件的P点坐标为(，)

理由如下：作点F关于x轴的对称点F’，由（2）知：F（），∴点F’（）连接BF’，∵B (3，0) 设直线BF’的解析式为∴

解得：∴直线BF’的解析式为联立抛物线

有整理得：解得：、（舍去）

故交点坐标为 (，) 由对称性可知，BF’交抛物线的交点即满足题意的P 点，使得被

BA 平分.

2. 已知抛物线2y x bx c =++经过A ()1,0-，B ()3,0两点， 与y 轴相交于点C ，该抛物线的顶点为点D ．

（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；

（2）连接AC ，CD ，BD ，BC ，设△AOC ，△BOC ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2和S 3，用等式表示S 1，S 2，S 3之间的数量关系，并说明理由；

（3）点M 是线段AB 上一动点（不包括点A 和点B ），过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，连接MC ，是否存在点M 使AMN ACM ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）如右图，∵ 抛物线2y x bx c =++经过A ()1,0-，B ()

3,0两点 ∴ 10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ∴

2

3b c =-⎧⎨=-⎩

∴ 该抛物线的解析式是 223y x x =--

∵ 12b a

-

=，2

444ac b a -=- ∴ 点D 坐标 ()1,4- （2）S 1，S 2，S 3之间的数量关系是213S S S =+

过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，∴ E ()1,0，F ()0,4- ∵ B ()3,0, C ()0,3- ∴ 22223332BC OB OC +=+=∴ 1CF =, 1DF =, 则在Rt CFD ∆中 2222112CD CF DF =+=+= ∴ 2BE =, 4DE =, 则在Rt CFD ∆中 22222425BD BE DE =++=∵ 222BC CD BD += ∴ △BCD 是直角三角形

∴ 311

322322S BC CD =

⋅=⋅= ∴ 111313222S OA OC =⋅=⋅⋅=, 2119

33222

S OB OC =⋅=⋅⋅=

∴ 213S S S =+

（3）存在点M ，使得AMN ACM ∠=∠，设点M (),0m ，∴ 13m -<< 则 (1)1MA m m =--=+ 在Rt AOC ∆中，22221310AC OA OC =+=+= ∵ MN ∥BC ∴

AM AN AB AC

= ∴ 110

10(1)4AM m AN AC m AB +=⋅=⋅=+

若AMN ACM ∠=∠，∵ MAN CAM ∠=∠ ∴ △AMN ∽△ACM ∴

AM AN AC AM

= ∴ 2AM AN AC =⋅ ∴ ()2

101(1)10m m +=+⋅

∴ ()3

1()02

m m +⋅-= ∴ 132m =，21m =-（舍）∴ 点M 坐标 3(,0)2

设直线BC 的解析式为y kx b =+ ()0k ≠ ∵ B ()3,0, C ()0,3-

∴ 30

3k b b +=⎧⎨=-⎩ ∴

1

3

k b =⎧⎨

=-⎩ ∴ 直线BC 的解析式为3y x =- ∵ MN ∥BC ∴ *设直线MN 的解析式为'y x b =+ ∵ 点M 坐标 3

(,0)2

∴ 3'2b =- ∴ 直线MN 的解析式为3

2

y x =-

∴ 存在点M ，使得AMN ACM ∠=∠，此时 直线MN 的解析式为3

2

y x =-

3.已知抛物线y=ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）三点． （1）请直接写出抛物线的解析式．

（2）连接BC ，将直线BC 平移，使其经过点A ，且与抛物线交于点D ，求点D 的坐标． （3）在（2）中的线段AD 上有一动点E （不与点A 、点D 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，△AFD 的面积最大？求出此时点E 的坐标和△AFD 的最大面积．