流体力学课件--

C.H.5 粘性流体动力学
5.1 应力分析
1.应力
与理想流体一样，考虑粘性后，流体所承受的力也可归结为两类：即质量力与
表面力。我们称单位面积上的表面力为应力，用 方向。一般说来，p n
pn
表示，n
为该面的外法线
pn pnn n
对于理想流体因无摩擦存在，切应力为零，只存在法应力，且总是指向内法线
法向应力： pxx , pyy , pzz 切向应力： pxy , pxz , pyx , pyz , pzx , pzy
z
pxz
y pxy
o
pxxpxx二阶应张量： pxx
pxy
pxz

P pyx pyy pyz

pzx
pzy
pzz

2. 应力的性质
1)切应力之间具有对称性，即：
同理可作出y,z面上的表面力 py , pz 在x,y,z方向的投影：
pyx , pyy , pyz ; pzx , pzy , pzz
px pxxi x pxxi pxy j pxzk py pyy j y pyxi pyy j pyzk pz pzzk z pzxi pzy j pzzk
pn pxx pyy pzz
p p(x, y, z,t)
②理想流体的压力就是作用在物体表面上沿内法线方向上的单位面积上的表面应
力，即：
pn npn
对于粘性流体，存在切应力，特性:
①作用于物体表面沿法线方向的表面压力是法向应力 pnn ，而不是粘性流体压力P。 pn pnn n
( pxx pyx pzx )d
x y z
( pxy pyy pzy )d
x y z ( pxz pyz pzz )d
x y z
A
B
E
F
D’
dz
z
D
H dy
y x
C
dx
G
2)质量力：单位质量流体所受质量力：
F Xi Yj Zk
pxy pyx、pxz pzx、pyz pzy
2)某点的应力不仅与该点的位置、作用的时间有关，而且与作用面的方向有关。
即同一点取不同的面，pxx , pyy , pzz 是不同的。但可以证明，任意三个相互垂直
的表面力的法向应力之和相等，即
pxx p yy pzz P1 P2 P3
度与压强而变。 的量纲可据牛顿切应力公式导出
[] [ F / u]
Ah
F L2
/L TL

FT L2

ML T2
T L2

M LT
[ ] [ ] M LT
M L3

L2 T
N·s/m2=牛顿·秒/平方米,动力学粘性系数 ; m2/s= 平方米/秒 ,运动学粘性系数
当温度T=15时，水和空气的年性系数分别为：
1.82 106 (kg.s m2 )
1.13104 (kg.s m2 ) 1.145106 (m2 / s) 1.45105 (m2/s)
5) 粘性流体压力与理想流体压力之间区别 对于理想流体，不存在切向应力。两个特性:
①理想流体压力P的大小与它的作用面无关，即：
三个主应力值之和与作用面的方向无关，因此，仅是作用点的坐标和时间函数。 把主应力的算术平均值定义为粘性流体的压力，即：
1
1
p 3 (P1 P2 P3 ) 3 ( pxx pyy pzz ) f (x, y, z, t)
上式的负号是由于规定法向应力以拉力为正，压力为负.
3)应力张量与变形速度的关系
考虑粘性后，引入6个未知项，为使方程组封闭，在一定的假设下建立应力张量 与变形速度间的关系：
pxx

p
2 3
v 2
u x

p yy


p
2 v 2
3
v y
pzz
p
2 v 2
据牛顿第二定律，便可写出粘性流体的运动方程如下：

d

du dt

d
Z
( pxx x

pyx y

pzx z
② pn 不仅与点的位置、时间有关，而且与作用面的方向有关
pn lpx mpy npz
n (l, m, n)
③定义粘性流体的压力P为三个主应力的算术平均值，即：
p


1 3
(
P1

P2

P3 )

p(x,
y, z,t)
5.2 Naiver-Stokes方程
1. 粘性流体的运动方程
1)表面力：作用于六面体上的表面力在x,y,z方 向的分量为：
方向，即 pn npnn 。而考虑粘性后， n 不再为零。
在直角坐标系中，来研究分别作用于垂直于x, y, z轴各平面上的应力 。
px, py, pz
设 px 为作用于正方向上的表面力(yz平面，左边流体作用于x面上的力)，px
在x,y,z方向的投影为： pxx , pxy , pxz
系数。
在水平方向（x方向）以力F拉面积为A的板，板的速度为U，在速度不大和板矩
h都很小的情况下，试验证明下式成立：
F/u
Ah
F u Ah
取极限时有：
p yx


u y
称作牛顿切应力公式或牛顿定律，满足上式牛顿流体；不满足上式非牛顿流体。
粘性系数是反应流体粘性大小的一种度量，它的大小与流体的种类有关，而且随温

pyx

( u y

v ) x
pxz

pzx

( u z

w) x
p yz

pzy

( v z

w) y
对于理想流体， 0, pxx pyy pzz p; pxy pyx pxz pzx pyz pzy 0
4) 关于粘性系数 当 0 时，理想流体;关于 的项是由于考虑了粘性而引起的，称 为粘性
3
w z
pxy

pyx

( u y

v ) x
pxz

pzx

( u z

w) x
p yz

pzy

( v z

w) y
若流体不可压： v 0 ，上式可简化为：
pxx

p

2
u x
pyy

p

2
u y
pzz

p

2
w z
pxy