电子科技大学数值分析研究生期末考试习题一

习 题

请尽可能提供程序

1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差05.0<。

2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+；2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+；

3）1

12-=x x ，迭代公式1/11-=+k k x x ；4）132-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 。

试分析每种迭代公式的收敛性。 3. 给定函数)(x f ，设对一切x ，)(x f '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围M /20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。

4.设a 为正整数，试建立一个求

a

1的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑公式的收敛性。请提供程序。

5.用Gauss 消去法求解方程组： ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----50312131

2111321x x x （请提供程序） 用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：

（1）⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x （请提供程序）

6.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=210001

2100012100012100012A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00001b 。 7.设n n R P ⨯∈且非奇异，又设x 为n R 上一向量范数，定义Px x

p =。试证明p

x 是n R 上向量的一种范数。

8.用平方根法（Cholesky 分解）求解方程组：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7351203022323321x x x

9.用改进的平方根法（T LDL 分解）求解方程组：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3016101795953533321x x x 。

10.设方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225321

321321x x x x x x x x x ，

（a ）考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；

（b ）用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组，要求当4)

()1(10-∞+<-k k x x 时迭代终止。

11.设方程组

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+--=+--=--=--21414

121414121

4141214141421321432431x x x x x x x x x x x x ， （a ）求解此方程组的雅克比迭代法的迭代矩阵0B 的谱半径；

（b ）求解此方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

（c ）考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。

12.用SOR 方法解方程组（取9.0=ω）

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225321

321321x x x x x x x x x ； 要求当4)

()1(10-∞+<-k k x x 时迭代终止。

13.证明矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 对于121<<-a 是正定的，而雅克比迭代只对2

121<<-a 是收敛的。 14.给定线性方程组⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111211*********x x x ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？

15.设线性方程组b Ax =的系数矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=a a a A 232131，

试求能使雅可比迭代法收敛的a 的取值范围。

16.求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：

(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.

17.求出在=0,1,2x 和3处函数

2()1f x x =+的插值多项式. 18.设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证

21max |()|()max |()|8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤-. 19.设f (x )=x 4，试利用L -余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.