(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编

（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编

一、选择题

1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）

A．3

5

B．

4

3

C．

5

3

D．

3

4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽

Rt△ECD，再利用相似比得出

1

2.5

2

NE CD

==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三

角形，从而求出CE．

【详解】

解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，

∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，

∴Rt△FNE∽Rt△ECD，

∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，

∴两三角形相似比为1：2，

∴可以得到CE=2NF，

1

2.5

2

NE CD

==

∵AC平分正方形直角，

∴∠NFC=45°，

∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，

∴

2255

.

3323 CE NE

==⨯=

故选C．

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.

2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）

A ．1：2

B ．1：5

C ．1：100

D ．1：10

【答案】C

【解析】 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．

故选：C ．

点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=︒，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=︒，

而90ADE BDE ∠+∠=︒，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠=

=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=， ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴∆∆∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

4．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x

=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）

A ．逐渐变小

B ．逐渐变大

C ．时大时小

D ．保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a

-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a

-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠2为定值，即可解决问题．

【详解】

解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，

∴BE OE OF AF

=，

设点B为（a，1 a

-），A为（b，2

b

），

则OE=-a，EB=

1

a

-，OF=b，AF=2

b

，

可代入比例式求得222

a b=，即2

2

2

a

b

=，

根据勾股定理可得：OB=222

2

1

OE EB a

a

+=+，OA=222

2

4

OF AF b

b

+=+，∴tan∠OAB=

2

2

22

22

22

12

2

44

b

a

OB a b

OA

b b

b b

++

==

++

=

2

2

2

2

14

()

2

4

b

b

b

b

+

+

=

2

2

∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

5．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）