人教版八年级数学同步学案：第11章 三角形

1.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边「引入课」三角形的引入视频助学 学习视频【三角形的引入】「概念课」三角形的分类学习目标☐ 了解三角形的分类方法☐ 了解等腰三角形与等边三角形的定义视频助学 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的分类】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 三角形如何按角进行分类？（00:00-00:26）1. 三角形按角分类可以分为a ：___________、b ：____________和c ：_____________．引导问题2 三角形如何按边进行分类？（00:26-03:07）2. 等腰三角形：有________相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做________，另外一条边叫做________，腰和底边的夹角叫做________．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，B ∠和C ∠是____角，且B ∠____C ∠．3. 等边三角形：____边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的________三角形．如图中，等边三角形ABC 中，______AB ==，且______60A ===︒∠．4. 三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和________________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来： ______________________________________________________________________「概念课」三角形的三边关系学习目标☐ 了解三角形的三边关系☐ 掌握三角形的构成条件视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的三边关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 三角形的任意两边之和与第三边有什么关系？（00:00-04:00） 1. 三角形两边之和________第三边． 证明：根据两点之间________最短 ∴有___AB BC +> ___AB AC +> ___BC AC +> 2. 我们可以快速验证任意三条线段是否可以构成一个三角形，只需要比较相对________(短/长)的两条边的长度之和与第三边长度的关系，如果________第三边，则可以构成一个三角形． 3. 根据上述方法，请你算一算三条分别长为4cm ，6cm 和10cm 的线段能否构成三角形？引导问题2 三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？（04:00-04:46） 4. 三角形两边之差________第三边． 证明：由三角形两边之和大于第三边，得： ______AB BC AB BC +>−−→>- ______AB AC AC AB +>−−→>- ______BC AC BC AC +>−−→>-引导问题3 已知三角形两条边的长度，如何求第三边长度的范围？（04:46-05:34） 5. 已知三角形两条边的长度，要求第三边长度的范围，需要根据三角形两边之和________第三边以及三角形两边之差________第三边． 6. 已知三角形的两边长分别为3和8，则该三角形的第三边a 的长可能是________． .4A .5B .6C .11D 7. 已知ABC △的AB 边长度为6，BC 边长度为9，求AC 边长度的取值范围．线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________11.1.2三角形的高、中线和角平分线「概念课」三角形的高、中线和角平分线学习目标☐ 了解三角形的高的定义与作法☐ 了解三角形的中线、重心的定义与性质☐ 了解三角形的角平分线的定义与性质视频助学1 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的高】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 什么是三角形的高？三角形的高有何特点？（00:00-01:57）1. 三角形的面积公式：()1______2S =⨯2. 三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的________所在直线画________，顶点和垂足之间的________就是高．三角形的高是一条________（直线/射线/线段）．引导问题2 一个三角形有几条高？不同类型三角形的高的位置有何特点？（01:57-05:28）3. 一个三角形有____个顶点，根据三角形高的定义，一个三角形有且只有____条高．4. a 、锐角三角形高的位置特点：三条高都在三角形的________（内部/外部）；如上面()a 图所示．b 、直角三角形高的位置特点：其中有两条高是三角形的________，第三条高在三角形的________（内部/外部）；如上面()b 图所示．c 、钝角三角形高的位置特点：其中有两条高在三角形的________（内部/外部），一条高在三角形的________（内部/外部）；如上面()c 图所示．视频助学2 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的中线】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 什么是三角形的中线？三角形的中线有何性质？（00:00-02:55）1.三角形中线的定义：从三角形一边的________到所对顶点的________． 2. 性质：三角形由中线所切分开的两个小三角形的________相等．证明：已知线段AD 是ABC △的中线，AE 是高∴12ABD S =△____⋅____，12ACD S =△____⋅____又∵点D 是BC 的中点． ∴______=．∴___ABD ACD S S △△． 3. 已知线段AD 是ABC △的中线，BC 的边长为8．则下列选项中正确的是________．.4A AB =.4B BD DC == .4C AD = 4. 如右图中，线段AD 是ABC △的中线，14ABC S =△，则ABD ADC S S ==△△________．引导问题2 什么是三角形的重心？（02:55-04:23）5. 三角形的________相交的点叫做重心．视频助学3 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的角平分线】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 什么是三角形的角平分线？三角形的角平分线有哪些特点？（00:00-03:01）1. 三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线．．．．．．与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段．．．．．．．．．．叫三角形的角平分线．一个三角形有________条角平分线． 2.三角形的三条角平分线________． 3. 只有在________(锐角/直角/钝角/等腰/等边)三角形中，三角形的高线、中线和角平分线才会重合．线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来： ______________________________________________________________________11.1.3三角形的稳定性「概念课」三角形的稳定性学习目标了解三角形的稳定性视频助学请．先．思考．．．．【三角形的稳定性】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是三角形的稳定性？1.生活中的很多事物都运用到了三角形的稳定性，例如埃及金字塔、________________、________________．请举两个视频中未出现过的例子．2.下图中的图形有稳定性的是________，没有稳定性的是________．()a()b()c()d()e3.将不稳定的多边形变成________的组合，它就具有了稳定性．请在下图中的各个图形中连接最少数量的线段，使其具有稳定性．线上练习完成视频后相应的【专项练习】提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角「概念课」三角形的内角学习目标了解三角形的内角的定义视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的内角】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 三角形的内角和是多少度？请你尝试证明． 1. 三角形的内角和等于________︒． 如右图，已知ABC △，求证：180A B C ∠+∠+∠=︒． 证明：如右图，过点A 作直线EF 与BC 平行 EF BC Q ∥ =B EAB ∴∠∠（依据：________，________） ________（两直线平行，内错角相等） EAB BAC FAC ∠+∠+∠=Q ________︒（平角定义） 180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒（等量代换） 2. 请尝试利用下图证明三角形内角和等于180︒． 已知：ABC △，D 是BC 延长线上的一点， CE BA ∥． 求证：=180A B ACB ∠+∠+∠︒．线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________11.2.2三角形的外角「概念课」三角形的外角学习目标了解三角形的外角的定义视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形的外角】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是三角形的外角？（00:00-04:07） 1. 三角形的外角的定义：三角形的一条边与另一条边的________________组成的角叫做三角形的外角．右图中的________是ABC △的外角． 2. 如右图，AOD △中1∠对应的外角是________和________． 3. 如右图，要表示B ∠的外角，应该延长________或________．请你在图上标示出来． 4. 一个三角形有________个外角．引导问题2 三角形的外角和与它相邻的内角有什么关系？（04:07-04:42） 5. 三角形的外角与相邻的内角________． 如图，=50ACB ∠︒，求ACD ∠． 线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」三角形外角的性质学习目标了解三角形的外角的性质视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【三角形外角的性质】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 三角形的外角有什么性质？（00:00-04:32） 1. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它________的两个内角的________．如右图，1=∠∠____+∠____． 2. 如图，已知三角形中两个相邻内角A ∠、B ∠的度数，则和这两个角不相邻的外角1∠的度数是________︒．请写出简要的步骤． 解： 3. 如右图，已知1∠等于150︒，则A B D ∠+∠+∠=________︒． 解：如图，延长DC ，与AB 交于E 点． 1=∠∠Q ____+∠____ 又=BEC ∠∠Q ____+∠____ 1A B D ∴∠=∠+∠+∠=________︒ 线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」三角形内外角代数应用和几何应用能力目标用三角形内外角的结论解决问题拔高练习1 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形内外角代数应用】讲题． 1. 三角形中，三个内角的比为1:3:6，求相应的三个外角的比．2. 已知三角形的三个外角的比为2:3:4，求它的最大内角的度数．拔高练习2 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形内外角几何应用】讲题． 1. 如图，E 、B 、C 、D 在一条直线上，若70A ∠=︒，求ABE ACD ∠+∠．检查梳理 看视频【三角形内外角代数应用】和【三角形内外角几何应用】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并．订正．．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略1.三角形内角和等于180︒2.三角形外角和等于360︒3.外角等于不相邻的两个内角和 攻略安能辨我是雄雌——判断内外角放开视野，洞察全局——寻找目标角和已知角间的等量关系「解题课」三角形与平行线能力目标解决三角形与平行线中的角度问题拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形与平行线】讲题． 1. 如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE CB ∥交AB 于点E ，45A ∠=︒，60BDC ∠=︒，求BDE △各内角的度数．检查梳理 看视频【三角形与平行线】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 判断内外角 寻找目标角与已知角间的等量关系能力目标解决与角有关的几何证明问题拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形中的角度证明】讲题． 1. 如图，在ABC △中，D 在BC 上，DAC B ∠=∠．求证：ADC BAC ∠=∠．2. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，CF 平分BCA ∠交AD 于E ，交AB 于F ，证明：AEF AFE ∠=∠．检查梳理 看视频【三角形中的角度证明】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 同一个角度 同一个梦想 同一个字母表示 相同字母标记相等的角放开视野 洞察全局 寻找目标角和已知角间的等量关系攻略 同一个角度 同一个梦想 同一个字母表示 相同字母标记相等的角放开视野 洞察全局 寻找目标角和已知角间的等量关系能力目标解决与三角形折叠有关的问题拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形折叠与角度】讲题． 1. 把ABC △纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部的'A 时，求A ∠与1∠、2∠之间的数量关系．2. 把ABC △纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部的'A 时，求A ∠与1∠、2∠之间的数量关系．检查梳理 看视频【三角形折叠与角度】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 折叠 形状相同 大小相等 寻找已知角和目标角 间的等量关系和内外角平分线求角能力目标解决与两内角平分线和内外角平分线有关的角度问题拔高练习1 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【两内角平分线求角】讲题． 1. 如图，在ABC △中，若点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点，求证：1902P A ∠=︒+∠．拔高练习2 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【内外角平分线求角】讲题． 1. 如图，ABC △，点E 在BC 的延长线上，点P 是ABC ∠和ACE ∠的角平分线的交点，求证：12P A ∠=∠．攻略相同字母标记相等的角寻找目标角与已知角间的等量关系 消元攻略通过条件标出已知角（用相同字母标记相等的角） 寻找目标角和已知角间的等量关系△Z ]内角外角消元得到最终答案2. 如图，在ABC △中，=64A ∠︒，点D 在BC 的延长线上，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；2A BC ∠和2A CD ∠的平分线交于点3A ，求3A ∠．检查梳理 看视频【两内角平分线求角】和【内外角平分线求角】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．能力目标解决与两外角平分线有关的角度问题拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【两外角平分线求角】讲题． 1. 如图，已知点P 为ABC △两外角平分线的交点，求证：1902P A ∠=︒-∠．检查梳理看视频【两外角平分线求角】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略通过条件标出已知角 相同字母标记相等的角 寻找目标角和已知角之间的等量关系 基本图形 消元得到最终答案能力目标解决与两同类角等分线有关的角度问题拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【两同类角等分线求角】讲题． 1. 如图，ABC △中，ABC ∠的三等分线与ACB ∠的三等分线分别相交于1G ，2G ．求：（1）1G ∠与A ∠的数量关系． （2）2G ∠与A ∠的数量关系．检查梳理 看视频【两同类角等分线求角】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．． 线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 用相同字母标出相等的角 找目标角与已知角的等量关系 Z ] 内角和△外角等于不 相邻的两个 内角之和消元11.3多边形及其内角和11.3.1多边形「概念课」多边形的概念学习目标了解多边形的定义视频助学请．先．思考．．．．【多边形的概念】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是多边形？（00:00-01:21）1.多边形的概念：由三条或三条以上．．．．叫做多边形．．．．．所组成的平面图形．．．．．．．的线段首尾．．顺次连接下列图形中，属于多边形的是________；不属于多边形的是________，原因是________________________________________________________．()a()b()c(d)引导问题2什么是凸多边形？什么是凹多边形？（01:21-03:25）2.凸多边形的概念：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边________（都在/不都在）此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形．凹多边形的概念：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边________（都在/不都在）此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形．下列图形中，是凸多边形的是________，是凹多边形的是________．()a()b()c(d)引导问题3什么是正多边形？（03:25-04:46）3.正多边形的概念：________都相等，________都相等的凸多边形叫做正多边形．下列图形中，是正多边形的是________．()a()b()c(d)4.正多边形在生活中十分常见，例如正六边形的地板砖、________________．请举出一个在视频中未出现过的例子．线上练习完成视频后相应的【专项练习】提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」多边形对角线条数学习目标了解多边形对角线的条数视频助学请．先．思考．．．．，再看视频．．．．【多边形对角线条数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．引导问题引导问题1什么是多边形的对角线？（00:00-01:14）1.多边形对角线的概念：连接多边形________的两个顶点的________，叫做多边形的对角线．三角形________（有/没有）对角线．引导问题2n边形的一个顶点能连多少条对角线？（01:14-05:33）2.如右图，八边形从一个顶点能连接________条对角线，这些对角线将八边形分成________个三角形．请在图中画出从顶点A出发的所有对角线．3.从一个顶点连接对角线可以将多边形分成________（最多/最少）数量的三角形．4.如图，请你动手用笔连一连，并把操作结果记录在表格中：由上表及推理得出结论，从n边形的一个顶点出发能连________条对角线，同时可以把这个多边形分割成________个三角形．线上练习完成视频后相应的【专项练习】提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________11.3.2多边形的内角和「概念课」多边形的内角和学习目标了解并会计算多边形的内角和视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【多边形的内角和】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 四边形的内角和是多少度？怎么求？五边形呢？（00:00-03:22） 1. 计算四边形的内角和可以将四边形的内角和转化为________的内角和． 2. 试计算如右图所示四边形ABCD 的内角和，并写出步骤． 解：连接AC ． ∵=BAD ∠∠____+∠____，=BCD ∠∠____+∠____ ∴=BAD B BCD D ∠+∠+∠+∠（1+3+B ∠∠∠）+（2+4+D ∠∠∠） 在ABC △中，13=B ∠+∠+∠________︒ 在ACD △中，24=D ∠+∠+∠________︒ ∴四边形ABCD 的内角和为________︒ 3. 右图中，五边形的内角和是________︒． 引导问题2 n 边形的内角和是多少度？（03:22-05:39） 4. n 边形会被一个顶点连接的对角线分割成________个三角形，因此n 边形的内角和为________________︒． 5. 12边形的内角和是________︒． 线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」多边形的外角和学习目标了解并会计算多边形的外角和视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【多边形的外角和】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 四边形的外角和是多少度？六边形呢？九边形呢？（00:00-01:32） 1. 如右图，这个四边形的外角和是________︒． 如右图，这个正六边形的外角和是________︒． 如右图，这个正九边形的外角和是________︒．引导问题2 n 边形的外角和是多少度？怎么证明？（01:32-05:19） 2. n 边形的外角和为________︒． 3. 证明边数为n 多边形外角和为360︒，并写出步骤． 证明：n 边形外角和=外角1+外角2++L 外角n =（180︒-内角1）+（180︒-内角2）++L （180︒-内角n ） =n ⨯________-（内角1+内角2++L 内角n ） =180n ⨯︒-________180⨯︒ =1801801802n n ⨯︒-⨯︒+︒⨯ 360=︒ 线上练习完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」8字型中的角度关系和寻找隐藏的8字型能力目标☐ 利用8字型做角度转化☐ 在复杂图形中发现8字型拔高练习1 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【8字型中的角度关系】讲题． 1. 如图，70A ∠=︒，30B ∠=︒，求C D ∠+∠的度数．2. 已知，60A ∠=︒，求D E F G ∠+∠+∠+∠的度数． 拔高练习2 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【寻找隐藏的8字型】讲题． 1. 如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．2. 如图，求A B E F C D ∠+∠+∠+∠-∠-∠的度数．检查梳理 看视频【8字型中的角度关系】、【寻找隐藏的8字型】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 8字型 A B C D ∠+∠=∠+∠角度转化攻略8字型A B C D∠+∠=∠+∠角度转化攻略角度转化 攻略添加辅助线，构建基础图模型角度转化「解题课」三角形与多边形的计算能力目标解决三角形与多边形的计算问题拔高练习 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形与多边形的计算】讲题． 1. 求证：180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒．2. 如图，求证：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．检查梳理 看视频【三角形与多边形的计算】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略 三角形的内角和是180︒先转化在同一个图形里的角三角形的两个内角之和等于第三个外角 攻略利用基本图形转化角满分必学「解题课」三角形与多边形证明能力目标解决三角形与多边形的证明问题拔高练习 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【三角形与多边形证明】讲题． 1. 如图，在ABC △和ADE △中，已知45EAD AED BAC BCA ∠=∠=∠=∠=︒，并且BAD BCF ∠=∠，求证：ED CF ∥．检查梳理 看视频【三角形与多边形证明】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略明确已知角和目标角找到已知角和目标角的数量关系通过代数方法将数量关系转化为最终结论「解题课」飞镖模型与角平分线能力目标解决飞镖模型与角平分线的问题拔高练习 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【飞镖模型与角平分线】讲题． 1. 在凹四边形ABCD 中，求证：A B D BCD ∠+∠+∠=∠．2. 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索A ∠、B ∠、C ∠的关系．检查梳理 看视频【飞镖模型与角平分线】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略借助基本图形↓飞镖模型。