高二数学 第三章复数导学案
高二数学《3.3 复数的几何意义》导学案
高二数学《3.3 复数的几何意义》导学案3、3节复数的几何意义课时安排10课时主备人审核人使用人使用日期或周次第二周本课时学习目标或学习任务理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量、本课时重点难点或学习建议复数的几何意义本课时教学资源的使用导学案学习过程1、自学准备与知识导学1、问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示、类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标、结论：复数与平面内的点或序实数一一对应、2、复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面、复数与复平面内的点一一对应、显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数、3、复数的几何意义:复数复平面内的点；复数平面向量；复平面内的点平面向量、注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数、4、复数的模向量的模叫做复数的模,记作或、如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值),由模的定义知:试试：复平面内的原点表示，实轴上的点表示，虚轴上的点表示，点表示复数反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的、2、学习交流与问题探讨例1在复平面内描出复数，，，，，，，0分别对应的点、变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1)、小结：复数复平面内的点、例2已知复数，试求实数分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数表示的点（1）在虚轴上，求实数的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数平面向量、3、练习检测与拓展延伸1、下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数、其中正确的个数是（）A、3B、4C、5D、62、对于实数，下列结论正确的是（）A、是实数B、是虚数C、是复数D、3、复平面上有点A，B其对应的复数分别为和，O为原点，那么是是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形4、若，则5、如果P是复平面内表示复数的点，分别指出下列条件下点P的位置：（1）（2）（3）（4）6、在复平面内画出所对应的向量、7、在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，、试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论、8、实数取什么值时，复平面内表示复数的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线上？9、在复平面内，O是原点，向量对应的复数是（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数、（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数、4、课后反思。
选修2-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念导学案
【学习目标】
1.了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2.理解复数的基本概念，以及复数相等的充要条件.
【学习重点、难点】
重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念；
难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难；由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念的理解也有一定的困难.
或 1或
2.以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的新复数是( )
3. , , , , ,那么 的补集是（）
A．.RD.Q
4.设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．求适合下列方程的 和 （ 的值；
（1） ；（2）
4．复数相等的充要条件：
（1）在复数集C＝ 中，任取两个数 我们规定： 相等的充要条件是，记作 ，特殊的 .
（2）一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.也就是说，当两个复数都是实数时，则可以比较大小；否则，不能比较大小.
5、你能用图来表示复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？
【典型例题】
【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ .
实数：虚数：
纯虚数：
【例2】实数 取什么值时，复数 ，求 .
【当堂达标】
1. ， ，则实数 的值为( )
【知识链接】
写出以下集合符号并思考它们是怎样扩充的？
高中选修1-2导学案 第三章 数系的扩充与复数的引入(含答案)
第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.实数系的总结，复数定义，通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.2.理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量【学习过程】1. ：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2 .判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --=（2）2450x x ++=（3）2210x x ++=（4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？4请对实数系进行分类1.复数的概念： ①定义复数：复数代数形式实部虚部虚数单位复数集例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b5.复数与复平面内的点一一对应① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x 轴为实轴，y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
高中数学复数教案和学案
高中数学复数教案和学案主题：复数一、知识目标1.了解复数的定义和性质2.掌握复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.能够将复数表示成为代数式的形式二、能力目标1.能够运用复数进行实际问题的求解2.能够理解复数在数轴上的表示和作图三、情感目标1.培养学生对复数的兴趣和热情2.激发学生对数学的学习积极性四、教学过程1.引入：引导学生复习实数及虚数的概念，引出复数2.讲解：介绍复数的定义，讲解复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.练习：让学生进行复数的运算练习，巩固所学知识4.拓展：引导学生解决实际问题，提高应用能力5.总结：总结本节课所学内容，巩固学生的理解五、课后作业1.完成教师布置的练习题2.思考实际问题，尝试用复数进行求解数学复数学案范本主题：复数一、认识复数1.复数的定义：复数是由实数和虚数组成的数，例如\(a+bi(a,b\in R，i^2=-1)\)2.实部和虚部：复数\(a+bi\)中，\(a\)为实部，\(b\)为虚部二、复数的表示形式1.方形式：\(a+bi\)2.三角形式：\(r(cos\theta+isin\theta)\)三、复数的运算1.加法：\( (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)2.减法：\( (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)3.乘法：\( (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)4.除法：\( \frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}·\frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)四、实际问题的求解1.问题：若复数\(z_1=-1+i\)，\(z_2=2-3i\)，求\(z_1+z_2\)和\(z_1·z_2\)的值2.解答：\(z_1+z_2=(-1+i)+(2-3i)=1-2i\)，\(z_1·z_2=(-1+i)·(2-3i)=5-5i\)五、数轴上的复数表示1.将复数\(a+bi\)表示在复平面上2.在复数轴上画出点\(a+bi\)六、拓展思考1.实际问题求解思路2.复数在现实生活中的应用通过以上教案和学案的设计，可以使学生对复数有一个清晰的认识，并能够熟练运用复数进行计算和解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
复数的概念导学案
复数的概念导学案导学案是一种帮助学生自主学习的教学工具，通过引导学生思考和探索，帮助他们建立知识的框架和理解概念。
本篇文档将为您提供一份关于复数概念的导学案，旨在帮助学生理解和运用复数的基本概念。
导学目标：1. 掌握复数的基本概念。
2. 理解复数的表示形式。
3. 掌握复数的四则运算规则。
导学步骤：步骤一：引入复数是数学中一个重要的概念，它在代数运算、函数理论、电磁学等领域有着广泛的应用。
那么，你能简单地解释一下什么是复数吗？步骤二：概念梳理请在纸上写下你对复数的理解，包括复数的定义、表示形式、基本性质等。
步骤三：基本概念让我们一起来学习和梳理复数的基本概念：1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数。
一般形式为a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 实数部分和虚数部分：在复数a+bi中，a是其实数部分，b 是其虚数部分。
3. 复数的表示形式：- 代数形式：a+bi，a和b都是实数。
- 平面形式：复平面上，实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi对应于平面上的一个点。
步骤四：运算规则复数的四则运算规则可以通过对每个复数的实部和虚部进行运算来实现。
下面我们来看一下复数的四则运算规则：1. 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i步骤五：应用练习请在纸上完成以下练习，以便将所学内容应用到实际问题中：1. 计算复数 (3+2i) + (4-5i)2. 计算复数 (5+4i) - (2-3i)3. 计算复数 (2+3i) * (4-2i)4. 计算复数 (6+2i) / (2+4i)步骤六：总结通过本导学案，我们回顾了复数的基本概念，包括定义、表示形式和四则运算规则。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修新知导学1、复数的乘法、乘方复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把____看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_____，并且把实部与虚部分别________、在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立、正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立、须特别注意：|z|2≠z2(z为虚数) 设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________(a、b、c、d∈R)、2、复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3、 (1i)2＝__________、牛刀小试11）、(1－i)2i＝()A、2－2iB、2＋2iC、2D、－22）、已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A、5－5iB、7－5iC、5＋5iD、7＋5i3、共轭复数1）、共轭复数的概念：一般地，当两个复数的实部_______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数、通常记复数z的共轭复数为、2）、由复数的模及共轭复数的定义知，|z|与||_______，z＋是_______，z－是纯虚数的充要条件是z为_______、3）、在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于__________对称、牛刀小试21）、(xx)若复数z 满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A、1－iB、1＋iC、－1－iD、－1＋i2）、若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，实数y＝________、4、复数的除法复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，再化简、即(a＋bi)(c＋di)＝＝_________＝_________，复数除法运算的实质是__________、牛刀小试3、1） i是虚数单位，等于()A、1＋iB、－1＋iC、1－iD、－1－i2）复数＋i3的值是()A、0B、1C、－1D、i命题方向（一）复数的乘法与乘方【例一】XXXXX：计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i； (2)(1－i)2(1＋i)2＋4、跟踪训练１：(1)复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a 的值为()A、1B、2C、D、(2)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝_______命题方向（二）复数的除法【例二】计算(1)(1＋2i)(3－4i)；跟踪训练21)(15全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A、－2－iB、－2＋iC、2－iD、2＋i (2)设z＝＋i ，则|z|＝()A、B、C、D、2命题方向（三）共轭复数【例三复数的共轭复数是()A、－iB、iC、－iD、i跟踪训练3：(xx广东理)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()A、2－3iB、2＋3iC、3＋2iD、3－2i（四）准确掌握复数模的几何意义【例四】已知z2＝8＋6i，求z3－16z－、跟踪训练4已知关于x的方程＋＝1，其中a，b为实数、若x＝1－i是该方程的根，求a，b 的值；课时小结：课后作业1、(xx云南景洪市一中期末)复数的实部为()A、0B、1C、－1D、22、设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A、－1＋iB、－1－iC、1＋iD、1－i3、(xx全国卷Ⅱ文)若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A、－4B、－3C、3D、44、(xx郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限5、复数等于()A、iB、－iC、2－iD、－2－i答案：牛刀小试1 1）、C2）、C ；牛刀小试21）、A ；2）、-1,1牛刀小试31)C2)A例一：1）5＋5i、 (2)8、跟踪训练 (1)C (2)5－5i例二跟踪训练2、(1)C (2)B 例三C 跟踪训练3: A 例四跟踪训练4(1)将x＝1－i代入＋＝1，化简得(＋)＋(b－)i＝1，∴解得a＝b＝2、课后作业1、A2、A3、D4、 A5、D课堂随笔:后记与感悟:。
人教版高中数学高二选修2-2第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案(复习)
第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案（复习） 考试大纲1．了解复数的基本概念；2．理解复数的几何意义，并且会灵活运用；3．掌握复数的四则运算，会复数的运算律和加减法的几何意义.典型例题精析专题一、复数的基本概念复数的分类和复数的实虚部的概念，要区分清楚，特别是虚数和纯虚数的区分，注意 复数不能比较大小的，如果两个复数能够比较大小，那么这两个复数一定都是实数.结合已有的知识做出灵活处理.注意格式和书写的规范.例1（1） 设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1 C. 2 D ．－ 3（2）若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－2例2 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，试求a 的取值范围．例3 .已知R m ∈，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--，当m 为何值时；（1）R z ∈；（2）零；（3）虚数；（4）纯虚数；（5）z 对应的点在直线x+y=0上.专题二、复数的四则运算及其灵活运用灵活运用复数的四则运算，掌握复数的加法和减法的几何意义，并且会灵活运用于解题. 例4 已知23||()2i z z z i i -++=+，其中z 是z 的共轭复数，求复数z .例 5(1)已知关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，求实数b a ,的值；(2)已知f(z)=|1+z |－z ，且f(－z )=10+3i ，求复数z .．专题三、综合运用例6 等差数列{}n a 的前n 项和为13193n S a i S i =+=+，，．(i 是虚数单位) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()n n S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．达标练习一、选择题1．200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝（ ）A ．2ｉB ．－1＋ｉC ．1＋ｉD ．12．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －2 3．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．0B ．2π C ．π D ．2π 4．若∈+=-b a i b ii a ,,2其中R ，i 是虚数单位，则a b -的值为（ ） A. －1 B. －3 C. 3 D. 15.复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A. 23m < B. 1m < C. 213m << D. 1m >6.已知复数1z i =+，则2z =（ ） A ． i 2- B ．i 2 C ． i -1 D ． i +17． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A.必要不充分条件 B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件8.在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,则=（ ） A.2 B.2 C.10 D. 4 二、填空题9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 10.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于第 象限.11.在复平面内, 复数1 + i 与31+-i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点,则= .12.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于 2z 3z 613z 1i,_______.z 1-+=++.已知复数则复数的模为 14. i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）15 . 已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 .参考答案例 1 （1） z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，据条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＜0，∴a ＝－1. A（2） 解法1：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.解法2：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0不满足，排除B ，故选A.A例2 解：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，由(1)得x <0，y >0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i.即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 解得－6≤a ＜0.例3 解：（1）当(m+3)(m-1)=0，即m=-3或m=1时，R z ∈（2）当0)1)(3()1)(2(=-++--m m m m 时，z 对应的点在直线x+y=0上 解得211-==m m 或 例4 解：由已知得 2||()1z z z i i ++=-设,(,)z x yi x y R =+∈，代入上式得2221x y xi i ++=- 22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 故复数z为122-± 例5 解：（1）∵ 关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，∴ 2(6)90b i b ai -+++=,即269()0b b a b i -++-=∴ 26900b b a b ⎧-+=⎨-=⎩，解得：3a b ==（2）设z x yi =+(x 、)y R ∈,代入,2z bi a z =--得：|33|2||x yi i x yi ---=+ ∴=化简，整理得：22(1)(1)8x y ++-=∴ 复数z 对应的点的轨迹是以(1,1)P -为圆心，,OP =∴min ||z R OP =-22(1)(1)80y x x y x =-⎧⎪++-=⎨⎪>⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 当1z i =-时，min ||z例6 解：（Ⅰ）由已知得1113393a i a d i =+⎧⎨+=+⎩，，2d ∴=， 故21()n n a n i S n n i =-+=+，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n i n==+． 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2()()()q i p i r i +=++． 2()(2)0q pr q p r i ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾． 所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 达标练习1． D 2. A 3 .B 4 .A 5 .A 6.C 7.A 8.B9．310．四 解析：因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限. 11．2212．解析 ：可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===± 13．214．答案：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 15．23+。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课堂导学案
3.3 复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】 设复数z 满足|z |=5，且(3+4i)z 在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|2z -m|=52 (m∈R ),求z 和m 的值.解：设z =a +b i(a ,b ∈R )∵|z |=5,∴a 2+b 2=25.而（3+4i ）z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(4a +3b ）i ，又∵(3+4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，∴3a -4b +4a +3b =0，得b =7a ，∴a =±22，b =±227， 即z =±(22+227i)， 2z =±(1+7i). 当2z =1+7i 时，有|1+7i-m|=52，即（1-m ）2+72=50,得m=0,m=2. 当2z =-(1+7i)时，同理可得m=0,m=-2.类题演练 1已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围.答案：解：∵x 为实数，∴x 2-6x +5和x -2都是实数.∵复数x 2-6x +5+(x -2)i 在复平面内对应的点在第三象限， ∴⎩⎨⎧<-<+-.02,0562x x x∴{.2,51<<<x x 解得1<x <2,即1<x <2为所求实数x 的范围.变式提升 1已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.答案：解:由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式，得3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.解得5z 1=i.∴z 1=51i,z 2=-51i. 二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i ，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量A O ''，分别写出.(1)向量A O '对应的复数；(2)点O '′对应的复数；(3)向量O A ''对应的复数.思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示，O 为原点，点A 的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O′的坐标为（-2，3）.点A′的坐标为（1，5），坐标平移不改变OA 的方向和模.（1）向量A O ''对应的复数为3+2i;（2）点O '对应的复数为-2+3i;（3）向量O A ''对应的复数为-3-2i.类题演练 2已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，3+2i ，-2+4i.试求：(1)AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数.答案：解析：（1）OA AO -=，∴AO 表示的复数为-(3+2i)即-3-2i. (2)-=， ∴表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)+=+=, ∴OB 表示的复数为（3+2i ）+(-2+4i)=1+6i,即B 点对应的复数为1+6i,变式提升 2已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角.答案：解:a =（3，0），b =（-5，5），所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ=2225315-=⨯-=⋅b a b a . 因为0≤θ≤π,所以θ=43π. 三、复数模的几何意义【例3】 设Z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z |=4；（2）2<|z |<4.解：（1）如左下图，复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件|z |=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆.（2）不等式2<|z |<4可化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><.2,4z z 如右上图，不等式|z |<4的解集是圆|z |=4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z |<4的点Z 的集合.容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件|z |=r(r 为正常数)的点Z 的集合是以原点为圆心、r 为半径的圆.类题演练 3已知点集D={z ||z +1+3i|=1,z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.。
高二数学复数的几何意义导学案新人教A版
高二数学 复数的几何意义导学案 新人教A 版【学习目标】1. 用复平面内的点表示复数；2. 用平面向量表示复数.3. 灵活运用复数的几何意义解决一些简单问题. 【自主学习】（认真自学课本P104—105）任务1：阅读教材,理解下列问题： 1. 复数与点的一一对应：复数 z ＝a ＋b i 可用点Z (a , b )来表示，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的 点都表示纯虚数．每一个复数，在复平面内有唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．2. 复数集C3. 共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．4. 思考：若z 1，z 2是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？4. 设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连结OZ ，显然向量OZ 由点Z 唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ 唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即5. 复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知： |z |＝|a ＋b i|＝r ＝22b a (r≥0，r ∈R).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值).我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ 任务2：完成下列问题：说出图中复平面内各点所表示的复数 （每个小正方格子边长为1）：复数z ＝a ＋b i 平面向量一一对应OZ【合作探究】例1：实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： ①对应点在实轴上方； ②对应点在直线x ＋y ＋5＝0上.【目标检测】1. 下列命题，其中正确的个数是 ( ) (1)互为共轭复数的两个复数的模相等 (2)模相等的两个复数互为共轭复数(3)若与复数z ＝a ＋b i 对应的非零向量与虚轴平行，则a ＝0，b ≠0A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z 的共轭复数w ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 4. 设z ＝(2t 2 ＋5t －3)－(t 2＋2t ＋2)i(t ∈R)则 ( )A. z 对应的点在第一象限B. z 一定不为纯虚数C. z 对应的点在实轴下方D. z 一定为实数（*）5．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，则复数z =_________________.6．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限； (2)位于实轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．。
高中数学《第三章 复数》(4个课时)章节学案 新人教A版选修12
第三章 复数二．课标要求：复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
第一课时 复数的概念 一．归纳重点1．复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。
复数的实部为 ，虚部为 。
2．虚数和纯虚数：对于),(R b a bi a z ∈+=，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。
3．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：4．复数的相等：di c bi a +=+的充要条件为 。
二．典型例题例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2．如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++，求实数y x ,的值。
三．延伸训练1．下列四个命题中，真命题是（ ）①1-的平方根只有一个i ；②i 是方程012=+x 的一个根；③i 2是一个无理数；④)(1R a ai ∈-是一个复数。
.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2．对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）.A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3．复数i a a 234--与复数ai a 42+相等，则实数a 的值为（ ）.A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-4．复数i 312+-的实部为 ，虚部为 。
5．下列数中，其中实数为 ，虚数为 ，纯虚数为 。
①72+；②e ；③i 72；④0；⑤i ；⑥2i ；⑦3i ；⑧85+i ；⑨)31(-i ；⑩i -2。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第三章《数系的扩充与复数的引入 复数》学案
3、熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
五、思想方法
1、数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。
解：（1）设z＝a＋bi（a，b ）
因为， 是实数，
所以， ，即|z|＝1，因为 ＝2a，－1< <2，
所以，z的实部的取值范围（－ ）。
（2） ＝ （这里利用了（1）中 ）。因为a （－ ）， ，所以M为纯虚数。
（3）
因为，a （－ ），所以，a＋1>0，所以 2×2－3＝1，
当a＋1＝ ，即a＝0时上式取等号，所以， 的最小值是1。
六、典例分析
1、基本概念计算类
例1．若 且 为纯虚数，则实数a的值为_________
解：因为， ＝ ，
又 为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a 0。
2、复数方程问题
例2．证明：在复数范围内，方程 （i为虚数单位）无解。
证明：原方程化简为 设z＝x＋yi(x、y )，代入上述方程得 整理得
方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。
复数复习学案
一． 知识结构
二．重点、难点、热点剖析
由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。
人教A版高中数学选修高二新课程复数的几何意义导学案新
§3.1.2 复数的几何意义学习目标理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习过程一、课前准备复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、新课导学学习探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ； 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r ； 复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r OZ ，规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模 向量OZ u u u r 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b . 例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r .动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =+，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义；3．复数的模.知识拓展学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4. 若1z =，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <>（3）0,0a b =≤ （4）0b >课后作业1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？2. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2i +（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB u u u r 对应的复数.（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.。
人教A版高中数学选修高二新课程复数的几何意义导学案新
3.1.2复数的几何意义【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
1． 【重点难点】理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
【学习目标】1、 知识与技能：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量（1）通过实例分析，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量2、过程与方法：小组合作探究；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
一，自主学习① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ）观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？⑤Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点(a,b)，Z a bi =+↔u u r一一对应复数平面向量OZ ，↔u u r 一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r OZ ，规定相等的向量表示同一复数。
复数模的定义共轭复数二合作探究，展示，点评例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量。
高中数学 第三章 第三节 复数的概念导学案
复数的概念导学案一、明标自学1.学习目标（1）理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．（2） 通过回忆并感知数系扩充的过程，通过归纳并感悟数系扩充的基本方法，进而形成并理解复数的有关概念．2.自学指导（1）能否将10分成两部分，且使两者的乘积为40？（2）数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别解决了哪些问题？（3） 这几次数系的扩充共同特点是什么？（4） 为了解决负数开平方问题，实数集应怎样扩充呢？（5）引入新元i 后，可以产生哪些新的数呢？二、合作释疑1.为了使方程012=+x 有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始。
为此，我们引入一个新数i,叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i（2）实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
我们把形如bi a +),(R b a ∈的数叫做复数，记作C2.复数通常用字母z 表示，即),(R b a bi a z ∈+=，其中b a ,分别叫做复数z 的实部与虚部。
复数⎩⎨⎧=≠=+=)0(00时为纯虚数当）虚数（）实数（a b b bi a z3.⎩⎨⎧==⇔+=+d b c a di c bi a三、点拨拓展例1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4，23i -，0，14i 23-+，5，6i ，22i例2.实数m 取什么值时，复数(1)(1)i z m m m =-+-是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？例3. 已知()(2)i (25)(3)i x y x y x x y ++-=-++，求实数x ，y 的值．四、达标检测1. 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值.2. 若方程x2＋mx＋2xi＝－1－mi有实根，求实数m的值，并求出此实根.3. 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零.4. 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m.5. i)6m 5m (3m 6m m z 22++++--= （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）实部小于0且虚部大于0.五、课堂小结。
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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.6062复习1：实数系、数系的扩充脉络是：→ → → ，用集合符号表示为： ⊆ ⊆ ⊆ 复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：复数的定义 问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 . 新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数； 探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.a bi +=c di + ⇔ ； a bi +=0 ⇔ .注意:两复数 比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i=++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.变式：设复数(,)z a bi a b R=+∈，则z为纯虚数的必要不充分条件是（）A．0a=B．0a=且0b≠C．0a≠且0b=D．0a≠且0b≠小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.※动手试试练1. 若(32)(5)172x y x y i i++-=-，求,x y的值.练2. 已知i是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i=+-+-+，当m取何实数时，z是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 实数m取什么数值时，复数1(1)z m m i=-++是实数（）A．0 B．1-C．2-D．3-2. 如果复数a bi+与c di+的和是纯虚数，则有（）A．0b d+=且0a c+≠B．0b d+≠且0a c+=C．0a d+=且0b d+≠D．0b c+=且0b d+≠3. 如果222(32)z a a a a i=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）A．1或2-B．1-或2C．1或2 D．1-或2-4.若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，则实数x= ；y= .1.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172x y x y i i++-=-(2)(3)(4)0x y x i+-+-=2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为(2)虚部为(3)虚部为§3.1.2 复数的几何意义理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.6264 复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复平面 问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？ 分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数. 3. 复数的模 向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: ||||0,)z a bi r r r R =+==≥∈ 试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b . 例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ .※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练 2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升 ※ 学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义； 3．复数的模.※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ） A ．a bi +是实数 B ．a bi +是虚数 C ．a bi +是复数 D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形4. 若1z =+，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <> （3）0,0a b =≤ （4）0b > 22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？2. 在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是2i +（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB 对应的复数.（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.6667复习1：试判断下列复数14,72,6,,20,7,03i i i i i i+----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.复习2：求复数2log3z i=的模二、新课导学※学习探究探究任务一：复数代数形式的加减运算规定：复数的加法法则如下：设12,z a bi z c di=+=+，是任意两个复数，那么。
()()()()a bi c di a cb d i+++=+++很明显，两个复数的和仍然是.问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？新知：对于任意123,,z z z C∈，有1221z z z z+=+123123()()z z z z z z++=++探究任务二：复数加法的几何意义问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ+ =（）新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）试试：计算（1）(14)(72)i i+-+=（2）(72)(14)i i-++=（3）[(32)(43)](5)i i i--++++=（4）(32)(43)(5)]i i i--++++[=反思：复数的加法运算即是：探究任务三：复数减法的几何意义问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.新知：复数的减法法则为：()()()()a bi c di a cb d i+-+=-+-由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.※典型例题例1 计算(56)(2)(34)i i i-+---+变式：计算（1）()845i-+（2）()543i i--（3())29i i+---小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，32i+，24i-+，试求：（1）AO表示的复数；（2）CA表示的复数；（3）B点对应的复数.变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：B A AB z z =-※ 动手试试 练1. 计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+； （3）(34)(2)(15)i i i --++--； （4）(2)(23)4i i i --++练2. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，求向量AB ，BA 对应的复数.三、总结提升※ 学习小结两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.※ 知识拓展复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.5. 已知134z i =+，点2z 和点1z 关于实轴对称，点3z 和点2z 关于虚轴对称，点4z 和点2z 关于原点对称，则2z = ；3z = ；4z = 1. 计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；（3）2213()(1)()3324i i i ++--+；（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-2. 如图的向量OZ 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-§3.2.2 复数代数形式的乘除运算1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.6870 复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-= (32)(3)a b a b +--=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数 新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。