3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。

其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换（也称Clarke 变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r 变换（也称Park 变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。

众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正弦电流a i ，b i ，c i 时，所产生的合成磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速1ω（即电流角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。

这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

图3.3 二极直流电动机的物理模型F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型（a ）三相交流绕组 （b ）两相交流绕组 （c ）旋转的直流绕组然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。

图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F 。

当图3.4a 和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b 的两相绕组与图3.4a 的三相绕组等效。

再看图3.4c 中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q ，其中分别通过以直流电流d i 和q i ，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。

如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。

把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a 和图3.4b 中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。

当观察着也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，d 和q 是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。

如果控制磁通Φ的位置在d 轴上，就和图3.3的直流电机物理模型没有本质上区别了。

这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图3.4a 的三相交流绕组、图3.4b 的两相交流绕组和图3.4c 中整体旋转彼此等效。

或者说，在三相坐标系下的a i ，b i ，c i 和在两相坐标系下的i α、i β以及在旋转两相坐标系下的直流d i 、q i 都是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。

有意思的是，就图3.4c 中的d 、q 两个绕组而言，当观察着站在地面上去看，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电动机的物理模型了。

这样，通过坐标系的变换，可以找到d i 、q i 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。

3.2.2三相-两相变换（3s/2s 变换）现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A 、B 、C 和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换。

图3.5中绘出了A 、B 、C 和α、β两个坐标系，为方便起见，取A 轴和α轴重合。

设三相绕组每项有效匝数为N 3，两相绕组每相有效匝数位N 2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。

由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此C图3.5 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量002333cos60cos60A B C N i N i N i N i α=--31122A B C N i i i ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （3.6）00233sin60cos60B C N i N i N i β=-()32B C N i i =- （3.7） 写成矩阵形式，得32111220A B C i i N i i N i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎣ （3.8） 功率不变时坐标变换阵的性质：设在某坐标系下各绕组的电压和电流向量分别为u 和i ，在行新的坐标系下，电压和电流向量变成u '和i '，其中[][][][]12121212Tn Tn Tn Tn u u u u i i i i u u u u i i i i ⎧=⎪⎪=⎪⎨''''=⎪⎪''''=⎪⎩………… （3.9）定义新向量与原向量的坐标变换关系为u u C u '= （3.10） i i C i '= （3.11）其中u C 和i C 分别为电压和电流变换阵。

当变换前后功率不变时，应有11221122T n n Tn n p u i u i i i u u i u i u i i u=+++=''''''''=+++=…u … （3.12）将式（3.10）、式（3.11）带入（3.12），则()TT T T T i u i u i u C i C u i C C u i u ''''''=== （3.13）T i u C C E = （3.14）其中E 为单位矩阵。

式（3.14）就是在功率不变条件下坐标变换阵的关系。

在一般情况下，为了使变换阵简单好记，电压和电流变换阵都取为同一矩阵，即令u i C C C == （3.15）则式（3.14）变成T C C E = （3.16）或1T C C -= （3.17）由此可得如下结论：当电压和电流选取相同的变换阵时，在变换前后功率不变的条件下，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。

功率不变条件下的3s/2s 变换及匝数比：在两相系统上认为地增加一项零轴磁动势20N i ，并定义为()203A B C N i KN i i i =++ （3.18）式（3.8）所表示的三相电流/两相电流变换式为32111220A B C i i N i i N i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎣（3.19） 把零轴电流也增广到变换式中，即得33/22011122022A A B s s B C C i i i N i i C i N i i i K KK αβ⎡⎤--⎢⎥⎢⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3.20） 式中33/2211122022s sN C N K KK ⎡⎤--⎢⎥⎢⎢=-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3.21） 这是增广后三相坐标系变换到两相坐标系的变换方阵。

满足功率前后不变条件时，应有133/23/2210122122Ts s s sK N C C K N K -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（3.22）显然，式（3.21）和式（3.22）两矩阵之积应为单位阵2133/23/221111022102122s s s sK N C C K N K KK K -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎛⎫⎢⎢⎥=- ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 22332222302100330001022002003N N E N N K K ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 因此232312N N ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.23） 则32N N =（3.24） 这表明，要保持坐标系变换前后的功率不变，而又要维持合成磁链相同，变换后倍。

与此同时 221K =或K =（3.25） 把（3.24）代入（3.8）中，得11122022A B C i i i i i αβ⎤⎡⎤--⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （3.26） 令C 3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则3/211122022s sC ⎤--⎥=-⎣⎦ （3.27）3.2.3两相-两相旋转变化（2s/2r ）q图3.6 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量图3.4b 和图3.4c 中从两相静止坐标系α、β到两相旋转坐标系d 、q 的变换称作两相-两相旋转变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。

把两个坐标系画在一起，即得图3.6。

图中，两相交流电流i α、i β产生同样的以同步转速1ω旋转的合成磁动势s F 。

由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如s F 可以直接标成s i 。

但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

在图3.6中，d 、q 轴和矢量()s s F i 都以转速1ω旋转，分量d i 、q i 的长短不变，相当于d 、q 绕组的直流磁动势。

但α、β轴是静止的，α轴与d 轴的夹角ϕ随时间而变化就，因此s i 在α、β轴上的分量i α、i β的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。

由图可见，i α、i β和d i 、q i 之间存在下列关系cos sin sin scos d q dq i i i i i i αβϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩ （3.28） 写成矩阵形式，得2/2cos sin sin cos d d r s q q i i i C i i i αβϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3.29）式中2/2cos sin sin cos r s C ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（3.30） 是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。

对式（3.29）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得1cos sin cos sin sin cos sin cos d q i i i i i i ααββϕϕϕϕϕϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.31） 则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵势2/2cos sin sin cos s r C ϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（3.32） 电压和磁链的旋转变换阵也是与电流（磁动势）旋转变换阵相同。