求几何体中的最短路线长ppt

例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D A
4
2
C1
1 B1 C
B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾 股定理可求得图1中AC1爬行的路线 最短.
D D1 A1 B1
.
40
.A
C
50
30
D
. .A
30
B
B
40
C
50
40
A
D
30
D
50
C
80 40 8000
2 2
图①
C
50
.B
B
50
. A
40
C
30
D
2
C
40
30 90 9000 A 30
2
D
图②
C
40
30
.B
B
30
.A
D
C 50
C
40
D 50 70 7400
2 2
50
A
图③
总结规律： 1、研究几何体的最短路线问题要 注意画几何体的展开图。
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相 对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬 到B点，最短线路是多少？
A
5
1
3
A
5
C
12
B
∵ ∴
AB2=AC2+BC2=169, AB=13.
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例 2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距下底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 解：AC = 6 – 1 = 5 ， 表面爬行的，故需把圆柱展开 1 BC = 24 × 2 = 12， 成平面图形.根据两点之间线 段最短，可以发现A、B分别在 由勾股定理得 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 2= AC2+ BC2=169, AB 24m的中点处，即AB长为最短 ∴AB=13(m) . 路线.(如图)
4Hale Waihona Puke Baidu
D1
C1
2
C1
2
①
A1
A
4
②
A B 2
C1
1
B1 B
1
C
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25
;
AC1 =√62+12 =√37
;
AC1 =√52+22 =√29
.
练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm 的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要 爬多远？ B
2、长（正）方体的最短路径：
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 （ ）. （ A） 3 （B） √5 （C ）2 （ D ）1
B
C
1
2
C
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题