统计学教案(第6章抽样推断)

统计学

2ˆθ满足

{

1ˆP θ≤ }2

ˆθθ≤ 1α=-

则称随机区间［1ˆθ，2ˆθ］是参数θ的置信水平为1α-的置信区间, 1α-称为［1

ˆθ，2ˆθ］的置信度，1ˆθ，2ˆθ称为置信限。

这里有几点需要说明：

(1)区间［1ˆθ，2ˆθ］的端点1ˆθ，2ˆθ及长度2ˆθ－1

ˆθ都是样本的函数，从而都是随机变量，因此［1ˆθ，2

ˆθ］是一个随机区间。 (2){

1ˆP θ≤ }2

ˆθθ≤ 1α=-是说随机区间

［1ˆθ，2

ˆθ］以1α-的概率包含未知参数真值，区间长度2ˆθ－1

ˆθ描述估计的精度，置信水平1α-描述了估计的可靠度。 (3)因为未知参数θ是非随机变量，所以不能说θ落入区间［1ˆθ，2

ˆθ］的概率是1α-，而应是随机区间［1ˆθ，2ˆθ］包含θ的概率是1α-。

通俗地说，在点估计的基础上，给出总体参数的一个范围称为区间估计。 （二）总体均值的区间估计

1.正态总体且方差已知；或非正态总体、方差未知、大样本情况下

在这种情况下，样本均值的抽样分布呈正态分布，其数学期望为总体均值μ，方差为

2

n

σ。则2

X Z n

ασ

±⋅

称为总体均值在1α-置信水平下的置信区间。

区间估计步骤：

1.计算样本统计量

p

x ,p p )1(,-=

=

μσμ

2.计算抽样平均误差

3.计算极限误差

4.确定置信区间

5.估计总量指标

注意抽样方法的不同

［例］保险公司从投保人中随机抽取36人,计算得36人的平均年龄39.5X =岁，已知投保人平均年龄近似服从正态分布，标准差为岁，试求全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间。

解：10.99,0.01,αα-==查(0,1)N 表得2

2.575Z α=

2

7.2

39.5 2.57536.4136X Z n

α

σ

-=-⨯

= 2

7.2

39.5 2.57542.5936

X Z n

α

σ

+=+⨯

= 故全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间为[,]

若总体方差2σ未知，可用样本方差S 2

代替

p

p x x μμαα2

2

Z =∆Z =∆[][]

p

p

x

x

p p x x ∆+∆

-∆+∆-,,NP

X

N

（三）估计成数时样本大小的确定

在简单随机重复抽样条件下，得到样本容量：

2

22(1)P Z P P n α-=∆（重复抽样条件下）

在简单随机不重复抽样条件下，我们可以得出估计总体比例时样本容量的计算公式为：

2

2222(1)(1)P NZ P P n N Z P P αα-=∆+-（不重复抽样条件下）

[例]根据以往的生产统计，某种产品的合格率为90%，现要求绝对误差为5%，在置信水平为95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本

已知，90%P = 5%P ∆= 2

1.96Z α=

则222(1)P

Z P P n α-=∆=221.960.9(10.9)1390.05⨯⨯-= 必要样本容量的影响因素

1.总体方差的大小；

2.允许误差范围的大小；

3.概率保证程度；

4.抽样方法；

5.抽样的组织方式。

第三节 抽样的组织形式

抽样的组织形式有纯随机抽样、机械抽样、类型抽样、整群抽样和多阶段抽样。

一、纯随机抽样

1.含义：对总体单位逐一编号，然后按随机原则直接从总体中抽出若干单位构成样本

2.特点：最符合抽样调查的随机原则，是基本形式。简便易行。

3.范围：仅适用于单位数不多、标志变异较小、分布较均匀的总体

二、类型抽样

1.含义：先将全及总体中的所有单位按某一主要标志分组，然后在各组中采用纯随机抽样或机械抽样方式，抽取一定数目的调查单位构成所需的样本。又叫分层抽样或分类抽样。

2.方法：

A比例分配法 n i/n=N i/N

B 最佳分配法根据各层单位的变异程度的大小来分配

C经济分配法除了考虑单位数目和变异程度外，还有调查费用。

3.特点：能保证分布的均匀性，提高样本的代表性，误差较小；能同时推断总体指标和各子总体的指标

三、机械抽样

1.含义：是先将全及总体所有单位按某一标志顺序编号排列，然后按照固定顺序和相等的空间距离或间隔，从中抽取样本单位的一种抽样组织方式。又叫等距抽样或系统抽样。

2.方法：根据需要计算抽取各个样本单位之间的距离或间隔；然后，按此间隔依次抽取必要的样本单位。

3.特点：能保证样本较均匀地分布。是不重复的抽样。