三角函数的积化和差与和差化积

一、教学目的：

1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。

2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。

二、重点、难点：

掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。

三、新课讲解：

（一）三角函数的积化和差与和差化积公式

1、公式的推导

())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ，

()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S

()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C

()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C

()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-， ()()()()C C C C αβαβαβαβ

+-+-+-，，得 ()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222

即()()[]sin cos sin sin αβαβαβ=

++-<>12

1 ()()[]cos sin sin sin αβαβαβ=+--<>12

2 ()()[]cos cos cos cos αβαβαβ=++-<>12

3 ()()[]sin sin cos cos αβαβαβ=-+--<>12

4 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。

其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。

在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用

起来方便，在αθϕβθϕ=+=-22

，。 把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有 ()sin

cos sin sin sin sin sin sin sin

cos θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-=++-⎛⎝ ⎫⎭++--⎛⎝ ⎫⎭⎡⎣⎢⎤⎦⎥=++=+-<>2212222212

2225·∴· 同样可得，

sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ-=+-<>+=+-<>-=-+-<>

2226222

72228···

公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。 其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；

正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θ与ϕ，等式右边为θϕ+2

与θϕ-2

的形式。 牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。

2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。

3、典例分析

例1. 把下列各式化为和差的形式。

（1）sin cos ππ12512

·

（2）23555cos sin o o ·

（3）()()cos cos x y x y -+·

分析：利用积化和差公式。

点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。 （2）如求sin sin ππ838·的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求值，即 sin sin sin cos sin πππππ8388812424

··=== 例2. 把下列各式化成积的形式。

（1）cosx -12

（2）sin cos x x + 分析：只要将以上两题稍作变形，如将（1）中12换成cos π3

，（2）中cosx 看作()sin 90o x -即可直接应用公式进行化积。

点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中

12化为cos

π3，（2）中cosx 化为()sin 90o x -。 （2）对于型如a x b x sin cos +，可化为()a b x 22++sin ϕ也能达到和差化积的形式之目的。

例3. 求值：

（1）sin cos sin cos sin sin 71587158o o o o o o +-·· （2）sin cos sin cos 22208032080o o o o ++

分析：（1）中注意7°与15°和8°的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。

点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法1属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如cos cos cos 204080o o o 的求值题，试一下是不是很巧妙？