高三数学导数及其应用

北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：导数及其应用

I 卷

一、选择题

1．曲线y ＝－x 3＋3x 2

在点(1,2)处的切线方程为( )

A ．y ＝3x －1

B ．y ＝－3x ＋5

C ．y ＝3x ＋5

D ．y ＝2x 【答案】A

2．函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】D

3． 曲线y=x+ln x 在点（2

e ,2

e +2)处的切线在y 轴上的截距为（ ）

A ．1

B ．-1

C ． 2

e

D ．- 2

e

【答案】A

4．曲线x x y 43

-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )

A ．

34

π B ．

2

π C ．

4

π D ．

6

π 答案：A 5．若

2)(0='x f ，则k

x f k x f k 2)

()(lim

000

--→等于（ ）

A ．－1

B ．－2

C ．－1

D ．

2

1 【答案】A 6． 已知

()(3)2,32,f f ¢==-则323()

lim

3

x x f x x ®--的值为 ( ）

A ． －4

B ． 0

C ． 8

D ． 不存在

【答案】C 7． 设曲线1

1

x y x +=

-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ） A ．2

B ． 2-

C ． 12-

D ． 1

2

【答案】B

8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．⎣⎡⎭⎫1，3

2

C ．[1,2)

D ．⎣⎡⎭

⎫3

2，2

【答案】B

9．设函数，其中，则导数的取值范围

是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 10．设函数ax x x f m +=)(的导函数是12)(+='x x f ，则数列})

(1

{

n f )(*N n ∈的前n 项和为（ ） A ．2

1

++n n B ．1

+n n C ．

1

2

++n n D ．

n

n 1

+

【答案】B

11．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13

x 3

＋

81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 【答案】C 12．已知

(),()]f x g x 在[m,n 上可导，且()()f x g x ''<，则当m x n <<时，有

( ）

A ．()()f x g x <

B ．()()f x g x >

C ．()()()()f x g n g x f n +<+

D ．()()()()f x g m g x f m +<+

【答案】C

13． 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）

A ． sin α

B ． cos α

C ． sin cos α

α

+

D ． 2sin α

【答案】A

14．设函数f (x )＝(x ＋1)2

(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )

x ＋1

等于( ) A ．6

B ．2

C ．0

D ．－6

【答案】D

II 卷

二、填空题 15． 函数f (x )＝

e

x

1－x ＋e

x

1＋x 在x ＝2处的导数为________． 【答案】0 16． 若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足的不等式xf ′(x )＞－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式不一定成立的是________．(填序号) ①af (b )＞bf (a )；②af (a )＞bf (b )；③af (b )＜bf (a )． 【答案】①③ 17．设1

1

1

,e

x

m e dx n dx x

==⎰

⎰

，则m 与n 的大小关系为 。

【答案】

18．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392

x 2

－40x (x >0)，为使耗电

量最小，则速度应定为________． 【答案】40

19． 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使体积为最大，则其高应为____________.

【答案】

3

3

20 20．已知函数3

221()(21)13

f x x x a x a a =

++-+-+，若()0f x '=在（0，2上有解，则实数a 的取值范围为 。 【答案】7122

a -≤<