概率论课件连续型随机变量

当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
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x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
的性质，易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
(2) f ( x)dx 1.
注：上述性质有明显的几何意义.
连续型随机变量及其概率密度
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
(2) f ( x)dx 1.
注：上述性质有明显的几何意义.
连续型随机变量及其概率密度
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
还可求得 X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率：
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
y f (x)
y f (x)
P{a X b}
F( x)
Ox
x
Oa b
x
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
完
例5 某元件的寿命 X 服从指数分布, 已知其参数
1/ 1000, 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对随机变量 X 的分布函数 F ( x), 存在非
负可积函数 f ( x), 使得对任意实数 x 有 x F ( x) P{X x} f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，称 f ( x) X 的概率密度函
数，简称为概率密度或密度函数. 由定义及分布函数
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠
性理论和排队论中有广泛的应用. 易求得 X 的分布
函数
1 ex , F(x)
0,
x0
其它
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有
P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意 s,t 0, 有
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
41/ 48.
完
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
0 x3 3 x 4.
其它
解
P{1
X
7 / 2}
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
41 48
,
或 P{1 X 7 / 2} F (7 / 2) F (1)
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
P{x X x x} f ( x)x, 即，X 落在小区间( x, x x]上的概率近似等于 f ( x)x.
完
例1 设随机变量 X 的密度函数为
f ( x) 2 1 x2 ,
0, 求其分布函数 F ( x).
1 x 1 其它
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
(1)
由定义和积分上限函数导数公式即得，由(1)式得：
f (x)
lim
x0
F ( x x) F ( x) x
lim
x0
P{
x
X x
x
x}
(2)
可将上式理解为：
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间
( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
此站, 如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之
间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的 概率.
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数
一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函 数.
完
连续型随机变量分布函数的性质
1. 对一个连续型随机变量 X , 若已知其密度函数 f ( x), 则概据定义，可求得其分布函数 F ( x), 同时，
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度