概率论课件连续型随机变量
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连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
2021/5/11
27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
对于连续型随机变量，其取值充满某 一个区间，不能以列举的方式表示其 所有可能取值，因此引入密度函数的 概念。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
概率论与数理统计课件 4连续型随机变量
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布 (2) 求已知设备在无故障工作8h 情形下，再无故障
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
概率论与数理统计-2.2连续型随机变量及其分布
8
注意
概率为零的事件未必是不可能事件；
事件A是不可能事件
P( A) 0
概率为1的事件也不一定是必然事件
事件A是必然事件
P( A) 1
9
连续型随机变量的其它若干结论 (1) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞,
(2) F(x)是 x 的单调不减函数;
(3) F () lim F ( x) 0
理解为：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的
可能性是相同的。或者说X落在子区间内的概率只依
赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。即X取值 在[a,b]上是均匀的。
23
若X在[a,b]上服从均匀分布，对区间内的任一个区 间[c,d]，有
0 a
d
[
c
] d
b
x
P(c X d ) f ( x)dx
分布函数为
a xb 其它
xa a xb xb
21
则称X在区间 [a，b]上服从均匀分布．记为X~U[a,b]
0, x a F ( x) , b a 1,
密度函数f (x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.2和 图2.2.3所示
22
意义：
0
a
b
x
X“等可能”地取区间[a,b]中的值，这里的“等可能”
c
d c
1 d c dx ba ba
24
例2 102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘
客到了车站. 求乘客候车时间不超过2分钟的概率.
解1：设随机变量X为候车时间，则X～U[0,5]均匀分布， 故
P( X 2) F (2)
解2 （几何概率）
0 2
注意
概率为零的事件未必是不可能事件；
事件A是不可能事件
P( A) 0
概率为1的事件也不一定是必然事件
事件A是必然事件
P( A) 1
9
连续型随机变量的其它若干结论 (1) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞,
(2) F(x)是 x 的单调不减函数;
(3) F () lim F ( x) 0
理解为：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的
可能性是相同的。或者说X落在子区间内的概率只依
赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。即X取值 在[a,b]上是均匀的。
23
若X在[a,b]上服从均匀分布，对区间内的任一个区 间[c,d]，有
0 a
d
[
c
] d
b
x
P(c X d ) f ( x)dx
分布函数为
a xb 其它
xa a xb xb
21
则称X在区间 [a，b]上服从均匀分布．记为X~U[a,b]
0, x a F ( x) , b a 1,
密度函数f (x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.2和 图2.2.3所示
22
意义：
0
a
b
x
X“等可能”地取区间[a,b]中的值，这里的“等可能”
c
d c
1 d c dx ba ba
24
例2 102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘
客到了车站. 求乘客候车时间不超过2分钟的概率.
解1：设随机变量X为候车时间，则X～U[0,5]均匀分布， 故
P( X 2) F (2)
解2 （几何概率）
0 2
概率统计ppt 连续型随机变量
2
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
连续随机变量及分布 PPT
解：方程 x2 Yx 1 0 有实根的充要条件是
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
概率论 7连续型随机变量
作业
• 习题2 10，11，12，13，15
随机变量 X 的分布函数为 x0 0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P (0.3 X 0.7)
(2)X的密度函数
2 2
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.7 0.3 0.4
P{ a X b}＝ P{ a X b} P{ a X b} ＝ P{ a X b}＝ f ( x ) dx
a b
例1：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
求 P (0 X
P ( A ) P{10 X 15 } P ( 25 X 45 } P{55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
2、 指数分布(exponential distribution)
e ,x 0 若 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 年的概率为多少？ 解
3e 3 x f ( x) 0
x0 x 0,
6
(1) p{ X 2}
3e
2
3 x
dx e
( 2 ) p{ X 3 .5 | X 1 .5}
p{ X 3 .5, X 1 .5} { X 1 .5}
密度函数的几何意义为
P ( a X b )＝ f ( u ) du
a
b
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
2. 密度函数的性质
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
THANKS FOR WATCHING
均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
概率论 2.3(连续型随机变量)
x
a
[ x由概率密度求分布函数]
5.F ( x) f ( x)(x为f ( x)的连续点 ).[由分布函数求概率密度]
由性质5在f(x)的连续点x 处有
F ( x Δ x) F ( x) f ( x) lim Δ x 0 Δx P( x X x Δ x) lim . Δ x 0 Δx
2.3.2 常用连续分布
【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时
通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时
间不超过3分钟的概率. 解 设X表示他等车时间（以分计），则X是 一个随机变量，且 X ~ U (0,10). X的概率密度为
1 , 0 x 10, f ( x ) 10 其 它. 0,
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量 X的概率 牛顿-莱布 尼兹公式 密度函数的充要条件 .
[确定待定参数]
b
3.P{a X b} 1 f ( x)dx F (b) F (a); [求概率]
4.F ( x)
f ( x)
f (t )odt( x );
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
即 有C 1
3 0
所求概率为 P{ X 3}
3 f ( x )dx , 10
2.3.2 常用连续分布
【例2.12】设随机变量 X在(2,5)上服从均匀分布，
概率论与数理统计2.3-连续型随机变量及其分布PPT课件
kx 1, f (x) 0,
0 x 2, 其他,
求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5<X<2).
解： f (x)dx 1 k 1
2
0,
x 0,
F ( x)
x2 4
x,
0 x 2,
1,
x 2;
79
P(0.5 2021/3/12
X
2)
F(2)
F (0.5)
1 16
2021/3/12
31
例11. 设测量某一目标的距离时发生的误差 X(米)的概率密度为
f (x)
1
( x20)2
e 3200 , ( x )
40 2
求三次测量中至少有一次误差的绝对值 不超过30米的概率。
2021/3/12
32
解：X~N(20,402)
P( X 30) (30 20) ( 30 20)
16
解：(1)
x
Ce 100dx
0
x
[100Ce 100 ]
0
100C
1
C 0.01, X ~ E(0.01)
(2) P( X 100) 1 F(100) 1 (1 e0.01100)
e1 0.3679
(3) P( X 300 X 200) P( X 300, X 200)
0.6853
2021/3/12
30
例10. 设X～N(μ, σ2),求:
P( X k )
P( k X k )
P( X k) P( X k)
(k) (k) 2(k) 1
P( X ) 0.6826
P( X 2 ) 0.9544
P( X 3 ) 0.9974 ——3σ原则
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率密度函数
△ 均匀分布 △ 指数分布 △ 正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ～U[a, b]。(注: 有时也记作X～U(a, b) )
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
例2.3.4 假设某地区成年男性的身高(单位: cm) X～N(170,7.692), 求该地区成年男性的身 高超过175 cm的概率。
解 根据假设X～N(170 ,7.692), μ=170， a=175, σ= 7.69。由(2.3.15) 式的后一式，得
小结
本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、 概率密度函数及其性质；然后介绍三种常用的 连续型随机变量：均匀分布，指数分布和正态 分布；给出了三种分布应用的例子。
概率密度曲线可用来准确地刻画 X 的概率 分布情况。
2.3. 2 概率密度函数 定义2.3.1 若存在非负可积函数 f(x), 使
随机变量X落入任意区间(a, b]的概率
则称 X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
对概率密度的进一步解释： 若 x 是 f(x) 的连续点，则有
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
对
当 x→ ∞时，f(x) → 0。 这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。
对
可以证明： x =μσ
为 y = f (x) 曲线的两个拐点的横坐标。
概率论与数理统计 2.3连续型随机变量
称X服从参数为 ,的正态分布或 高斯分布,记为 X～N( , 2) f(x) 1 (1)关于直线x 对称; 1 2 ( 2)最大值为 ; 2 ( 3)在x 处有拐点. o x 可求得X的分布函数为: ( t )2 x 1 2 2 F ( x) dt e 2
1 2
x
u2 2
du (x源自) (4) a<b, X～N( , 2) ,有: b a P(a X b) ( ) ( )
例7 设X～N(3,4),试求:
(1) P(2<X≤5) (2) P(2<X<7)
(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值
0
得 P(X=a)=0
故: (1) P(A)=0 A是不可能事件 (2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关 即: P(a<X≤b)=P(a≤X<b) =P(a<X<b) =P(a≤X≤b)
例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , <x<+ 试求: (1)常数A (2) P(0<X<1) (3) X的分布函数
24
p P( X 10) 1 P( X 10)
1
10 0
1 e dx 1 e 5
x 5
x 5 10 0
| e
2
由于顾客每次去银行都是独立的，Y~B(5,p)
因此Y的分布律为
P (Y k ) C p (1 p )
k 5 k 5 k 2 5 k 2k
解: =3, =2
( x 3 ) 又 F ( x ) ( ) 2
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
概率论与统计第二章第三节连续型随机变量
x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入 误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车 时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中 亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x
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P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2 Βιβλιοθήκη x 20,,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2 Βιβλιοθήκη x 20,,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有