数学物理方法12格林函数

u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下： 1.第一类边值问题：
G(r , r0 ) (r - r0 ) 相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解： G(r , r0 ) | 0
上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解 物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M 1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分 布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
G (r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
格林函数互易定理：因为格林函数 处的点源在
G(r , r0 ) 代表 r0
r
处所产生的影响（或所产生的场）,
所以它只能是距离| r r0 | 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：
G(r , r0 ) G(r0 , r )
u (r ) f (r ) u [ u ] (r ) n
T
进一步改写为
v u (u n v n )dS T (uv vu)dV
n
表示沿边界
的外法向偏导数．
称为第二格林公式．
二、泊松方程的格林函数法
1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．
泊松方程
u(r ) f (r )
u [ u ] (r ) n
1 1 ln c 2 r
1 1 ln 2 r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r ,0) 1 1 ln 2 r r0
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
1 1 u (r ) f (r0 )ln dS0 S 2π 0 | r r0 |
用电像法确定格林函数
边值条件
(r )
是区域边界

上给定的函数.
是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u (r ) f (r ) u [ u ] (r ) n
表示边界面 n
上沿界面外法线方向的偏导数
泊 松 方 程
第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题) 第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题) 第三类边界条件：第三边值问题
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数的物理意义：
在区域T内部 r0 处放置一个点源，而在该区域T的界 面上为零的条件下, 那么该点点源在区域T内r处产生 的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
2.第二类边值问题
u (r ) f ( r ) u | (rp ) n
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
G (r , r0 ) (r - r0 ) G (r , r0 ) | 0 n
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
电像法
考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
1 u (r ) 4

T
f (r0 ) dV r r0
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r,0)dV G(r,0)dV
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T0
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u(r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对上式两边在球内积分
r0 0
（14.3.4） （14.3.5）
T T T
以上用到公式
(uv) u v uv
称上式为第一格林公式．同理有


vu dS (vu )dV vudV v udV
T T T
上述两式相减得到


(uv vu ) dS (uv vu )dV
T

1

(r0 )G(r , r0 )dS0
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域
T
中分布的源 f (r0 ) 在
r
r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
G(r,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到

T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r,0) dS
T S
G 2 r sin d d S r
u ( r )和v ( r ) 在区域 T
及其边界

上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理


A dS AdV =
T

T
divAdV
(12.1.1)
将对曲面

的积分化为体积分


uv dS (uv )dV uvdV u vdV
(14.3.6)
故有
使上式恒成立，有
G 4r 1 r 1 G c 4r
2
G 2 r sin dd 1 r s
r ， G 0
因此
c0
,故得到
1 G 4r
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为 1 G(r , r0 ) 为电量为- 0的点电荷所产生的场 4 r r0 代入 （14.3.1）得到三维无界区域问题的解为
第十二章
格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中
的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和 初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法 计算出任意源所产生的场．
格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．
12.1 泊松方程的格林函数法
一、 格林公式
G (r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
v u (u n v n )dS T (uv vu)dV
根据格林第二公式
令 v G(r , r0 ) 得到
G u(r ) (u(r ) n G n )dS T (u(r )G Gu(r ))dV
G ( x, y | x0 , y0 )
（14.4.2）
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ln[ ] 4π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
u (r ) f (r ) u [ u ] (rp ) n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：

G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
T
G (r , r0 ) u (r) u(r ) ]dS n n
称为泊松方程的基本积分公式． 格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个 电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
考虑到格林函数的齐次边界条件，第一类边值问题的解
G(r , r0 ) u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 (r ) dS0 T n0
u (r ) f (r ) u | (r )
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
u (r ) (r r0 )dV G (r , r0 ) f (r )dV
T T
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
T 0 0
故有
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV [G(r , r0 )
由公式可得第二类边值问题解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 (r )G(r , r0 )dS 0
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 ) n0 u(r0 ) n 0 ]dS0 T 3.第三类边值问题
T T
S
G(r ,0) dS
由于
G
G er , G r
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G rddz 1 r S
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G 1 r 2r
令积分常数为0，得到
G (r ,0) G (r ,0)
对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )

G(r , r0 ) ]dS0 n 0
第三边值问题的解为 u(r )

1

(r0 )G(r , r0 )dS0
12.2无界空间的格林函数
基本解
无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有
G
u G[ u ] G ( rp ) n
格林函数的边值条件的两边同乘以函数
u
得
G u[ G ] 0 n
相减得到
u G [G u ] G n n
பைடு நூலகம்
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0