数学物理方法12格林函数
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
格林函数方法)
第七章 格林函数方法
第一节 前言
从五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的 问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓 展，被认为是一种强有力的数学工具[1]。例如，对许多准粒子问题，只需知道相 互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得 到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的 系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性 质的直接有效的方法。 但是在很多的实际问题中，如一些较复杂的有限尺寸量子系统，要得出其格 林函数的解析表达式是很困难的，因此必须要通过数值计算来解决。格点格林函 数方法[2-17]是通过把系统分离成一些格点，然后通过计算这些格点及格点间的格 林函数，进而得出整个体系的格林函数的一种有效数值计算方法。它与其他的一 些数值方法如有限元法[18]、转移矩阵法[19,20]、散射矩阵法[21]、模式匹配法[22]等相 比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统 的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个 Peierls 相位因子。当系统的自由度很 大时， 用一般的格点格林函数方法求解系统的格林函数就对应一个很大维数的矩 阵计算。虽然计算机技术飞速发展，但是计算机的容量仍然制约着我们所能直接 处理的矩阵的维数。在这种情况下，迭代技术已经被越来越广泛地应用于处理这 一类问题。 递归格林函数方法也在这种要求下得到了很大的发展。 Lee、 Fisher[2,3] 和 MacKinnon[7]等作了开创性的工作，然后人们又发展了各种递归格林函数方法 来处理一些具体的结构或边界条件下的尺寸效应和多终端效应。 如 Soles[5,6]等用 递归格林函数方法计算了有 T-型突起的量子线的电子输运性质， Ando[9]则考虑了 在磁场调制下的量子点接触的电导。 在量子物理中，格林函数常常被定义为 v v v v v [ E − H (r )]G (r , r ' ; E ) = δ (r − r ' ) 其中 E 是复变量，H 是一个厄米的含时算符。 如果 E − H 的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式： 1 G= (2-2) E−H 如果 H 的本征函数ψ n 是正交完备的，且 λ n 是其相应的本征值，则
格林函数
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u ϖ化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u ϖ（12-1-1）这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v ϖ（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u ϖ亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu（12-1-3）n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆ϖϖ（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑（12-1-5）其中 ϕ（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
梁昆淼 第12章 数学物理方法
1
G0 4 | r r0 |
所以，可以给出无界空间格林函数
G0 (r , r0 )
4
|
1 r
r0
|
在二维极坐标系下，可以给出
下面具体推导一下:
G0 (r , r0 )
1
2
ln
|
r
1 r0
|
23
第二十三页，共47页。
三维球对称
对于三维球对称情形，先选取 r0 0 即点源位于坐标原点处
对于拉普拉斯方程 f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
u(r )
(r0
)
G(r , n0
r0
)
dS0
(12.1.21)
第三边值问题的解为
u(r ) 1
G(r , r0 )(r0 )dS0
(12.1.22)
21
第二十一页，共47页。
§12.2 用电像法求格林函数
一 无界区域的格林函数
1 一般边值问题的格林函数G的处理：
两者之一。因此，还不能利用上式解决三类边值问题。
怎样解决？让Green函数受边界条件的影响
12
第十二页，共47页。
四 泊松方程解的简化：
——具有实际意义的解
令格林函数满足一定的边界条件
(1) G(r , r0 )满足第一类齐次边界条件：
G 0
u(r ) f (r )
u
|
(r
)
相应的格林函数 G(r , r0 )是下列问题的解：
G(r , r0 )(r0 )dS0
(12.1.20)
20
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对于泊松方程
u(r )
T
数学物理方法格林函数
演化问题的格林函数
演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到 问题 等价问题
Gt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G | t 0 ( x )
Gtt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G |t 0 0 G | t t 0 ( x )
演化问题的基本解
无界输运问题的求解
2 ut a u xx f ( x, t ) u |t 0 0
f ( x, t ) d d f ( , ) ( x ) (t )
0
t
2 Gt a G ( x ) (t ) G |t 0 0
2 ( x ) t exp 2 4a (t ) u d d f ( , ) 2a ( t ) 0
u( x, t ) d d f ( , )G( x, ; t, )
0
t
( x ) 2 exp 2 4 a ( t ) G 2a ( t )
应用（求解数学物理方程的格林函数法）
稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题 方程
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u
f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
第十二章 格林函数法
故得到
( x ) G ( x x ) ( x )d G ( x x ) ( x ) 0 G ( x x ) ( x ) ds n n S
V
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。 讨论几点：
12
该式左边第二项为 1 1 ( x) ( x x )d ( x )
0
V
0
得到
1 1 G ( x x ) ( x )d ( x ) 0 0 V G ( x x ) ( x ) G ( x x ) ( x ) ds n n S
2 0
2
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷， 或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面 规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。
3
二、 Green函数法能解的情况
能用Green定理求解静电边值问题的情况: 给定区域V内电荷分布 (x ) 和区域V的边界面S 上各点的电势 φs 或电势法向导数
1 2 G ( x , x ) ( x x) 0 G ( x , x) 1 G ( x , x) 0, 或 S n 0S S
所在的位置， x 代表观察点，在（3）式和（4）式中，
(5)
7
五、Green公式和边值问题的解
G 0 在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此 n S 即代表单位电荷在边界上所激发的电场，由Gauss定 理知道
1 G( x x )ds n 0 S n G( x x )ds 0 S G( x x ) 0 n S
格林函数——精选推荐
格林函数格林函数这是⼀篇关于格林函数经典解法的⽂章。
从现代的讨论中寻求根本的解法。
在数学中，格林函数是⼀种⽤来解有边界条件的⾮齐次微分⽅程式的函数。
在多体理论中，这⼀术语也被应⽤于物理中，特别在量⼦场论，电动⼒学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。
格林函数的名称是来⾃于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第⼀个提出这个概念的⼈。
在线性偏微分⽅程的现代研究中，格林函数主要⽤于研究基本解。
内容1、定义及⽤法2、动机3、⾮齐次边值问题的求解3.1、研究框架3.2、定理4、寻求格林函数4.1、特征⽮量展开5、拉普拉斯算⼦的格林函数6、范例7、其他举例定义及⽤法技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着⼀个在流形M 中作⽤的线性算⼦L ，为以下⽅程式的解：)(),(s x s x LG -=δ (1)其中δ为狄拉克δ函数。
此技巧可⽤来解下列形式的微分⽅程： )()(x f x Lu = (2)若L 的核是⾮平凡的，则格林函数不只⼀个。
不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯⼀的格林函数。
⼀般来说，格林函数只需是⼀种数学分布即可，不⼀定要具有⼀般函数的特性。
格林函数在凝聚态物理学中常被使⽤，因为格林函数允许扩散⽅程式有较⾼的精度。
在量⼦⼒学中，哈密顿算⼦的格林函数和状态密度有重要的关系。
由于扩散⽅程式和薛定谔⽅程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
其⽅程如下：)(),(s x s x LG --=δ这⼀定义并不显著改变格林函数的任何性质。
如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成⼀个卷积算，即为：)(),(s x G s x G -=在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。
动机若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得：)()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此：ds s f s x LG x Lu )(),()(?=由于算符 L 为线式，且只对变量x 作⽤，不对被积分的变量 s 作⽤），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得：))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?=⽽以下的式⼦也会成⽴：ds s f s x G x u )(),()(?= (3)因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以⽤上述的⽅式得到)(x u 。
数学物理方法12格林函数
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个 电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
u ( r )和v ( r ) 在区域 T
及其边界
上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV =
T
T
divAdV(Leabharlann 2.1.1)将对曲面
的积分化为体积分
uv dS (uv )dV uvdV u vdV
G
u G[ u ] G ( rp ) n
格林函数的边值条件的两边同乘以函数
u
得
G u[ G ] 0 n
相减得到
u G [G u ] G n n
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T T T
以上用到公式
(uv) u v uv
称上式为第一格林公式．同理有
vu dS (vu )dV vudV v udV
T T T
上述两式相减得到
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u (r ) (r r0 )dV G (r , r0 ) f (r )dV
T T
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
格林函数法
第五章 格林函数法一 拉普拉斯方程的对称解与格林公式 1 拉普拉斯方程的对称解定义：如果在n 维空间的一个区域内，函数),...,,(21n x x x u 具有二阶连续偏导数，且满足n 维拉普拉斯方程:+∂∂=∆212x u u (2)2nxu∂∂+=0则称),...,,(21n x x x u 是n 维调和函数。
常见的是二维02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 和三维的调和函数0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zuy u x u u 。
二维拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 的通解为： 211ln C rC u +=如果取π211=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru 1ln 21π=，由于该解与点0M 的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 01ln 21),(0π==三维拉普拉斯方程：0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u 的通解为：211C rC u +=如果取π411=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru π41=，由于该解与0M 点的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 041),(0π==2格林公式及其应用(1)高斯公式设Ω是以分片光滑闭曲面Γ为边界的有界区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在闭区域上Γ+Ω=Ω_连续，其一阶偏导数在Ω内连续，则：⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂ΩdV zR y Q x P )(= dS z n R y n Q x n P ⎰⎰++Γ)],cos(),cos(),cos([。
其中dV 是体积元素，dS 是Γ上面积元素，n 是Γ上外法向量。
(2)第一格林公式设),,(z y x u ，),,(z y x v 的一阶偏导数在_Ω上连续，二阶偏导在Ω内连续，令x v u P ∂∂=，y v u Q ∂∂=，zvu R ∂∂=代入高斯公式可得：⎰⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∆ΩΩΓgradudV gradv dS vuu udV v 。
格林函数 解的积分公式 泊阿松方程
u(r)
T
G(r, r0 ) f (r0
G(r, n0
r0
)
dS0
第一边值问题解的积分表示式
u(r)
T
G(r,
r0
)
f
(r0
)dV0
1
G(r, r0 ) (r0 )dS0
第三边值问题解的积分表示式
右边第一个积分表示区域T中分布的源f(r0)在点r产生的场的总和 第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和。两项积
分的格林函数相同，正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的
边界条件 下产生的场。
对于拉普拉斯方程，u f (r), 右边的 f (r) 0
只要令上述公式右边的体积分为零，就可得到拉普拉斯方程
第一边值问题的解.
13
u(r)
(r0
)
G(r, n0
r0
)
dS0
还有第三边值问题的解.
f
(r)dV
1
G(r, r0 ) (r)dS
u(r0
)
T
v(r,
r0
)
f
r dV
[v(r ,
r0
)
u(r) n
u(r)
v(r, r0 n
) ]dS
10
对于第二边值问题,同样的方法无法解出,因为定解问题
G (r r0 ),
G n
|
0
的解不存在!
T
T
两式相减可得
(uv vu) dS (uv vu)dV
第12章_格林函数法
电磁场的源场关系
源量： (r , t ) 或 q(r , t )
场量： E (r , t ) D(r , t )
电场
J (r , t ) 或 I (r , t )
B(r , t ) H (r , t )
磁场
比如：静电场
源量： (r )
场量： E (r ) D(r )
全电流定律：传导电流和时变的 电场都能产生磁场 电磁感应定律：电荷和时变的磁 场都能产生电场（库仑电场(有源 无旋场)和感应电场(无旋有源场)） 磁通连续性原理：磁场是无散度 场，磁力线总是闭合曲线 高斯定理：电荷是产生电场的源
WangChengyou © Shandong University, Weihai
全电流定律：磁场强度沿任意闭合曲线的环 量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲 面的传导电流与位移电流之和。 电磁感应定律：电场强度沿任意闭合曲线的 环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意 曲面的磁通量变化率的负值。 磁通连续性原理：穿过任意闭合曲面的磁感 应强度的通量恒为0。 高斯定理：穿过任意闭合曲面的电位移的通 量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数 和。
T T
同理 vu dS vudV u vdV T T 两式相减有 uv dS vu dS (uv vu )dV
T
WangChengyou © Shandong University, Weihai
WangChengyou © Shandong University, Weihai
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第12章 格林函数法
数学物理方法第12章
(r a), 3 u 0 u r a f ( , ).
1 1 a 1 1 解： G (r , r0 ) . 4 r r0 r0 4 r r1
G (r , r0 ) u (r ) (r0 ) dS0 n0
1 1 , 2 2 r r0 r 2rr0 cos r0
cos cos cos 0 sin sin 0 cos( 0 ).
r r0 cos 1 1 2 2 2 n r r0 r r 2rr0 cos r0 (r 2rr0 cos r02 ) 3 / 2
两式相减，得
G u G u G. n n
解的积分表达式：
1 u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV G (r , r0 ) (r )dS.
T
1 u (r ) G (r , r0 ) f (r0 )dV0 G (r , r0 ) (r0 )dS0 ,
按比例关系 r0∶a＝a∶r1选定M1 ,则 OPM0 跟 OM1P 相似 PM0 ∶ M1P= OM0 ∶ OP
1 r r0
球面上
1 ∶r r1
球面上
1 1 ∶ . r0 a
P
o r M 0 0
r1
M1
若取
q 0 a / r0 ，则球面上的总电势是
r r1 a 1 1 a 1 1 1 1 0. 4 r r0 r0 4 r r1 4 r r1 r r r 0 0
T
如何求格林函数
如何求格林函数格林函数是一种用于解决偏微分方程的数学工具。
它在物理学、工程学等领域中被广泛应用，用于描述空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
本文将以人类的视角，以一个具体的例子来介绍如何求解格林函数。
假设我们考虑一个二维空间中的热传导问题，即热量在空间中的传播。
假设有一个热源在坐标原点处，我们想求解在空间中任意点处的温度分布。
我们需要建立起偏微分方程描述这个问题。
热传导问题可以由热传导方程来描述，其形式为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是温度分布函数，t是时间，α是热扩散系数。
接下来，我们引入格林函数G(x, y, x', y')，它是满足以下方程的函数：α(∂²G/∂x² + ∂²G/∂y²) = δ(x - x')δ(y - y')其中，δ(x)是狄拉克函数，表示单位脉冲。
注意，这里的格林函数是关于空间坐标的函数，与时间无关。
有了格林函数之后，我们可以通过以下公式来求解温度分布函数u(x, y, t)：u(x, y, t) = ∫∫G(x, y, x', y')f(x', y', t)dxdy其中，f(x, y, t)是边界条件或初始条件。
在实际应用中，求解格林函数常常采用分离变量法、变换法等数学方法。
这些方法能够将偏微分方程转化为一系列普通微分方程或积分方程，从而求解出格林函数。
通过求解格林函数，我们可以得到任意时刻、任意位置的温度分布。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
格林函数的求解方法可以推广到其他偏微分方程问题中，因此具有广泛的应用价值。
总结起来，格林函数是一种用于求解偏微分方程的数学工具。
它通过满足特定的方程条件，描述了空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
通过求解格林函数，我们可以得到解析解，从而获得任意时刻、任意位置的场或势函数分布。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
数学物理方法第12章-格林函数
∫∫ ϕ (r )G (r , r )dS . α
0 0 0 Σ
1
12.2
电像法求格林函数 第一边值问 题格林函数
∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
v(r , r0 ) Σ = 0
⇒
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
r r0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。 将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
∂G ( r , r0 ) dS . ∂n
第一边值问 题格林函数
u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV + ∫∫ ϕ ( r )
T Σ
第三边值问题
[α
∂u + β u ] Σ = ϕ (Σ ) ∂n
∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
[α ∂v + βv] Σ = 0 ∂n
1 a + 4π r − r0 r0
1 a 4π r − 2 r0 r0
2
1 1 = r − r0 r 2 − 2rr0 cos θ + r02
在球面上
∂ ∂n
Σ
=
∂ ∂r
r =a
[
∂ 1 1 2r − 2r cos θ ]Σ =− ∂n r − r0 2 (r 2 − 2rr0 cos θ + r02 )3 / 2
[
∂ ∂ G (r , r0 )] Σ = [− G (r , r0 )] z =0 ∂n ∂z
Σ
∂u ( r ) ∂v ( r , r0 ) − u (r ) ]dS . ∂n ∂n
数学物理方法 第十二章 格林函数解的积分公式
9
Poisson 方程： 考虑非齐次边值问题
n
r'
T r
u f ( r ), r T (12.1.4) u u ( M ) n
2
O
0, 0 第一边值问题或狄里希利问题 0, 0 第二边值问题或诺依曼问题 0, 0 第三边值问题
T
T
z K r0 y
ε
u ( r0 ) v ( r , r0 ) f ( r )dV v ( r , r0 ) u( r ) v( r , r0 ) n u( r ) n dS
T
o
x
——泊松方程的基本积分公式
2 0 ln(| ' |) C dq ( ' , ' ) , 令C 0 2 0 ln(| ' |) du ( , ) d q ( ' , ' ) 2 0
dq ( ' , ' )
T K T K
2
２ （的半径）
1 1 4 | r r0 | 4
立体角
0（V 不包含 r0 )
1 1 1 2 )dS u r d u(r0 ) 2 r 4 r
vf dV u v dS u ( 1 n (r ) 4
· (x, y, z) /0 E=
2
G代表位于( , , )的带电量为 0 )的点电荷在( x, y, z )产生的电势。 (
二维无界空间Green公式
泊松方程 u=f (x, y)
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2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
G (r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
1 u (r ) 4
T
f (r0 ) dV r r0
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r,0)dV G(r,0)dV
由公式可得第二类边值问题解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 (r )G(r , r0 )dS 0
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 ) n0 u(r0 ) n 0 ]dS0 T 3.第三类边值问题
T T T
以上用到公式
(uv) u v uv
称上式为第一格林公式．同理有
vu dS (vu )dV vudV v udV
T T T
上述两式相减得到
(uv vu ) dS (uv vu )dV
T
G (r , r0 ) u (r) u(r ) ]dS n n
称为泊松方程的基本积分公式． 格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T0
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u(r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对上式两边在球内积分
r0 0
（14.3.4） （14.3.5）
u ( r )和v ( r ) 在区域 T
及其边界
上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV =
T
T
divAdV
(12.1.1)
将对曲面
的积分化为体积分
uv dS (uv )dV uvdV u vdV
1 1 ln c 2 r
1 1 ln 2 r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r ,0) 1 1 ln 2 r r0
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
1 1 u (r ) f (r0 )ln dS0 S 2π 0 | r r0 |
用电像法确定格林函数
T
1
(r0 )G(r , r0 )dS0
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域
T
中分布的源 f (r0 ) 在
r
r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下： 1.第一类边值问题：
G(r , r0 ) (r - r0 ) 相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解： G(r , r0 ) | 0
G ( x, y | x0 , y0 )
（14.4.2）
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ln[ ] 4π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
2.第二类边值问题
u (r ) f ( r ) u | (rp ) n
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
G (r , r0 ) (r - r0 ) G (r , r0 ) | 0 n
边值条件
(r )
是区域边界
上给定的函数.
是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u (r ) f (r ) u [ u ] (r ) n
表示边界面 n
上沿界面外法线方向的偏导数
泊 松 方 程
第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题) 第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题) 第三类边界条件：第三边值问题
G
u G[ u ] 函数
u
得
G u[ G ] 0 n
相减得到
u G [G u ] G n n
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
u (r ) (r r0 )dV G (r , r0 ) f (r )dV
T T
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
T 0 0
故有
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV [G(r , r0 )
格林函数互易定理：因为格林函数 处的点源在
G(r , r0 ) 代表 r0
r
处所产生的影响（或所产生的场）,
所以它只能是距离| r r0 | 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：
G(r , r0 ) G(r0 , r )
u (r ) f (r ) u [ u ] (r ) n
u (r ) f (r ) u [ u ] (rp ) n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
T T
S
G(r ,0) dS
由于
G
G er , G r
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G rddz 1 r S
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G 1 r 2r
令积分常数为0，得到
G (r ,0) G (r ,0)
G (r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
v u (u n v n )dS T (uv vu)dV
根据格林第二公式
令 v G(r , r0 ) 得到
G u(r ) (u(r ) n G n )dS T (u(r )G Gu(r ))dV
G(r,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r,0) dS
T S
G 2 r sin d d S r
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数的物理意义：
在区域T内部 r0 处放置一个点源，而在该区域T的界 面上为零的条件下, 那么该点点源在区域T内r处产生 的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
(14.3.6)
故有
使上式恒成立，有
G 4r 1 r 1 G c 4r
2
G 2 r sin dd 1 r s
r ， G 0
因此
c0
,故得到
1 G 4r
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为 1 G(r , r0 ) 为电量为- 0的点电荷所产生的场 4 r r0 代入 （14.3.1）得到三维无界区域问题的解为
第十二章
格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中
的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和 初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法 计算出任意源所产生的场．
格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．
12.1 泊松方程的格林函数法
一、 格林公式
上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解 物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M 1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分 布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法