拉格朗日方程的三种推导方法

拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言

拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

2 达朗贝尔原理推导

达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即：

δW =∑(F i +I i )∙δr i =0i

(1)

其中I i 为惯性力，I i

=−m i a i 。F i 为粒子所受外力，δr i 为符合系统约束的虚位移。

设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数：

r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t)

则虚位移可以表示为：

δr i =∑ðr i ðq j

j

δq j

(2)

粒子的速度v i

=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t) 可表示为：

取速度对于广义速度的偏微分：

(3)

首先转化方程 (1) 的加速度项。将方程 (2) 代入：

应用乘积法则：

注意到的参数为，而速度的参数

为，所以，

。

因此，以下关系式成立：

(4) 将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为

代入动能表达式：，

则加速度项与动能的关系为

(5) 然后转换方程(1)的外力项。代入方程(2) 得：

(6) 其中是广义力：

将方程

(5) 与

(6) 代入方程(1) 可得：

(7) 假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：

(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为

代入得：

定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：

3哈密顿原理推导

哈密顿原理可数学表述为：

2

1

t

t

Ldt

δ=

⎰

在等时变分情况下，有

()

d

q q dt δδ•

=

2

2

11

()0

t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)

由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有

L L

L q q q

q

δδδ•

•

∂∂=

+

∂∂

(2)

其中第一项可化为：

()()()L

L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•

•

•••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂

(3)

将(3)代入(2)得

()()d L d L L

L q q q

dt dt q

q q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)

将(4)代入(1)得

2

12

1

()

(())0t t t t L d L L q q q dt dt q

q

q δδδ•

•∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰

(5)

在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为

2

1

(())0t t d L L

q q dt dt q

q δδ•∂∂-=∂∂⎰

(6)

即

2

1

[(())]0t t d L L

q dt dt q

q δ•∂∂-+=∂∂⎰

(7)

q 是独立变量，所以

拉格朗日方程：

4欧拉-拉格朗日方程推导

欧拉-拉格朗日方程可以表述为：

设有函数和：

其中是自变量。

若存在使泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有i，皆有：

若设独立变量为时间，函数为广义坐标，泛函替换为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程