第三章_动力学方程的三种基本形式
3动力学方程解析
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
动力学方程
又
ri
(miai
)
ri
d(mivi dt
)
d dt
(ri
பைடு நூலகம்
mivi
)
d dt
LOi
13
ri Fi mO (Fi )
所以式（A）为
n
i 1
[mO
( Fi
)
d dt
LOi ]
0
(3.2.7)
动量矩
在t——t+t 时间内积分，得
n
[mO (Si ) (LOi lOi )] 0
i 1
(3.2.9)
[( X i mi xi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mi zi )zi ]0
②不考虑约束反力。 ③解题时，一般不必按上式建立方程，只需先虚加惯性力， 将动力学问题变成形式上的解静力学问题，然后用虚位移原 理求解。
2
例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
i1 n
[mCz (Si ) JCz ('i i )] ' 0
i1
(3.2.11) (3.2.12)
J—转动惯量，i、 ’ i 碰撞前、后的角速度。
三、平面运动的情形
将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，由式 (3.2.5)、(3.2.12)，有
15
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
FgArA (FgBe FgBr cos )rBe
(FgBe cos Q sin FgBr )rBr 0
即：(Ma ma mar cos )rA (ma cos mg sin mar )rBr 0
动力学方程
动力学方程1. 引言动力学方程是研究物体在运动中受到的力学作用的数学描述。
它是物理学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、生物学等。
本文将介绍动力学方程的基本概念、求解方法以及应用等方面的内容。
2. 动力学方程的定义动力学方程描述了物体在运动过程中所受到的力学作用。
一般来说，动力学方程可以分为牛顿第二定律和拉格朗日方程两种形式。
2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述质点运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以得到物体在受到外力作用下的运动方程。
2.2 拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体运动的另一种形式，它基于能量守恒的原理。
拉格朗日方程的数学表达式为：d/dt ( ∂L/∂(dq/dt) ) - ∂L/∂q = 0其中，L表示物体的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间。
拉格朗日方程可以从运动的作用量原理推导得到，它可以描述多自由度、非洛加多力学系统的运动。
3. 动力学方程的求解方法求解动力学方程是研究物体运动的关键步骤之一。
常见的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。
3.1 解析解法解析解法是通过数学计算的方法，求得动力学方程的精确解。
在一些简单的情况下，动力学方程可以直接求解得到解析解。
例如，简谐振动的运动方程可以通过解微分方程得到解析解。
3.2 数值解法数值解法是通过数值计算的方法，求得动力学方程的近似解。
数值解法通常采用数值求解微分方程的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值解法在复杂的情况下具有更好的适用性，但是精度相对较低。
4. 动力学方程的应用动力学方程广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些典型的应用。
4.1 经济学在经济学中，动力学方程可以用于描述经济系统的运动规律。
例如，经济增长模型可以通过动力学方程来描述经济发展的速度和方向，从而为经济政策制定提供理论依据。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
第三章 化学反应动力学的计算
第三章 化学反应动力学的计算化学反应的速度各不相同，有的反应速度极快，只要几个毫微秒就达到平衡(接近扩散速度，如无机酸碱中和)，有的反应速度极慢，几乎看不到变化(如自然界的某些变化)。
大部分有机化学反应可用常规方法测量，对某些快速反应则可用停留法、驰豫法等测量。
不论反应速度的快慢，动力学方程都是类似的。
一、化学反应动力学方程反应物浓度随时间的变化绝大部分不是线性关系，而是一条曲线，见图3-1。
反应速度公式可用微分方程来表示。
具有简单级数的化学反应的反应速度公式可用积分式表示：一级 如：0AA1Adc A C =a, -=k c dt 生成物：，㏑C A =㏑a –K 1t 二级 A+A →产物 C A 0=a 2A 2A 2A d c 11-k C , =+k t d t c a对于反应 1-1k k A B 这一可逆反应初始条件 t=0 a 0 时间t 时 t=t a-x x达到平衡时，B 的浓度为X e ，则可逆反应的速度积分式为： 级数：1-1 1-10k A A e e 1A -1B k 0e 0C =a dc x xA B=-k C +k C : =kt dt a x -xC =0ln 1-21-10Ak0A e e e B 1A -1B C k e e 0CC =a dc x ax +x(a-x )A B+C C =0=-k C +k C C : =kt dt 2a-x a(x -x)C =0ln 二、常微分方程的解化学反应动力学方程是用微分方程表示的，对于简单的反应，可直接求得微分方程的解。
微分方程：()(1)(,,,......)......(1)n n y f x y y y -'=在区间a<x<b 的解，是指()y x ϕ=,这样一个函数，在所述区间内存在导数()(),(),......()n x x x ϕϕϕ'''。
且对于区间a<x<b 内的每一个x ，等式(1)都成立。
第三章_动力学方程的三种基本形式
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
2
12
12
δϕ1
M g2
13
1
1
2
g1
x g2
x g3
3
M2' 右转 轴承O3： ϕ 3 ≡ 0 轴承
& 左转， ϕ1 左转，故M13'右转 右转
M 13 = M 13′ = M 1
& & ϕ3r = ϕ31 左转
（3）加惯性力 ） && 左转， && && && 左转， && ϕ1 = ϕ 左转， ϕ 2 = 2ϕ1 左转， ϕ 3 = 0 曲柄O 简化中心为O 曲柄 1O3：简化中心为 1
r r r Fi + N i + Fgi = 0
r r r r & ∆Pi = ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0
& 在此瞬时，相应的位形上给第 个质点虚速度 r 在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ∆ri ，第i个质点的虚功率 个质点的虚功率
对于系统可得： 对于系统可得：
& && & ∆PC = ( −mg sin θ − RgC ) ∆vC + ( -M gC ) ∆ϕC = - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ
流体动力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0CVCSd v ds tρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dtmd δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dtρ=，故有 0v ∇⋅=。
由奥高公式有CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或0CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
量子力学中的动力学方程
量子力学中的动力学方程量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，其核心是动力学方程。
动力学方程描述了体系在时间演化中的规律，而量子力学的动力学方程则基于薛定谔方程和海森堡方程。
本文将探讨量子力学中的动力学方程及其应用。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最重要的动力学方程之一，它描述了量子体系的时间演化。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程说明了波函数随时间的演化符合线性定律。
2. 海森堡方程与薛定谔方程不同，海森堡方程是描述量子体系的运动方程，它不涉及波函数。
海森堡方程的一般形式为：dA/dt = (1/iℏ) [A, H]其中，A是动力学变量的算符，H是哈密顿算符。
海森堡方程描述了算符随时间的演化。
3. 动力学方程的应用薛定谔方程和海森堡方程是量子力学中重要的基本方程，它们在各个领域的研究中被广泛应用。
3.1. 原子物理学在原子物理学中，动力学方程用于描述原子的能级结构和电子的行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子的能级和波函数分布，进而理解光谱现象和原子之间的相互作用。
3.2. 凝聚态物理学在凝聚态物理学中，动力学方程被用于研究固体材料的电子结构和宏观性质。
通过薛定谔方程的数值解和近似方法，可以计算出电子的能带结构、磁性行为以及导电性等重要物理性质。
3.3. 量子计算与量子信息动力学方程在量子计算和量子信息领域起着关键作用。
通过研究量子系统的时间演化，可以实现量子计算中的逻辑操作和量子通信中的量子态传输。
4. 小结量子力学中的动力学方程，即薛定谔方程和海森堡方程，是描述量子体系时间演化的基本工具。
这些方程在原子物理学、凝聚态物理学以及量子计算与量子信息等领域中有着广泛的应用。
通过研究动力学方程，我们可以深入了解微观世界的规律，为实验验证和技术应用提供理论基础。
简而言之，“量子力学中的动力学方程”是研究量子体系时间演化的核心内容，薛定谔方程和海森堡方程是具体的数学表达式，它们在各个物理学领域中扮演着重要的角色。
物理学中的动力学方程
物理学中的动力学方程动力学方程是物理学中非常重要的一个概念，因为它描述了物质在空间中的运动规律。
动力学方程运用了牛顿力学和微积分理论，用一种特殊的形式表达了物体受到的所有力的总和，从而描述了物体的运动。
牛顿第二定律和简单的机械系统牛顿第二定律是描述力和加速度之间关系的经典方程，它基于牛顿的三大定律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与物体所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比。
这个定律常常被写成如下的形式：F = ma其中，F代表受力的大小，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个公式非常基础，但它可以描述许多力学问题。
例如，如果有一个简单的弹簧振子，振子受到弹簧的拉力以及阻尼力的作用，则可以使用牛顿第二定律来描述振子的运动。
在这个情况下，弹簧拉力和阻尼力构成了振子所受的合外力，而振子运动的加速度可以用振幅和周期来确定。
非完整约束和拉格朗日力学但有些问题不那么简单。
例如，对于两个相互作用的物体，它们之间的力可能是垂直于它们之间的距离的，因此无法直接使用牛顿第二定律描述它们的运动。
这种约束被称为非完整约束。
拉格朗日力学则是一种针对非完整约束的运动方程描述方法。
它不依赖于特定的坐标系，而是将所有描述运动的坐标都视为等价的。
拉格朗日力学的关键是拉格朗日方程，也被称为运动方程。
它基于运动的的能量和拉格朗日函数，表示出了物体的运动性质。
拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，T代表物体的动能，V代表物体所受的势能。
拉格朗日方程根据最小作用原理，描述了物体从初始状态到结束状态的运动轨迹。
这个方法被广泛应用于各种物理问题的求解中。
哈密顿力学和正则变量哈密顿力学是拉格朗日力学的另一种形式。
它基于哈密顿函数，而不是拉格朗日函数。
哈密顿函数表示物体的动量和能量之和。
哈密顿函数的形式如下：H = T + V其中，T代表物体的动能，V代表物体所受的势能。
哈密顿力学使用正则变量来描述系统的运动。
正则变量与系统的状态量形成了一种变换关系，使得能量和动量之间的关系更加清晰。
动力学方程与运动解析
动力学方程与运动解析动力学方程是研究物体运动的一种重要工具，它描述了物体在运动过程中所受到的力和加速度之间的关系。
通过解析动力学方程，我们可以深入理解物体的运动规律和特性。
一、动力学方程的基本概念动力学方程是基于牛顿第二定律而建立的，它表达了物体的质量乘以加速度等于物体所受的合力。
这个方程可以用数学形式表示为：F = ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
二、解析动力学方程的方法解析动力学方程的方法有很多种，下面我们来介绍一些常见的方法。
1. 分离变量法对于一些简单的动力学方程，我们可以通过分离变量的方法来求解。
首先将方程中的变量分离到等式两边，然后进行积分，最后得到解析解。
这种方法适用于一些具有特殊形式的动力学方程。
2. 变量替换法有时候，我们可以通过引入新的变量来简化动力学方程的求解过程。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为更简单的形式，从而更容易求解。
3. 迭代法对于一些复杂的动力学方程，我们可以采用迭代的方法来逼近解析解。
迭代法的基本思想是通过不断迭代，逐步逼近真实解。
这种方法虽然计算量较大，但可以得到较为精确的解析解。
三、动力学方程的应用动力学方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面我们来介绍一些典型的应用场景。
1. 自由落体运动自由落体是指物体在无外力作用下自由下落的运动。
通过解析动力学方程，我们可以推导出自由落体运动的加速度等于重力加速度，并得到物体的位置、速度与时间的关系。
这对于研究物体在重力场中的运动规律非常重要。
2. 弹性碰撞弹性碰撞是指两个物体在碰撞过程中能量守恒且动量守恒的碰撞。
通过解析动力学方程，我们可以推导出碰撞前后物体的速度和动量之间的关系，从而研究碰撞过程中的能量转化和物体的运动轨迹。
3. 摆动运动摆动运动是指物体在重力作用下以一定频率来回摆动的运动。
通过解析动力学方程，我们可以推导出摆动运动的周期和频率与摆长、重力加速度之间的关系，从而研究摆动运动的特性和规律。
第一章 分析力学的基本概念.
y
yC r
几何约束
C xC
vA xC r 0 运动约束
yC
O
xC
A
x xC dt r dt 0 dxC dr 0
设函数 F xC r
dF dxC r 0 xC r C 0
可积分的运动约束可以变换为几何约束
约束分类： （1）按约束形式分：几何约束、运动约束 （2）按约束方程是否显含时间t分：定常约束、非定常约束 （3）按约束方程是等式还是不等式分：双面约束、单面约束 （4）按约束方程是否可积、约束方程的本质分：
完整约束、非完整约束
应用力学研究所 李永强
第14页
§1.1 分析力学的研究对象&约束
几何约束&运动约束
几何约束&运动约束 运动约束
f
ri
,
ri
,
t
n
i
ri
A
0
i 1
或 n f Ai xi Bi yi Ci zi A 0
i Aii Bi j Cik
i 1
i、Ai 、 Bi 、Ci 、A均为各质点速度和位置的函数
x A yB yA zB z A y A xB xA zA xB xA 0
B xB xA C xB xA
应用力学研究所 李永强
第24页
§1.1 分析力学的研究对象&约束
几何约束&运动约束 运动约束
不可积分的运动约束
分析力学的研究对象是质点系
应用力学研究所 李永强
第7页
§1.1 分析力学的研究对象&约束
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
空气动力学方程
空气动力学方程包括三个基本方程，分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程描述了空气在流动过程中的特性。
连续性方程：这是描述质量守恒的方程。
在不可压缩流动的假设下，它在形式上表现为流体在管道不同截面处流量相同的假设。
这个方程的形式是：
ρ1 * V1 = ρ2 * V2
其中，ρ是密度，V是速度，1和2分别表示不同的截面。
动量方程：这是描述动量守恒的方程。
它的形式是：
ρ* (dV/dt) = -∇* (μ* ∇V) + τ
其中，ρ是密度，dV/dt是速度的变化率，∇是拉普拉斯算子，μ是动力粘度，∇V是速度梯度，τ是表面张力项。
能量方程：这是描述能量守恒的方程。
它的形式是：
ρ* (d(ρE)/dt) = -∇* (ρq) + ∇* (μ* ∇V) + ∂(σ/∂t)
其中，ρE是包含密度和内能的变量，ρq是包含密度和总能量的变量，μ是动力粘度，∇V是速度梯度，σ是表面张力项。
这些方程都是在控制体和流体微团两种模型下推导出来的。
控制体是在空间中取一个有限的封闭容积，基本原理应用于控制体内的流体和跨过控制体表面的流体。
流体微团是在流体中取一无限小的流体元素，研究基本原理在其上的作用。
第3章 流体动力学微分形式的基本方程
设微元体积为平行六面体，则： dτ d r1 d r 2 × d r 3 = ∂xα ∂r = dq1 dq1 iα d r1 = ∂q1 ∂q1 ∂xα ∂xβ ∂xγ = ∴ dτ = iα iβ × i γ dq Ddq1dq2 dq3 1dq2 dq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3
一、运动流体中的应力张量 静止流体中：p n = −np x3 运动流体中：？ n p n 如图四面体微元面的应力：p n , p −α
x2 x1 p −3
−i 3
i3
∆Aα = iα ⋅ n ∆An = nα ∆An
(
)
微团质心 c的运动方程：
p3
Dv c ∆m = f ⋅ ∆m + p n ⋅ ∆An + p −α ⋅ ∆Aα Dt = f ⋅ ∆m + p n − pα nα ⋅ ∆An 令∆m→0，则： p n = pα nα
(
)
pn = pα nα = n ⋅ iα pα = n ⋅ iα pαβ i β = n⋅P
因此，动量矩方程变为：
(
)
三、理想流体中的应力 理想流体全部切应力为零，只有法向应力，即：
= 0 α≠β ⇒ p n = pnn ⋅ n pαβ β ≠ 0 α = pnn nβ =i β ⋅ pnn n =i β ⋅ p n = pnβ =nα pαβ
pnn n1 = n1 p11 + n2 p21 + n3 p31 = n1 p11 −p pnn n2 = n2 p22 p11 = p22 = p33 = ⇒ pnn = pnn n3 = n3 p33
3章1理想流体动力学基本方程
一、Lagrange法（拉格朗日法）
“跟踪”的方法
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它 们在运动过程中的各物理量及其变化规律。
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的位置坐标： z z (a，b，c，t )
基本参数： 位移
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志 几点说明：
欧拉(Euler)：
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的 巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师 家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学 毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界 作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上 最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量 的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引 论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经 典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支 中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 3. 流体质点的加速度：a a (a，b，c，t ) v (a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) y y t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
动力学方程
动力学方程简介动力学方程是描述物体或系统运动的数学表达式。
它基于牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。
动力学方程在物理学、工程学、生物学等领域起着重要作用，可以用来研究运动的特性以及对系统的控制。
动力学方程的基本概念动力学方程由一组微分方程组成，描述了物体或系统随着时间的变化而发生的运动。
一般来说，动力学方程的形式为:m*a = ΣF其中，m表示物体的质量，a表示物体的加速度，ΣF表示作用在物体上的力的合力。
动力学方程的推导根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比。
根据这个基本原理，我们可以推导出物体的动力学方程。
首先，我们考虑一个简单的情况：只有一个力作用在物体上。
假设这个力的大小为F，方向与物体的加速度相同。
根据牛顿第二定律，我们可以得到: m*a = F这就是物体的动力学方程。
这个方程可以描述物体的运动情况。
当有多个力作用在物体上时，我们需要将所有力的大小和方向都考虑进去。
我们可以将所有力的合力表示为ΣF。
这样，物体的动力学方程可以表示为:m*a = ΣF这个方程可以描述物体在多个力作用下的运动情况。
动力学方程包括了物体的质量、加速度以及力的合力。
动力学方程的应用举例自由落体自由落体是动力学方程的一个重要应用。
假设一个物体在重力作用下自由下落。
根据牛顿第二定律，我们可以得到:m*a = m*g其中，m是物体的质量，g是重力加速度。
这个方程描述了物体在自由落体过程中的运动情况。
弹簧振子弹簧振子也是动力学方程的一个典型应用。
考虑一个质点通过弹簧与固定点相连，质点的运动受到弹簧的弹力作用。
假设质点的质量为m，弹簧的劲度系数为k，质点的位移为x，我们可以得到动力学方程:m*a = -k*x这个方程描述了弹簧振子在弹力作用下的运动情况。
当质点受到弹力作用时，它的加速度与位移成反比关系。
结论动力学方程是描述物体或系统运动的数学表达式，它基于牛顿第二定律。
动力学方程可以用来研究运动的特性以及对系统的控制。
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虚功率方程： 虚功率方程： ∆PO + ∆PC = 0
&& ϕ=
应用力学研究所 李永强
( M O − mO ρ 2ϕ ) - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ = 0 && && &
杆O1O3：
r 16 && mO1 ( F ) = M 2 − M 1 + M12 − M13 + Rτ 2 2r + Rτ 3 4r + M g1 = M 2 − M1 − ( m2 + 20m1 )r 2ϕ g g 3
δ AF 1 = mO
1
(
2
r r 16 && F , Fg δϕ = M 2 − M 1 − m2 + 20m1 r 2ϕ δϕ 3
Ⅰ
M2
O1
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
& ϕ
O1
& ϕ2
Ⅱ
r vD
O2
O3
r vO2
O2
D
Ⅲ
r vO3
O3
& ϕ3
解： （1）运动分析 ） & && 为广义坐标， & ϕ 左正右负， & 取ϕ为广义坐标，ϕ ， 左正右负，ϕ1 = ϕ
C
& Ⅱ轮： vO 2 = rϕ 2
& & vO 2 = O1O2ϕ1 = 2rϕ1
& & 得：ϕ 2 = 2ϕ1
& ∆vC = r∆ϕ
李永强
& ∆ϕ C =
r & ∆ϕ R
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θ
应用力学研究所
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 2）受力分析 ） 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力m 常力矩 ，轮的重力 ，绞车重力 Og 3）惯性力分析 ） 圆轮： 圆轮： 绞车： 绞车：
RgO = 0
&& && M gO = J Oϕ = mO ρ 2ϕ
如果统一编号
∑( X
r =1
3n
r
− mr &&r ) δ xr = 0 x
注意: 注意 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力
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李永强
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§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘， 例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为 m1，半径为 ，曲柄为均质杆，质量为 2，长为 ； 各轮在接触点只滚不 半径为r，曲柄为均质杆，质量为m 长为4r； 在轮心轴承O 处摩擦力矩均为M 滑。在轮心轴承 1、O2、O3处摩擦力矩均为 1。在曲柄上作用一常力偶矩 M2。求：曲柄的角加速度
M − mgr sin θ mO ρ 2 + 1.5mr 2
&& aC = rϕ =
r ( M − mgr sin θ ) mO ρ 2 + 1.5mr 2
r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi − mi ai ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n n i =1 i =1
虚功率形式的动力学方程(若丹原理) 虚功率形式的动力学方程(若丹原理)
具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和 具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上， 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 r r r r r r r r & =δ x i +δ y j +δz k &i &i &i ∆r 上式中： 上式中： Fi = X i i + Yi j + Zi k
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 简化中心O Ⅱ轮：简化中心 2 平面运动
τ && Rτ 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ g
n n & Rg 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ 2
1 && && && M g 2 = − J O 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ1 2 简化中心O Ⅲ轮：简化中心 3
虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上， 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。
其在直角坐标中的投影形式为： 其在直角坐标中的投影形式为：
∑ ( X
i =1
应用力学研究所 李永强
n
i
− mi &&) ∆xi + (Yi − mi &&) ∆yi + ( Zi − mi &&) ∆zi = 0 x & y & z &
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§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 已知： 做纯滚动， 例3-2已知：常力矩 ，均质圆轮 做纯滚动，质量为 ，半径为 。绞车半 已知 常力矩M，均质圆轮C做纯滚动 质量为m，半径为R。 径为r，质量为m 回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、 径为 ，质量为 O，回转半径 。斜面倾角 ，绳质量、轴承摩擦不计 & ϕ 求 ： aC 单自由度系统， 解：单自由度系统，取绞车转角ϕ为广义坐标 1）运动分析、虚速度分析 ）运动分析、 绞车
r r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n i =1
如果此质点系是理想约束， 如果此质点系是理想约束，则
r r & N i ⋅ ∆ri = 0 ∑
应用力学研究所 李永强 第10页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 理想约束下质点系的虚功率方程为： 理想约束下质点系的虚功率方程为：
应用力学研究所 李永强 第3页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
动力学普通方程的投影形式： 动力学普通方程的投影形式：
∑ ( X
i =1
n
i
− mi &&i ) δ xi + (Yi − mi &&i ) δ yi + ( Zi − mi &&i ) δ zi = 0 x y z
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
τ && && Rτ 1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ1 = −2m2 rϕ g
n n &2 & Rg1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ 1 = −2m2 rϕ 2
（作用在O1） 作用在 作用在O （作用在 1） 右转
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应用力学研究所
李永强
1 16 && && && M gO1 = − J O1ϕ = − m2 (4 r ) 2 ϕ = − m2 r 2ϕ 3 3
)
轮Ⅱ： mO ( F , Fg ) = M g 2 − M 12 = − M1 − m1r 2ϕ && ′
r r && ∴ δ AF 2 = mO2 ( F , Fg ) ⋅ δϕ2 = −2 ( M1 + m1r 2ϕ ) δϕ
r r
Q δϕ2 = 2δϕ1 = 2δϕ
轮Ⅲ：
3
Q δϕ3 ≡ 0
第三章 动力学方程的三种基本形式
东北大学理学院应用力学研究所 李永强
第三章 动力学方程的三种基本形式
虚功形式的动力学方程－ §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 §3.2 虚功率形式的动力学方程 §3.3 高斯形式的动力学方程
应用力学研究所
李永强
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§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合 质点系由n个质点组成 各质点的质量用m 个质点组成， 表示， 质点系由 个质点组成，各质点的质量用 i (i=1,2,…,n)表示， 作用于第 个 表示 作用于第i个 r r 质点上的主动力、 表示，在任意瞬时， 个质点的加速 质点上的主动力、约束力用 Fi 、 N i 表示，在任意瞬时，第i个质点的加速 r 度为 ai 。 r r r r r 在此质点上虚加一惯性力 Fgi = − mi ai 由达朗伯原理可得： 由达朗伯原理可得：Fi + N i + Fgi = 0 对质点系 :
τ && Rτ 3 = −m1aO 3 = −4rm1ϕ g
n n & Rg 3 = −m1aO 3 = −4m1rϕ 2
M g3 = 0
（4）虚位移，虚功，虚功方程 ）虚位移，虚功，