函数的最值问题教案
函数最值教案
函数最值教案一、教学目标1. 知识目标：了解函数的最值概念，掌握函数最大值与最小值的求解方法。
2. 技能目标：能够通过求导或化简的方式求解函数的最大值与最小值。
3. 情感目标：培养学生对数学探究的兴趣，加深对函数最值概念的理解。
二、教学重点与难点1. 教学重点：函数最值的概念及求解方法。
2. 教学难点：如何通过求导或化简的方式求解函数的最值问题。
三、教学准备1. 教师准备：教案、教材、教具、黑板、彩色粉笔。
2. 学生准备：参与课堂讨论。
四、教学过程1. 导入新课（5分钟）教师出示一道经典的函数最值问题：给定函数f(x)=3x^2-2x+4，求函数f(x)的最值。
请同学们思考并回答。
2. 什么是函数最值（5分钟）教师解释函数的最大值与最小值的概念，并引导学生通过分析函数的图像来理解最值的概念。
指出最大值是函数图像上的最高点，最小值是函数图像上的最低点。
3. 函数最值的求解方法（15分钟）在导数概念教学的基础上，教师提醒学生函数最值的求解方法可以通过求导或化简两种途径。
然后通过例题进行分析与练习。
例1：函数f(x)=3x^2-2x+4的最值如何求解？例2：函数f(x)=1/x的最值如何求解？4. 求解函数最值的步骤（15分钟）教师总结函数最值的求解步骤，并通过例题进行练习。
步骤如下：（1）求函数的导数或化简成一次函数。
（2）令导数等于0，解出x的值。
（3）将x带入原函数的表达式，得到相应的y值。
（4）比较求得的y值，得到函数的最值。
5. 继续练习（15分钟）教师布置一些练习题，并让学生在课堂上解答。
鼓励学生互相讨论，学生之间互相交流。
6. 归纳总结（5分钟）教师与学生共同总结函数最值的概念与求解方法。
确保学生正确掌握知识点。
七、作业布置布置相应的练习题，鼓励学生独立完成，并写出解题思路和步骤。
八、板书设计函数最值1. 概念：函数最大值与最小值的定义。
2. 求解方法：分析图像、求导和化简的方法。
3. 求解步骤：求导（化简）→令导数（化简后的函数）等于0→解出x的值→带入原函数得到y值→比较y值得到函数的最值。
函数的最值教案
函数的最值教案教案标题：函数的最值教案教案概述：本教案旨在帮助学生掌握函数的最值概念及相关概念，通过实际生活中的问题和实例引导学生理解函数的最值在实际问题中的应用，并培养学生解决问题的思维能力。
教案目标：1. 了解函数的最值概念，包括最大值和最小值；2. 能够根据给定函数求解函数的最值；3. 能够通过函数的最值解决实际问题。
教学步骤与内容：1. 引入（5分钟）- 引导学生回顾函数的概念，并复习函数的定义和图像表达方式。
- 提问学生：你们是否知道函数可以有最大值和最小值？这些最值又代表什么意义呢？2. 讲解（15分钟）- 通过一个实际问题引导学生了解函数的最值概念：假设有一个果汁机，它可以将苹果蓉榨取成苹果汁。
每分钟能榨取的苹果蓉量可以用函数f(x)表示，其中x代表榨取时间（分钟）。
请问，对于给定的时间范围内，果汁机每分钟最多能榨取多少苹果蓉？最少能榨取多少苹果蓉？- 讲解最大值和最小值的定义，并以图表和函数表达方式进行演示。
3. 实践（20分钟）- 分发练习题集，让学生在课堂上独立完成练习题。
- 指导学生如何通过给定函数求解最值。
首先，观察函数的图像或函数表达式，找出函数的定义域（可能需要学生回顾函数的定义）；然后，通过计算或分析函数的变化趋势，找到函数的最值。
- 鼓励学生在纸上绘制函数图像，辅助他们解决问题。
4. 总结讨论（10分钟）- 请学生上台讲解一到两道练习题的解题思路和方法。
- 引导学生总结解决最值问题的一般步骤。
5. 应用（10分钟）- 设计一个与实际生活相关的问题，要求学生应用所学的知识解决。
- 鼓励学生积极思考，在小组内讨论并给出解决方案。
- 提醒学生合理估算问题的范围，以确定函数的定义域。
6. 反思与拓展（5分钟）- 向学生征询对本节课的反馈与感悟，并解答他们的问题。
- 引导学生思考函数最值在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。
教学资源：- 函数的最值练习题集- 染色笔和白板/黑板评估方式：- 课堂练习题的答案与解答思路- 学生对应用问题的解决方案的正确性和合理性- 学生对最值概念的理解是否准确拓展活动：- 探索应用函数的最值概念解决更复杂的实际问题；- 设计函数的最值课堂游戏，让学生在竞争中加深对最值概念的理解。
函数的最值教案
函数的最值教案函数的最值教案一、教学目标1. 知识目标：了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最值的方法。
2. 能力目标：能够运用求函数最值的方法解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习动力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：概念的讲解和求函数最值的方法。
2. 教学难点：运用求函数最值的方法解决实际问题。
三、教学过程Step 1：引入通过提出以下问题引入本课的话题：1. 如果有一块面积固定的矩形土地，我们应该如何确定矩形的长和宽，使得矩形的周长最长/最短？2. 在一次销售活动中，如果要使得销售额最大，我们应该如何定价？Step 2：概念讲解1. 函数的最大值和最小值的概念函数的最大值和最小值是指在定义域内，函数取得的最大值和最小值。
2. 函数最值的求法（1）对于定义域为有限区间的函数，可以通过求导数的方法找到函数的最值点。
（2）对于定义域为整个实数集的函数，可以通过函数的图像和性质来判断函数的最值。
Step 3：例题讲解例题1：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求函数f(x)的最小值。
解：对函数f(x)求导，得到f'(x) = 2x + 2。
令f'(x) = 0，解方程得到x = -1。
将x = -1代入函数f(x)，得到f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0。
所以函数f(x)的最小值为0。
例题2：若函数g(x) = 3x^2 - 4x + 2，在区间[-1, 2]上取得最大值，求最大值点的横坐标。
解：对函数g(x)求导，得到g'(x) = 6x - 4。
根据最值点的性质，最大值点处的导数等于0。
令g'(x) = 0，解方程得到x = 2/3。
所以最大值点的横坐标为x = 2/3。
Step 4：讨论通过讨论以下问题，进一步加深学生对函数最值的理解和应用。
1. 函数在什么情况下没有最大值或最小值？2. 如果函数的定义域是无穷区间，我们如何判断函数的最大值和最小值？Step 5：运用给出一道实际问题，让学生运用所学知识求解。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
【秋季课程人教版高一数学】函数的最值问题-教案
适用学科 高中数学适用年级高一适用区域 人教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 教学目标单调性的应用，最值问题 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用． 通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法．教学重点 函数最大(小)值的定义和求法．教学难点 如何求一个具体函数的最值．【教学建议】 函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则.鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学 生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点.但这只是感性上的认识， 要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概 念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：(1)由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日， 请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平 均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图 是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图．问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天最高温度、最低温度是多少以及何时达到；(2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是 很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．从而引入 最大值、最小值的概念．二、知识讲解【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定 义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：前提设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足①对于任意 x I ，都有 f (x) M ； ①对于任意 x I ，都有 f (x) M ；条件②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M结论M 为最大值M 为最小值考点 2 函数的最大值函数图象上任意点 P 的坐标 (x, y) 的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变 量为 x 时对应的函数值的大小．(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(2)由于点 C x0, y0 是函数 y f (x) 图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对定义域内任意 x ，都有 y y0 ，即 f (x) f (x0 ) ，也就是对函数 y f (x) 的定义域内任意 x ， 均有 f (x) f (x0 ) 成立．(3)一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．大．值．．． (4) f (x) M 反映了函数 y f (x) 的所有函数值不大于实数 M ；这个函数的特征是 图象有最高点，并且最高点的纵坐标是 M . (5)函数 y 2x 1，x (1, ) 没有最大值，因为函数 y 2x 1，x (1, ) 的图象没有最高点． (6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．考点 3 函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．小．值．。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
有关函数的最大最小值的教学教案
有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，掌握函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 培养学生运用函数最值解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 实际问题中函数最值的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 教学难点：实际问题中函数最值的运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数最值问题。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题学会运用函数最值解决实际问题。
3. 采用合作学习法，培养学生团队合作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注函数最值问题。
2. 知识讲解：讲解函数最大值和最小值的概念，阐述函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用函数最值解决问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数最值在实际生活中的应用，例如最优化问题、成本问题等。
2. 分享成果：每组选取一名代表分享讨论成果，其他组进行评价和补充。
3. 案例研究：选取几个典型的实际问题，让学生运用函数最值进行解决，并展示解题过程。
4. 互动提问：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度。
2. 练习题：对学生所做的练习题进行批改，评价学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作、沟通、解决问题能力等。
函数的最值教案
函数的最值教案课题：函数的最值教案教学目标：1. 理解函数的最值的概念2. 能够通过求导数找到函数的最大值和最小值3. 能够应用最值的概念解决相关问题教学步骤：步骤一：引入问题老师可以通过一个例子引入问题，比如一个盒子的侧面长方形是80平方厘米，问长方形的长和宽分别是多少时，长方形的周长最小？通过这个问题，让学生思考如何确定函数的最小值，引出函数的最值的概念。
步骤二：函数的最大值和最小值1. 定义函数的最大值和最小值，并给出相关的数学表达式。
2. 通过图像展示函数的最大值和最小值的概念，引导学生通过观察图像来推测函数的最值。
3. 引导学生思考如何通过求导数来找到函数的最值。
4. 通过示例演示如何通过求导数找到函数的最值。
步骤三：应用最值的概念解决问题1. 给出一个实际问题，例如：一块长方形草坪靠墙种植一排树木，要种树木的面积为300平方米，问如何种树木使得周长最小。
让学生用函数的最值的概念解决这个问题。
2. 引导学生列出函数和约束条件，然后通过求导数找到函数的最值。
步骤四：练习和讲解1. 给学生一些练习题，让他们应用最值的概念解决问题，并检查答案。
2. 讲解练习题的解法，让学生更好地理解函数的最值的概念和求解方法。
步骤五：总结与归纳学生回顾课堂内容，总结函数的最值的概念和求解方法，并归纳应用最值的思想解决问题的步骤。
步骤六：拓展与应用学生以小组形式展示一个自己设计的用到函数的最值的问题，并给出解答过程和结果。
其他同学可以提问和讨论，扩展应用最值的思想。
步骤七：作业布置布置一些与函数的最值相关的作业题，让学生独立完成，并提供解析。
教学资源：1. 例子：一个盒子的侧面长方形是80平方厘米，问长方形的长和宽分别是多少时，长方形的周长最小？2. 实际问题：一块长方形草坪靠墙种植一排树木，要种树木的面积为300平方米，问如何种树木使得周长最小？3. 练习题：一些与函数的最值相关的计算题和实际问题。
评估与反馈：通过学生在课堂练习和作业中的表现来评估他们是否掌握了函数的最值的概念和求解方法。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
函数的最值教案范文
函数的最值教案范文【教案名称】：函数的最值【教学目标】：1.了解函数的最值的概念和意义2.能够找到函数在给定区间上的最值3.掌握最值问题在现实生活中的应用【教学重点】：1.函数最大值、最小值的定义和求解方法2.最值问题在实际问题中的应用【教学难点】：1.函数最值问题的思考方式与解题方法2.实际问题中最值问题的转化与解决方法【教学工具】：多媒体课件、计算器【教学过程】：一、导入新知识（15分钟）1.引导学生回顾函数的定义和性质，复习函数取值范围的概念。
2.引出函数最值的概念：函数最大值和最小值，即在给定的定义域上，函数输出的最大和最小值。
3.以实际问题为例，引导学生思考最值问题的意义和应用。
二、函数的最值概念与性质（20分钟）1.给出数列的最值定义，并引导学生用图像表示法来理解最值的概念。
2.讲解函数最值的定义和求解方法：a. 最大值：对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在x0∈[a, b]，使得f(x0)≥f(x)，则称f(x0)是f(x)在闭区间[a, b]上的最大值，记为f(x0)=max{f(x)，x∈[a, b]}。
b. 最小值：对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在x0∈[a, b]，使得f(x0)≤f(x)，则称f(x0)是f(x)在闭区间[a, b]上的最小值，记为f(x0)=min{f(x)，x∈[a, b]}。
3.引导学生举例并求解具体最值问题。
三、最值问题的讨论及应用（30分钟）1.讲解最值问题在实际生活中的应用，如最大利润、最小花费、最高速度等。
2.根据实际问题，引导学生将最值问题转化成数学问题，通过解方程、求导等方法求解。
3.通过实际案例的讨论，培养学生分析问题、归纳规律和解决问题的能力。
四、进行小组合作探究（25分钟）1.将学生分为小组，每组选取一道最值问题，利用课上学到的方法进行解答，要求全组成员积极参与并记录解题过程。
2.每组选择一名代表展示解题过程，并与其它组员分享思路和方法。
函数最值问题的教学设计
函数最值问题的教学设计一、教学目标1. 理解函数的最大值和最小值的概念，并能运用这些概念解决实际问题。
2. 能够分析给定问题，找到合适的数学模型，并通过计算得出函数的最大值和最小值。
3. 培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 最值问题的建模与求解方法。
三、教学过程1. 热身活动：通过一个简单的问题引导学生复习函数的定义和性质。
例题：小明正在准备一次研究报告，他根据从2000年到2020年的数据统计得出以下函数表示了某项指标的变化情况：f(x) = 0.05x^2 - 0.8x + 3 （其中x表示年份，f(x)表示指标的取值）请问在这个函数定义的范围内，指标的最大值是多少，并在什么年份达到？2. 引入最值问题：通过例题引入最值问题的概念。
让学生思考，在现实生活中还有哪些可能涉及到最值问题的情境，并举例说明。
教师引导学生总结，并将学生的回答进行分类整理。
3. 最值问题的建模与求解方法：（1）引入最值问题的解题框架：计算函数在定义域内的导数，寻找导数等于0或不存在的点，并判断这些点对应的函数值。
（2）示范问题的解法：例题：一墙上有一长方形电视机屏幕，屏幕长16英寸，宽12英寸。
要在屏幕上做一个周长不超过45英寸的矩形广告位，求此广告位的最大面积。
教师现场解答，并详细讲解求解的思路和步骤。
（3）学生合作解题：学生自行组队，选择一个最值问题进行解答。
要求他们明确问题的意义与需求，并利用教授的求解方法完成题目。
教师巡回指导，及时纠正学生的错误，并给予肯定和鼓励。
4. 知识拓展：引入一些相关的变化率问题。
通过提问，引导学生思考函数在不同区间上的变化趋势。
例如，函数在什么区间上递增或递减？函数的增长率如何计算？教师讲解并给予例题。
5. 总结与延伸：结合实际生活中的问题，进一步总结与交流最值问题的解题方法和技巧。
同时，展示一些更复杂的最值问题，鼓励学生独立思考和探索解决方法。
初中函数最值问题教案
教案：初中函数最值问题教学目标：1. 理解函数的最值概念，掌握求函数最值的方法。
2. 能够运用函数最值解决实际问题，提高解决问题的能力。
教学重点：1. 函数最值的概念。
2. 求函数最值的方法。
教学难点：1. 函数最值的求解。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习一次函数和二次函数的图象和性质。
2. 提问：同学们，我们知道一次函数和二次函数的图象都有最高点和最低点，那么这些最高点和最低点与函数有什么关系呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解函数最值的概念：在函数图象上，函数的最大值和最小值分别对应图象的最高点和最低点。
2. 讲解求函数最值的方法：（1）对于一次函数，最值出现在端点处。
（2）对于二次函数，最值出现在对称轴上。
（3）对于分段函数，需要分别求解每段的最高点和最低点，然后取全局最高点和最低点。
3. 举例讲解：（1）一次函数：y=2x+3，最值出现在x的端点，即当x=-3时，y有最小值-3；当x趋于无穷大时，y趋于无穷大。
（2）二次函数：y=x^2，最值出现在对称轴上，即当x=0时，y有最小值0；当x趋于无穷大或无穷小时，y趋于无穷大。
（3）分段函数：y=三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结函数最值的概念和求法。
2. 提问：同学们，你们认为函数最值在实际生活中有哪些应用呢？教学延伸：1. 引导学生思考：如何利用函数最值解决实际问题？2. 布置课后作业：结合生活实际，选取一个函数最值问题进行分析和解答。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了函数最值的概念和求法，能够运用函数最值解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考函数最值在实际生活中的应用，提高学生的解决问题的能力。
同时，也要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。
高一数学教案函数的最值5篇最新
高一数学教案函数的最值5篇最新使学生从形与数两方面理解函数的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象判断、证明函数的方法，今天小编在这里整理了一些高一数学教案函数的最值5篇最新，我们一起来看看吧!高一数学教案函数的最值1一、教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。
对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。
教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解。
学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来理解函数概念，结合原有的知识背景，活动经验和理解走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习兴趣，让学生积极参与到学习活动中，达到理解知识、掌握方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应思考的。
二、教学三维目标分析1、知识与技能(重点和难点)(1)、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
不但让学生能完成本节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。
(2)、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判断两个函数是否相等等。
(3)、掌握定义域的表示法，如区间形式等。
(4)、了解映射的概念。
2、过程与方法函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题：(1)、首先通过多媒体给出实例，在让学生以小组的形式开展讨论，运用猜想、观察、分析、归纳、类比、概括等方法，探索发现知识，找出不同点与相同点，实现学生在教学中的主体地位，培养学生的创新意识。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。
教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。
3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。
二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。
2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。
三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。
四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。
五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。
2. 逐个解答学生提出的疑问。
教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。
在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。
通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。
但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。
六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。
2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。
3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。
七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。
函数最值教案
函数最值教案教案标题：函数最值教案教案目标：1. 理解函数最值的概念和意义；2. 掌握求解函数最值的方法和技巧；3. 运用函数最值的概念解决实际问题。
教学重点：1. 函数最大值和最小值的定义和求解方法；2. 通过图像、表格和解析式等多种方式理解函数最值的概念；3. 运用函数最值解决实际问题。
教学难点：1. 运用函数最值解决实际问题的能力培养；2. 多种方式理解函数最值的概念。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、粉笔、计算器等；2. 学生准备：教材、习题集、笔记本等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一个实际问题，引出函数最值的概念。
2. 学生回答或讨论函数最值的概念和意义。
二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释函数最大值和最小值的定义。
2. 教师引导学生观察函数图像、表格和解析式，理解函数最值的概念。
3. 学生通过讨论和思考，总结函数最值的求解方法和技巧。
三、方法探究（20分钟）1. 教师通过几个简单的函数例子，引导学生尝试求解函数的最值。
2. 学生在小组合作中，运用所学方法求解函数的最值。
3. 学生展示解题思路和答案，教师进行点评和指导。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用函数最值的概念和方法解决。
2. 学生个别或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
3. 教师组织学生进行讨论和交流，加深对函数最值的理解和应用。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结函数最值的概念、求解方法和应用技巧。
2. 教师提供归纳总结的模板，学生填写并保存在笔记本中。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后习题，要求学生运用所学知识解答。
2. 教师提醒学生及时复习和整理笔记，为下节课的学习做准备。
教学反思：本节课通过引导学生观察函数图像、表格和解析式，理解函数最值的概念，并通过多种方式求解函数最值的方法，培养了学生的解决实际问题的能力。
高中数学函数最值题型解析教案
高中数学函数最值题型解析教案一、教学目标1.理解函数最值的概念及意义；2.能够利用求导法解决函数的最值问题；3.能够灵活运用最值解题的策略和方法应用到实际问题中。
二、教学重点1.函数的最值及其概念和意义；2.求最值的求导法。
三、教学难点1.综合应用解决实际问题；2.考试分析与应试策略。
四、教学内容1.函数的最值及其概念和意义函数的最值指函数在定义域内取到的最大或最小值。
通过求出函数的最值可以解决很多实际问题，如经济学、物理学、化学等领域的问题。
函数的最值还可以通过分析图像、利用导数和二次函数定理等方法推导出来。
2.求最值的求导法求函数的极值可以通过求导来实现。
具体方法如下：①求出函数的导数；②求导数为0的点，这些点即为函数的极值点。
注意，还需要判断这些极值点的类型，即它们是最大值点、最小值点还是拐点。
三、教学方法1.理论导入法：通过例题讲解最值的概念和意义，让学生了解函数的最值及其应用；2.演练式教学法：通过一道题目，引导学生理解求最值的求导法，并反复练习、应用、深化学生对最值概念和方法的理解和掌握；3.知识串联法：将学生已掌握的相关知识点串联，通过综合应用解决实际问题，灵活运用最值解题的策略和方法。
四、教学过程1.掌握最值的概念和意义通过例题演示，引导学生理解函数的最值及其应用，并举例说明：例1 某公司生产A，B两种产品，其利润函数为P(x，y)＝10x＋5y－0.01x2－0.02y2－xy。
其中，x，y为每天生产的A、B产品的数量。
现在该公司有45小时的维修时间，问当A 产品最大、B产品最大时，该公司的最大利润是多少？由题可知，P(x，y)表示该公司生产A，B两种产品的利润，其中x为生产A的数量，y为生产B的数量。
因为该公司只有45小时的维修时间，所以有x＋y＝45。
现在我们要求最大利润，因此可以列出目标函数：P(x，y)＝10x＋5y－0.01x2－0.02y2－xy。
由目标函数求导得：P'x＝10－0.02x－y，P'y＝5－0.04y－x。
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。
2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。
3. 掌握相关的解题技巧和方法。
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。
2. 应用最值问题解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。
1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。
讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。
2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。
3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。
演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。
2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。
3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。
讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。
（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。
演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。
2. 建立函数模型并确定函数的最值。
3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。
4. 求解最值并给出合理的解释。
讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。
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知识点单调性的应用，最值问题使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用.教学目标通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法.I■■教学重点函数最大（小）值的定义和求法.教学难点如何求一个具体函数的最值.函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则•鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点•但这只是感性上的认识，要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力【知识导图】教学过程「、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状^态。
导入的方法很多，仅举两种方法：①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：⑴由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8 日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因⑵通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因， 北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事.下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.问题：观察图形，能 息？预案：(1)当天最高温 多少以及何时达到；(2) 在某时刻 (3) 某些时段 时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律， 了解这些数据的变化规律，对我们的生活是 很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小•从而引入 最大值、最小值的概念.二、知识讲解【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定 义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：前提设函数y = f (x)的定义域为1，如果存在实数 M 满足条件① 对于任意X"，都有f (x)兰M ；② 存在x^ I ，使得f (x 0) = M①对于任意x"，都有f (X) A M ；② 存在x ^e I ，使得f(xj = M结论M 为最大值M 为最小值考点数图I 数的意点大值P 的坐标 (x,y)的意义：横坐标x 是自变量的取值，纵坐标y 是自变 量为x时对应的函数值的大小.(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.得到什么信度、最低温度是 的温度； 温度升高，某些(2)由于点C X o, y o是函数y二f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x ,都有y _y°,即f (x) _f(x 0 ,也就是对函数y = f (x)的定义域内任意x , 均有f (x) _ f(X。
)成立.(3)—般地，设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x三I，都有f (x) _ M ；②存在x。
T，使得f (x。
)= M .那么，称M是函数y=f(x)的最大值..(4) f (x)乞M反映了函数y二f (x)的所有函数值不大于实数M ；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M .⑸函数y = -2x 1 , x • ( -1, •：：)没有最大值，因为函数y = -2x 1 , x • (-1, •：：)的图象没有最高点.(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.考点3函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y二f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的I，都有f(x) _M ;②存在X。
• I，使得f(X。
)二M .那么，称M是函数y二f (x)的最小值。
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.类型一：单调区间的判断并求最值2画出函数y = —x +2X+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.【解析】函数图象如图所示.由图象得，函数的图象在区间(」：，-1)和(0,1)上是上升的，在(-1,。
)和(1「：)上是下降的，最高点是(一1,4),故函数在(Y,_1) , (。
,1)上是增函数；函数在(-1,。
), (1,=)上是减函数，最大值是4.【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法•求函数的最值时, 先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.2求函数y 二丄在区间［2,6］上的最大值和最小值.X —12 _2[&2-1)-(为-1)] X2 - 1(xi-1)(x^ 1)2(x2— x i) (X 1- 1)(x 21)2二f (x 1) f (x 2)，即函数y在区间［2,6］上是减函数.x -1 2•••当x = 2时，函数科在区间［2,6］上取得最大值f(2) =2 ;x —122 当x = 6时，函数y 二—在区间［2,6］上取得最小值f (6)二；x -15【总结与反思】单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值； 常用到下面的结论：① 如果函数y 二f (x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y 二f (x) 在x =b 处有最大值f (b);② 如果函数y 二f (x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y 二f (x) 在x =b 处有最小值f (b).已知函数f (x)对于任意x, y • R ,总有f ( xp f ( y> f ( x y)且当x 0时， f(x)：： 0f(1) = -2 .3(1) 求证：f (x)在R 上是减函数；(2) 求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.【解析】设2乞X ,空x 2乞6，则有(X i )【解析】⑴方法一：•••函数f (x)对于任意x, y三R，总有f (x) • f (y)二f (x • y),令x = y = 0，得f (0) =0 .再令y = —x，得f (「x)二_ f (x).在R上任取％x2，贝U ：x =%-x2 0 , ：y = f (xj - f (x2) = f (N) f (-x2) = f (% - x2) = f ( ：x),又••• x . 0时，f (x) ::: 0 .而匚x .0,.・. f(LX)：：：0 .因此f (x)在R上是减函数.方法二：在R上任取％ , x2，不妨设捲• x2,则x=xi-x20,y = f (xj「f (x2) = f (x^x2 x2) _ f (x2) = f (为一x2) f (x2) - f (x2) = f ( ：x)又••• x . 0 时，f (x) ::: 0 ,而：X . 0 ,••• f (L X)：：：0，即L y::: 0 .因此f (x)在R上是减函数.⑵•/ f(x)在R上为减函数，•f (x)在［-3,3］上也为减函数，•f (x)在［-3,3］上的最大值为f (-3)、最小值为f (3),而f (3) = f(1 T1) =3f(1) = —2，: 0 = f(0) = f(3—3) = f(3) f(—3),因此，f (x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为-2.类型二最值的应用菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t) = -4.9t2• 14.7t 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)2 14.7t 18的图象，如图所示,显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数 h(t)二-4.9t 2 14.7t 18，我们有： 当t 空 1.5时，函数有最大值h 二4(一4.9)2x(49)4x(-4.9)即烟花冲出后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是 29m .【总结与反思】本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力. 解应用题的步骤是：(1)审清题意读懂题；(2)将实际问题转化为数学问题来解决；(3)归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.四、课堂运用21.函数y = -x +4x - 2在区间［0,3］上的最大值是 _____________ ，最小值是 _______2.将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价 1元,答案与解析 1.【答案】-22 2• 4x - 2 = -(x -2) 2是定义在区间［0,3］上的二次函数，其对称轴方程是x = 2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在 ［0,3］上,女口图所示，函数的最大值为 f(2) =2，最小值为f (0) = -2. 2.【答案】为了赚取最大利润，售价应定为70元【解析】设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨x-50元，从而销售量减少10(x-50) 个，共售出 500 -10(x-50) =1000 -10x 个x = 70 时，y =9000 兀其销售量减少10个，为了赚到最大利润, 售价应定为多少?3.函数f(xy1 ----- 的最大值是(_x(1 _x)4A.-5B.C.4D.3【解析】函数3.【答案】D2 21.已知2x < 3x ，求函数f (x) = x x 1的最值. 2•求函数y 二x 「X 的最大值.3.如果函数f (x) =(x -1)2 - 1定义在区间It ,t1 ］上，求f (x)的最小值.4. 求 f(x) =x 2 2ax ・1在区间［-1,2］上的最大值. 答案与解析2.【答案】5【解析】令t:有x 「t21，则y 21十弋-；)24，(t -1)21,t 1 3.【答案】f(X )min = 1,0空t 空1t 2 1, t :: 0【解析】函数f (x) =(x-1)2 • 1，其对称轴方程为 x = 1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上.如图1所示，若顶点横坐标在区间 l.t ，t 11左侧时，有1 t ，此时，当X = t 时，函数取得最小值 f (x)min =f (t) =(t -1)2 • 1.第7页【解析】1f(x“k(X；)2 3 1 41,所以当x 时f (x)有最大值3 3 21.【答案】19 4【解析】由已知 2x 2 _ 3x ，可得0 _ x _弓，即函数f (x)是定义在区间 0，3上的二次函数.将二次函数配方得f1 )2其对称轴方程1 x，顶点坐标2且图象开口向上 .显然其顶点横坐标不在区间f (x)的最小值为f (0) =1，最大值为内，如图所示。