实变函数第一章答案

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．

证明 (1) )()C \B (c

C B A A =

)()( c c C B A A B A = c C A B A )()( =

)(\)(C A B A = .

(2) c

C B A A )(C \B)(=

)()(c c C B C A =

=)\()\(C A C A .

(3) )(\C)\(B \c

C B A A = c c C B A )( =

)(C B A c = )()(C A B A c =

)()\(C A B A =.

2．证明下列命题．

(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．

证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c

c

==== )()()()\(的充要条 是：.A B ⊂

(2) c

c

c

c

B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(

必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c

= , 于是有c

B A ⊂, 可得.∅=B A

反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c

B A ⊂矛盾.

充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c

= , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c

C A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,c

B x ∉ 于是,c

B A x ∉ 但,B A x ∈ 与c

C A B A =矛盾.

充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6．

定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且

∞

=∞

→=1

;lim n n n n A A

(2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞

=∞

→=

1

.

lim n n n n A A

证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意 ∞

=∈

1

,n n A x 存在N 使得,N

A

x ∈ 从而

),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞

→∈ 则.lim 1

n n n n A A ∞

→∞

=⊂ 又因为 ∞

=∞

→∞

→⊂⊂1

,lim lim n n n n n n A A A

由此可见{}n A 收敛且 ∞

=∞

→=

1

;lim n n n n A A

(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,

lim n n A x ∞

→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得

),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0

n n A A x k ⊂∈ 可见

.lim 1

∞=∞

→⊂n n n n A A 又因为,lim lim 1

n n n n n n A A A ∞

→∞

→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞

=∞

→=1

.lim n n n n A A

4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+≥=>∞

=n c f E c f E n 1][1 ；

(2) ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞

→，则对任意实数c 有

⎥⎦⎤⎢⎣⎡

->=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡->=≥∞→∞=∞

=∞

=∞

=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．

证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+

∈Z n 使得n

c x f 1

)(+

≥成

立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+≥⊂>n n c f E c f E 另

一方面, 若,11 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+

∈Z n 0使得,110 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+≥∈n n c f E x 于是

c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+≥⊃>n n c f E c f E

(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+

∈Z n , 都有n

c x f 1

)(+

<, 于是 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+<⊂≤n n c f E c f E

另一方面, 设 ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+<∈

1

1n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n

c x f 1

)(+<, 由n 的任

意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+<⊃

≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞

→ 可得对于任意的

+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<

-, 即)1(1

1)()(≥-≥->k k

c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

->∈11lim k n n k c f E x , 故

[] ∞

=∞

→⎥⎦⎤⎢⎣⎡

->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ；

另一方面, 设 ∞

=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈

1

01lim k n n k c f E x , 则对任意+

∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+

∈∀⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

-

>∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k

c x f n 1

)(0-

>; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对

任意的+

∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k

x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =,

则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1

)(1)(00->>+,

从而k

c x f 2

)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有