弹性力学极坐标法习题法案

矩形板薄板受均布剪力q ，圆孔半径为r ，给出应力解答并计算孔边的最大正应力和剪应力。 解：以小孔的中心为圆心，以a 为半径（a>>r ）截取空心圆盘，远场应力为

0x y σσ== xy q τ=

坐标变换后，可得圆盘的外边界应力：()sin 2a q ρρσθ== ()c o s 2a q ρθρτθ== 假设应力函数 ()s i n 2f ρθΦ= 应力函数必须满足相容方程 40∇Φ=

4324322

3()2()9()9()sin 20d f d f d f df d d d d ρρρρθρ

ρρρρρρ⎡⎤

+-+=⎢⎥⎣⎦ 所得方程是欧拉常微分方程，求解可得：

422

()D

f A B C ρρρρ

=+++

则应力函数 422sin 2D A B C θρρρ⎡⎤

Φ=+++

⎢⎥⎣⎦

应力分量表达式

2

4

24

224

46(2)sin 26(122)sin 226(62)cos 2C

D

B D

A B C

D

A B ρθρθσθρρσρθρτρθ

ρρ=-+

+

=++

=-++

-

带入边界条件和()()0r r ρρρθρστ====得方程：

24

2242422446226624620

26620

C D

B q a a

C D

Aa B q

a a

C D B r r

C D

Ar B r r +

+=-++-=-++=++-=

2

4

022

A q

B C q r qr D ==-==-

应力分量为：

2

4

24

4

4

2

4

2

4

43(1)sin 23(1)sin 223(1)cos 2r r q r q r r q ρθρθσθ

ρρσθρτθ

ρρ=-

+

=-+=+

-

当4

π

θ=

时，4q θσ=-；当4

π

θ=-

，4q θσ=