《分式的概念》典型例题
《分式的概念》典型例题
1 0《分式的概念》典型例题例1.下列各式中不是分式的是（D .(2)⑴2X5⑶ X 25X 32⑷ X 22053例2. 分式 (X 2)(x 3)有意义，则 X 应满足条件（）A. XB. X 2 C . X 2且 X 3 D . X例3. 当X 取何值时, 下列分式的值为零B.例4. X4与士是同一个分式吗例5. 若分式3^的值为非负数，求1 2XX 的取值范围例6. 判断下列有理式中，哪些是分式11 X；23y 1 ； a b ； a b cy ‘ 2 ‘ a b c1~~2X例7. 求使下列分式有意义的X 的取值范围:X 0.51例8.当x是什么数时，下列分式的值是零:⑴ 2X2 3X 2x 2例2.分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0,即(X 2)(x 3)0 ,所以 x 2且x 3说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要 特别注意的一点等于零X 1时，分式的值为零。
213，而当X 3时，是有意义的.X 33 123与丄有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式X 9 X 3说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义, 然后再考虑其他冋题.例5.分析ab 0可转化为a 0, b 0或a 0 , b 0 ; a一 0可转化为a 0 , b 0或a 0, b 0 b 3X 2解根据题意，得飞。
，可转化为参考答案例1. 解答B 说明①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母②是一个常数，不是 个字母例3.分析要使分式的值为零,不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不解（1）由分子2X 1 0，得X1 1丁又当x-时，分母x 20.所以当由分式X 3 0,得X 3.当X 3时，分母X 3 6 0 ;当X 3时分母X 3 0.所以当X 3时，分式例4. 分析 19有意义的条件是x 2 9 0，即x 3和3■而兀有意义的条件是X解由于X2(I) jx? 1 2x 0，和（3x 2 0, 1 2x 0.由⑴得I）得23无解.1 2"2 3例6.分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。
分式的定义专项习题
分式的定义练习题对应知识点：1．分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成BA 的形式,且除式B 中含有字母，那么称式子BA 为分式。
其中, A 叫分式的分子,B 叫分式的分母。
注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断。
②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。
2．有理式：整式和分式统称有理式。
(整式的分母中不含有字母) 练习题：1．下列式子是分式的是（ ）A ．2xB ．x 2C ．πx D ．2y x + 2．下列各有理式，哪些是分式？－3x ＋52，1＋x 3，21++x x ,m m 3-,53b a +,x 234-,123+x －132-y ,x x 22,π1(x ＋y), 分式：3．判断下列各式哪些是分式？分式(只填序号)：（1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）91-x 4.在下列代数式中，分式有_______(只填序号)。
①a b 2、②b a +2、③x x -+-41、④y x xy 221+、⑤54322xy y x -、⑥112+-x x 、⑦x x 32 5.下列代数式中：y x y x y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： 6.下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。
7．代数式21,,,13x x a x x x π+中，分式的个数是（ ） 8.在(3)5,,,214a b x x x a b a π-++++中，共有（ ）个9.在下列各式ma m x xb a x x a ,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有（ ）个 10.在π1,0,1,31),(21,32c a b y x x --中，分式有（ ）个。
分式经典题型分类练习题
分式的运算（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---. （三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x xx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）bxa211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
分式的概念练习题
分式的概念练习题一、选择题1. 下列哪个式子是分式？A. 3x + 2B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{x}{y+1}$D. $\sqrt{a+b}$A. $\frac{1}{x}$B. $\frac{x^2 1}{x 1}$C. $\frac{2}{x^2 + 1}$D. $\frac{x^3 + 3x^2 4x + 4}{x^2 2x + 1}$3. 分式$\frac{3}{x2}$的定义域是？A. 全体实数B. 除了2以外的全体实数C. 除了0以外的全体实数D. 除了0和2以外的全体实数二、填空题1. 分式$\frac{a}{b}$中，a叫做______，b叫做______。
2. 若分式$\frac{x3}{x+2}$的值等于2，则x的值为______。
3. 已知分式$\frac{2}{x1}+\frac{3}{x+2}=1$，则x的值为______。
三、简答题1. 请简要说明分式与整式的区别。
2. 什么情况下分式无意义？什么情况下分式有意义？3. 如何求分式的值？四、计算题1. 计算$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$。
2. 计算$\frac{3}{4}\frac{2}{5}$。
3. 计算$\frac{4}{5}\times\frac{3}{7}$。
4. 计算$\frac{5}{8}\div\frac{2}{3}$。
5. 简化分式$\frac{x^2 9}{x^2 + 6x + 9}$。
五、应用题1. 某班有男生x人，女生人数是男生人数的$\frac{2}{3}$，求班级总人数与男生人数的比例。
2. 甲、乙两人共同完成一项工作，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要8天。
求甲、乙合作完成这项工作的时间。
3. 一辆汽车行驶了a千米，其速度是b千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间（用分式表示）。
六、判断题1. 分式的分子和分母都是整式。
（）2. 分式的值在分母不为零的情况下一定有意义。
分式的概念与计算
分式的概念与计算分式是数学中的基本概念之一，它在实际生活和解决问题中起着重要的作用。
本文将介绍分式的概念、表示方法以及如何进行分式的计算。
一、分式的概念分式是指形如 a/b 的数，其中 a 和 b 都是整数，且 b 不等于 0。
这里的 a 被称为分子，b 被称为分母。
分子和分母之间用一条横线隔开，表示两者之间的除法关系。
分式可以表示真数、假数和整数。
当分子小于分母时，这个分式表示一个真数；当分子大于分母时，这个分式表示一个假数；当分子等于分母时，这个分式表示一个整数。
二、分式的表示方法除了常见的分式形式 a/b，分式还可以以其他形式表示，比如带分数、百分数等。
1. 带分数带分数是指一个整数部分和一个分数部分组合在一起的数。
例如，7 1/4 就是一个带分数，整数部分是7，分数部分是1/4。
2. 百分数百分数是指以百分之一为单位的分数，通常以百分号 "%" 表示。
例如，75% 就表示 75 百分之一。
三、分式的计算分式的计算主要包括分式的加减乘除四则运算，下面将具体介绍每种运算的方法。
1. 分式的加法与减法分式的加法与减法的计算方法类似，需要先找到两个分式的公共分母，然后对分子进行相应的加减运算，最后化简得到结果。
2. 分式的乘法分式的乘法只需要将两个分式的分子和分母分别相乘即可。
如果能对结果进行约分，则需要进行约分化简。
3. 分式的除法分式的除法需要将除数的分子与被除数的分母相乘，再将除数的分母与被除数的分子相乘。
最后将相乘得到的结果作为除法的结果。
四、应用举例为了更好地理解分式的概念和计算，下面举例说明。
1. 例题1：计算 3/8 + 1/4。
解：首先找到两个分式的公共分母，即 8 和 4 的最小公倍数 8。
然后对分子进行相应的加法，得到 3/8 + 2/8 = 5/8。
2. 例题2：计算 5/6 × 2/3。
解：将两个分式的分子和分母分别相乘，得到 5/6 × 2/3 = 10/18。
分式的知识点及典型例题分析
分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中， 152 9a 、 5a b 、 3a 2b 2 2 、 1 、 5xy 1 、xy 、8a b 、-23 2x y 4 、2- m 6 x a1 、 x 221 、 3xy 、 3 、 a 1 中分式的个数为（）2x y m（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4(D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有.⑴ 2x 7 ； ⑵ x1 ；⑶ 5a 2；⑷ x 2x 2；⑸2 b 2；⑹xyy 2.x 5 2 3a b 2x 2⑵ 下列式子，哪些是分式？a ；x23； y 3； 7 x ； x xy ； 1 b .54y 8 x 2 y 4 52、分式有、无意义 ：（ 1）使分式有意义：令分母≠ 0 按解方程的方法去求解； （ 2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解；例 1：当 x 时，分式 1 有意义；x 5例 2：分式 2x1中，当 x ____ 时，分式没有意义；2 x例 3：当 x 时，分式 1 有意义；2 1 x例 4：当 x 时，分式 x 有意义；2 1 x 例 5： x ， y 满足关系时，分式 xy无意义；x y例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ． 2x B. x C. 3xx 52 2x 13 1 D.x 2 x 1 x x 有意义的 x 的取值范围为（） 例 7：使分式x 2 A ． x 2 B ． x2 C ． x 2 D ． x 2例 8：要是分式x 2没有意义，则 x 的值为（）1)( x(x3)A. 2B.-1 或-3C. -1D.33、分式的值为零：使分式值为零：令分子 =0 且分母≠ 0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母 =0 了，如果使分母 =0 了，那么要舍去。
例 1：当 x 时，分式1 2a的值为 0； a 12 x1例 2：当 x 时，分式的值为 0例 3：如果分式a2的值为为零 , 则 a 的值为 ( ) a 2A.2 B.2 C.2 D. 以上全不对例 4：能使分式 x2x 的值为零的所有 x 的值是（） x 21A x 0 Bx 1 C x 0 或 x1 D x 0 或 x1例 5：要使分式x 29的值为 0，则 x 的值为（）x 25x 6 A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 ：若 a1 0 , 则 a 是 ( ) 6 aA. 正数B. 负数C. 零D. 任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题
1、分式的定义:分式的知识点及典型例题分析例：下列式子中，、8a2b、-923a 丄中分式的个数为（m练习题: F列式子中，是分式的有5a - b2x - y2 23a -b(A)-5a2X? —X-2；5)（2）下列式子, 哪些是分式?、22、a(B)5xy 1b2xy2x2 y2(D)3xy7x x xy，x2 4 y 8■:x -2y分式有，无意义，总有意义:（1）使分式有意义：令分母工0按解方程的方法去求解; （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解; 注意：（x2 T工0）3 :当x1——有意义;x -51时，分式丁x -1时，分式有意义。
5: x , y满足关系时，分式分式例4: x——y无意义;例6 :无论x取什么数时，总是有意义的分式是（A. 2xx2 1 B. —x2x 1C.3xx3 1例7 :使分式有意义的x的取值范围为（例&要是分式x —2乞二一没有意义，则x的值为（(x 1)(x-3)同步练习题: 竺」中，当x二2 —x 时, 分式没有意义时, 分式xx2 1有意义Di5A. 2B.-1 或-3C. x -2D. x ：2C. -1D.33、分式的值为零:那么要舍去。
例3:如果分式 二2的值为为零，则a 的值为（） A. ±2a +22例4 :能使分式△戶的值为零的所有x 的值是 （）x 2 —1A X=0B X=1C X=O 或 x =1D X=O 或 x =14、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 o 的整式，分式的值不变。
A _ ACA _ A CB _ B -C C = 0BBC例1: xy 6x( y + z)；3(y z)2- ——；如果 y z 5（3a J _ 5成立，则a 的取值范围是 aaby7(3a 1) 7例2 :ab21-b cb—c——3 3a b()a()例3:如果把分式 也旦 中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值（)a bA 、 扩大 10倍B 、缩小10倍C 、是原来的 20倍D 、 不变例4 :如果把分式中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（）x + y1A .扩大100倍B .扩大10倍C .不变D .缩小到原来的 一10例5 :如果把分式中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（）x + y使分式值为零：令分子=0且分母工0,注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了,1 _2a时，分式的值为0a +1例2 :当x _______x — 1时，分式 ------ 的值为0x + 1B.2C. -2D.以上全不对例5 :要使分x 2 _9x 2-5x 6 的值为0，则x )A.3 或-3 B.3 C.-3A、扩大2倍; 扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例6 :如果把分式x -yx y中的x和y都扩大2倍，即分式的值(A、扩大2倍; 扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例7 :如果把分式x - yxy中的x和y都扩大2倍，即分式的值(A、扩大2倍; 扩大4倍; C、不变;1 D缩小一倍2例&若把分式A. 扩大12倍x翌的X、y同时缩小12倍，则分式的值(2xB.缩小12倍C.不变D.缩小6倍9 :若x、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(3x 2y 3x 3x32?例10:根据分式的基本性质，分式B_a「b-a---- 可变形为( a -baC -a —b11:不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数, 12:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,a b0.2x -0.012-x - 0.05 1 -x77 2 = 一1 x-x求值题: (1)已知:2 2x - y ..x2_ 2xy y2x2-xy(2) 已知: 的值。
分式题型-易错题-难题-大汇总
分式单元复习〔一〕、分式定义及有关题型一、分式的概念： 形如BA 〔A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0〕的式子，叫做分式。
概念分析：①必须形如“B A 〞的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。
．．．例：以下各式中，是分式的是①1+x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦πx 练习：1、以下有理式中是分式的有〔 〕A 、 m 1B 、C 、D 、57 2、以下各式中，是分式的是 ①x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦ 1、以下各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有〔 〕个。
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。
即：例：把以下各有理式的序号分别填入相应的横线上 ①21x② ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥ ⑦ 整式： ；分式 。
①分式有意义：分母不为0〔0B ≠〕②分式无意义：分母为0〔0B=〕③分式值为0：分子为0且分母不为0〔〕④分式值为正或大于0：分子分母同号〔或〕⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔或〕⑥分式值为1：分子分母值相等〔A=B〕⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数〔A+B=0〕⑧分式的值为整数：〔分母为分子的约数〕例:当x 时，分式有意义；当x 时，有意义。
练习：1、当x 时，分式无意义。
8．使分式无意义，x的取值是〔〕A．0 B．1 C．1- D．1±2、分式，当______x时有意义。
3、当a 时，分式有意义．4、当x 时，分式有意义。
5、当x 时，有意义。
分式有意义的条件是。
4、当x 时，分式的值为1；2．〔辨析题〕以下各式中，无论x取何值，分式都有意义的是〔〕A．121x+ B．21xx+C．231xx+ D．〔7〕当x为任意实数时，以下分式一定有意义的是〔〕A.23x+B. C.1xD.四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：假设分式的值为0，那么x 。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题
分式的知识点及经典题型1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 (D) 8 2、分式有，无意义，总有意义：注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 3、分式的值为零：例1：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例2：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例3：能使分式122--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例4：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例5：若01=+aa ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1:c b c b --=+- C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例2：如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例3：如果把分式yx y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例4：若把分式x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍 例5： 不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 5、分式的约分及最简分式：例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：约分： =--2)(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23314___________21a bc a bc -= 232()3y x = （3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = 例3：分式3a 2a 2++，22b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、分式的乘，除，乘方： 乘法法测：b a ·d c =bd ac . 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba )n =n nb a (n 为正整数) 7、分式的化简、求值12.，其中2m =-．3．然后从22x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．45x=26范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．7.化简，再求值：x 满足2320x x -+=．8、已经两未知量的关系求代数式的值1.已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
分式经典例题及答案
分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
2、分式有意义、无意义的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不等于0；②分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
二、典型例题A．x=-2 B．x= 0 C．x=1或2 D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：∴{ x-1=0 ①{ x+2≠0 ②，解得x=1．故选D．___________________________________________________________ __________________________A．x=1B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x≠5 B．x≠-5 C．x＞5D．x＞-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；故选A．___________________________________________________________ __________________________A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x ＜2 D．x＞2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x＞0，且（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x＞0 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0 ①{ x-1≠0 ②，解得x≥0且x≠1，故选C．___________________________________________________________ __________________________例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为0，则分式的值为零，故错误；B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式，分式的值不变，故错误；C、正确；D、当x取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．故选C．___________________________________________________________ __________________________A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，故选B．___________________________________________________________ __________________________分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．___________________________________________________________ __________________________分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：则x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0，∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。
分式的概念练习题
分式的概念练习题一、选择题1. 下列哪个选项不是分式的形式？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^2 + 3x \)C. \( \frac{x}{y} \)D. \( \frac{x+1}{2} \)2. 以下哪个表达式可以化简为 \( \frac{1}{x} \)？A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{x}{x^2} \)C. \( \frac{2x}{2x^2} \)D. \( \frac{3}{3x} \)3. 判断下列哪个分式是真分式？A. \( \frac{1}{x+1} \)B. \( \frac{x}{x} \)C. \( \frac{x^2}{x} \)D. \( \frac{x-1}{x} \)4. 以下哪个分式不能通过通分来简化？A. \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} \)B. \( \frac{2}{x} - \frac{3}{x} \)C. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \)D. \( \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} \)5. 将分式 \( \frac{2x^2}{x^3+1} \) 化简，正确的结果是：A. \( \frac{2}{x+1} \)B. \( \frac{2x}{x^2+1} \)C. \( \frac{2x}{x+1} \)D. \( \frac{2x}{x^2} \)二、填空题6. 如果 \( \frac{a}{b} \) 是一个分式，且 \( a \) 和 \( b \)都是多项式，那么 \( b \) 必须是一个______。
7. 将分式 \( \frac{3x^2-9x}{x^2-4} \) 化简，结果为\( \frac{3x}{x+2} \)，这是因为分子和分母都同时除以了______。
8. 如果 \( \frac{x^2-1}{x-1} \) 可以化简，化简后的结果是______。
分式运算典型例题精解
分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念： 【例1】有理式（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33yx -；（5）11－x ；（6）π1中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。
. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x 为 时，分式()()()322-++x x x 有意义． 错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。
例如 当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。
但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是（ ）．A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a ba b a b-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a ba + D ．b -（2）化简2244xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x -（3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11---x x x，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
分式的概念
分式的概念测试姓名：班级：一．选择题（共10小题）1．当x=2时，分式的值为（）A．8 B．4 C．3 D．22．下列分式不是最简分式的是（）A．B．C．D．3．下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（）个．A．2 B．3 C．4 D．54．在代数式、、6x2y、、、、中，分式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x= B．x＞C．x＜D．x≠6．分式有意义的条件是（）A．x≠﹣1 B．x≠3 C．x≠﹣1或x≠3 D．x≠﹣1且x≠37．若分式的值为零，则x的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．08．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍10．把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．缩小9倍二．填空题（共10小题）11．下列各式，，x+y，，﹣3x2，0，﹣，，，，﹣y，，中分式有个．12．当x=﹣2时，=．13．若=．14．当x时，分式有意义．15．分数的基本性质：分数的分子与分母都，分数的值不变．16．要使分式有意义，则x的取值是．17．当x时，分式的值为0．18．若分式的值为0，则x的值为．19．若2x﹣5y=0，且x≠0，则代数式的值是．20．下列各式、、（x+y）、、﹣3x2、0、中，是分式的有，是整式的有．三．解答题（共2小题）21．当x取何值时，分式（1）有意义；（2）分式的值为0．22．求当x取何值时，分式的值为0.分式的概念测试参考答案一．选择题（共10小题）D．故选：D．【点评】本题考查了最简分式，利用了分式的分子分母不含公因式的分式是最简分式．3．（2016春•洪洞县期末）下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．【解答】解：中的分母含有字母是分式．故选A．【点评】本题主要考查分式的定义，π不是字母，不是分式．4．（2016春•衡阳县校级月考）在代数式、、6x2y、、、、中，分式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．【解答】解：分式有、、，故选：B．【点评】此题主要考查了分式定义，关键是把握分母中有字母．5．（2016春•景泰县期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x= B．x＞C．x＜D．x≠【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x﹣7≠0，解得x．【解答】解：∵3x﹣7≠0，∴x≠．故选D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．6．（2016春•长沙校级期中）分式有意义的条件是（）A．x≠﹣1 B．x≠3 C．x≠﹣1或x≠3 D．x≠﹣1且x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不等于0．【解答】解：若分式有意义，则（x+1）（x﹣3）≠0，即x+1≠0且x﹣3≠0，解得x≠﹣1且x≠3．故选D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．是一道比较简单的题目．7．（2016春•滕州市期末）若分式的值为零，则x的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．0【分析】分式的值为0，则分母不为0，分子为0．【解答】解：∵|x|﹣2=0，∴x=±2，当x=2时，x﹣2=0，分式无意义．当x=﹣2时，x﹣2≠0，∴当x=﹣2时分式的值是0．故选C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．8．（2016春•耒阳市校级月考）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：原式==x﹣2．∵分式的值为0，∴x﹣2=0．解得：x=2．故选：D．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．9．（2016春•无锡期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍【分析】可将式中的x，y都用2x，2y来表示，再将后来的式子与原式对比，即可得出答案．【解答】解：==，因此分式的值不变．故选：B．【点评】此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．10．（2016春•衡阳县校级月考）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．缩小9倍【分析】把原分式中的x、y换成3x、3y，进行计算，再与原分式比较即可．【解答】解：把原分式中的x、y换成3x、3y，则=×，故选B．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．二．填空题（共10小题）11．（2013秋•开福区校级月考）下列各式，，x+y，，﹣3x2，0，﹣，，，，﹣y，，中分式有7个．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，x+y，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，，﹣，，﹣y，，分母中含有字母，因此是分式，共7个．故答案是：7．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．12．（2014秋•湘乡市期中）当x=﹣2时，=﹣．【分析】首先化简分式，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x=﹣2，∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．13．（2014秋•双峰县校级期中）若=．【分析】从=3出发，可得a=3b，将这个关系代入中并化简可得其答案．【解答】解：若=3，则a=3b，将a=3b，代入中可得，==；故答案为．【点评】解本题关键是找到a、b的关系，借助整体代入的思想代入分式进行计算求解，实际考查分式的运算与性质．14．（2015•秦淮区一模）当x≠﹣1时，分式有意义．【分析】由于x+1≠0时，分式有意义，求解即可．【解答】解：根据题意可得，x+1≠0，即x≠﹣1时，分式有意义．故答案为：≠﹣1．【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．15．（2015秋•祁阳县校级月考）分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（除以）同一个不为0的数，分数的值不变．【分析】根据分数的基本性质即可得到结果．【解答】解：分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（除以）同一个不为0的数，分数的值不变．故答案为：乘以（除以）同一个不为0的数【点评】此题考查了分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质是解本题的关键．16．（2016•临澧县模拟）要使分式有意义，则x的取值是x≠2．【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣2≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．17．（2016•湘潭模拟）当x=1时，分式的值为0．【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x=1．故答案为：=1．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分子等于零且分母不等于零．18．（2016•应城市三模）若分式的值为0，则x的值为﹣1．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得x2﹣1=0且x﹣1≠0，解得x=﹣1．故答案为﹣1．【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．19．（2016春•衡阳县校级月考）若2x﹣5y=0，且x≠0，则代数式的值是2．【分析】首先由2x﹣5y=0，可得5y=2x，然后将2x代换5y，即可求得答案．【解答】解：∵2x﹣5y=0，∴5y=2x，∴==2．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的化简求值问题．注意整体思想的应用是解此题的关键．20．（2015春•醴陵市校级期中）下列各式、、（x+y）、、﹣3x2、0、中，是分式的有、，是整式的有、（x+y）、﹣3x2、0、．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、（x+y）、﹣3x2、0、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．、分母中含有字母，因此是分式．故答案是：、；、（x+y）、﹣3x2、0、．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．三．解答题（共2小题）21．（2011秋•北湖区校级月考）当x取何值时，分式（1）有意义；（2）分式的值为0．【分析】（1）分式有意义，分母不为零；（2）分式的值为零时，分子为零，但是分母不为零．【解答】解：（1）根据题意，得x2﹣9≠0，解得，x≠±3，即当x≠±3时，分式有意义；（2）根据题意，得（x+3）（x﹣2）=0，且x2﹣9≠0，解得，x=2，即当x=2时，分式的值为零．【点评】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．22．（2011春•邵阳校级月考）求当x取何值时，分式的值大于0？【分析】先化简分式得到﹣，则当或分式的值大于0，然后解不等式组即可得到x的取值范围．【解答】解：∵=﹣，分式的值大于0，∴或，解得1＜x＜2．所以当1＜x＜2时，分式的值大于0．【点评】本题考查了分式的值：当分式的值大于0，则分式的分子与分母同号；当分式的值小于0，则分式的分子与分母号；当分式的值等于0，则分式的分子等于0，分母不等于0．。
中考复习——分式的有关概念(解析版)
中考复习——分式的有关概念一、选择题 1、分式13x -可变形为（ ）．A. 13x +B. -13x+C.13x - D. -13x - 答案：D 解答：分式13x -可变形为：-13x -．选D.2、当x =1时，下列分式没有意义的是（ ）．A.1x x+ B.1x x - C.1x x- D.1x x + 答案：B解答：当x =1时，x -1=0， 故分式1xx -没有意义， 其余分式都有意义． 选B. 3、若分式12x -有意义，则x 的取值范围是（ ）．A. x ＞2B. x ≠2C. x ≠0D. x ≠-2答案：B解答：分式分母不为0， 所以x -2≠0，即x ≠2． 选B.4、下列式子中正确的是（ ）． A. a 2-a 3=a 5 B. （-a ）-1=aC. （-3a ）2=3a 2D. a 3+2a 3=3a 3答案：D解答：A 选项：a 2和a 3不是同类项，不能合并，选项错误； B 选项：（-a ）-1=-1a，选项错误； C 选项：（-3a ）2=9a 2，选项错误；D选项：a3+2a3=3a3，选项正确．选D.5、下列运算中正确的是（）．A. （a2）3=a5B. （12）-1=-2C. （0=1D. a3·a3=2a6答案：C解答：A选项：（a2）3=a6，故A错误；B选项：（12）-1=2，故B错误；C选项：（0=1，正确；D选项：a3·a3=a6，故D错误．选C.6、如果分式11x+在实数范围内有意义，则x的取值范围（）．A. x≠-1B. x＞-1C. 全体实数D. x=-1答案：A解答：由题意可知：x+1≠0，x≠-1．选A.7、函数y=1x-中自变量x的取值范围是（）．A. x≥-2且x≠1B. x≥-2C. x≠1D. -2≤x＜1答案：A解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，解得：x≥-2且x≠1．选A.8、下列运算正确的是（）．A. B. （12）-1=-2C. （-3a）3=-9a3D. a6÷a3=a3（a≠0）答案：D解答：A，故A错误；B选项：（12）-1=2，故B错误；C选项：（-3a）3=-27a3，故C错误；D选项：a6÷a3=a6-3=a3（a≠0），故D正确．选D.9、分式52xx+-的值是零，则x的值为（）．A. 2B. 5C. -2D. -5答案：D解答：52xx+-=0，即（x+5）（x-2）=0，x1=-5，x2=2，经检验x=2不是原方程的解，x=-5是原方程的解，故x=-5．选D.10有意义的x的取值范围是（）．A. x≥4B. x＞4C. x≤4D. x＜4答案：D解答：有意义，则：4-x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．选D.11、分式211xx-+=0，则x的值是（）．A. 1B. -1C. ±1D. 0答案：A解答：∵分式211x x -+=0，∴x 2-1=0且x +1≠0， 解得：x =1． 选A.12在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）． A. x ≥1且x ≠2 B. x ≤1C. x ＞1且x ≠2D. x ＜1答案：A解答：依题意，得x -1≥0且x ≠2， 解得x ≥1且x ≠2， 选A.13、函数y =13x -的自变量x 的取值范围是（ ）． A. x ≥2，且x ≠3 B. x ≥2C. x ≠3D. x ＞2，且x ≠3答案：A解答：依题意可得x -3≠0，x -2≥0， 解得x ≥2，且x ≠3． 选A.14、函数y 的自变量x 的取值范围是（ ）． A. x ≠5 B. x ＞2且x ≠5C. x ≥2D. x ≥2且x ≠5答案：D解答：由题意得：2050x x -≥⎧⎨-≠⎩， 解得：x ≥2且x ≠5．故答案选D.15、若代数式13xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）．A. x=-1B. x=3C. x≠-1D. x≠3答案：D解答：13xx+-有意义，分母不为0，x-3≠0，x≠3．选D.二、填空题16、若分式1xx-的值为0，则x的值等于______．答案：1解答：分式1xx-的值为0，即分子为0且x≠0，x-1=0，x=1．故x=1．17、要使51x+有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠-1解答：分式有意义，则分母不为零，所以x+1≠0，x≠-1，故x的取值范围为x≠-1．18、若式子1-11x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠1解答：分式有意义，则x-1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．19、若代数式17x-有意义，则实数x的取值范围是______．答案：x≠7解答：若17x-有意义，x≠7，故实数x的取值范围为x≠7，故答案为：x≠7．20、函数y=16x-中，自变量x的取值范围是______．答案：x≠6解答：由题意得，x-6≠0，解得x≠6．故答案为：x≠6．21、计算：（14）-1=______．答案：4解答：（14）-1=114=4，故答案为：4．22、要使分式21xx+-有意义，则x应满足条件______．答案：x≠1解答：由分式有意义的条件，得x≠1．23、若分式22x xx-的值为0，则x的值是______．答案：2解答：∵分式22x xx-的值为0∴x2-2x=0，且x≠0，解得：x=2．故答案为：2．24、若分式11x+的值不存在，则x=______．答案：-1解答：∵分式11x+的值不存在，解得：x=-1，故答案为：-1．25在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．答案：x＞3解答：由题意得：2x-6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．26、函数y的自变量x取值范围是______．答案：x≥1且x≠3解答：根据题意得：1030xx-≥⎧⎨-≠⎩.，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．27、若分式121x-有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠1 2解答：根据题意得，2x-1≠0，解得x≠12．28有意义，则x的取值范围是______．答案：x＞2解答：由题意得，x-2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．29、函数y______．答案：x＞3解答：得x ≥3， 由分母不为0得x -3≠0，x ≠3， 综上x ＞3． 30、分式22xx -与282x x-的最简公分母是______，方程22822x x x x ---=1的解是______．答案：x （x -2）；x =-4 解答：∵x 2-2x =x （x -2），∴分式22xx -与282x x -的最简公分母是x （x -2）， 方程22822x x x x---=1， 去分母得：2x 2-8=x （x -2）， 去括号得：2x 2-8=x 2-2x ，移项合并得：x 2+2x -8=0，变形得：（x -2）（x +4）=0， 解得：x =2或-4，检验：∵当x =2时，x （x -2）=0，当x =-4时，x （x -2）≠0， ∴x =2是增根，x =-4是方程的根， ∴方程的解为：x =-4． 故答案为：x （x -2）；x =-4．。
分式重点知识及经典例题
分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
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∴ 或 ，
而 或 均使分母不为零。
∴当 或 时,都能使分式 的值为零。
(2） 应满足 ①并且 ②。
由①得 ；
由②得 ,则 或 。
而 不是分母的取值范围，应当舍去。
∴当 时，分式 的值是零。
说明分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的。如果令分子为零,求出的数,使分母也为零时，必须舍去，所以使分式 为零的条件是:
解:根据分式定义, ； , 中分母均含有字母,故它们是分式。
说明分母中只要含有字母即可，至于字母的个数和次数不受限制;而分子中字母则可有可无。
例7．分析要使分式有意义,只需分母不为零。可以假定分母等于零，求出相应的 的值，在 的取值范围内去掉这些值就为所求。
解：(1）令 ，有 。
所以使分式 有意义的 的取范围是不等于 的一切有理数。
(1） ;(2) 。
参考答案
例1．解答ﻩ
说明ﻩ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母;② 是一个常数，不是一个字母
例2.分析因为零不能作除数,所以分式要有意义,分母必不为0，即
,所以 且
解ﻩ
说明ﻩ当分母等于零时，分式没有意义,这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点
例3.分析ﻩ要使分式的值为零,不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零
(2)令 ，有 ,即 或 。
所以使 有意义的 的取值范围是不等于2和-２的一切有理数。
（3)令 ,则有 或 ，
即 或 。
所以使 有意义的 的取值范围是不等于２且不等于 的一切有理数。
(4)由于 ，那么 。
所以使 有意义 的取值范围是一切有理数。
说明1.到目前为止,分式的字母取值是在有理数范围内,今后,随着扩充新的数,字母的取值范围将跟着扩大。
解（１）由分子 ，得 .又当 时,分母 ．所以当 时，分式 的值为零。
(２)由分式 ,得 .当 时，分母 ；当 时，分母 .所以当 时,分式 的值为零.
例4.分析ﻩ分式 有意义的条件是 ,即 和 .而 有意义的条件是 ，而当 时， 是有意义的.
解由于 与 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.
２.如果分母是二次三项式的形式，则首先考虑分解成两个一次式的乘积,再令分母为零。
3．对于分式，弄清其字母的取值范围,对今后分式的进一步学习有着重要的意义。
例8.分析要使分式值为零，则首先要使分式有意义，也就是要求的 必须满足使分子为零的同时,使分母不为零。
解：（1） 应满足 ①
同时满足 ②
由①得 ;
说明ﻩ在解分式问题时,一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义,然后再考虑其他问题.
例5．分析ﻩ 可转化为 ， 或 ， ；
可转化为 ， 或 ,
解ﻩ根据题意,得 ，可转化为
（Ⅰ) 和（Ⅱ)
由(Ⅰ）得 ,由(Ⅱ）得 无解．
综上, 取值范围是:
例６.分析判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。也就是说,有理式不仅应在形式上是 ,更重点的是 中要有字母,才可判定为分式。
例3．当 取何值时，下列分式的值为零?
ﻩ(1） ;ﻩ(2）Leabharlann 例４. 与 是同一个分式吗?
例5.若分式 的值为非负数,求 的取值范围
例6.判断下列有理式中,哪些是分式？
; ； ; ； ； ；
例7．求使下列分式有意义的 的取值范围:
(1) ；(2) ;
（3） ；(4) 。
例８.当 是什么数时,下列分式的值是零：
《分式的概念》典型例题
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ﻩ
《分式的概念》典型例题
例1.下列各式中不是分式的是（）
A. ﻩＢ． ﻩC． ﻩD．
例2.分式 有意义，则 应满足条件（）
Ａ. ﻩB. ﻩC． 且 ﻩＤ． 或