常见连续型随机变量的分布资料
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
2.4_几种常见的连续型随机变量的分布
F ( x)
x
1 2
e
( x )2 2 2
dt
(2) 正态分布的密度函数 f(x) 的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x
正态曲线
(1) f(x) 关于 是对称的.
1 在 点 f(x) 取得最大值 . 2
2.4 几种常见的连续型随机变 量的分布
(1) 均匀分布 (2) 指数分布
(3) 正态分布（重点）
1 、均匀分布
如果随机变量 X 的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
则称 X 在区间 [a, b]上服从均匀分布. 记为 X～U[a, b].
由于 P{c x d } f ( x)dx
b
x
abBiblioteka x例1 设随机变量 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，
试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { X > 3 },
则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ B(3, 2/3)，所求概率为
P (Y ≥ 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
解 （1）P{在100 h以内需要维修} P( X 100}
100 0
100
f ( x)dx
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
（2） P{能无故障使用600 h以上} P( X 600}
常见的连续型随机变量的分布
1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。
常见连续型随机变量的分布[业界优制]
![常见连续型随机变量的分布[业界优制]](https://img.taocdn.com/s3/m/b394693358fafab069dc02e2.png)
0
2xexdx
0
2
2
21 1 DX
2 2 2
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10
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布，如果等车时间超过10分钟， 他就步行上班.
若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 求：他一周内至少有一天步行上班的概率.
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11
解
0.2e0.2x， x 0；
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分布. 记作X ~ e() ，或 X ~ E().
分布函数
1 ex , x 0, F(x)
0, x 0.
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7
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
对于任意的 0 < a < b,
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12
三、正态分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高分布,记为 X ~ N ( μ,σ 2 ).
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13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
)
E(X
2)
[E( X )]2
a2
ab 3
b2
a
b 2
2
(b a)2 12
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4
例1
设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
连续型随机变量的分布及其数字特征
连续型随机变量的分布及其数字特征一、基本概念设随机变量X 的分布函数为F (x )，若存在非负函数f (x )，使对任意实数x ，有X x F {P )(=≤⎰∞-=xx x f x d )(}则称X 为连续型随机变量，并称 f (x )为X 的概率密度，它满足以下性质：① f (x )≥0，-∞＜x ＜+∞; ② ⎰+∞∞-=1d )(x x f ; ③ P{a <x ≤b }=F (b )-F (a )=⎰ba x x f d )(; ④ P{x =a }=0．二、常见的三种连续型随机变量的概率分布常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布． （1） 均匀分布若连续型随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0;,1)(b x a ab x f MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下：unifpdf(X ,A ,B ) 均匀分布的密度函数 unifcdf(X ,A ,B ) 均匀分布的累积分布函数unifinv(P ,A ,B ) 均匀分布的逆累积分布函数 unirnd(A ,B ,m ,n ) 均匀分布的随机数发生器 unifstat(A ,B ) 均匀分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，P 为概率值，A ，B 为均匀分布参数，m 和n 为生成随机数矩阵的行数和列数．（2） 指数分布如果随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥-=0,0;0),exp()(x x x x f λλ其中λ为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作X ～e (λ)． MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：exppdf(X ,L ) 指数分布的密度函数 expcdf(X ,L ) 指数分布的累积分布函数 expinv(P ,L ) 指数分布的逆累积分布函数 exprnd(X ,L ,m ,n ) 产生服从指数分布的随机数 expstat(L ) 求指数分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，L 为参数λ，P 为显著概率，m 和n 为随机数矩阵的行数和列数． 绘制指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下x=-0.1:0.001:0.4;subplot(1,2,1);plot(x,y,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,21]);subplot(1,2,2);plot(x,z,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,1.1]);指数分布的密度函数及累积分布函数图（3） 标准正态分布如果随机变量X 的概率密度为：,,2)(exp 21)(22+∞<<∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x f σμσπ 其中μ和σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ2的正态分布，记作X ～N(μ,σ2)．当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布，记作X ～N(0,1)． MATLAB 提供的有关正态分布的函数如下：normpdf(X ,M ,C ) 正态分布的密度函数 normcdf(X ,M ,C ) 正态分布的累积分布函数 norminv(P ,M ,C ) 正态分布的逆累积分布函数 normrnd(M ,C ,m ,n ) 产生服从正态分布的随机数 normstat(M ,C ) 求正态分布的数学期望和方差其中X 为随机变量，M 为正态分布参数μ，C 为参数σ，P 为显著概率，m 和n 为随机矩阵的行数和列数．绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图的程序如下：x=-4:0.01:4;subplot(2,2,1);plot(x,y,'k');axis([-4,4,-0.1,0.5]);subplot(2,2,2);plot(x,z,'k');axis([-4,4,-0.1,1.1]);x=-4:0.01:16;y1=normpdf(x,6,1);z1=normcdf(x,6,1);y2=normpdf(x,6,4);z2=normcdf(x,6,4);y3=normpdf(x,6,0.6);z3=normcdf(x,6,0.6);subplot(2,2,3);plot(x,y1,'k',x,y2,'k',x,y3,'k');axis([-4,16,-0.1,0.8]);subplot(2,2,4);plot(x,z1,'k',x,z2,'k',x,z3,'k');axis([-4,16,-0.1,1.1]);三、求解方法（1）通用函数介绍.Pdf 计算已选函数的概率密度函数,调用格式为:Y=Pdf(name, X,A)Y=Pdf(name, X,A,B)Y=Pdf(name, X, A,B,C)Name为上表中取stat后的字符，如beta、 bino 、chiz、exp等。
第六章(三)常用连续型随机变量的理论分布
(一)抽样分布的含义与无偏估计量 1、抽样分布的含义：统计推断是以总 体分布和样本抽样分布的理论关系为 基础的。 由总体中随机地抽取若干个体组成样 本，即使每次抽取的样本含量相等， 其统计量也将随样本的不同而有所不 同。因而样本统计量也是随机变量， 也有其概率分布，我们把统计量的概 率分布称为抽样分布。
如果总体是无限总
体，那么可以得到 无限多个随机样本。
随机样本1 2 3
……
无穷个样本
图 总体和样本的关系
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的 样本，那么一共可以得到 N n个样本(所有可能的样本个数)。 抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能 的样本都被抽取后可以得到许多平均数。 如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构
正态分布的分位点的定义：
3、正态分布分位点计算
标准正态分布 N (0,1) 密度函数图形为：
x 图中的点 称为标准正态分布的 (1 )% 的分位点，相当于已知
F(x ) p( X x ) 1
求其中的 x
4、单侧概率与双侧概率 •统计学中，把随机变量 x 落在区间 (μ-kσ,μ+kσ)之外的概率称为双侧(两 尾)概率，记作α。 •对应于双侧概率可以求得随机变量x 小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，称为 单侧概率，记作α／2。
2、无偏估计 • 在统计学上，如果所有可能样本的 某一统计数的平均数等于总体的相 应参数，则称该统计数为总体相应 参数的无偏估计值。
• 设有一N=3的总体，具有变量3，4， 5；求得μ=4，σ2=0.6667， σ=0.8165 • 现以n=2作独立的回置抽样，总共得 Nn=32=9个样本。 • 抽样结果列入下表：
连续型随机变量的分布)
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
连续型随机变量的分布与应用
连续型随机变量的分布与应用连续型随机变量是概率论与数理统计中重要的研究对象之一，它与离散型随机变量相辅相成，被广泛应用于各个领域。
本文将探讨连续型随机变量的分布特性以及在实际问题中的应用。
一、连续型随机变量的定义与性质连续型随机变量是在一定范围内取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是实数区间内的任意一个点，且其概率密度函数可用来描述其分布特性。
1. 概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意x，有f(x) ≥ 0；（2）归一性：∫f(x)dx = 1。
2. 分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)定义为X ≤ x的概率，即F(x) =P(X ≤ x)。
由于连续型随机变量无论取任何具体值的概率都是0，因此F(x)可用概率密度函数进行求解。
二、常见的连续型随机变量分布在概率论与数理统计中，涉及到很多形式不同的连续型随机变量分布。
下面介绍几种常见的分布类型及其特点。
1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在给定区间上的密度函数是常数。
均匀分布常用于模拟实验、随机抽样等场景。
2. 正态分布正态分布，又称高斯分布，是自然界中许多现象的分布模型。
它以其钟形曲线而著名，均值、方差是正态分布的两个重要参数。
正态分布在统计推断、假设检验等方面有广泛的应用。
3. 指数分布指数分布广泛应用于描述一些事件的持续时间或间隔时间，如设备寿命、电话呼叫等。
它具有无记忆性质，也就是说未来的发生与过去无关，仅与当前时刻有关。
4. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积、单位长度等）内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布常用于描述到达某一地点的车辆数、电话呼叫数等。
5. 威布尔分布威布尔分布常用于描述产品寿命或可靠性的分布。
它是指数分布的一般形式，通过加入形状参数来调整分布的形态。
三、连续型随机变量在实际问题中的应用1. 风险分析连续型随机变量在风险分析中有着广泛的应用。
概率论与数理统计-05常见连续型分布
（1） 当x [0, 3.89] 可从表中直接查出 ( x)的数值
（２） 当x 3.89时，可取 ( x) 1
（３）当x 0时，容易证明 ( x) 1 ( x)
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
例１设X～N(0,1)， 利用(x) 旳数值表计算： P(1 X 2); P(1 X 2); P(| X | 1); P(| X | 1)
即 X落在 a中,b任 一子区间 中c旳, d概 率只与区间长度有
关,而与位置无关,这反应了某种“等可能性”,即 在区
间 上“a,b等 可能取值”
例1:设连续型随机变量X在[a,b]上服从均匀分布， 求其分布函数.
解 因为
1
f
(
x)
b
a
0
(a x b) 其他
所以当 x a 时
当 axb 时
为何叫“正态”分布
正态分布密度呈现“中间高，两头低”旳形态， 它描述了自然界大量存在旳随机现象，所以正态分布 是自然界旳一种“正常状态 ( normal )”旳分布.
正态分布具有许多良好旳性质，许多分布可用 正态分布来近似，在数理统计中处理实际问题时用 得最多旳就是正态分布或与正态分布有关.
高尔顿钉板试验
1 P{ X d 80 d } 1 ( 80 d ) ( d 80)
0.5 0.5
0.5
0.5
因为Φ(x)为单增函数，查表知
d 80 2.33 0.5
即
d
81.165
6
从而
x1 0.13 6 40 39.22
例4: 将一温度调整器放置在贮存着某种液体旳容器内, 调整器设定在d℃,液体旳温度X(以℃计)是随机变量,且 X~N(d,0.52).若要求保持液体旳温度至少为80 ℃旳概率 不低于0.99,问d至少为多少?
高等数学-概率4.3连续型随机变量的常见分布
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
用求导的方法可以证明， x=μσ 为f (x)的两个拐点的横坐标。 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下。
（注：X ～ U（a, b））
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a c d b 的c,d, 总有
P{c X d }
b a
d c f ( x)dx ba
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后 第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差 服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
x
e
( t )2 2 2
dt , x
(IV)、标准正态分布 0, 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 (x)和 (x )表示：
1 ( x) e , x 2 t2 1 x 2 ( x) e dt 2
人的身高高低不等但中等身材的占大多数特高和特矮的只是少数而且较高和较矮的人数大致相近这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外在正常条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸
二、常见的连续型随机变量的概率分布 （一）均匀分布（Uniform） 1、概率密度
若r.v. 的概率密度为
三、指数分布：若 r.v X具有概率密度
e f ( x) 0
连续型随机变量及其分布函数.
2
e
d t,
令 故
u,得 X μ σ
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
若 P { X a } 0,
连 续 型
则不能确定
{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件
P { X a } 0.
离 散 型
例1
设连续型随机变量
因而有
20 3 2 2 3 2 2 P {Y 2 } 1 1 . 27 3 3 3 3 2 3
2 3 0
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 e p(x) 0,
例5
已知 X ~ N ( 0 ,1 ), 求 P { 1 . 25 X 2 }. P { X 1} ,
P { | X | 3} .
解
P { 1 . 25 X 2 } ( 2 ) ( 1 . 25 ) 0 . 9772 0 . 8944
0 . 0828 .
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 1 , p( x ) b a 0, X 具有概率密度 a x b, 其它 , ,
p( x )
则称 X 在区间 ( a , b ) 区间上服从均匀分布 记为 X ~ U ( a , b ).
概率密度
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上, 求还能使用1000小时以上的概率.
连续型随机变量的分布
图10-4
图10-5
连续型随机变量的分布
例4
解
（1）p
x
1， 0 ，
0x 其他
1；
（2）P0.25 X 0.75
0.75
dx
0.5
；
0.25
（3）P X 0.3
0.3 p xdx
0.3
dx 0.3.
0
连续型随机变量的分布
2. 指数分布
定义4
如果随机变量 X 的概率密度为
p
x
2 1
1 1 8 64
7. 64
4
连续型随机变量的分布
2.连续型随机变量的分布函数
定义2
设 X 为连续型随机变量，则函数F x P{ X
)称为连续型随机变量 X 的分布函数 .
x } x p t dt( x
由微积分知识可知，当函数 p x在 x 处连续，则有F x p x.
连续型随机变量的分布
e
x
x 0 0，
0
x0
则称X 服从参数为 l 的指数分布，记为X ~ E (l)，其相应的分布函数为
F
x
1 e 0 ，
x
，
x x
0 0
.
连续型随机变量的分布
p x与F x的图像分别如图10-6和图10-7所示 .
图10-6
图10-7
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的计算.例如电子计算机的寿命、无线电元件的寿命、 随机服务系统中的服务时间等，都常被假定服从指数分布.因此指数分布在可靠性分析和排队 论等领域中有着广泛的应用.
连续型随机变量的分布
例5
解
因为P X 1 000 P X 1 000 1，所以P X 1 000 1 P X
连续型随机变量及其分布
b
F (b) F (a) a f (x)dx
例 2.13 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
A , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(1)确定常数 A ; (2)求 X 的分布函数; (3)求 P{0 X 1} .
解 (1)由概率密度性质(2)得
1
f (x)dx
1 1
A 1 x2
dx
2 A arcsin
x
1 0
2A
π 2
πA,
因此
A＝1 π
,于是
f
(
x)
π
1 , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(2)当 x 1时, 当 1 x 1时,
x
x
F(x)
f (t)dt
0dt 0 ;
F(x)
此站,如果乘客到达此站的时间 X 是 7: 00 到 7:30 之间的 均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率.
解 以 7: 00 为起点 0 ,以分为单位.依题意, X ~ U(0,30) ,于是
f
(x)
1 30
,
0
x
30,
0, 其他.
为使候车时间少于 5 分钟,乘客必须在 7 :10 到 7 :15 之
arcsin
x
1 2
,
1
x
1,
1，x 1.
(3)
P{0
X
1} F(1) F(0)
1 (1 arcsin 0 π
1) 2
1 2
1.2连续型随机变量的常用分布
1.均匀分布
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
第七讲 之阿布丰王创作 连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t}(4.9)第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度13=1/3=1=2事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称.这标明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}. （2）.当x=μ时取到最大值f (x )的图形:=5=51.510.5.π21)(σμ=fx 离μ越远, f(x)的值越小. 这标明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。
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X~f(x)
0，
x≤0.
（1）则他步行上班（等车超过10分钟）的概率为
P { X 1 0 } 1 P { X ≤ 1 0 } 1 1 0 0 .2 e 0 .2 x d x e 2 0
（2）Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数
Y 服从 n5, pe2 的二项分布，即 Y ~b(5,e2)
1•
1,
x b.
•
•
ao b
x
均匀分布的期望与方差
b1
E(X) xf(x)dx
xdx
aba
1(a b). 2
E (X 2 ) x 2 f(x )d x b1x 2 d x a 2 a b b 2
ab a
3
D (X ) E (X 2 ) [E (X ) ] 2 a 2 a 3 b b 2 a 2 b 2 ( b 1 2 a )2
正态分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx x
1 e(x2σμ2)2dx
2σ
令x μ t x μ σ t,
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
x
(x)
1et2 2dt,
x .
2π
标准正态分布的密度函数图形
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e2
dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
e 2 dx
2π
1(x).
标准正态分布的密度函数为偶函数
(0)=0.5
(a)1(a)
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
当正态N(分 μ,σ2布 )中的 μ0,σ1时 ,这样 的正态分布态 称分 为 ,记 布 标 为 N准 (0,1)正 .
标准正态分布的概率密度表示为
(x) 1ex 22, x ,
2π
标准正态分布的分布函数表示为
第五节 常见连续型随机变量的分布
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度f()b1 a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间[a,b] 上服从均匀分布,
记为 X ~ U[a,b].
分布函数
0,
x a,
F(x)
F(x) bxaa, a x b,
10 好在你前面走进公话 用间 电，求你需等10待 分 钟到20分钟之间的概率．
解： X 的密度函数为
f
x
1 10
x
e 10
0
则 P 1 0 X20
x0 x0
e10e20 e1e2 0.2325
指数分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx
xex dx
0
xex 0 0exdx
1
E (X 2 ) x 2f(x )d x x 2 e x d x
分布函数
1ex,x0, F(x)
0, x0.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) bexdx a F(b)F(a) ea eb
例 2 设打一次电话所用间 的X时（单位：分钟）是 以 1 为参数的指数随机． 变如 量果某人刚
P (Xa)1(a)
P (a X b )(b )(a )
( X a ) ( a ) ( a ) ( a ) [ 1 ( a ) ] 2 ( a ) 1
例2 已 X ~ N ( 0 , 1 ) 求 知 P , { 1 . 2 X 5 2 }.
解 P {1 .2 5 X 2 }
例1
设随机 服变 从 量 3， 区 6上 间的均匀
试求方程 4 x 2 4 x 2 0
有实根的概率．
解： 随机变量 的密度函数为
f
x
1 9
3 x 6
0 其它
设 A 方 ： 4 x 2 4 程 x 2 0 有实
则 P A P 4 2 4 4 2 0
P 1 2 0
P 1 或 2
P { 1 } P { 2 }
11
61
dx dx
24
2
3 9
29
99 3
二、指数分布
定义 设连续型随机变X量 的概率密度为
ex, x0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0为常数,则称X 服从参数为的指数
分布. 记作X ~e() ，或 X ~E().
(2)(1.2)5
0 .9 7 7 3 0 .8 9 4 4
0.0829 .
例3 设X~N(0,1),求 P(X>-1.96) P(|X|<1.96)
(7)当固μ定 ,改变 σ的大小 , f(x时 )图形的对称 不变 ,而形状在 ,σ越 改小 ,变 图形越高 ,σ越 越大 , 瘦 图形越矮 . 越胖
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
P { Y ≥ 1 } 1 P { Y 0 } 1 ( 1 e 2 ) 5
三、正态分布
定义设连续型随机X的 变概 量率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常,数 则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
2πσ ( 3 )当 x 时 ,f( x ) 0 ; (4)曲线 x在 μσ处有; 拐点
(5)曲线以 x轴为渐近 ; 线
(6)当固定σ, 改变μ的大小,时 f (x)图形的形状不 ,只变 是沿 着x轴作平移变 ; 换
0
x2ex 0 02xexdx
2 2
DX22 12 12
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布，如果等车时间超过10分钟， 他就步行上班.
若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 求：他一周内至少有一天步行上班的概率.
解
0.2e0.2x，x0；