常见连续型随机变量的分布资料

0
x2ex 0 02xexdx
2 2
DX22 12 12
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布，如果等车时间超过10分钟， 他就步行上班.
若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 求：他一周内至少有一天步行上班的概率.
解
0.2e0.2x，x0；
(7)当固μ定 ,改变 σ的大小 , f(x时 )图形的对称 不变 ,而形状在 ,σ越 改小 ,变 图形越高 ,σ越 越大 , 瘦 图形越矮 . 越胖
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
P { Y ≥ 1 } 1 P { Y 0 } 1 ( 1 e 2 ) 5
三、正态分布
定义设连续型随机X的 变概 量率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常,数 则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
第五节 常见连续型随机变量的分布
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间[a,b] 上服从均匀分布,
记为 X ~ U[a,b].
分布函数
0,
x a,
F(x)
F(x) bxaa, a x b,
例1
设随机 服变 从 量 3， 区 6上 间的均匀
试求方程 4 x 2 4 x 2 0
有实根的概率．
解： 随机变量 的密度函数为
f
x
1 9
3 x 6
0 其它
设 A 方 ： 4 x 2 4 程 x 2 0 有实
则 P A P 4 2 4 4 2 0
10 好在你前面走进公话 用间 电，求你需等10待 分 钟到20分钟之间的概率．
解： X 的密度函数为
f
x
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1 10
x
e 10
0
则 P 1 0 X20
x0 x0
e10e20 e1e2 0.2325
指数分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx
xex dx
0
xex 0 0exdx
1
E (X 2 ) x 2f(x )d x x 2 e x d x
正态分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx x
1 e(x2σμ2)2dx
2σ
令x μ t x μ σ t,
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
分布函数
1ex,x0, F(x)
0, x0.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) bexdx a F(b)F(a) ea eb
例 2 设打一次电话所用间 的X时（单位：分钟）是 以 1 为参数的指数随机． 变如 量果某人刚
1•
1,
x b.
•
•
ao b
x
均匀分布的期望与方差
b1
E(X) xf(x)dx
xdx
aba
1(a b). 2
E (X 2 ) x 2 f(x )d x b1x 2 d x a 2 a b b 2
ab a
3
D (X ) E (X 2 ) [E (X ) ] 2 a 2 a 3 b b 2 a 2 b 2 ( b 1 2 a )2
P (Xa)1(a)
P (a X b )(b )(a )
( X a ) ( a ) ( a ) ( a ) [ 1 ( a ) ] 2 ( a ) 1
例2 已 X ~ N ( 0 , 1 ) 求 知 P , { 1 . 2 X 5 2 }.
解 P {1 .2 5 X 2 }
X~f(x)
0，
x≤0.
（1）则他步行上班（等车超过10分钟）的概率为
P { X 1 0 } 1 P { X ≤ 1 0 } 1 1 0 0 .2 e 0 .2 x d x e 2 0
（2）Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数
Y 服从 n5, pe2 的二项分布，即 Y ~b(5,e2)
(2)(1.2)5
0 .9 7 7 3 0 .8 9 4 4
0.0829 .
例3 设X~N(0,1),求 P(X>-1.96) P(|X|<1.96)
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
2πσ ( 3 )当 x 时 ,f( x ) 0 ; (4)曲线 x在 μσ处有; 拐点
(5)曲线以 x轴为渐近 ; 线
(6)当固定σ, 改变μ的大小,时 f (x)图形的形状不 ,只变 是沿 着x轴作平移变 ; 换
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
当正态N(分 μ,σ2布 )中的 μ0,σ1时 ,这样 的正态分布态 称分 为 ,记 布 标 为 N准 (0,1)正 .
标准正态分布的概率密度表示为
(x) 1ex 22, x ,
2π
标准正态分布的分布函数表示为
x
(x)
1et2 2dt,
x .
2π
标准正态分布的密度函数图形
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e2
dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
e 2 dx
2π
1(x).
标准正态分布的密度函数为偶函数
(0)=0.5
(a)1(a)
P 1 2 0
P 1 或 2
P { 1 } P { 2 }
11
61
dx dx
24
2
3 9
29
99 3
二、指数分布
定义 设连续型随机变X量 的概率密度为
ex, x0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0为常数,则称X 服从参数为的指数
分布. 记作X ~e() ，或 X ~E().