北京市2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=05．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．356．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．58．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为_______．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i，故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：2x＜1=20，解得：x＜0，即A=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为定义域R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=时取等号．反之不成立，例如取a=，b=2．∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件．故选：A．7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=，AP=，BP=，进而得到y2==，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=，在Rt△ABP中，BP=，∵BC=BP+PC=+=y整理得y2==，令t=则y2=，则当t=，即x=时，y取最小值．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件求出的坐标，由⊥可得•=0，解方程求得k 的值．【解答】解：∵向量=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1）∵⊥，则•=（2，1）•（﹣1，k﹣1）=﹣2+k﹣1=0，∴k=3，故答案为3．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，双曲线C：﹣=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（﹣2，），（﹣2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R型电动汽车的销售量为=1920．∴这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970．故答案为：1050；2970．14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=5，m=2．【考点】集合的表示法．【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a取最小值1，b取最大值2时，求出最大值M．【解答】解： +b≥+a≥2，故m=2，a=1，b=2时+b=5，故M=5，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=，从而求出f（x）的最小正周期；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由已知f（x）=sin2x﹣2cos2x=，∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵，∴，∴当，即x=0时，f min（x）=﹣2，当，即时，．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据平均数即可求出，（2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（1）这6天的平均发芽率为：，【解答】解：∴这6天的平均发芽率为24%，（2）（m，n）的取值情况有事件数为15，设为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26）（30，26），∴所求概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）对c分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知，解得d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（Ⅰ）知：b n=c=c2n﹣1，当c=1时，b n=1，∴S n=n．当c≠1时，∵，∴{b n}是b1=c，公比为c2的等比数列；∴．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．【解答】证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点，∴CF⊥AD，∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF⊂平面ACD，∴CF⊥平面ABED．（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=．==3，∵S梯形ABED∴．（3）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，∵G是CD的中点，∴GH∥DE，且GH==1，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴GH∥AB，又GH=AB=1，∴四边形ABHG为平行四边形，∴AG∥BH，又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE，∴AG∥平面BCE．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x+xe x+2ax+2，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xe x+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（e x+2），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（e x+2），由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），∴，即．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，由A满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值；（3）不妨设过M，N的直线方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由已知c=2，∵在椭圆上，∴，又a2=b2+c2，解得b2=4，a2=8，可得椭圆方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，∴由，消去y得（1+2k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，由曲线E与直线l只有两个公共点，可得△＞0，且x1，2是方程的二根，∴，∴，∴，同理，∴为定值．（3）不妨设过M，N的直线方程为：由，消去y得，由△＞0，解得m2＜8，，，计算得：点到直线MN的距离，∴=∴当m2=4，即m=±2时，．2020年9月8日。

2020年高考模拟北京市延庆区高考数学第一次模拟测试试卷含解析

2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．206．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．107．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于．三、解答题16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|【分析】找出选项中的函数解析式中ω的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期．解：A、函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，不满足条件；B、函数y＝cos x的最小正周期为T＝＝4π，不满足条件；C、y＝tan2x的最小正周期为T＝，不满足条件；D、y＝|sin x|的周期T＝π，满足条件．故选：D．4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝【分析】根据函数的图象和性质，判断即可．解：A奇函数，不是增函数；B奇函数，在每个段上时增函数，整个定义域不是增函数；C奇函数，在R上递增；D不是奇函数，f（0）＝2≠0，故选：C．5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．20【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设四棱锥体的高为h，由于该几何体的体积为，所以该几何体的侧面的高为，所以几何体的表面积为S＝，故选：B．6．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．10【分析】利用通项公式即可得出．解：通项公式T r+1＝＝2r x3r﹣5，令3r﹣5＝4，解得r＝3．∴的展开式中x4的系数＝＝80．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数化简即可得出．解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n ＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的图象和性质，构造平行四边形AFBF1，结合余弦定理以及三角形的面积进行转化求解即可．解：由双曲线的方程知a＝4，b＝3，c＝5，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1是平行四边形，∵∠AFB＝60°，∴∠F1AF＝120°，则S△BOF＝S△F1BF＝S△F1AF，由余弦定理得100＝AF12+AF2﹣2AF•AF1cos120°＝（AF1﹣AF）2+3AF1•AF＝64+3AF1•AF，则3AF1•AF＝100﹣64＝36，即AF1•AF＝12，则S△F1AF＝AF1•AF sin120°＝＝3，则S△BOF＝S△F1AF＝，故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是（﹣∞，3）【分析】先转化分式不等式为x（x+k）＞0；再把﹣3代入即可求得k的取值范围．解：因为＞﹣1⇒⇒x（x+k）＞0；∵﹣3∈M，∴（﹣3）（﹣3+k）＞0⇒k＜3；∴k的取值范围是：（﹣∞，3）；故答案为：（﹣∞，3）．12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是y＝（x+2）．【分析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，由此能求出直线方程．解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，解得k＝．∴直线方程为y＝（x+2）．故答案为：y＝（x+2）．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝【分析】推导出函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），由此能求出f（）．解：∵函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（）＝sin（）＝（sin cos﹣cos）＝（﹣）＝．故答案为：．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于7；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于4．【分析】由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解AD；结合已知及正弦定理可求sin∠BAD，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．解：∵AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，由题意可知，，∴＝＝49，所以AD＝7；∵AB＝10，D是BC边的中点，∠CAD＝45°，AC＝6，设BD＝DC＝x，∠BAD＝α，∠ADB＝β，△ABD中，由正弦定理可得，，△ACD中，由正弦定理可得，，联立可得，sin，cos，所以sin∠BAC＝sin（）＝＝＝42，故答案为：7，42．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，则F是AC中点，由PA∥平面BDE，得EF∥PA，从而E是PC的中点．（Ⅱ）以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD和BE所成角等于90°．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，∴F是AC中点，∵PA∥平面BDE，∴EF∥PA，∴E是PC的中点．（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，∴以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，﹣2，0），B（4，2，0），E（0，1，1），＝（0，﹣2，﹣2），＝（﹣4，﹣1，1），∵＝0+2﹣2＝0，∴PD⊥BE，∴PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，①a8＝10．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【分析】（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．即可得出S n有最小值．解：（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，又∵a10＝16，∴d＝＝3．∴a1+7×3＝10，解得a1＝﹣11．∴a n＝﹣11+3（n﹣1）＝3n﹣14，令2024＝3n﹣11，解得n＝678+不是整数，∴2024不是数列{a n}中的项．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．∴S n有最小值．为S4＝＝﹣26．故选：①a8＝10．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．【分析】先根据已知求得A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）直接根据其所占比例求解即可；（Ⅱ）求出表中网时长超过15小时的人数所占比例即可求解结论；（Ⅲ）先求出基本事件的总数，再求出符合条件的个数，相比即可求解．解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）由题可得：A班的人数估计为：120×＝36人；（Ⅱ）抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4＝9；∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：×＝105种；这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有×＝15种；②一个来自A班，一个来自B班，有××＝18种；故共有：15+18＝33种；∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：＝．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（II）结合导数对a进行分类讨论，确定函数的单调性，可求函数取得最值的条件，然后可求a的范围．解：（I）a＝1时，f（x）＝，，由导数的几何意义可知，k＝f′（0）＝2，故曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝2x；（II）因为，a≠0①a＞0时，令f′（x）＜0可得，x＞或x＜﹣a，此时函数单调递减，令f′（x）＜0可得，﹣a＜x＜，此时函数单调递增，故函数在[0，）上单调递增，在[）上单调递减，故函数在x＝处取得最大值，又当x→+∞，f（x）＞0，若函数取得最小值，则只有在x＝0处取得，此时f（0）＝a2﹣1≤0，且a＞0，解可得，0＜a≤1，②当a＜0时，同①可得，函数在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，此时函数在x＝﹣a处取得最小值，又当x→+∞，f（x）＜0，若使得函数f（x）取得最大值，则f（0）＝a2﹣1≥0且a＜0，解可得，a≤﹣1，综上可得，a的范围{a|a≤﹣1或0＜a≤1}．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，求得椭圆的焦点，运用椭圆的定义可得a，进而得到b，即有椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程求得交点的横坐标，运用弦长公式可得|PQ|，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（Ⅲ）由椭圆的性质和条件可得结合三角形的面积公式可得|OQ|＝4|MQ|，即＝4，运用向量共线定理的坐标表示，求得M，Q的坐标间的关系，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2联立求得M的坐标，将Q的坐标代入椭圆方程，解方程可得斜率，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）由题意可得半焦距c＝，椭圆的焦点坐标为（﹣，0），（，0），由椭圆的定义可得2a＝+1＝4，即a＝2，则b＝＝，即椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程可得x＝±，则|PQ|＝•＝3，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±x；（Ⅲ）由|OP|＝|OQ|，△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，可得S△OBQ＝4S△BMQ，即有|OQ|＝4|MQ|，即＝4，则x Q＝4（x Q﹣x M），y Q＝4（y Q﹣y M），可得x Q＝x M，y Q＝y M，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2，可得M（，），即有Q（，），代入椭圆方程可得+2•＝4，解得n＝，则直线l的方程为y＝x．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．【分析】（Ⅰ）由已知求得数列的前几项，可知数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，分类写出S3n的值；（Ⅱ）由S3＝a1+a2+a3＝17，分a1为偶数和a1为奇数两类列式求解a1的值；（Ⅲ）直接利用数学归纳法（Ⅱ）证明{a n}中总有一项为1或3．【解答】（Ⅰ）解：由a1＝10，a n+1＝（n＝1，2，3，…），得a2＝5，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，…，由上可知，数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，当n＝1时，S3n＝23；当n≥2时，S3n＝23+3（n﹣1）＝3n+20．∴；（Ⅱ）解：S3＝a1+a2+a3＝17，若a1为偶数，则，若a2为偶数，则，此时，（舍）；若a2为奇数，则，此时S3＝2a1+3＝17，a1＝7（舍）；若a1为奇数，则a2＝a1+3为偶数，则，此时，a1＝5；综上，a1的值为5；（Ⅲ）证明：利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下：（1）当a1＝1，2，3时，对应的数列分别为：1，4，2，1，4，2，1，…2，1，4，2，1，4，2，…3，6，3，6，3，6，3，…可知当a1＝1，2，3时，命题为真；（2）假设当a1＜k（k≥4）命题成立，下面证明a1＝k时命题成立．若k为偶数，则＜k，由归纳假设，自a2以后，必然出现1或3，命题为真；若k为奇数，则a2＝k+3，＜k（k≥4），由归纳假设，自a3以后，必然出现1或3，命题为真．综（1）（2）可知，：{a n}中总有一项为1或3．。

2020年北京市高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)

5
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
( t 为参数 ) ，以该直角坐标系的
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（ 2）求直线 l 被曲线 C截得的弦长是多少 ?
23． [选修 4— 5：不等式选讲 ]（ 10 分）
a＝ 6，
或 b＝ 7， b＝ 2 7，
又因为△ ABC是锐角三角形，所以 a2<c2＋ b2，所以 a＝ 3，
1
1
3 33
所以 S△ ＝ ABC 2acsin ∠ ABC＝ 2× 2× 3× 2 ＝ 2 .
18. （ 1）证明：∵
分别为
的中点，
则 ∥ . 又∵
平面，
平面，
∴ ∥平面 .
在
中，
所以由正弦定理得 (2sin C－ sin A)cos B－sin Bcos A＝ 0，所以 2sin Ccos B－ sin( A＋ B) ＝ 0，
因为 A＋ B＝ π－ C且 sin C≠ 0，
1 所以 2sin Ccos B－ sin C＝ 0，即 cos B＝2.
π 因为 B∈ (0 ， π) ，所以 B＝ 3 .
已知函数
．
（ 1）当
时，求不等式
解集；
（ 2）设不等式
的解集为，若
，求的取值范围．
6
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.C 9.A 10.D 11.A 12.A
二、填空题
13. 11 14. 4 15. 6 16. 三、解答题
①②
17. 解： (1) 因为 (2 c－ a)cos B－ bcos A＝ 0，

【精校】2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文

2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集为实数集R ，集合A={x|x 2-3x ＜0}，B={x|log 2x ＞0}，则(C R A)∩B=( ) A.(-∞，0]∪(1，+∞) B.(0，1] C.[3，+∞) D.∅解析：A={x|x 2-3x ＜0}={x|x(x-3)＜0}={x|0＜x ＜3}， B={x|log 2x ＞0}={x|log 2x ＞log 21}={x|x ＞1}； ∴C R A={x|x ≤0，或x ≥3}；∴(C R A)∩B={x|x ≥3}=[3，+∞). 答案：C2.在复平面内，复数z=1ii+所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-，∴复数对应的点的坐标是(12，12)，∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限. 答案：A3.已知平面向量()121()a x b x ==-r r ，，，，且a b r rP ，则实数x 的值是( )A.-1B.1C.2D.-1或2解析：根据题意，向量()121()a x b x ==-r r ，，，，若a b r rP ，则有x(x-1)=2，即x 2-x-2=0，所以x=-1或x=2. 答案：D4.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当m⊥α时，若m⊥n，则n∥α或n 平面α，则充分性不成立，若n∥α，则m⊥n成立，即必要性成立，则“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件.答案：B5.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为( )A.2B.4C.8D.16解析：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线为x=-1，即x+1=0.分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M到准线x=-1的距离为4.答案：B6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )A.4 3B.23 C.12 D.13解析：抠点法：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中抠点， 1)由正视图可知：C 1D 1上没有点； 2)由侧视图可知：B 1C 1上没有点； 3)由俯视图可知：CC 1上没有点；4)由正(俯)视图可知：D ，E 处有点，由虚线可知B ，F 处有点，A 点排除. 由上述可还原出四棱锥A 1-BEDF ，如图所示，S 四边形BEDF =1×1=1，1111133A BEDF V -=⨯⨯=.答案：D7.函数f(x)=2sin1212xx xπ-+的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4解析：f(x)=()222sin1221x x x x x π--+，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，令f(x)=0可得2xsin2πx=x 2+1，设f 1(x)=2xsin 2πx ，f 2(x)=x 2+1，画出f 1(x)，f 2(x)在(0，+∞)上的大致图象如下：显然f 1(1)=f 2(1)=2，即f 1(x)与f 2(x)交于点A(1，2)，又∵f ′1(x)=πx ·cos2πx+2sin 2πx ，f ′2(x)=2x ， ∴f ′1(1)=f ′2(1)=2，即点A 为公切点，∴点A 为(0，+∞)内唯一交点，又∵f 1(x)，f 2(x)均为偶函数，∴点B(-1，2)也为公切点， ∴f 1(x)，f 2(x)有两个公共点，即f(x)有两个零点. 答案：C8.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：(1)若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； (2)若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； (3)若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；(4)若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意. 答案：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.执行如图所示的程序框图，若输入m=5，则输出k 的值为 .解析：模拟程序的运行，可得：第四次时，65＞50，满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4. 答案：410.双曲线24x-y2=1的焦距为；渐近线方程为 .解析：由题知，a2=4，b2=1，故c2=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为：渐近线方程为：12by x xa=±=±．答案：；y=±12x11.已知圆C ：x 2+y 2-2x-4y+1=0内有一点P(2，1)，经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 .解析：根据直线与圆的位置关系.圆C ：(x-1)2+(y-2)2=4，弦AB 被P 平分，故PC ⊥AB ，由P(2，1)，C(1，2)，得k pc ·k l =-1，即：k l =1，所以直线方程为y=x-1. 答案：y=x-112.已知实数x ，y 满足10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，，，若z=mx+y(m ＞0)取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=mx+y(m ＞0)得y=-mx+z ，∵m ＞0，∴目标函数的斜率k=-m ＜0. 平移直线y=-mx+z ，由图象可知当直线y=-mx+z 和直线x+y+1=0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m=1. 答案：113.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示，则φ= ；ω= .解析：由图可知，A=2，根据f(x)的图象经过点(0，-1)，可得2sin φ=-1，sin φ=-12，∴φ=-6π. 根据五点法作图可得4.262(3)πππωω⨯+-=∴=，答案：463π-；14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的(可以是多种正多边形).如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面，在地面某一点(不在边界上)有k 块砖板拼在一起，则k 的所有可能取值为 .解析：由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360°即可. 显然k ≥3，因为任意正多边形内角小于180°；且k ≤6，因为角度最小的正多边形为正三角形，36060︒︒=6. 当k=3时，3个正六边形满足题意；当k=4时，4个正方形满足题意；当k=5时，3个正三角形与2个正方形满足题意；当k=6时，6个正三角形满足题意. 综上，所以k 可能为3，4，5，6. 答案：3，4，5，6 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -1(n ∈N *). (Ⅰ)求a 1，a 2，a 3的值；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=2，b n+1=a n +b n ，求数列{b n }的通项公式. 解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的项.(Ⅱ)利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和. 答案：(Ⅰ)由题知S 1=a 1=2a 1-1，得a 1=1，S 2=2a 2-1=a 1+a 2，得a 2=a 1+1=2，S 3=2a 3-1=a 1+a 2+a 3，得a 3=a 1+a 2+1=4， (Ⅱ)当n ≥2时，S n -1=2a n-1-1，S n =2a n-1，所以a n =S n -S n -1=2a n -1-(2a n-1-1)，得a n =2a n -2a n -1，即a n =2a n -1，{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，则an=2n-1. 当n ≥2时，b n =b 1+(b 2-b 1)+…+(b n -b n-1)=2+a 1+a 2+…+a n-1=()1112212n a --+-=2n-1+1，经验证：b 1=2=21-1+1，综上：b n =2n-1+1.16.在△ABC 中，已知sinA=5，b=2acosA. (Ⅰ)若ac=5，求△ABC 的面积；(Ⅱ)若B为锐角，求sinC的值.解析：(Ⅰ)根据题意，由正弦定理分析可得sinB=2sinAcosA，计算可得sinB的值，由三角形面积公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入数据计算可得答案.答案：(Ⅰ)根据题意，若b=2acosA，由正弦定理得sinsina Ab B=，则sinB=2sinAcosA，cosA=b2a＞0，因为，所以sinB=425=，所以S△ABC=114sin52 225ac B=⨯⨯=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinB=45，因为B为锐角，所以cosB=35.所以sinC=sin(π34 55 +=17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(Ⅰ)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.(直接写出结果) (Ⅲ)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.解析：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，在选考方案确定的学生的人中，求出选择生物的概率约为310，由此能求出选择生物的人数.(Ⅱ)由题意能求出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，由此利用列举法能求出任取2名男生，这2名学生选考科目完全相同的概率.答案：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学生的人中，选生物的频率为3638610610+=+++，所以选择生物的概率约为310，所以选择生物的人数约为x=420×310=126人.(Ⅱ)2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件有：(A1，A2)，(A2，A3)，(A3，B1)，(B1，C1)，(C1，C2)(A1，A3)，(A2，B1)，(A3，C2)，(B1，C2)(A1，B1)，(A2，C1)，(A3，C1)(A1，C1)，(A2，C2)(A1，C2)，所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个，分别为(A1，A2)，(A2，A3)，(C1，C2)，(A1，A3)，∴这2名学生选考科目完全相同的概率为p=4 15.18.如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，BE⊥AD于E，BE=AE=1.将△ABE沿BE 折起至△A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)，M为线段A′D上一点.(Ⅰ)求证：A′E⊥CD；(Ⅱ)若M为线段A′D中点，求多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比；(Ⅲ)是否存在一点M，使得A′B∥平面MCE？若存在，求A′M的长.若不存在，请说明理由. 解析：(Ⅰ)推导出A′E⊥BE，从而A′E⊥平面BCDE，由此能证明A′E⊥CD.(Ⅱ)M到底面BCDE的距离为12A′E，推导出V M-DCE=1132⋅A′E·S△DCE=16，V A′-BCE=13·A′E·S△BCE=16，S△A′EM=12，平面A′DE⊥平面BCDE，C到平面A′DE的距离为BE=1.从而V C-A′EM=1 3·BE·S△A′EM=16，V多面体A′BCME=V多面体CA′EM+V多面体A′BCE=13.由此能求出多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比.(Ⅲ)连结BD交CE于O，连结OM，推导出A′B∥OM，由此能求出存在一点M，使得A′B∥平面MCE，并能求出A′M的长.答案：(Ⅰ)在梯形ABCD中，∵BE⊥AE，∴A′E⊥BE，∵平面A ′BE ⊥平面BCDE ，BE=平面A ′BE ∩平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′BE ，∴A ′E ⊥平面BCDE ，∵CD ⊂平面BCDE ，∴A ′E ⊥CD.(Ⅱ)∵M 为A ′D 中点，∴M 到底面BCDE 的距离为12A ′E ，在梯形ABCD 中，S △DCE =1122DE BE ⋅=×2×1=1， V M-DCE =1132⋅A ′E ·S △DCE =16，V A ′-BCE =13·A ′E ·S △BCE =16.∵A ′E ⊥DE ，∴在Rt △A ′DE 中，S △A ′EM =12，∵A ′E ⊥平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面BCDE ，∵BE ⊥ED ，平面A ′DE ∩平面BCDE=ED ， ∵BC ∥AD ，∴C 到平面A ′DE 的距离为BE=1. ∴VC-A ′EM=13·BE ·S △A ′EM =16，V 多面体A ′BCME =V 多面体CA ′EM +V 多面体A ′BCE =13. ∴V 多面体A ′BCME ：V 多面体MCDE =2：1.(Ⅲ)连结BD 交CE 于O ，连结OM ，在四边形BCDE 中，∵BC ∥DE ，∴△BOC ∽△DOE ，∴23OD BD =， ∵A ′B ∥平面CME ，平面A ′BD ∩平面CEM=OM ，∴A ′B ∥OM ，在△A ′BD 中，OM ∥A ′B ，∴13A M BO A D BD '=='，∵A ′E=1，DE=2，A ′E ⊥ED ，∴在Rt △A ′ED 中，3A D A M '=∴'=19.已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，且过点(1).(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点的直线l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 2过坐标原点且直线l 1与l 2的斜率互为相反数，直线l 2与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，设直线AE 的斜率为k 1，直线BF 的斜率为k 2，证明：k 1+k 2为定值.解析：(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎪⎩⎫，，解可得a 、b 、c 的值，代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线l 1与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)，联立直线l 2与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2-2=0，结合2个方程，由根与系数的关系用k 表示k 1+k 2，即可得答案.答案：(Ⅰ)由题可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎩，，解得211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1. (Ⅱ)由题知直线l 1斜率存在，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得221212224221212k k x x x x k k-+=-=++，，因为l 2与l 1斜率相反且过原点，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)，联立2222y kx x y ⎨=-+=⎧⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2-2=0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得232212x k --=+，则()()13231323121323132311k x kx k x kx y y y y k k x x x x x x x x +++--++=+=+-+-+ ()()()()()()13232313132311k x x x x x x x x x x x x ⋅++++-+-=-+()()()()()2222221231213231323222224221212120k k k x x x x x k k k k x x x x x x x x -⨯-⋅++++++++=⋅==-+-+，所以k 1+k 2为定值0.20.已知函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R). (Ⅰ)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若a ＜-1，求函数f(x)的单调区间； (Ⅲ)若1＜a ＜2，求证：f(x)＜-1.解析：(Ⅰ)根据题意，由a 的值求出函数的解析式，计算可得切点的坐标，结合函数导数的几何意义分析切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax xa x x ----=，令g(x)=2-ax 2-lnx ，求出g(x)的导数，分析g(x)在(0，+∞)的最小值，分析可得g(x)＞0，由函数的单调性与函数导数的关系，分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原问题可以转化为ax 2-x+1-lnx ＞0，设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，分析可得只须证h(x)＞0成立，求出函数h(x)的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得h(x)的最小值，证明其最小值大于0即可得答案. 答案：(Ⅰ)函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R)，若a=0，f(x)=lnx-1x ，则f(1)=-1，切点坐标为(1，-1)，()22ln xf x x-'=，f ′(1)=2，切线斜率k=2，所以f(x)在点(1，-1)处的切线方程为2x-y-3=0.(Ⅱ)根据题意，f(x)=ln 1x ax x--，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax x a x x ----=，(x ＞0) 令g(x)=2-ax 2-lnx ，则g ′(x)=221ax x--.令g ′(x)=0，得x=依题意12a-＞0) 由g ′(x)＞0，得xg ′(x)＜0，得0＜x所以，g(x)在区间(0上单调递减，在区间+∞)上单调递增，所以，g(x)min 52g ==-.因为a ＜-1，所以1012ln 02a -＜＜，．所以g(x)＞0，即f ′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞). (Ⅲ)由x ＞0，f(x)＜-1，即ln 1x ax x--＜-1，等价于ax 2-x+1-lnx ＞0. 设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，只须证h(x)＞0成立.因为h ′(x)=2ax-1-2121ax x x x--=，1＜a ＜2，由h ′(x)=0，得2ax 2-x-1=0有异号两根. 令其正根为x 0，则2ax 02-x 0-1=0.在(0，x 0)上h ′(x)＜0，在(x 0，+∞)上h ′(x)＞0，则h(x)的最小值为h(x 0)，且h(x 0)=ax 02-x 0+1-lnx 0=012x +-x 0+1-lnx 0=032x --lnx 0，又h ′(1)=2a-2＞0，2132322h a a '=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝-⎭＜0，所以12＜x 0＜1.则032x -＞0，-lnx 0＞0. 因此032x --lnx 0＞0，即h(x 0)＞0.所以h(x)＞0.所以f(x)＜-1.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案

高考模拟试卷参考答案第 7 页共 7 页
高考模拟试卷参考答案第 3 页共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案第 6 页共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分

北京专家2020届高考模拟试卷(一)数学试卷解析(文科)

满足条件

x
+
y
≥
1,
则 2x + 3y 的最小值为
y ≥ 0,
(A) 2
(B) 8 3
(C) 4
(D) 5
解析：选 A，作出可行域如图，设=z 2x + 3y ，
即 y = − 2 x + 1 z ，当直线 y = − 2 x + 1 z 经过点 A(1,0)时，
33
33
截距最小，此时 2x + 3y = 2 .
(B) (－1,2)
(C) (−1,1)
(D) (−∞, 2)
解析：选 C，易知 B = (−1, 2) ，故 A B = (−1,1) 2．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 (2 − i)z = 5 ，则 z =
(A) 2 + i
(B) 2 − i
(C) −2 + i
(D) −2 − i
解析：选 A，易知 z= 5 = 2 + i . 2−i
值点，则 ω 的取值范围是
(A) (0, 5) 6
(B) (0,11] 6
(C) [5 ,11] 66
(D) (5 ,11] 66
解析：选 D，注意= 到 f (x) 2sin(2ωx − π ) ，由 0 < x < π 得，− π < 2ωx − π < ωπ − π ，根据32333
题意， π < ωπ − π ≤ 3π ，即 5 < ω ≤ 11 ．
2
4
9．《九章算术》是我国的数学名著，书中有如下问题：今有蒲（水生植物名）生长一日，长
为三尺；莞（植物名）生长一日，长为一尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加一倍.问

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(北京卷,含答案)

绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020届北京市高考文科数学模拟试卷有答案(Word版)(精品)

普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U=R，集合A{x|x＜或x＞2}，则C U A=(A)(-2,2)(B)(-∞,-2)(2,+∞)(C)[-2,2](D)(-∞,-2][2,+∞)（2）若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(A)(-∞,1)(B)(-∞,-1)(C)(1，+∞)(D) (-1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)2(B)(C)(D)（4）若x,y满足，则x+2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9（5）已知函数=3x+()x,则=3x+()x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30（C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m •n ＜0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的学&科网上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080. 则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）(A) 1033 (B) 1053 (C) 1073 (D)1093 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=__________.（10）若双曲线221y x m -=m =_______________. （11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是。

北京市西城区2020届高三下第一次模拟测试(数学文)doc高中数学

北京市西城区2020届高三下第一次模拟测试（数学文）doc高中数学高三数学试卷〔文科〕2018.4 第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中1. 设集合P {x x 1}，Q {x x（x 1）0},以下结论正确的选项是A. P QB. P^Q RC. P QD. Q Py x 4,,…2. 下面四个点中，在区域内的点是y xA. (0,0)B. (0,2) C . ( 3,2) D . ( 2,0)3.设等差数列{a n}的前n项和为S n, a2 6，那么等于A . 10B . 12C . 15 D. 304•假设0 m n ,那么以下结论正确的选项是2n B. (2)m（『C . log 2 m log 2 nD . log 1 m2 log-I n25.甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 的平均数，$ , S2分不表示甲乙两名运动员这项测试成绩的A.x x2 , 3S2 B . x1x, Si S2C . % x, S1S2 D .% x, S1S2甲标准差，那乙9084 5 5 61 3 5 5 7122132121B .138_1313D .8么有6•阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为x1,x2分不表示甲乙两名运动员这项测试成绩2D .当AB 与CD 相交，直线AC 平行于I 时，直线BD 能够与I 相交第二卷〔非选择题共110分〕、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分. 9. i 是虚数单位,10.在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，那么点P 到点A 的距离小于1的概率为 ____________________f (x l) f(x)，那么称f (x)为M 上的I 高调函数.现给出以下命题：1①函数f(x) ( )x 为R 上的1高调函数；② 函数f (x) si n2x 为R 上的高调函数；2③ 假如定义域是［1,)的函数f(x) x 2为［1,)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范畴是［2,).其中正确的命题是 __________ .〔写出所有正确命题的序号〕三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解承诺写出必要的文字讲明、证明过程或演算步骤 15. 〔本小题总分值12分〕27.双曲线X1的左顶点为 A ，右焦点为F 2, P 为双曲线右支上一点，那么8.如图，平面点,B,D 是81 C . 1 16平面内不同的线段AB,CD 的中点. 以下判定正确的选项是: 不同的两A .当B .当C . M CD CD2 AB 时, 2 AB 时,,N 两点可能重合, M,N 两点不可能重合线段AB, CD 在平面上正投影的长度不可能相等但现在直线 AC 与直线1不可能相交11.12.f(x)3 , a, b 的夹角为60，那么x 2 x, x 0,1 2lgx,x 0,假设 f(x) 2，2a b那么13.在 ABC 中，C 为钝角，竺 3 , si nA BC 2那么角C ,sin B14.设函数f (x)的定义域为 D ，假设存在非零实数 l 使得关于任意x M (M D)，有 x l D ，且的最小值为n两点，M , N 分不是1一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分不是1、2、3、4,现从盒子中随机抽取2〔I 〕假设一次抽取 3张卡片，求3张卡片上数字之和大于 7的概率;〔H 〕假设第一次抽 1张卡片，放回后再抽取 1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.16. 〔本小题总分值12分〕〔I 〕求tan 的值;17. 〔本小题总分值14分〕视图和侧〔左〕视图如图 2所示.〔I 〕证明：AD 平面PBC ; 〔n 〕求三棱锥D ABC 的体积;18. 〔本小题总分值14分〕2 2椭圆C :笃每 1( a b a 2 b 2 〔I 〕求椭圆C 的方程;卡片.为锐角，且tan （4 )2. 〔n 〕求sin 2 coscos2sin的值.如图1,在三棱锥P ABC 中，PA平面ABC , AC BC , D 为侧棱PC 上一点，它的正〔主〕〔川〕在ACB 的平分线上确定一点 Q ，使得PQ //平面ABD ，并求现在PQ 的长.0）的离心率为 —，且过点（2,0）.C图2〔n〕设直线l : y x m与椭圆C交于两点AB , O为坐标原点，假设OAB为直角三角形，求m 的值.19. 〔本小题总分值14分〕设数列｛a n｝为等比数列，数列｛b n｝满足b n (n 1归2川2a n 1 a n，n N*，d m，, 3m »亠小b2 ，其中m 0.2(i )求数列｛a n｝的首项和公比；(n)当m 1时，求b n；(川)设S n为数列｛a n｝的前n项和，假设关于任意的正整数n，都有& [1,3]，求实数m的取值范畴.20. 〔本小题总分值14分〕函数f(x) (x2 mx m) e x〔m R〕.〔I〕假设函数f (x)存在零点，求实数m的取值范畴；〔n〕当m 0时，求函数f(x)的单调区间；并确定现在f(x)是否存在最小值，假如存在，求出最小值，假如不存在，请讲明理由.北京市西城区2018年抽样测试参考答案高三数学试卷〔文科〕2018.4、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.三、解答题：〔本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 •〕15、解：〔I 〕设A 表示事件”抽取3张卡片上的数字之和大于 7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是〔 1、2、3〕，〔 1、2、4〕，〔 1、3、4〕，〔2、3、4〕， ........................ 2 分其中数字之和大于 7的是〔1、3、4〕，〔2、3、4〕， .............. 4分因此P(A) -. ............................ 6分〔□〕设B 表示事件”至少一次抽到 3 ” ,每次抽1张，连续抽取两张全部可能的差不多结果有：〔1、1〕〔 1、2〕〔 1、3〕〔 1、4〕〔 2、1〕〔 2、2〕〔2、3〕〔 2、4〕〔 3、1〕〔3、2〕〔 3、3〕〔 3、4〕〔4、1〕〔 4、2〕〔 4、3〕〔4、4〕，共 16 个差不多结果. ............. 8分事件B 包含的差不多结果有〔1、3〕〔 2、3〕〔 3、1〕〔 3、2〕〔 3、3〕〔 3、4〕〔 4、3〕，共7个差不多结果• ............ 10分因此 1 tan 2, 1 tan 2 2tan1 tan1 因此tan ........ 5分 3cos 2sin 2 cos sin 2sin2 .cos sin二、填空题: 本大题共6小题，每题5分，共30分.11. 9.i10. —11.卫2 2413. 150 ,2.23 14.②③.612.1 或.10因此所求事件的概率为 P(B)—.12分16、解：〔I 〕tan( —41 tan 1 tancos2注：两空的题目，第一个空 2分，第二个空3分.2因为O 为CQ 中点，因此PQ//OD , 因为PQ 平面ABD , OD 平面ABD , 因此PQ//平面ABD , ............................ 12分连接AQ , BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分, 因此ACBQ 为平行四边形，因此AQ 4，又PA 平面ABC , 因此在直角 PAQ 中，cos2 cos2因为tan -，因此cos33sin因此sin 2110，又为锐角，因此sin1010，r,, sin 2因此一 cossin'帀cos210 .10分.2，又sinsin (2cos 1) sin cos2------------------------ ------------------- sin2cos12分17、解: 〔I 〕因为PA 平面 ABC ，因此PA BC 又AC BC ，因此BC 平面 PAC , 因此BC AD . 由三视图可得，在 PAC 中，PA AC 4 , D 为因此AD PC , 因此AD 平面PBC , 〔n 〕由三视图可得 BC 4, 由〔I 〕知 ADC 90：, BC 平面 PAC , 积, 又三棱锥D ABC 的体积即为三棱锥因此，所求三棱锥的体积 V 2分CADC 4 PC 中点,〔川〕取AB 的中点0，连接CO 并延长至Q , 使得CQ 2CO ，点Q 即为所求.10分即所求实数m 的取值范畴是 {m2 m 3}.18、解:〔［〕由c a罷41 ............. 2，a 2'，......... 3分因此a2, c .3 ,又 a 2 b 22c , 因此b 1,2因此椭圆 C 的方程为xy 2 1 ............ ............ 5分42x21 〔n 〕联立 4 yy x m消去 y 得 5x 2 8mx 4m 24 0, .......................... 6 分 64m 2 80( m 2 1)16m 2 80,令 0，即16m 280 0,解得、、5 m 、. 5 ......................... 7 分〔i 〕当 AOB 为直角时,由直线I 的斜率为1，可得直线OA 的斜率为1,1，即y 1 花, ...........................12分13分PQ , AP 2 AQ 24,2.14分设代B 两点的坐标分不为任，yJ ,(X 2, y 2),那么 x 1 x 28m ,x_jX 254m 2 4 5即 X 1X 2 y 』20,因此 2x 1x 2 m(x-i x 2)m 2 0，因此28m m 20，解得m〔ii 〕当 OAB 或 OBA 为直角时，不妨设210. ............................... 11 分5OAB 为直角，2 y1因为 AOB 为直角，因此因此-x 21 ,X 12.5 ,4 5 m % 为 2为 4、5, 5 经检验，所求 m 值均符合题意,19、解：（I 由b i a i ，因此a i ) 14分综上，m 的值为 2、.10和 4飞. 5 5b 2 2a 1 a 2,因此 2^ a 2 32m ，解得a 2 1时， a n （》n 12n^ (n 1)a 2Ill.... ①2a n 1an①，na ? (n1)a 3 III Q 0 a ..... .... ②nn 1②，（n ）当 m b nan1 ，m -，因此数列｛a n ｝的公比q n a 2 a 3III因此2b n 『(1)n ]*b n2n 329(6n 2 ( 92)1因为1m[12)n ] 孑 2)n 0，2m3 因此,注意到, 因此1[1 (1)n ]， A ( 2)n ]，10分S n [1,3 ]得-1 1 1(1)n2m 3（叨（1刍，当 13—）n 最大值为一，最小值为 2 2J_1（$n 为奇数时1关于任意的正整数 n 都有- 1 234. 2m 3n 为偶数时 12分4 2m c c 因此 2, 2 m 3 33.14分即所求实数m 的取值范畴是 {m2 m 3}.因为m 0，因此x 1 0 x 2，20、 2设f (x)有零点，即函数g (x) x mx m 有零点, 因此 2 m 4m 0，解得m 〕f (x) (2x m) x e (x 令f (x) 0，得x 0或x 因为 m0时, 因此 m 2当x ( ,m 2)时，当x (m 2,0 )时，f 〔n解：〔I 〕 2 mx m) m 2, 0, f (X) 0 , 当 x (0, 现在, 4 或 m 0. (x) 0，函数f (x)单调递减; e x x(x m 2)e x 函数f(x)单调递增; )时，f (x) 0，函数f(x)单调递增• f (x)存在最小值• f (x)的极小值为f(0) m 0 .依照f(x)的单调性，f (x)在区间(m 2,)上的最小值为解f(x) 0,得f(x)的零点为x .m \m 2 4m 十和x 2m m 2 4m2 ，10分结合 f (x) (x 2 mx m) e x ，可得在区间(，xj 和(x 2, ) 上,f(x)0.11分同时捲(m 2) m m2 4m24 \ m 2 4m即 x 1 m 2，m 4 (2 m)1 0，13分综上，在区间(，捲)和(X 2,) 上, f (x)0，f (x)在区间(m 2,)上的最小值为 m ，m 0，因此，当m 0时f (x)存在最小值，最小值为 m .14分。

2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)

绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒，每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持方案一 200 人 400 人 300 人 100 人方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增，所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ）求椭圆 C 的方程：（II ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=05．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．356．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．58．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为_______．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i，故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：2x＜1=20，解得：x＜0，即A=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为定义域R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=时取等号．反之不成立，例如取a=，b=2．∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件．故选：A．7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=，AP=，BP=，进而得到y2==，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=，在Rt△ABP中，BP=，∵BC=BP+PC=+=y整理得y2==，令t=则y2=，则当t=，即x=时，y取最小值．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件求出的坐标，由⊥可得•=0，解方程求得k 的值．【解答】解：∵向量=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1）∵⊥，则•=（2，1）•（﹣1，k﹣1）=﹣2+k﹣1=0，∴k=3，故答案为3．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，双曲线C：﹣=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（﹣2，），（﹣2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R型电动汽车的销售量为=1920．∴这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970．故答案为：1050；2970．14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=5，m=2．【考点】集合的表示法．【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a取最小值1，b取最大值2时，求出最大值M．【解答】解： +b≥+a≥2，故m=2，a=1，b=2时+b=5，故M=5，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=，从而求出f（x）的最小正周期；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由已知f（x）=sin2x﹣2cos2x=，∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵，∴，∴当，即x=0时，f min（x）=﹣2，当，即时，．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据平均数即可求出，（2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（1）这6天的平均发芽率为：，【解答】解：∴这6天的平均发芽率为24%，（2）（m，n）的取值情况有事件数为15，设为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26）（30，26），∴所求概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）对c分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知，解得d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（Ⅰ）知：b n=c=c2n﹣1，当c=1时，b n=1，∴S n=n．当c≠1时，∵，∴{b n}是b1=c，公比为c2的等比数列；∴．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．【解答】证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点，∴CF⊥AD，∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF⊂平面ACD，∴CF⊥平面ABED．（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=．==3，∵S梯形ABED∴．（3）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，∵G是CD的中点，∴GH∥DE，且GH==1，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴GH∥AB，又GH=AB=1，∴四边形ABHG为平行四边形，∴AG∥BH，又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE，∴AG∥平面BCE．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x+xe x+2ax+2，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xe x+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（e x+2），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（e x+2），由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），∴，即．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，由A满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值；（3）不妨设过M，N的直线方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由已知c=2，∵在椭圆上，∴，又a2=b2+c2，解得b2=4，a2=8，可得椭圆方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，∴由，消去y得（1+2k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，由曲线E与直线l只有两个公共点，可得△＞0，且x1，2是方程的二根，∴，∴，∴，同理，∴为定值．（3）不妨设过M，N的直线方程为：由，消去y得，由△＞0，解得m2＜8，，，计算得：点到直线MN的距离，∴=∴当m2=4，即m=±2时，．2020年9月8日。

2020年北京文科数学试卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）数学（文科）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的）1.若集合 A={x |−5< x <2},B={x |−3< x <3}，则 A∩B= （）A.{x |−3< x <2}B.{x |−5< x <2}C.{x |−3< x <3}D.{x |−5< x <3}2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=23.下列函数中为偶函数的是（）A.y=x²sinxB.y=x²cosxC.Y=|ln x|D.y=2x4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）A.90B.100C.180D.300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43005.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.3B.4C.5D.66.设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.28.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9.复数i（1+i）的实数为 .10.2-3,123,log25三个数中最大数的是 .11.在△ABC中，a=3,b=错误!未找到引用源。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作效益一二三四五机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n＞5，S=i1，n=2不满足条件n＞5，S=i2，n=3不满足条件n＞5，S=i3，n=4不满足条件n＞5，S=i4，n=5不满足条件n＞5，S=i5，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．故选：D．4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+y，平移y=﹣x+y，由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z=+3=，故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作一二三四五效益机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=2．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f （x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2020等价于（﹣2）n＜﹣2020，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2020，即1﹣（﹣2）n＞2020，整理得（﹣2）n＜﹣2020，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2020，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2020的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2020年9月10日。

2020年高三一模数学(文)北京东城区试题Word版带解析

2020年高三一模数学（文）北京东城区试题Word 版带解析高三数学〔文科〕本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

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考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一卷〔选择题共40分〕【一】选择题〔共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项〕〔1〕在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为〔A 〕(1,2) 〔B 〕(2,1) 〔C 〕 (1,2)- 〔D 〕(2,1)-〔2〕双曲线2214x y -=的渐近线方程为〔A 〕12y x =±〔B 〕y =〔C 〕2y x =± 〔D 〕y =〔3〕记函数)(x f 的导函数为)(x f '，假设()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，那么〔A 〕0()=2f x ' 〔B 〕0()=1f x ' 〔C 〕0)(0='x f〔D 〕0()=1f x '-〔4〕命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，那么p 是q 的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕在区间[0,2]上随机取一个实数x ，那么事件〝310x -<〞发生的概率为〔A 〕12 〔B 〕13〔C 〕14〔D 〕16〔6〕执行如下图的程序框图，假设输出的b 的值为4，那么图中判断框内①处应填〔A 〕2 〔B 〕3〔C 〕4 〔D 〕5〔7〕设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，那么以下命题中正确的选项是〔A 〕(,)x y ∀D ∈，20x y -≤ 〔B 〕(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- 〔C 〕(,)x y ∀D ∈，2x ≥〔D 〕(,)x y ∃D ∈，1y ≤-〔8〕某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料说明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，假设1300a =，那么+1n a 与n a 的关系可以表示为〔A 〕111502n n a a +=+ 〔B 〕112003n n a a +=+ 〔C 〕113005n n a a +=+ 〔D 〕121805n n a a +=+ 第二卷〔非选择题共110分〕【二】填空题共6小题，每题5分，共30分。

北京市高三适应性考试(文科)数学试题(解析版)

成都玉林中学高2020级高考适应性考试（文科数学）本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 若复数满足，则（） z (2i)3i z +=-z =A. B. C. D.1i +1i -1i -+1i --【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. (2i)3i z +=-3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++1i z =+故选：A2. 若集合，，则（） {}2560A x x x =--≤{}7B x x =>()R A B ⋂=ðA. B.C.D.(]1,7-(]1,6-()7,+∞()6,+∞【答案】C 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. A 【详解】由，即，解得， 2560x x --≤()()610x x -+≤16x -≤≤所以，{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，又，．()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð{}7B x x =>()()R 7,A B +∞∴= ð故选：C ．3. 构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A. 高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B. 除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C. 高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D. 各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大【答案】C 【解析】【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可. 【详解】对于A ，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为，A 错误； 9.58.51-=对于B ，两班的德育分相等，B 错误；对于C ，高三（1）班的平均数为，9.59.259.599.59.355++++=（2）班的平均数为，故C 正确；9.58.599.599.15++++=对于D ，两班的体育分相差，9.590.5-=而两班的劳育得分相差， D 错误， 9.258.50.75-=故选：C ．4. 某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）A.B.C. D.54【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中平面，且中，. SB ⊥ABC ABC 90ACB ∠=︒由平面，平面得到，同理， SB ⊥ABC AB ⊂ABC SB AB ⊥SB BC ⊥所以棱长最大为，则.SA SA ===故选：A5. 已知实数，满足不等式组则的最大值为（）x y 10,20,50,x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩2z x y =+A. 4 B. 5C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】先画出可行域，然后由，得，作出直线，向上平移过点时，2z x y =+2y x z =-+2y x =-C 取得最大值，求出点的坐标代入中可得答案2z x y =+C 2z x y =+【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，向上平2z x y =+2y x z =-+2y x =-移过点时，取得最大值，C 2z x y =+由，得，即， 2050y x y -=⎧⎨+-=⎩32x y =⎧⎨=⎩()3,2C 所以的最大值为， 2z x y =+2328⨯+=故选：C6. 函数在的图像大致为（） 22sin 3()cos x xf x x x+=+[,]-ππA .B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出判断正负，可排除BD. ()f π【详解】，是奇函数，故A 错误；()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x x x x -+-+-==-=-+-+- ()f x \，故BD 错误. 222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- 故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若曲线的一条切线为，则实数的值为（） ln y x x =2y x b =-+b A. B. C. D.3e --3e -35e --35e -【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义分析运算．【详解】因为，所以，ln y x x =ln 1y x ¢=+设曲线与直线的切点为，ln y x x =2y x b =-+()00,x y 由导数的几何意义可得，解得：，则，0ln 12x +=-30e x -=3000ln 3e y x x -==-又因为又在上， ()00,x y 2y x b =-+所以，则 333e 2e b ---=-+3e b -=-故选：A .8. 从集合中随机抽取一个数a ，从集合中随机抽取一个数b ，则向量与向量{1,2,4}{2,4,5}(,)m a b =垂直的概率为（）(2,1)n =-A. B.C.D.19291323【答案】B 【解析】【分析】求出组成向量的个数和与向量垂直的向量个数，计算所求的概率值．(,)m a b = (2,1)n =- 【详解】解：从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数， {1,2,4}a {2,4,5}b 可以组成向量的个数是（个； (,)m a b =339⨯=)其中与向量垂直的向量是和，共2个； (2,1)n =- (1,2)m = (2,4)m =故所求的概率为． 29P =故选：B ．9. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减31.2mg /cm 少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排20%30.2mg /cm放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（） (lg 20.3≈lg 30.477)≈A. B. C. D.891011【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即1.2(10.2)ny =-可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 20% 1.2(10.2)-过滤第两次污染物的含量减少，则为；20%21.2(10.2)-过滤第三次污染物的含量减少，则为；20%31.2(10.2)-过滤第n 次污染物的含量减少，则为；20% 1.2(10.2)-n要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，30.2mg /cm 1.2(10.2)0.2-≤n5(64≥n两边取以10为底的对数可得， 5lg(lg 64≥n即， 52lg(lg 2lg 38⨯≥+n 所以，lg 2lg 313lg 2n +≥-因为，lg 20.3,lg 30.477≈≈所以， lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯所以，又，所以， 7.77n ≥*n ∈N min 8n =故排放前需要过滤的次数至少为次． 8故选：A ．10. 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A. y 2＝9xB. y 2＝6xC. y 2＝3xD. y 2【答案】C 【解析】【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝|FC |＝，因此抛物线的方程为y 21232＝3x ，故选：C.11. 函数的最小正周期为，其图象关于点对称，()()()cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<2π3T =π,018⎛⎫⎪⎝⎭且当时，的值域是，则的取值范围是（） ,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦m A.B. π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.D. π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用函数的基本性质可得出，由可求得的取值()f x ()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π33x +范围，根据函数在区间的值域可得出关于的不等式，解之即可. ()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【详解】因为函数的最小正周期为，则， ()()()cos 0πf x x ωϕϕ=+<<2π3T =2π3Tω==所以，， ()()cos 3f x x ϕ=+又因为函数的图象关于点对称，则，()f x π,018⎛⎫⎪⎝⎭()ππ3π182k k ϕ⨯+=+∈Z 解得，因为，故，故，()ππ3k k ϕ=+∈Z 0πϕ<<π3ϕ=()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，， ,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5πππ33633x m ≤+≤+且函数在上的值域为，()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，，解得， π7ππ336m ≤+≤2π5π918m ≤≤故选：D.12. 如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，高S 、A 分别为其上、下底面圆12O O 12O O =周上一点，则下列说法中错误的是（）A. B. 直线SA 与直线所成角最大值为 12O O π3C.D. 直线与平面 1AO 12SO O 【答案】B 【解析】【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，，则A 选项正确． ()π1243V =++⋅=对于B 选项，如图（1），过作垂直于下底面于点，则， S SD D 12//O O SD 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， SA 12O O SA SD ASD ∠而，由圆的性质得，， tan AD ASD SD ∠==13AD ≤≤所以， tan AD ASD SD ∠==，则B 选项错误． πtan 3<=对于C 选，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球，1R 2R 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，假设等腰梯形有内切圆， 3=由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为，所以圆台存在内切球， 123R R +=，则C 选项正确；对于D 选项，如图（3），平面即平面，12SO O 12SO O C 过点做交于点，因为垂直于下底面，而含于下底面， A AH BC ⊥BC H SD AH 所以，又，且平面，SD AH ⊥SD BC D = ,BC SD ⊂12SO O C 所以平面，所以直线与平面所成角即为，AH ⊥12SO O C 1AO 12SO O C 1AO H ∠且．设，则， 11tan AH AO H O H∠=AH x=2O H ==所以，其中，1O H ===[]0,2AH x =∈所以11tan AH AO H O H ∠==当时，，当时，0x =1tan 0AO H ∠=(]0,2x∈1tan AO H∠==可知函数上单调递增， y =(]0,2所以当时，，所以D选项正确． 2x =1tan AO H ∠故选：B .【点睛】本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为______．【答案】5 【解析】【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解析依次执行如下： S ＝12－2×1＝10，i ＝2； S ＝10－2×2＝6，i ＝3； S ＝6－2×3＝0，i ＝4； S ＝0－2×4＝－8，i ＝5，满足条件S <0，退出循环体，输出i ＝5．故答案为：5. 14. 设，______． π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】 4-【解析】【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解 tan α【详解】因为，所以， πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭5tan 3α=故. πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭故答案为：4-15. 已知的内角A 、、的对边分别是、、，且，，.则的ABC B C a b c 3b =2a c -=23A π=ABC 面积为______.【解析】【分析】由余弦定理结合已知条件可求出，即可由面积公式求出面积. 5c =【详解】由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-，，， 3b =2a c -=23A π=，解得，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭5c =则的面积为. ABC 11sin 3522S bc A ==⨯⨯=. 16. 已知点是双曲线的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足()4,0F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为A ，交另一条渐近线于点B ．若，则双曲线C 的方程为______．2AF FB =【答案】221124x y -=【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，2222:1x y C a b-=0bx ay ±=不妨令点A 在直线上，， 0bx ay -=2216a b +=如图，因为，则， AF OA ⊥4||4bAF b ===而，即有，2AF FB =||2||2,||3FB AF b AB b ===，， ||OA a ===sin 4b AOF ∠=由知，点在y 轴同侧，于是，2AF FB =,A B π2(0,)2AOB AOF ∠=∠∈，，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->28b <在中，，Rt AOB △||OB ===由得：，cos OA OB AOB =∠2(1)8ba =-整理得：，化简得， 22228(16)(2)(8)b b b -=+-4214400b b -+=解得或（舍去），所以，，24b =210b =24b =212a =所以双曲线方程为．221124xy -=故答案为：.221124x y -=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项． {}n a 11a =26114,2,a a a a -{}n b （1）分别求数列、的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前项之和． 11{}n n a a +n n S 【答案】（1）21,3nn n a n b =-=（2） 21n nS n =+【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由已知可得，解{}n a ()0d d >()()()2111513d a a d a d -=++方程组可求出的值，从而可求得数列的通项公式，进而根据题意可求出的通项公式； d {}n a {}n b （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求出. 11111()22121n n a a n n +=--+n S 【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，，是等比数列的前三项， {}n a ()0d d >2a 612a a -14a {}n b 所以，即， ()2612142a a a a -=()()()2111513d a a d a d -=++化简得，又，所以．得． 12d a =11a =2d =()12121n a n n =+-=-由（1），可得数列的前三项分别为，，， {}n b 13b =29b =327b =显然该等比数列的公比为3，首项为3．{}n b 所以．综上，两数列的通项公式分别为．3nn b =21,3nn n a n b =-=【小问2详解】． 111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+则 11111111(1...(12335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如y x 下.（千克）x 2 4 5 6 8 （千克）y 300400400400500（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若y x r 0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多r x 少千克?附：相关系数公式．nx y r =3.16≈回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．y bx a =+$$$()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑a y bx =-$$【答案】（1）0.95，答案见解析；（2）700千克．【解析】【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，然,x y ()()51i i i x x y y =--∑后利用公式求出相关系，再作判断即可，（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量 15x =【详解】解：（1）由已知数据可得，2456855x ++++==，3004004004005004005y ++++==所以，()()()()()5131001000103100600iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，==，==所以相关系数．50.95x y r ===≈因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．0.75r>y x （2），， ()()()515216003020iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ 400530250a=-⨯=所以回归方程为． 30250y x =+当时，，15x = 3015250700y =⨯+=即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．19. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD是边长为2的正方形，AA 1＝4，点E 为棱AA 1的中点．（1）求证：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）求点A 到平面CEB 1的距离．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分析证明；（2）方法一：根据平行关系分析可得：点A 到平面CEB 1的距离等于点P 到平面CEB 1的距离，利用等体积法运算求解；方法二：直接使用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】由已知可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1．且BE ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BE ，在△B 1BE 中，B 1B ＝4，BE ＝B 1E ，所以B 1B 2＝BE 2＋B 1E 2，所以BE ⊥B 1E ， =又因为B 1C 1∩B 1E ＝B 1，平面EB 1C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1. 111,B C B E ⊂【小问2详解】方法一：取CB 1的中点F ，BC 的中点P ，连接EF ，AP ，PF ，PB 1，PE ，可得AE ∥PF ，且AE ＝PF ，则四边形APFE 为平行四边形，可得AP ∥EF ，又因为AP ⊄平面CEB 1，EF ⊂平面CEB 1，所以AP ∥平面CEB 1，所以点A 到平面CEB 1的距离等于点P 到平面CEB 1的距离，易知， 11P CEB E PCB V V －－＝在△CEB 1中，，，，CE ==1EB ==1CB ==所以，从而△CEB 1为直角三角形．22211CE EB CB +=设点P 到平面CEB 1的距离为d P ，所以， 111133CEB P PCB S d S AB ⨯⨯=⨯⨯△△即，解得， 11111423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯P d =所以点A 到平面CEB 1；方法二：等体积法设点P 到平面CEB 1的距离为h ，因为，11B E B C CE ===所以三角形是直角三角形，， 1CEB 112CEB AEB S S ==△△而，可得，解得， 11A CEB C AEB V V --=112233h ⨯=⨯⨯h =所以点A 到平面CEB 1.20. 如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．22:(2)81M x y -+=22:(2)1N x y ++=S（1）求圆心的轨迹的方程；S C （2）若、是曲线上的两点，是曲线C 上位于直线两侧的动点．若直线()2,3P ()2,3Q -C A B 、PQ AB 的斜率为，求四边形面积的最大值．12APBQ 【答案】（1）2211612x y +=（2）【解析】【分析】（1）设动圆与两个已知圆的切点分别为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以M ，N 为S 12,T T S 焦点的椭圆，求出可得答案；,a b （2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，由得的范围，()11,A x y ()22,B x y AB 12y x t =+0∆>t利用韦达定理得四边形的面积APBQ 3S =【小问1详解】如图，设动圆与两个已知圆的切点分别为，S 12,T T 由，， 12ST ST =91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=所以点的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，S 所以，22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=所以点的轨迹方程为：；S 2211612x y +=【小问2详解】设，，直线的方程为，代入中，()11,A x y ()22,B x y AB 12y x t =+2211612x y+=整理得，，22120x tx t ++-=()224120t t ∆=-->解得，，，44t -<<12x x t +=-21212x x t =-四边形的面积APBQ 121632S x x =⨯⨯-==当时，，所以四边形面积的最大值为；0=t max S =APBQ 【点睛】关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力. 21. 若函数有两个零点，且． ()()211ln 022f x a x x a x =-++>12,x x 12x x <（1）求a 的取值范围；（2）若在和处的切线交于点，求证：． ()f x ()1,0x ()2,0x ()33,x y 3122x x x <+【答案】（1） ()0,a ∈+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）利用导数求切线方程得出，将原不等式化为证明，构造()22121212ln ln x x a x x -=-()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭函数利用导数证明即可. ()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当，，在上单调递减，不可能两个零点； 0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令得0a >()0f x '=x =，，单调递增，，，单调递减，(x ∈()0f x ¢>()f x )x ∈+∞()0f x '<()f x ，11()ln (1ln 1(0)g x x x x x x=--=+->， 22111()x g x x x x-'=-=时，，单调递减，，，单调递增， (0,1)x ∈()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号， ()(1)0g x g ≥=0x >1ln 1x x≥-1x =所以111e ee a--<≤=而， ()211ln ln 122f x a x x a a x a =-++<++所以；；111(e)(1)10af a a a--<--++=()10ff a ≥=>∴(2211111ln(1(1(102222f a a a a +=+-+++<-+++=--<有唯一零点且有唯一零点，满足题意，(x ∈)x ∈+∞综上：； ()0,a ∈+∞【小问2详解】曲线在和处的切线分别是()y f x =()1,0x ()2,0x ，()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得，∴， 123121x x x ax x +=+123121x x ax x x +=+由题意得，()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩要证，即证，即证，即证， 3122x x x <+1232x x x +>121ax x >122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>令，即证， 121x t x =<()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭令，，∴在单调递减，∴，()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()22102t h t t -'=-<()h t ()0,1()()10h t h >=∴得证．综上：．()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭()312221x x x a <+<+【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.（二）选考题 [选修4—4：坐标系与参数方程]22. 已知直线l 的参数方程为（其中t 为参数），曲线C 是以点为圆心，且过坐标112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0,2)C 原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B，求的值． M ||||||||MB MA MA MB +【答案】（1）， :4sin C ρθ=()π:R 3l θρ=∈（2 【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，利用即可化成极坐标方程，由参数方程消参即cos ,sin x y ρθρθ==可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解. 【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为，由得其极坐标方程为2240x y y +-=cos ,sin x y ρθρθ==4sin ρθ=．又由直线l 的参数方程得直线，112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y =所以直线l 的极坐标方程为． ()πR 3θρ=∈【小问2详解】解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，l 2211402t ⎫⎫⎛⎫++-=⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭整理可得，．()2440t +--+=设点对应的参数分别为，则是方程的两个根．,A B 12,t t 12,t t由韦达定理可得，．121244t t t t ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+====解法二：联立直线与曲线的方程可得，，解得，．l C 2240y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩20x =10x =2x =代入可得，，．y =10y =23y =不妨设，，则，()0,0A )B2MA ==． )21MB ==所以， ||||||||MB MA MA MB +==[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数.()12f x x x a =--+（1）当时，求不等式的解集； 12a =()0f x …（2）当时，若函数的图象恒在图象的上方，证明：. 1a -…()12g x x b =+()f x 232b a ->【答案】（1）或 {2xx -∣…0}x …（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论的范围得到的解析式，然后列不等式求解即可； x ()f x （2）根据的单调性得到，然后根据函数的图象恒在图象的上()f x max ()1f x a =+()12g x x b =+()f x 方得到，即可证明. ()112g a a b a -=-+>+232b a ->【小问1详解】当时，， 12a =()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩所以当时，，解得； 12x <-20x +≤2x ≤-当时，，解得； 112x -≤≤30x -≤01x ≤≤当时，，解得.1x >20x --≤1x >综上，不等式的解集为或. ()0f x ≤{2xx ≤-∣0}x ≥【小问2详解】证明：当时，，1a ≥-()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩所以当时，取得最大值，且.x a =-()f x max ()1f x a =+要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足()12g x x b =+()f x ，即，原不等式得证.()112g a a b a -=-+>+232b a ->。

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集合（必修一）1．（2020高考模拟文科1）若集合211{|log (1)1},{|()1}42x M x x N x =-<=<<，则M N I = （ A ） A ．{|12}x x << B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x << 1．（2020丰台一模文科）已知集合A ={x ∣x 2≤9}，B ={x ∣x <1}，则A ∩B =（ C ）A .{x ∣x ≤3}B . {x ∣-3<x <1}C .{x ∣-3≤x <1}D . {x ∣-3≤x ≤3}1．（2020石景山一模文科）设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M I 等于（ B ）A ．(1,1)-B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1,0)-1.（2020高考仿真文科）设集合{}01|2<-=x x M ，{}12|>=x x N ，则N M ⋃等于（ A ）A ． {}1|->x xB ． {}11|<<-x xC ． {}0|>x xD ． {}10|<<x x1. （2020东城示范校二模文）已知集合A ={}2,x x x ≤∈R , B ={}240,x x x x ->∈Z ,则A B I 等于（ D ）A ．（1，2）B ．[1，2]C ．(1，2]D ．{1，2} 1．（2020房山一模文科）设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U I ( B )A ． {}10><x x x 或B ． {}2101≤<<≤-x x x 或C ． {}2101≤≤≤≤-x x x 或D ． {}21>-<x x x 或1．（2020海淀一模文科）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B I =（ C ）A ． ÆB ． {1}-C ． {1}D ． {1,1}-1. （2020门头沟一模文科）已知集合}032|{2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有（ D ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个1.（2020密云一模文科）设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是（ B ）A ． M=P B.M ∪P=P C.M ∪P=M D.M ∩P=P1. （2020师大附文科）设集合{}4,3,2,1=U ，{}05|2=+-∈=p x x U x M ，若{}3,2=M C U ，则实数p 的值为（ B ）A. －4B. 4C. －6D. 61．（2020西城一模文科）已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =I （ C）A ． (2,2)- B ． (1,2)- C ． (1,2) D ． (1,4)。

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