高三数学复习精品课件：[专题探究课一] 高考中函数与导数问题的热点题型

【训练1】 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然 对数的底数). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围. 解 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以 f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为 ex>0， 所以－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2).
(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立， 因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex ＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立. 因为ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，
综上所述，当 m＞23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点.
热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题
函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个 问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化， 这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方 程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取 值范围.
【例 2】 设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数. 解 (1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋ex， 定义域为(0，＋∞)，则 f′(x)＝x－x2 e，由 f′(x)＝0，得 x＝e. ∴当 x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当 x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋ee＝2， ∴f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x＞0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x＞0). 设 φ(x)＝－13x3＋x(x＞0)， 则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当 x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.
∴x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此 x＝1 也是 φ(x)的最大值点. ∴φ(x)的最大值为 φ(1)＝23. 又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点.
当 a＞0 时，f(x)在 x＝1a处取得最大值，最大值为 f1a＝ln 1a＋ a1－1a＝－ln a＋a－1.
因此 f1a＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0. 令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0. 于是，当 0＜a＜1 时，g(a)＜0； 当 a＞1 时，g(a)＞0. 因此，实数 a 的取值范围是(0，1).
热点一 利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的 热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论 函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最 值求参数的取值范围.
【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取 值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a. 若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
即 a≥xx2＋＋21x＝（x＋x＋1）12－1 ＝(x＋1)－x＋1 1对 x∈(－1，1)都成立. 令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋（x＋11）2>0. 所以 y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1，1)上单调递增， 所以 y<(1＋1)－1＋1 1＝32.即 a≥32. 因此实数 a 的取值范围为 a≥32.
高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他 知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，常涉及的问题： 研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)，研究函数的零 点(或方程的根、曲线的交点)，研究不等式，运用导数解决实际 问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置被概率统 计解答题占据，因此很少出现单独考查函数应用题的问题，但 结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试 题中都有体现.试题类型齐全，中、高档难度，突出四大数学思 想方法的考查.
若 a＞0，则当 x∈0，1a时，f′(x)＞0；当 x∈1a，＋∞时， f′(x)＜0，所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
综上，知当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，f(x)在0，1a上单调递增， 在1a，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
探究提高 (1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的 讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义 域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质 得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的 一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得 参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型 不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.